第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

考试要求1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.能解决简单的实际问题．【知识梳理】1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．3．分类加法和分步乘法计数原理的区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．[常用结论与微点提醒]分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”．【诊断自测】1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()2．(选修三P5T1改编)(1)一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是______；(2)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，则从A村经B村去C村，不同路线的条数是________．3．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．4．3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有________种．考点一分类加法计数原理例1(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()A．4种 B．10种C．18种 D．20种(2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升使用分类加法计数原理的两个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏．(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．训练1(1)集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A．9 B．14C．15 D．21(2)已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定______个平面．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点二分步乘法计数原理例2(多选)(2024·合肥调研)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是()A．共有43种不同的安排方法B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种C．若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．2．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．训练2(1)为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有()A．48种 B．36种C．24种 D．12种(2)若将6本不同的书放到5个不同的盒子里，则不同的放法种数为()A．Aeq\o\al(6,6) B．Ceq\o\al(6,6)C．56 D．66________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点三两个计数原理的综合角度1与数字有关的问题例3用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数(用数字作答)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度2与几何有关的问题例4如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60 B．48C．36 D．24________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度3涂色问题例5如图，a省分别与b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案种数为()A．480 B．600C．720 D．840________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.在综合应用两个原理解决问题时应注意：(1)一般是先分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原理．(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．2．解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成．训练3(1)有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是()A．14 B．23C．48 D．120(2)(2024·杭州调研)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252C．261 D．279(3)(2024·临汾调考)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有()A．24种 B．48种C．72种 D．96种__________________________________________