【中考考点基础练】专题六 圆的相关证明与计算 2025年中考数学总复习（福建）（含答案）

专题六圆的相关证明与计算1.(原创)如图,AB为☉O的弦,M为☉O外一点,且MB是☉O的切线,OM⊥AB于点C,交☉O于点D,P为AB上一点,连接AP,BP,OA.(1)求证:∠P-∠M=90°.(2)若OA=6,tanM=342.(2024·福州模拟)如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,P是☉O外的一点,PC⊥AB,垂足为C,PC与BD相交于点E,连接PD,AD,且∠PDB=∠DAB,延长PD交BA的延长线于点F.(1)求证:PD=PE.(2)若DF=4,PE=72,cos∠PFC=43.如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,∠BAC=α,E是☉O上一点,点C关于直线AE的对称点为点D,连接AD,BD,BD交AC于点F.备用图(1)已知∠CBD=20°,求∠BAD的度数(用含α的式子表示).(2)求证:BD经过点E.(3)若E是AC的中点,求证:DEEF=BC4.(2024·泉州三模)如图,AD为☉O的直径,点B、C在☉O上,AD⊥BC于点P.连接BO并延长交AC于点F.(1)若∠BAD=30°,试求∠C的度数.(2)过点D作DE∥BF交☉O于点E,H为DE的中点,连接OH.①求证:BP=OH;②连接CE,若DE=DP,△AOF的面积为92参考答案1.解析:(1)证明:如图,连接OB,在优弧AB上取一点E,连接AE,BE,则有∠E+∠P=180°.∵OM⊥AB,垂足为C,∴∠E=12∵MB是☉O的切线,∴∠OBM=90°,∴∠BOM+∠M=90°,∴∠E+∠M=90°,∴180°-∠P+∠M=90°,∴∠P-∠M=90°.(2)∵∠OBM=∠OCB=90°,∴∠OBC=∠M.∵tanM=34∴在Rt△OBC中,tan∠OBC=OCBC=3∵OA=6,∴OB=OA=6,∴sin∠OBC=OCOB=OC6=∴OC=185,∴CD=OD-OC=6-185=2.解析:(1)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠B+∠DAB=90°.∵PC⊥AB,∴∠PCB=90°,∴∠B+∠BEC=90°,∴∠BEC=∠DAB.又∵∠PDB=∠DAB,∠BEC=∠PED,∴∠PDE=∠PED,∴PD=PE.(2)∵PD=PE,PE=72∴PD=72∵DF=4,∴PF=PD+DF=152∵cos∠PFC=45∴CF=PF·cos∠PFC=152×4如图,连接OD.由(1)可得∠B+∠PDE=∠B+∠BAD=90°,∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,∴∠ODB+∠PDE=90°,∴∠ODF=90°,∴OF=DFcos∠PFC=4∴OC=CF-OF=6-5=1,根据勾股定理可得OD=OF2-D∴OA=OD=3,∴AC=OA+OC=3+1=4.3.解析:(1)∵CE=CE,∴∠CAE=∠CBD=20°.∵点C与点D关于AE对称,∴∠DAE=∠CAE=20°,∴∠BAD=∠BAC+∠CAE+∠DAE=α+40°.(2)证明:∵点C与点D关于AE对称,∴∠AED=∠AEC.∵四边形ABCE内接于☉O,∴∠AEC+∠ABC=180°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵AB=AB,∴∠ACB=∠AEB,∴∠AEB+∠AED=180°,∴点B,D,E共线,∴BD过点E.(3)证明:如图.∵E是AC的中点,∴AE=CE,∴∠ABE=∠CBE=∠CAE,AE=CE.∵AB=AB,∴∠AEB=∠ACB,∴△BCF∽△BEA,∴BCBE=CFAE,∴BCCF∵∠AEF=∠AEB,∠FAE=∠ABE,∴△AEF∽△BEA,∴BEAE=AE∴BCCF=CE∵DE=CE,∴DEEF=BC4.解析:(1)∵AD为☉O的直径,AD⊥BC,∴AD垂直平分BC,∴∠BAC=2∠BAD=60°,AB=AC,∴△ABC为等边三角形,∴∠C=60°.(2)①证明:如图1,连接AE.∵AD是直径,∴∠AED=90°.∵H是DE的中点,AO=DO,∴OH是△ADE的中位线,∴OH∥AE,∴∠OHD=∠AED=90°.∵DE∥BF,∴∠BOP=∠ODH.又∵∠OPB=∠OHD=90°,BO=DO,∴△BOP≌△ODH(AAS),∴BP=OH.②如图2,过点F作FN⊥AD,交AD于点N,设DE=DP=2x,则DH=HE=x.∵△BOP≌△ODH,∴OP=DH=x,∴OD=3x=OA=OB,∴BP=OB2-O∵AD⊥BC,FN⊥AD,∴tan∠BAP=BPAP,tan∠CAP=NF∵∠BAP=∠CAP,∴BPAP=NF∴NFAN=2∴AN=2NF.∵∠BOP=∠NOF,∴tan∠BOP=BPOP,ta