高考备考资料之数学人教A版全国用课件46正弦定理和余弦定理

§4.6正弦定理和余弦定理第四章

三角函数、解三角形基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则知识梳理定理正弦定理余弦定理内容(1)＝______＝______＝2R(2)a2＝

；b2＝

；c2＝_________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC变形(3)a＝2RsinA，b＝

，c＝

；(4)sinA＝

，sinB＝____，sinC＝_____；(5)a∶b∶c＝

；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝__________；cosB＝_____________；cosC＝___________2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况

A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S＝

a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝

absinC＝________＝________；(3)S＝

r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).1.三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；2.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；【知识拓展】3.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(

)(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.(

)(3)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形.(

)(4)在△ABC中，

(

)(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(

)基础自测×√√123456√×题组二教材改编2.[P10B组T2]在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________________________.答案解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝

，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.解析三角形或直角三角形等腰1234563.[P18T1]在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________.解析答案123456题组三易错自纠4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c<bcosA，则△ABC为A.钝角三角形

B.直角三角形C.锐角三角形

D.等边三角形答案解析√解析由已知得sinC<sinBcosA，∴sin(A＋B)<sinBcosA，∴sinA·cosB＋cosA·sinB<sinB·cosA，又sinA>0，∴cosB<0，∴B为钝角，故△ABC为钝角三角形.1234565.(2018·桂林质检)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是A.有一解

B.有两解C.无解

D.有解但解的个数不确定解析答案√解析由正弦定理得∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在.1234566.(2018·包头模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.解析答案解析由3sinA＝5sinB，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，123456题型分类深度剖析1.(2016·山东)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A等于解析

在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cosA)，又∵a2＝2b2(1－sinA)，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1，解析答案题型一利用正、余弦定理解三角形自主演练√2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于解析

∵8b＝5c，∴由正弦定理，得8sinB＝5sinC.又∵C＝2B，∴8sinB＝5sin2B，∴8sinB＝10sinBcosB.解析答案√3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝

，sinB＝

，C＝

，则b＝________.解析答案1(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.思维升华典例

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；证明

由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.证明题型二和三角形面积有关的问题师生共研(2)若△ABC的面积S＝

，求角A的大小.解答(1)对于面积公式

，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.思维升华跟踪训练

(1)(2018·承德质检)若AB＝2，AC＝

BC，则S△ABC的最大值为答案√解析(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝

，则△ABC的面积是________.解析答案解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.命题点1判断三角形的形状典例(1)在△ABC中，

，则△ABC一定是A.等腰三角形

B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.无法确定解析由已知得

，∴＝cosB，∴cosA＝cosB，又0<A，B<π，∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形.解析答案√题型三正弦定理、余弦定理的简单应用多维探究(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为A.锐角三角形

B.直角三角形C.钝角三角形

D.不确定解析

由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝

，∴△ABC为直角三角形.解析答案√1.本例(2)中，若将条件变为2sinAcosB＝sinC，判断△ABC的形状.引申探究解

∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0.又A，B为△ABC的内角.∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形.解答2.本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，判断△ABC的形状.又由2cosAsinB＝sinC得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形.解答命题点2求解几何计算问题典例(1)如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.解析答案(2)(2018·吉林三校联考)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是____________________.解析答案解析如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF<AB<BE.在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.(2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.思维升华跟踪训练

(1)(2018·安徽六校联考)在△ABC中，cos2

(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析答案√∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形.(2)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝

，AB＝

，AD＝3，则BD的长为________.解析答案典例(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c＝

，sinB＝

sinC.(1)求cosA的值；(2)求

的值.审题路线图二审结论会转换审题路线图规范解答审题路线图规范解答课时作业1.(2017·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝

，b＝3，A＝60°，则边c等于A.1 B.2C.4 D.6基础保分练12345678910111213141516解析∵a2＝c2＋b2－2cbcosA，∴13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去).解析答案√2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝

，a＝2，b＝

，则B等于解析答案12345678910111213141516√3.(2017·哈尔滨模拟)在△ABC中，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为

，则C等于A.30°B.45°C.60°D.75°解析答案√12345678910111213141516∴sinA＝1，由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.故选C.4.△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝

等于解析答案12345678910111213141516√5.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比数列，且c＝2a，则cosB的值为

解析因为sinA，sinB，sinC成等比数列，所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，解析答案√123456789101112131415166.(2017·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

则cosB等于解析答案12345678910111213141516√7.(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝

，cosC＝

，a＝1，则b＝________.解析答案123456789101112131415168.(2018·成都模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝

ac，则角B的值为______.解析答案123456789101112131415169.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝

，C＝

，则△ABC的面积为________.解析答案123456789101112131415161234567891011121314151610.(2018·长春质检)E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝________.解析答案12345678910111213141516解析如图，设AB＝6，则AE＝EF＝FB＝2.因为△ABC为等腰直角三角形，1234567891011121314151611.(2018·珠海模拟)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA.(1)证明：sinB＝cosA；证明12345678910111213141516(2)若sinC－sinAcosB＝

，且B为钝角，求A，B，C.解答1234567891011121314151612.(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

.(1)求sinBsinC；解答12345678910111213141516(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长.解答1234567891011121314151613.(2018·银川模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝

，a＋b＝6，

＝2cosC，则c等于技能提升练解析答案12345678910111213141516√1234567891011121314151614.(2018·大理模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB＝

bcosA.若a＝4，则△ABC周长的最大值为________.答案解析1234567891011121314151612123456789101112