贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期5月期中质量监测数学试题（含答案）

贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期5月期中质量监测数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（）．A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，72．设集合M=m∈Z−3<m<2，P=xA．−1,0,1 B．−1,0,1,2 C．x−3<x≤3 D．3．设F1，F2分别为椭圆C：x216+y2A．4 B．8 C．16 D．324．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若A．8 B．7 C．6 D．55．已知AC=3，AB=5，AB⋅A．6 B．7 C．19 D．346．已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，是最小正周期为2π的奇函数，若cosθ+f(θ)=1A．173 B．13 C．−17．现有参加中国——东盟妥乐峰会志愿者的报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有8名男生和2名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生的报名表各一份的概率为（）A．21100 B．25 C．498．已知实数x，y满足x|x|+y|y|=1，则|x+y−4|的取值范围是（）A．[3,4) B．[22,3] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知i是虚数单位，z是复数，则下列说法正确的是（）A．i2024=−1 B．z=C．z⋅z=|z|210．同时满足：①f(x)为偶函数，②f(x)<1，③f(x)有最大值，这三个条件的选项有（）A．f(x)=12cosx B．f(x)=|sinx| C．f(x)=|x|11．已知函数y=f(x)图象上的点(x,y)与方程(eA．f(x)=e3x−3eC．f(x)在(0,+∞)上单调递增 D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知a=2,1,0，b=−1,0,113．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何?”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有斛.14．已知函数f(x)=ex−a−2sinx在(0四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.16．如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，（1）证明：AM//平面BDE；（2）求平面BDE与平面CDE的夹角的余弦值17．已知函数f(x)=ax−lnx(a∈R)（1）当a=1时，求函数f(x)的最小值；（2）∀x∈(0,+∞)，f(x)>0，求18．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+1与抛物线C：y2（1）求m的值；（2）已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线C上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且x1x219．若数列an和bn的项数均为m，则将数列an和b（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；（2）记A为满足递推关系an+1=1+an1−an的所有数列an的集合，数列bn和cn为A中的两个元素，且项数均为m（3）记S是所有7项数列an（其中1≤n≤7，an=0

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：将数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，因此，这组数据的众数为8，中位数为7．故答案为：D．【分析】先将数据从小到大排列，再结合数据的中位数、众数的定义，从而得出这组数据的众数和中位数.2．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意，M=m∈Z则M∩P=−1,0,1故答案为：A.【分析】由列举法表示出集合M，再利用交集的运算法则得出集合M∩P.3．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意，椭圆中a=4，根据椭圆定义，△ABFAB+故答案为：C.【分析】由椭圆定义和三角形的周长公式，从而求出焦点三角形的周长.4．【答案】D【解析】【解答】解：由a1=1，公差d=2，得an=2n−1，

则Sn=n2，所以Sk+25．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知：BC=则BC⃗所以BC⃗故答案为：B.【分析】由题意可知：BC=AC−6．【答案】B【解析】【解答】解：由函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，的最小正周期为2π

所以ω=1，

则f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π)

又f(x)为奇函数，所以φ=π2，

所以f(x)=sinθ，

所以cosθ+sinθ=137．【答案】C【解析】【解答】解：设A1=“抽到第一袋”，B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”P(P(B|P(B|由全概率公式得P(B)=P(A故答案为：C.【分析】设A1=“抽到第一袋”，8．【答案】C【解析】【解答】解：由x|x|+y|y|=1，

则x≥0,y≥0x2+y2=1，x>0,y<0x2-y2=1，x<0,y>0y2-x2=1；

画出函数图象如下所示：

令z=x+y−4，则y=-x+4+z

平移直线y=-x，

当y=-x+4+z与x≥0,y≥0x2+y9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于A：i2024=i21012=-11012=1，A错误；

对于B：z=3−2i1+i=(3-2i)(1-i)2=10．【答案】A,D【解析】【解答】解：由题意，函数f(x)满足：①f(x)为偶函数；②f(x)<1对于A中，函数f(x)=1对于B中，函数f(x)=|sin对于C中，函数f(x)=|x|，可知当x∈(0,对于D中，f(−x)=2|−x|=f(x)，函数为偶函数，由2|x|≥1，可得f故答案为：AD.【分析】根据题意，结合初等函数的性质，逐项判定，即可求解.11．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：由(e3x−4ex−y)11+e11x=3e令h(x)=x11+x，根据单调性与奇偶性的性质：

y=x11与y=x两个函数都是奇函数且单调递增，

等价于h(e3x−4ex−y)+h(e所以h(e所以e3x−4ex−y+ex=0，根据选项A知：f'则当x<0时，f'当x>0时，f'故x=0是函数的极小值点，故B，C正确；所以x=0取到函数f(x)的最小值，即f(0)=2 ，所以D错误.

故答案为：ABC.【分析】观察等式结构构造函数h(x)=x12．【答案】3【解析】【解答】解：根据题意，a+所以a+故答案为：3.【分析】利用空间向量加法的坐标表示和向量的模的坐标公式，从而计算得出a⃗13．【答案】10【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r尺，则14×2πr=6，解得所以圆锥的体积为V=1所以堆放的米约有161.6故答案为：10.【分析】利用已知条件求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积公式得到圆锥的体积，利用体积估算出堆放的米的斛数.14．【答案】(【解析】【解答】解：令f(x)=ex−a−2sinx=0，

则ex−a=2sinx，

令g(x)=ex−a,h(x)=2sinx；

由函数f(x)=ex−a−2sinx在(0,+∞)上仅有两个零点，

只需g(x)=ex−a,h(x)=2sinx在(0,+∞)上仅有两个交点；

作图，画出g(x)，h(x)图象分析：

记g(x)，h(x)图象的公切点为A(x0,y0)，

即A(x0,y0)同时在15．【答案】解：（1）因为ξ可能取的值为0，1，2.

Pξ=k=C2kξ012P131（2）由（1）得出ξ的数学期望为Eξ=0×15+1×35+2×【解析】【分析】(1)利用随机变量ξ的可能取值为0，1，2，再结合组合数公式结合古典概型概率公式，从而求出各随机变量对应的概率，进而可得随机变量ξ的分布列.

（2）结合(1)结合随机变量的期望公式，从而可得随机变量ξ的数学期望.

（3）利用互斥事件概率的加法公式，从而可得“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.16．【答案】（1）证明：由CC1的中点为M，连接AC交BD于点O，连接因为AA1=2AB=2BC=8则点E是CM的中点，O是AC的中点，

所以AM∥OE，OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

所以AM//平面BDE.（2）解：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系D−xyz，依题意，则A4,0,0，B4,4,0，C0,4,0，DA=4,0,0，DE=设向量n=x0则n⋅DE=0令y0=−1，则x0=1，因为DA=4,0,0是平面记平面BDE与平面CDE的夹角为θ，则cosθ=n【解析】【分析】（1）由CC1的中点为M，连接AC交BD于点O，再连接OE，由AM∥OE可证AM∥平面（2）利用建系的方法得出点的坐标和向量的坐标，结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面BDE和平面CDE的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面BDE与平面CDE的夹角的余弦值.（1）由已知CC1的中点为M，连接AC交BD于点O，连接因为AA1=2AB=2BC=8得点E是CM的中点，O是AC的中点，所以AM∥OE，OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM//平面BDE；（2）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D−xyz.依题设，A4,0,0，B4,4,0，C0,4,0，DDA=4,0,0，DE设向量n=x0则n⋅DE=0令y0=−1，则x0=1由已知DA=4,0,0是平面记平面BDE与平面CDE的夹角为θ，cosθ=n17．【答案】（1）解：当a=1时f(x)=x−lnx(x>0)，∴f当x∈(0,1)时，f'当x∈(1,+∞)时，f'∴f（2）解：∵∀x∈(0,+∞)∴a>令h(x)=lnxx(x>0)当x∈(0,e)时，h'当x∈(e,+∞)时，h'∴h∴a>1e即a【解析】【分析】（1）利用导数判断函数单调性；

（2）分离参数，a>(18．【答案】（1）解：因为直线y=x+1与抛物线C：y2联立y=x+1可得x2所以Δ=(2−m)2−4=0，解得m=0所以m=4（2）解：设直线AB的方程：x=ay+t，A(x1,联立方程x=ay+ty2则Δ=16a2因为x1x2整理得(即(a2+1)(−4t)+at⋅4a+y1⋅y则四边形AA1==4(2当a=0时4(2所以直线AB方程：x=2.【解析】【分析】（1）直线与曲线相切，联立方程利用判别式求解即可；

（2）先联立方程组x=ay+ty2=4x利用韦达定理整理出y1+19．【答案】（1）解：由题意可知：数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为1+0+5+1=7（2）解：设a1=p，其中p≠0，且因为an+1=1+an1−an，则则有A中数列的项呈周期性重复，且间隔4项重复一次，在数列bn中，b在数列cn中，c因为bi−c即项数m越大，数列bn和c由i=14bi可知：若m≤3468时，i=1mb可知：若m≥3470时，i=1m综上所述：所以m的最大值为3469.（3）证明：假设T中的元素个数大于等于17个，在数列an中，an∈0,1，

则仅由数列前三项组成的数组a1,a2,a3有且仅有8个：

(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)，

那么这17个元素(即数列)之中必有三个具有相同的a1,a2,a3，

设这个数列分别为cn:c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7；

dn:d1,d2,d3,d4,d5,d6【解析】【分析】（1）由数列距离的定义直接求出所给两个数列的距离.（2）由题意分析可知集合A中数列项的周期性，从而可得i=14（3）假设T中的元素个数大于等于17个，设出cn,dn,（1）由题意可知：数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为1+0+5+1=7.（2）设a1=p，其中p≠0，且因为an+1=1+an1−an，则则有A中数列的项呈周期性重复，且间隔4项重复一次，在数列bn中，b在数列cn中，c因为bi−c即项数m越大，数列bn和c由i=14bi可知：若m≤3468时，i=1m又因为i=13469可知