人教版八年级数学上册 第12章 全等三角形 单元测试卷（含解析）

第12章《全等三角形》单元测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同;B．图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关;C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形;D．全等三角形的对应边相等，对应角相等.2．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72° B．60° C．58° D．50°3．如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由旋转，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA4．根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（）A．AB＝4，BC＝5，AC＝1 B．AB＝5，BC＝4，∠A＝40°C．∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝5 D．∠C＝90°，AB＝85．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，则△EDF的面积为（

）A．11 B．22 C．26 D．376．有两个三角锥ABCD，EFGH，其中甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．若∠ACB=∠CAD=∠EFG=∠EGH=70∘，∠BAC=∠ACD=∠EGF=∠EHG=50

A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等7．如图，在平面直角坐标系中，C4,4，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OAA．8 B．9 C．10 D．118．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD=OE，AO的延长线交BC于点M，则图中共有全等的直角三角形（

）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对9．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C'D//EB'//BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（

）

A．105° B．110° C．100° D．120°10．如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OD=OC，OA>OC，∠AOB=∠COD=50°，连接AC,BD相交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=50°；③OM平分∠COB；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= _12．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点O到BC边的距离为3，且△ABC的周长为20，则△ABC的面积为．13．如图，已知在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，BE=CF．请你添加一个条件，使得14．在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是．

15．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=10cm，BC=6cm，D是AB的中点．点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点C向点A运动，它们运动的时间为ts，设点Q的运动速度为x16．如图，在△ABC中，∠ABC=66°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APQ的度数为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF=ED，连CF．(1)求证：CF∥AB(2)若∠A=70°，∠F=35°，BE⊥AC，求∠BED的度数．18．（6分）如图，两棵大树AB、CD之间相距13m（即BD=13m），小华从点B沿BD走向点D，行走一段时间后，他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和C，且两条视线的夹角∠AEC=90°，且EA=EC．已知大树AB的高为5m(1)求证：△ABE≌△EDC；(2)求小华从点B走到点E的时间．19．（8分）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务．项目课题探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题问题提出墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？项目图纸解决过程①标记测试直杆的底端点D，测量OD的长度．②找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO=∠ABO；④记下直杆与地面的夹角∠ABO；项目数据…任务：(1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是；A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→①(2)若∠ODC=20°，则∠ABO=；(3)请你说明他们作法的正确性．20．（8分）在△ABC的高AD、BE交于点F，DF=CD．(1)如图1，求证：∠DAC=∠CBE；(2)如图1，求∠ABC的度数；(3)如图2，延长BA到点G，过点G作BE的垂线交BE的延长线于点H，当GH=BE时，探究线段CE、CG、BH的数量关系，并证明你的结论．21．（8分）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数．

解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容）∵∠B=35°，∠BAC+∠B+∠ACB=（），∴∠BAC=180°−∠B−∠ACB（），=180°−35°−85°=60°．∵AD平分∠BAC（已知），∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC12∴∠ADC=∠B+∠BAD（），=35°+30°=65°．∵PE⊥AD（已知），∴∠DPE=90°（）．在直角三角形DPE中，∵∠PDE+∠E=90°（），∴∠E=90°−∠PDE=90°−65°=25°．22．（8分）阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+AC＞智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD至E，使DE=AD，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，BD=CD∠BDE=∠CDA∴△BDE≌△

CDA（依据1），∴BE=CA，在△ABE中，AB+BE＞∴AB+AC＞(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：．【归纳总结】上述方法是通过延长中线AD，使DE=AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)任务二：如图3，AB=6，AC=8，则AD的取值范围是；A．6＜AD＜8； B．6≤AD≤8(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．如图4，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC中点，求证：AD=123．（8分）【问题背景】如图，在△ABC中，∠BAC=120°，BE，CF是△ABC的角平分线，它们相交于点I．【初步探究】（1）如图1，连接AI，求证：点I在∠BAC的平分线上；【深入探究】（2）如图2，延长AI交BC于点D，过点F作FT⊥BC于点T,FL⊥AD于点L，并连接TL，试判断∠FTL与∠FLT的大小关系；【拓展延伸】（3）如图3，延长AI交BC于点D，连接DE交CI于点G，过点G作GM⊥AC于点M，GN⊥AD于点N，请问GM和GN有何数量关系？答案一．选择题1．C【分析】直接利用全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”与性质“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可得．【详解】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，选项说法正确，不符合题意；B、图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关，选项说法正确，不符合题意；C、全等图形的面积相等，但面积相等的两个图形不一定是全等图形；选项说法错误，符合题意；D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，选项说法正确，不符合题意；故选C．2．D【分析】本题考查全等三角形的知识．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案．【详解】解：∵图中的两个三角形全等a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角∴∠α=50°故选：D．3．B【分析】由已知O是AA'、BB'的中点，再加上对顶角相等即可证明△OAB≌△OA'B'，利用SAS证明全等．本题考查了三角形全等的判定方法，认真观察图形，选择合适的方法是解此题的关键．【详解】解：∵将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，∴OA=OA'，在△AOB和△A'OB'中，OA=OA∴△OAB≌△OA'B'SAS，故选：B．4．C【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得【详解】A、因为AB+AC=BC，所以这三边不能构成三角形，故本选项不符合题意；B、根据AB=5，BC=4，∠A=40°不能画出唯一三角形，如图所示△ABD和△ABC，故本选项不符合题意；C、根据∠A=60°，∠B=50°，AB=5，符合全等三角形的判定定理ASA，即能画出唯一三角形，故本选项正确；D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个唯一的三角形，故本选项不符合题意；故选：C根据题意得，5．A【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DF=DH，证明Rt△FDE≌Rt△HDG【详解】解：如图，作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF=DH，在Rt△FDE和RtDF=DHDE=DG∴Rt同理，Rt△FDA≌设△EDF的面积为x，由题意得，48−x=26+x，解得x=11，即△EDF的面积为11，故选：A6．B【分析】根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答．【详解】解：∵∠ACB=CAD=70°，∠BAC=∠ACD=50°，AC为公共边，∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等；△EHG中，∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG，虽∠EFG=∠EGH=70°，∠EGF=∠EHG=50°，∴△EFG不全等于△EGH，即丙、丁不全等．综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确，故选：B．7．A【分析】过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，推出OM=ON=CN=4，证△ACM≌△BCN，推出AM=BN，求出OA+OB=ON+OM，代入求出即可．【详解】解：过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，∵C（4，4），∴CN=CM=4，∴OM=ON=CN=CM=4，∵∠ACB=90°∴∠ACB=∴∠MCA=90°−∴∠ACM=在△ACM和△BCN中，∠ACM=∠BCNCM=CN∴△ACM≌△BCN（ASA），∴AM=BN，∴OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=4+4=8．故选:A．8．D【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．熟练掌握运用全等三角形的判定方法是解题关键．△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB,△COM≌△BOM,△ACM≌△ABM,△ADB≌△AEC,△BCE≌△CBD，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【详解】解：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB,△COM≌△BOM,△ACM≌△ABM,△ADB≌△AEC,△BCE≌△CBD．理由如下：在△ADO与△AEO中，∠ADO=OA=OAOD=OE∴△ADO≌△AEO(HL∴∠DAO=在△DOC与△EOB中，∠ODC=∠OEB=90°∴△DOC≌△EOB(ASA∴DC=EB,OC=OB，∴DC+AD=EB+AE，即AC=AB，∵∠DAO=∴AM⊥BC，CM=BM．在△COM与△BOM中，∠OMC=OC=OBOM=OM∴△COM≌△BOM(HL在△ACM与△ABM中，∠AMC=AC=ABAM=AM∴△ACM≌△ABM(HL在△ADB与△AEC中，AD=AE∠DAB=∠EAC∴△ADB≌△AEC(SAS在△BCE与△CBD中，∠BEC=BC=CB∴△BCE≌△CBD(HL故选：D9．C【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题．【详解】解：如图延长C′D交AB′于H．

∵△AEB≌△AEB′，∴∠ABE＝∠AB′E，∵C′H∥EB′，∴∠AHC′＝∠AB′E，∴∠ABE＝∠AHC′，∵△ADC≌△ADC′，∴∠C′＝∠ACD，∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD，∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC，∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，∴∠C′AH＝120°，∴∠C′＋∠AHC′＝60°，∴∠BFC＝60°＋40°＝100°，故选：C．10．B【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=50°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，则∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得【详解】解：∵∠AOB=∠COD=50°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD，∴∠OCA=∠ODB，∴∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=50°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：

则∠OGC=∠OHD=90°，在△OCG和△ODH中，∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHD∴△OCG≌△ODH，∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，④正确；∵∠AOB=∠COD，∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，∵∠AOB=∠COD，∴∠COM=∠BOM，∵MO平分∠BMC，∴∠CMO=∠BMO，在△COM和△BOM中，∠COM=∠BOMOM=OM∴△COM≌△BOM，∴OB=OC，∵OA=OB，∴OA=OC，与OA>OC矛盾，∴③错误；正确的①②④；故选：B．二．填空题11．55°【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，证明△ABD≌△ACESAS得出∠ABD=∠2=30°【详解】解：在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴∠ABD=∠2=30°，∵∠1=25°，∴∠3=∠1+∠ABD=55°，故答案为：55°．12．30【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．过O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，连接OA，利用角平分线的性质求得OM=ON=OD=3，然后利用S△ABC【详解】解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，连接OA，∵点O到BC边的距离为3，∴OD=3，∵△ABC的周长为20，∴AB+AC+BC=20∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OM⊥AB，ON⊥AC，∴OM=ON=OD=3，∴S====30，故答案为：30．13．∠A=∠D（答案不唯一）【分析】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS,点B,E,C,F在同一条直线上，且∠B=∠DEF,BC=EF，即在△ABC和△DEF中，已经有两边对应相等，根据判定两个三角形全等的方法：ASA,SAS,【详解】解：∠A=∠D．以下证明添加条件为AB=DE,BC=EF时，△ABC≌△DEF．∵BE=CF，∴BC=EF，∵AB∥∴∠B=∠DEF，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D∴△ABC≌△DEF(AAS故答案为：∠A=∠D．14．4【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定画出图形，即可判断．【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．

由图可得，所有格点三角形的个数是4，故答案为：4．15．2或5【分析】本题考查全等三角形的对应边相等的性质，根据对应角分情况讨论是本题的关键．用t表示出相关线段，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD与CQ是对应边两种情况讨论即可．【详解】解：∵AB=AC=10cm,BC=6cm，点D∴BD=1设点P、Q的运动时间为t，则BP=2t(cm)，①当BD=PC时，6−2t=5，解得：t=1则BP=CQ=2t=1cm故点Q的运动速度为：1÷1②当BP=PC时，∵BC=6cm∴BP=PC=3cm∴t=4÷2=2(s故点Q的运动速度为5÷2=5故答案为：2或5216．66°【分析】在BC上截取BE=BQ，连接PE，证明△BQP≌△BEP得出PQ=PE，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PQ的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果【详解】解：在BC上截取BE=BQ，连接PE，如图所示：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=1在△BQP和△BEP中，BQ=BE∠ABD=∠CBD∴△BQP≌△BEPSAS∴PQ=PE，∠BPE=∠BPQ，∴AP+PQ=AP+PE，∴当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC，AP+PE的值最小，即AP+PQ的值最小，∴当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，∠AEB=90°，∵∠CBD=33∴∠BPE=90°−33∴∠BPE=∠BPQ=57°∴∠APQ=180°−2×57故答案为：66°三．解答题17．（1）证明：∵E为AC中点，∴AE=CE，在△AED和△CEF中，AE=CE∠AED=∠CEF∴△AED≌△CEF，∴∠A=∠ACF，∴CF∥AB．（2）∵∠A=∠ACF=70°，∠F=35°，∴∠AED=∠CEF=180°−70°−35°=75°，∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∴∠BED=90°−75°=15°．18．（1）证明：∵∠AEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∵∠ABE=90°，∴∠A+∠AEB=90°，∴∠A=∠DEC，在△ABE和△EDC中∵∠B=∠D∠A=∠DEC∴△ABE≌△EDCAAS（2）解：由（1）可知，△ABE≌△EDC，∴ED=AB=5m∵BE=BD−ED=13−5=8m∴8÷1=8s∴小华走的时间是8s19．（1）正确的顺序应是：②找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；④记下直杆与地面的夹角∠ABO；③使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO=∠ABO；①标记测试直杆的底端点D，测量OD的长度．故答案为：D；（2）在△ABO和△DCO中，∠AOB=∠DOC∠ABO=∠DCO∴△ABO≌△DCO(AAS∴∠ABO=∠DCO，∵∠ODC=20°，∴∠DCO=70°，∴∠ABO=70°；故答案为：70°；（3）证明：由（2）知，在△ABO和△DCO中，∠AOB=∠DOC∠ABO=∠DCO∴△ABO≌△DCO(AAS∴OA=OD．即测量OD的长度，就等于OA的长度，即点A的高度．20．（1）证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，如图1所示：∴∠ADC=∠ADB=90°，∠AEB=90°，∴∠DAC+∠1=90°，∠CBE+∠2=90°，∵∠1=∠2，∴∠DAC=∠CBE（2）解：在△DAC和△DBE中，∠DAC=∠CBE∠ADC=∠ADB=90°∴△DAC≌△DBE(AAS)∴BD=AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABC=45°；（3）解：CE、CG、BH的数量关系是：CE+CG=BH，证明如下：在HB上截取HM=CE，连接CM，如图2所示：∵BE是△ABC的高，GH⊥BH，∴∠H=∠BEC=90°，∠BGH=90°−∠3，在△BEC和△GHM中，GH=BE∠H=∠BEC=90°∴△BEC≌△GHM(SAS)∴GM=BC，∠1=∠2，由（2）可知：∠ABC=45°，即∠2+∠3=45°，∴∠BGM=∠BGH−∠1=90°−∠3−∠1=90°−(∠3+∠2)=45°，∴∠BGM=∠ABC=45°，即∠BGM=∠GBC，在△BGM和△GBC中，GM=BC∠BGM=∠GBC∴△BGM≌△GBC(SAS)∴CG=MB，∴CE+CG=MH+MB=BH．21．解：∵∠B=35°，∠BAC+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和等于180°），∴∠BAC=180°−∠B−∠ACB（等式的性质），=180°−35°−85°=