江西省南昌三中教育集团2024-2025学年九年级上学期第一次摸底数学试卷(含答案)

2024-2025学年江西省南昌三中教育集团九年级（上）第一次摸底数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列选项中，能使关于x的一元二次方程一定有实数根的是(

)A. B. C. D.2.把抛物线向左平移2个单位、向下平移1个单位后得到的抛物线是(

)A. B. C. D.3.已知一个二次函数图象经过，，，，其中，则，，中最值情况是(

)A.最小，最大 B.最小，最大 C.最小，最大 D.无法判断4.若函数的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为(

)A.或3 B.或 C.1或或3 D.1或或5.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(

)A. B.

C. D.6.抛物线的对称轴为直线，其部分图象交x轴负半轴交于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：

①；

②；

③为任意实数；

④点是该抛物线上的点，且

其中正确的有(

)A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.①②③④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。7.用配方法解方程，经过配方，得到______.8.若方程有两个相等的实数根，则______.9.若一元二次方程的两根为，，则的值为______.10.若m，n是方程的两个实数根，则的值为______.11.二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，若抛物线与y轴交于点A，则抛物线与x轴正半轴上的交点坐标为______.

12.定义为函数的“特征数”．如函数的特征数为，函数的特征数为，若特征数为的函数图象与x轴只有一个交点，则a的值为______.三、计算题：本大题共2小题，共12分。13.解方程

14.解方程：

；

四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题6分

已知关于x的一元二次方程

若是方程的一个根，求实数m的值；

求证：方程总有两个不相等的实数根.16.本小题6分

新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台.

求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？

按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少？17.本小题6分

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴上，经过A，C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接请仅用无刻度的直尺完成以下作图．保留作图痕迹

在图1中的抛物线上找出点E，使；

在图2中的抛物线上作出该抛物线的顶点

18.本小题8分

已知：二次函数中的x和y满足下表：x…012345…y…300m8…可求得m的值为______；

求出这个二次函数的解析式；

当时，则y的取值范围为______.19.本小题8分

某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量件与当天的销售单价元/件满足一次函数关系，并且当时，；当时物价部门规定，该商品的销售单价不能超过52元/件．

求出y与x的函数关系式；

问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？

当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润．20.本小题8分

如图，已知抛物线与x轴交于点

求m的值和顶点M的坐标；

求直线AM的解析式；

根据图象，直接写出当时x的取值范围．

21.本小题9分

阅读下列材料并解决问题

【问题】解方程：；

【提示】可以用“换元法”解方程．

解：设，则原方程为，解得，舍去

所以，，

【解决问题】

解方程

关于x的方程恰好有3个不相等的实数根满足此方程，求m的值．22.本小题9分

如图，已知抛物线的顶点为，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点，且矩形的面积为

此抛物线的解析式.

点P是x轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出P点坐标.23.本小题12分

如图所示，已知抛物线与一次函数的图象相交于，两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点.

求抛物线和一次函数的解析式；

当点P在直线AB上方时，求出面积最大时点P的坐标；

是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案1.B

2.B

3.A

4.C

5.D

6.A

7.

8.

9.

10.2043

11.

12.0或

13.解：方程移项得：，

配方得：，即，

开方得：，

解得：，；

方程移项得：，

配方得：，即，

开方得：，

解得：，

14.解：，

，

，

，

，

，

，

，

或，

，

15.解：将代入原式，得；

解得；

证明：，

原方程总有两个不相等的实数根；

16.解：设年平均增长率为x，

根据题意可列方程：，

解得：，不合题意舍去，

答：2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是；

由得，万，

答：预计2023年我国新能源汽车出口量为万辆．

17.解：如图，点E即为所求．

如图，点F即为所求．

18.解：根据题意得：，

解得：，

则函数的解析式是：，

当时，；

函数的顶点坐标是：，

当时，则y的取值范围为：

故答案是：3；

19.解：设，

根据题意可得，

解得，

则；

根据题意，得，

整理，得，

解得，，

销售单价最高不能超过52元/件，

，

答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元；

利润

，

当时，w取最大值为：9000，

故当销售单价定为50元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，其最大利润为9000元．

20.解：抛物线与x轴交于点，

，解得：，

抛物线解析式为，

，；

设直线AM的解析式，

过点和点，

，解得：，

直线AM的解析式；

由图象可知，当时，或

21.解：，

设，则原方程为，

解得：，舍去，

当时，，

，

，

，

所以，

解得：，，

经检验：，是原方程的解．

设，，

因为原方程有三个实数解，

所以与的图象有三个交点，

由图知，

22.解：抛物线的顶点为，

抛物线的对称轴为y轴，

四边形CDEF为矩形，

、F点为抛物线上的对称点，

矩形其面积为32，，

，

点的坐标为，

设抛物线解析式为，

把代入得，解得，

抛物线解析式为；

设

①当时，点P在线段CF的垂直平分线上，此时点P与点O重合，其坐标是；

②当时，，解得，所以此时点P的坐标是或；

③当时，，解得，所以此时点P的坐标是或；

综上所述，符合条件的点P的坐标是：或或或