第十七章勾股定理 考点分类练（含答案） 2024-2025学年数学人教版八年级下册

第十七章勾股定理考点1勾股定理及其证明1．如图1，AB＝2，∠EAF＝120°，根据尺规作图的痕迹可以求出BD的长为()A．2eq\r(3) B．1 C．eq\r(2) D．eq\r(3)图1图22．【整体思想】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD，BE分别是边BC，AC上的中线，AD＝5，BE＝eq\r(35)，则斜边AB的长为()A．2eq\r(7) B．3eq\r(5) C．4eq\r(3) D．eq\f(4\r(35),3)3．【规律探究】(2024大庆)如图3①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图3②是1次操作后的图形．图3③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图3①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为__________．图3图44．【分类讨论】如图4，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的动点，∠AOC＝60°，则当△PAB是直角三角形时，AP的长为__________．5．如图5，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线ACBA运动，运动到点A时停止，设运动时间为ts(t＞0).(1)当点P在AC上，且满足PA＝PB时，求t的值；(2)当点P恰好在∠BAC的平分线上时，求t的值．图5

考点2勾股定理的应用6．如图6，某村庄A到公路l之间有一池塘相隔，村民出行都是走AB这条村级公路．在美丽乡村建设过程中，为了便于村民出行，村民委员会治理了池塘并从A到公路l之间架桥新修了一条公路AC，且AC⊥l，测得CB＝2eq\r(2)km，AB＝4eq\r(2)km.(1)新修的公路AC的长为__________km；(2)在后期的建设中，村民委员会在B，C之间修建了一个观光亭D，使得观光亭D到C的距离与观光亭D到B的距离相等，求观光亭D到村庄A的距离．图67．图7是可调节躺椅的示意图，AE与BD交于点C，测得AC＝80cm，BC＝60cm.(1)若∠ACB＝90°，求AB的长；(2)为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB＝30°，问与(1)中AB的长度相比，此时AB的长度有何变化？(参考数据：eq\r(3)≈1.732，eq\r(5)≈2.236)图7考点3勾股定理的逆定理及其应用8．如图8，在正方形网格中，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB＋∠PBA＝__________°.图8图99．如图9，∠BAC＝90°，AB＝2eq\r(2)，AC＝2eq\r(2)，BD＝12，DC＝4eq\r(10)，则∠DBA＝__________．10．【转化思想】如图10，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，P为边BC上一动点(不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值为()图10A．eq\f(6,5) B．eq\f(12,5) C．eq\f(24,5) D．eq\f(9,5)11．如图11，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直于BC的小路AE(垂足为E)，E恰好是BC的中点，且AE＝12m.(1)求BC的长；(2)连接AC，判断△ADC的形状；(3)求这块空地的面积．图1112．如图12，有一台风中心以20km/h的速度沿东西方向由点A移动到点B，且台风中心周围260km以内为受影响区域．已知点C为一海港，且AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km.(1)∠ACB＝__________°.(2)海港C会受台风影响吗？若会受到影响，请计算海港C受台风影响的时长．图12

考点4勾股数13．在我国古代，人们将直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；….若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦(结果用含m的式子表示)为()A．4m2－1 B．4m2＋1 C．m2－1 D．m2＋114．我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”和“8，15，17”，猜想一组正整数a，b，c(a＜b＜c)，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)－1，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋1，则a，b，c是一组勾股数．(1)根据猜想，一组勾股数中，最小数a为10，则另两个数分别是b＝__________，c＝__________；(2)请证明该猜想成立．15．若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．如：M＝2543，∵32＋42＝25，∴2543是“勾股和数”．(1)判断2022，2023，2024中，是“勾股和数”的是__________．(2)一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d.若c＋d＝9，c≠0，当eq\f(|10（a－c）＋（b－d）|,3)为整数时，求M的值．第十七章勾股定理1．D2.C3.484.eq\r(7)或1或eq\r(3)5．解：(1)如答图1，连接PB.答图1在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理，得AC＝eq\r(AB2－BC2)＝8.由题意，得PA＝PB＝2t，PC＝AC－PA＝8－2t.在Rt△CBP中，由勾股定理，得CP2＋BC2＝PB2，即(8－2t)2＋62＝(2t)2.解得t＝eq\f(25,8).(2)如答图2，过点P作PE⊥AB于点E，连接AP.答图2由题意，得AP平分∠BAC.∵PE⊥AB，PC⊥AC，∴PE＝PC.又PA＝PA，∴Rt△ACP≌Rt△AEP(HL).∴AE＝AC＝8.此时BP＝14－2t，PE＝PC＝2t－8，BE＝AB－AE＝10－8＝2.在Rt△BEP中，由勾股定理，得PE2＋BE2＝BP2，即(2t－8)2＋22＝(14－2t)2.解得t＝eq\f(16,3).当t＝12时，点P与点A重合，也符合题意．∴当t的值为eq\f(16,3)或12时，点P恰好在∠BAC的平分线上．6．解：(1)2eq\r(6).(2)如答图3，连接AD.答图3由题意，得D为BC的中点．∴CD＝eq\f(1,2)CB＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)＝eq\r(2).在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝eq\r(（2\r(6)）2＋（\r(2)）2)＝eq\r(26)(km).答：观光亭D到村庄A的距离为eq\r(26)km.7．解：(1)在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(802＋602)＝100(cm).答：AB的长为100cm.(2)AB的长度变长了．理由如下：如答图4，过点C作CG⊥AB于点G，则∠CGA＝∠CGB＝90°.答图4∵∠A＝30°，AC＝80，∴CG＝eq\f(1,2)AC＝40.∴AG＝eq\r(AC2－CG2)＝eq\r(802－402)＝40eq\r(3)，BG＝eq\r(BC2－CG2)＝eq\r(602－402)＝20eq\r(5).∴AB＝AG＋BG＝40eq\r(3)＋20eq\r(5)≈40×1.732＋20×2.236＝114(cm).∵114＞100，∴AB的长度变长了．8．459.45°10.C11．解：(1)∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝eq\r(AB2－AE2)＝eq\r(152－122)＝9.∵E是BC的中点，∴BC＝2BE＝18m.(2)如答图5，连接AC.答图5∵AE⊥BC，E是BC的中点，∴AC＝AB＝15.又AD＝17，CD＝8，∴CD2＋AC2＝82＋152＝172＝AD2.∴△ADC是直角三角形．(3)S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝eq\f(1,2)BC·AE＋eq\f(1,2)AC·CD＝eq\f(1,2)×18×12＋eq\f(1,2)×15×8＝168(m2).答：这块空地的面积为168m2.12．解：(1)90.(2)海港C会受台风影响．如答图6，过点C作CD⊥AB于点D.答图6由(1)可知，△ABC是直角三角形，∴eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，即eq\f(1,2)×300×400＝eq\f(1,2)×500·CD.∴CD＝240.∵260＞240，∴海港C会受台风影响．如答图6，在AB上取点E，F，使EC＝FC＝260km，则当台风从点E移动到点F时，正好影响海港C.∵CD⊥AB，EC＝FC，∴FD＝ED＝eq\r(EC2－CD2)＝eq\r(2602－2402)＝100.∴EF＝ED＋FD＝200.200÷20＝10(h).答：海港C受影响的时长为10h.13．D14．(1)解：2426.(2)证明：由题意，得a2＋b2＝a2＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)－1))eq\s\up12(2)＝eq\f(a4,16)＋eq\f(a2,2)＋1，c2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2)＋1))eq\s\up12(2)＝eq\f(a4,16)＋eq\f(a2,2)＋1.∴a2＋b2＝c2.又a，b，c为正整数，∴a，b，c是一