2024-2025学年山西省太原市山西大学附中高一（下）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山西大学附中高一（下）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|1<x2<5}，B={−2,−1,0,2}，则A∩B=A.{−2,2} B.{0,2} C.{−2,−1} D.{−1,0}2.“sinx=−1”是“cosx=0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0,+∞)上单调递增，若a=f(4.2−0.2)，b=f(4.20.2)，c=f(log4.20.2)，则A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b4.已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=15，则下列结论不正确的是(

)A.θ∈(π2,π) B.tanθ=−34 5.已知函数f(x)=(3−2a)x−32,x<1−1+logax,x≥1(a>0,且a≠1)满足对任意A.(1,+∞) B.(1,54) C.(1,6.已知x>0，y>0，x+2y=1，则1−yxy的最小值为(

)A.42 B.6 C.4+27.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：s)之间的关系可以表示为(

)A.d=4sin(π20t−π6)+2 B.d=4sin(8.已知函数f(x)=|lg(−x)|,x<0x3−6x+4,x≥0若关于x的函数y=[f(x)]2A.(2,8) B.[2,174) C.(2,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中正确的是(

)A.240°化成弧度是4π3

B.关于x的不等式(ax+1)(x−2)>0的解集为{x|1<x<2}，则a=1

C.命题“∀x≥1，x2−1≤0”的否定是∃x≥1，x2−1>0

D.若一扇形的弧长为10.设min{a,b}=a,a≤bb,b<a，函数f(x)=min{log2A.函数f(x)的最小值是0 B.函数f(x)的最大值是2

C.函数f(x)在(0,4)上递增 D.函数f(x)在(4,+∞)上递减11.已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)，其中ω>0，下列命题中正确的是A.若ω=3，函数y=f(x)的图象可由函数y=2sin3x的图象向左平移π18个单位长度得到

B.若ω=3，曲线y=f(x)与曲线y=sinx在区间[−π,π]上的交点个数为6

C.若f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点，则ω的取值范围是(2912,3512)

D.若f(x)在[0,2π]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知sin(α+π3)=1213.已知函数f(x)的定义域为R，若y=f(x+1)为奇函数，y=f(x+2)为偶函数，则f(2025)=______．14.已知a>1，b>1，a>1,b>1,aa−1=2a,bb−1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

(1)已知10a=2，10b=3，用a，b表示log3018；

(2)已知α角的顶点在坐标原点，始边与x16.(本小题15分)

已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x−1．

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)17.(本小题15分)

已知cos(α−β2)=−277,sin(α218.(本小题17分)

已知函数f(x)=ln1+3x1−3x．

(1)证明函数f(x)为奇函数；

(2)设函数g(x)=4x−2x+319.(本小题17分)

固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程y=c(exc+e−xc)2，其中c为参数.当c=1时，就是双曲余弦函数cosℎx=ex+e−x2，类似地我们可以定义双曲正弦函数sinℎx=ex−e−x2.它们与正、余弦函数有许多类似的性质．

(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论：sinℎ2x=参考答案1.A

2.A

3.D

4.B

5.D

6.D

7.A

8.C

9.AC

10.BCD

11.ABD

12.−113.0

14.1

15.解：(1)由题意可得a=lg2，b=lg3，

可得log3018=lg18lg30=lg2+lg9lg3+1=lg2+2lg3lg3+1=a+2bb+1；

(2)f(α)=cos(11π2−α)−sin(3π16.解：(1)因为f(x)=23sinxcosx+2cos2x−1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，

所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，

由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2,k∈Z，得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z，17.解：(1)cos(α−β2)=−277，且α∈(π2,π)，β∈(0,π2)，α−β2∈(π4,π)，

∴sin(α−β2)=1−cos2(α−β2)=217，

sin18.(1)证明：由1+3x1−3x>0，解得−13<x< 13，

即函数f(x)的定义域为(−13, 13)，关于原点对称，

且f(x)+f(−x)=ln1+3x1−3x+ln1−3x1+3x=ln1=0，

所以函数f(x)为奇函数．

(2)解：若∀x1∈[0,16],∃x2∈[1,3]，使得f(x1)≥g(x2)+λ，

则f(x)min≥g(x)min+λ，

f(x)=ln1+3x1−3x=ln(−1+21−3x)，

由y=−1+219.解：(1)sinℎ(2x)=e2x−e−2x2=(ex−e−x)(ex+e−x)2=2sinℎ(x)cosℎ(x)．

(2)依题意，∀x∈[−1,1]，不等式cosℎ2x+mcosℎx≥0⇔e2x+e−2x2+m⋅ex+e−x2≥0，

函数u=ex在[−1,1]上单调递增，u∈[e−1,e]，令t