医学统计学：正态分布及其应用

正态分布及其应用

Normaldistribution

anditsapplications

2015.3.3

统计学中最重要的理论分布之一

2随机变量及其概率分布连续型随机变量：正态分布对数正态分布

Weibull分布离散型随机变量：二项分布

Poisson分布超几何分布34正态分布(Normaldistribution)1733年，德国数学家和天文学家A.deMoivre法国天文学家和数学家Laplace德国数学家Gauss(1777-1855)最早用于物理学描述观察误差的分布天文学用于行星轨迹的预测，故又称Gaussiandistribution5医学资料中有许多指标的频数分布都呈正态分布:

身高体重脉搏血红蛋白血清总胆固醇

…

…6正态分布的概念

如果随机变量X的概率密度函数为则称X服从正态分布,记作X～N(

,

2)。

为总体均数,

为总体标准差,π=3.14159;e=2.71828。

(-∞＜X

＜+∞)

7图4.4概率密度曲线示意图x概率密度8肺活量的分布(a)(b)(d)(c)9正态分布图形x0.1.2.3.4f(x)10

2相等,

不等的正态分布图示

2

1

31112

2不等,

相等的正态分布图示

2

1

31314正态分布特征单峰，高峰在均数处；均数为中心，左右对称；正态分布有两个参数，即位置参数(

)和形态参数(

2)；正态曲线下的面积分布有一定的规律。

15正态分布的分布函数公式：故正态曲线下(X1,X2)范围内的面积为：16正态曲线下的面积与某一区间内取值的概率有何

关系？概率为曲线下相应区域的面积!x1x2Xf(X)Px1Xx2fXdxx2x1()()?

思考：17

Question:

如何应用正态曲线下的面积规律？18正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线之间的面积恒等于1。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,

)＝S(-,-X)

X轴19正态曲线下的面积规律S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

20正态曲线下的面积规律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

)=0.5S(-,

+3

)=0.9987S(-,

+2

)=0.9772S(-,

+1

)=0.8413S(-,)=121正态曲线下的面积规律

-1.64

+1.64

5%5%90%22正态曲线下的面积规律

-1.96

+1.96

2.5%2.5%95%23

正态曲线下的面积规律

-2.58

+2.58

0.5%0.5%99%24

表1正态曲线下面积规律25思考：有多少个正态分布？不同均值和标准差对应不同的正态分布每个正态分布都对应自己的概率分布表格Xf(X)26标准正态分布标准正态分布(standardnormaldistribution)是均数为0，标准差为1的正态分布。记为X～N(0,1)。标准正态分布是一条曲线。概率密度函数：

(-∞＜Z

＜+∞)

27标准化变换若X～N(

,

2)，作变换：

则Z服从标准正态分布(0,1)。Z称为标准正态离差(standardnormaldeviate)28Z变换

X～N(

,

2)

一张表!x=

x=0

2

2=1Z～N(0,1)29Z=0.12

N=0

=1标准化示例正态分布标准正态分布X=6.2

=5.0

=1030如何求正态曲线下的面积?

采用“定积分法”可求出标准正态分布-∞到z的面积。31z标准正态分布曲线下从-∝到z之间的面积（

(z)

）示意图32图4.7查表法求标准正态曲线下面积示意图z1z233标准正态分布曲线下面积

(Z)

Z 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08-3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010-2.5 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049-2.0 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188-1.9 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239-1.6 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465-1.0 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401-0.5 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.28100.0 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.46810Z34标准正态曲线下面积的分布规律曲线下横轴上的总面积为100%或1。表中面积

(z)指曲线下从-∞到z的面积。对称于均数（零）的区域面积相等。。3536

见教材例4.21、4.2237正态分布的应用估计总体变量值的频率分布制定医学参考值范围质量控制正态分布是许多统计方法的理论基础381.估计总体变量值的频率分布例某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布，其均数为3150g，标准差为350g。若以2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比例。

39首先计算标准正态离差Z：查标准正态分布表:

(-1.86)=?结果：估计低体重儿所占比例为___%4041422.制定医学参考值范围

(medicalreferenceinterval)又称正常值范围(normalrange)确定医学参考值范围的意义：作为判断正常与异常的参考标准43什么是医学参考值范围：是绝大多数正常人的的解剖、生理、生化等指标的波动范围绝大多数：90%，95%，99%等“正常人”的定义：排除了影响所研究的指标的疾病和有关因素的同质的人群。44例如：某市欲制定学龄前儿童血铅的参考值范围

观察对象定为：年龄为3~6岁，在本市居住1年以上；无肝、肾等器质性病变；无铅接触史；无特殊的饮食习惯；测定前3天未进食含铅高的食物。45确定参考值范围的注意事项确定观察对象和抽取足够的观察单位

测定方法应统一、准确应采用得到公认的或权威机构推荐的标准方法，以利于结果的评价和比较。

判断是否分组(性别,年龄组)单、双侧问题选择百分界值(90%,95%)据资料特点，选用恰当计算方法46单侧与双侧参考值范围的确定根据医学专业知识确定！双侧：红细胞、白细胞计数，血清总胆固醇，…单侧：上限:转氨酶，尿铅，发汞，…

下限:肺活量，IQ，…单侧下限异常正常单侧上限异常正常异常正常双侧下限双侧上限异常47计算医学参考值范围常用的方法正态分布法：适用于正态或近似正态分布资料。双侧界值：单侧上界：；单侧下界：对数正态分布法：适用于对数正态分布资料双侧界值：百分位数法：常用于偏态分布资料双侧界值:P2.5和P97.5；单侧上界:P95；或单侧下界:P5

48表4.5参考值范围的制定

49例4.24某地调查正常成年男子200人的红细胞数，得均数=55.26×1012/L，标准差S=0.38×1012/L，试估计该地正常成年男子红细胞数的95%参考值范围。

50解：该地正常成年男子红细胞数的95%参考值范围为下限：－1.96S=55.26－1.96×0.38=54.52(×1012/L)

上限：

＋1.96S=55.26＋

1.96×0.38=56.00(×1012/L)51正常人病人假阳性率假阴性率病人正常人与病人的数据分布重叠示意图(双侧)52例4.252005年某市进行的小学生体质评价研究中，测定了120名9岁男孩的肺活量,=1.672L，S=0.298L，试估计9岁男孩的肺活量的95%参考值范围。

53

解：因肺活量仅过低属异常，故取单侧下限。肺活量的95%参考值范围为：下限：即该地估计该地小学生中9岁男孩的肺活量的95%参考值范围为不低于1.183L。54例.测得某年某地282名正常人的尿汞值如下表所示，试制定正常人尿汞的95%参考值范围。55表1.某年某地282名正常人的尿汞值(μg/L)测量结果尿汞值频数f累计频数Σf

累计频率(%)0.0~454516.08.0~6410938.616.0~9620572.724.0~3824386.232.0~2026393.340.0~1127497.248.0~527998.956.0~228199.664.0~72.01282100.056解：正常人的尿汞值为偏态分布，且过高为异常，故用百分位数法计算，且取单侧上限。其95%参考值范围为：上限：即该地正常人尿汞的95%参考值范围为不高于43.6μg/L

。57正常人病人假阳性率假阴性率正常人与病人的数据分布重叠示意图(单侧)

583.质量控制意义监控日常工作、科研过程、生产过程中误差的变化，分析变化的趋势是否出现异常，从而引起警觉和注意，以便分析原因，并及时采取措施。依据：实验中的检测误差服从正态分布。59质量控制图(qualitycontrolchart)UCL(上控制限)UWL(上警戒限)CL(中心线)LWL(下警戒限)LCL(下控制限)样本编号、取样时间+2.58SD+1.96SD

-1.96SD-2.58SD60图4.9控制图示