第五章 导数及其应用（知识归纳+题型突破）（解析版）

第五章导数及其应用（知识归纳+题型突破）1．通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率．2．会在具体情境中，说明平均变化率的实际意义．3．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．4．会求简单函数在某点处的导数及其图象在该点处的切线方程．5．理解导函数的定义，能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数，并归纳得出一般幂函数的导数公式．6．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．7．理解函数的和、差、积、商的求导法则；8．能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．9．了解复合函数的复合过程．10．能利用复合函数的求导法则求简单函数的导数．11．借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．12．能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．13．借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．14．能利用导数求某些函数的极大值、极小值．15．会求给定定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．16．体会导数与最大(小)值的关系．17．能应用导数解决函数的实际应用问题．1．平均变化率函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为eq\f(fx2－fx1,x2－x1)．我们利用函数的平均变化率来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．2．平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义是经过曲线y＝f(x)上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线PQ的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．3．函数f(x)在点x0附近的平均变化率对于函数f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则得函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)．其中Δx称作自变量的改变量，Δy称作函数值的改变量．4．曲线上一点处的切线如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C．当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．5．瞬时速度与瞬时加速度瞬时速度一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率eq\f(St0＋Δt－St0,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率瞬时加速度一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率eq\f(vt0＋Δt－vt0,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率6．函数在一点处的导数设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．7．导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．8．导函数(1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)，在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称f(x)的导数．(2)f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．9．几个一般函数的导数原函数导函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)f′(x)＝_k_f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝3x2f(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))10．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_x11．导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)，则(1)[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)；(2)[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)；(3)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)；(4)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(5)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x)(g(x)≠0)．12．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．13．复合函数的求导法则若y＝f(u)，u＝ax＋b，则yx′＝yu′·ux′，即yx′＝yu′·a．14．导数与函数单调性的关系一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0f(x)为该区间上的增函数f′(x)<0f(x)为该区间上的减函数15．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．16．极大值与极大值点一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值，称x1为函数f(x)的一个极大值点．17．极小值与极小值点一般地，若存在δ>0，当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有f(x)≥f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值，称x2为函数f(x)的一个极小值点．18．极值与极值点函数的极大值、极小值统称为函数的极值，函数的极大值点、极小值点统称为函数的极值点．19．函数的极值与导数的关系(1)极大值与导数之间的关系xx1左侧x1x1右侧f′(x)f′(x)>0f′(x)＝0f′(x)<0f(x)极大值f(x1)(2)极小值与导数之间的关系xx2左侧x2x2右侧f′(x)f′(x)<0f′(x)＝0f′(x)>0f(x)极小值f(x2)20．最大值与最小值(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值．最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值唯一．(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值．最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值唯一．题型一求函数的平均变化率【例1】(1)已知函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快；(2)已知函数f(x)＝x2＋1，求f(x)在区间[2,2＋Δx]上的平均变化率．【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为eq\f(f2－f1,2－1)＝eq\f(2＋\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1))),1)＝eq\f(1,2)；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为eq\f(f5－f3,5－3)＝eq\f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝eq\f(14,15)．因为eq\f(1,2)<eq\f(14,15)，所以函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．(2)f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2＋1－(22＋1)＝4Δx＋(Δx)2，所以f(x)在区间[2,2＋Δx]上的平均变化率为eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(4Δx＋Δx2,Δx)＝4＋Δx．思维升华求函数平均变化率的三个步骤第一步：求自变量的改变量x2－x1；第二步：求函数值的改变量f(x2)－f(x1)；第三步：求平均变化率eq\f(fx2－fx1,x2－x1)．巩固训练1．若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于________．【答案】2【解析】由题意得eq\f(m2－c－12－c,m－1)＝3，所以m＝2(m＝1舍去)．2．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．【解析】因为函数y＝f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(－2＋Δx2＋2＋Δx－－4＋2,Δx)＝eq\f(－3Δx－Δx2,Δx)＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2．又因为Δx>0，所以Δx>0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．题型二利用定义求导数【例2】(1)若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则eq\o(lim,\s\do4(Δh→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h,h)等于()A．f′(x0)B．2f′(x0)C．－2f′(x0)D．0(2)已知f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，则m的值等于()A．－4 B．2C．－2 D．±2【答案】(1)B(2)D【解析】(1)∵Δx＝(x0＋h)－(x0－h)＝2h，∴eq\o(lim,\s\do4(Δh→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h,h)＝2eq\o(lim,\s\do4(Δh→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h,2h)＝2f′(x0)．(2)∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fm＋Δx－fm,Δx)＝eq\f(\f(2,m＋Δx)－\f(2,m),Δx)＝eq\f(－2,mm＋Δx)，∴f′(m)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－2,mm＋Δx)＝－eq\f(2,m2)，∴－eq\f(2,m2)＝－eq\f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2．思维升华1．求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；(3)求极限eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)．以上三个步骤可简称为“差、商、极限”．2．求函数在某一点处的导数，还可以先求出函数的导数，再计算这点的导数值．巩固训练1．已知函数y＝f(x)＝x－eq\f(a,x)在x＝1处的导数f′(1)＝2，则a的值为________．【答案】1【解析】∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(a,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,1)))＝Δx＋a－eq\f(a,1＋Δx)＝Δx＋eq\f(aΔx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(aΔx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(a,1＋Δx)，∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a,1＋Δx)))＝1＋a＝2，∴a＝1．2．已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，则x0的值为________．【答案】1【解析】∵f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(3×x0＋Δx2－3x\o\al(2,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(6x0＋3Δx)＝6x0＝6，∴x0＝1．题型三导数的几何意义及应用【例3】已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋x．(1)求曲线C在点(1,2)处切线的斜率及切线方程；(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．【解析】因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x＋Δx3＋x＋Δx－x3－x,Δx)＝3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2，所以f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2]＝3x2＋1．(1)曲线C在点(1,2)处切线的斜率为k＝f′(1)＝3×12＋1＝4．所以曲线C在点(1,2)处的切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0．(2)曲线C在任意一点处切线的斜率为k＝f′(x)＝tanα，所以tanα＝3x2＋1≥1．又α∈[0，π)，所以α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))．思维升华由导数的定义知，求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；(3)令Δx无限趋近于0，求得导数．巩固训练1．用割线逼近切线的方法求函数f(x)＝x2在x＝－2处的切线的斜率，并画出曲线f(x)＝x2在点(－2,4)处的切线．【解析】f(x)＝x2在区间[－2，－2＋Δx]上割线的斜率为eq\f(－2＋Δx2－－22,Δx)＝eq\f(－4Δx＋Δx2,Δx)＝－4＋Δx．当Δx趋近于0时，函数f(x)＝x2在区间[－2，－2＋Δx]上割线的斜率趋近于－4，所以函数f(x)＝x2在x＝x0处的切线斜率k0＝－4．曲线f(x)＝x2在点(－2,4)处的切线为直线l，如图．2．已知抛物线y＝2x2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?【解析】设抛物线上任意一点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2．∴eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx．当Δx无限趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)无限趋近于4x0．即f′(x0)＝4x0．(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴切线的斜率为tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝eq\f(1,4)，该点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(9,8)))．(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴切线的斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴切线的斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．题型四利用求导公式求函数的导数【例4】求下列函数的导数：(1)y＝x0；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x；(3)y＝eq\f(1,\r(3,x2))；(4)y＝log3x；(5)y＝2cos2eq\f(x,2)－1．【解析】(1)y′＝0．(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xlneq\f(1,3)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln3．(3)因为y＝eq\f(1,\r(3,x2))＝x，所以y′＝－eq\f(2,3)x＝－eq\f(2,3)x．(4)因为y＝log3x，所以y′＝eq\f(1,xln3)．(5)因为y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx．思维升华若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．有以下常见类型及解题技巧：(1)对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和差形式．(2)对于根式型函数，可考虑进行有理化变形．(3)对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式．(4)对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．巩固训练1．下列运算正确的是()A．(x5)′＝x5ln5B．(lgx)′＝eq\f(1,x)C．(π5)′＝5π4D．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)【解析】选D对于A，因为(x5)′＝5x4，所以A错误；对于B，因为(lgx)′＝eq\f(1,xln10)，所以B错误；对于C，因为(π5)′＝0，所以C错误；对于D，因为(log2x)′＝eq\f(1,xln2)，所以D正确．2．求下列函数的导函数．(1)y＝10x；(2)y＝logeq\f(1,2)x；(3)y＝eq\r(4,x3)；(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2－1．【解析】(1)y′＝(10x)′＝10xln10．(2)y′＝(logeq\f(1,2)x)′＝eq\f(1,xln\f(1,2))＝－eq\f(1,xln2)．(3)∵y＝eq\r(4,x3)＝xeq\f(3,4)，∴y′＝(xeq\f(3,4))′＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4\r(4,x))．(4)∵y＝(sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2))2－1＝sin2eq\f(x,2)＋2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx．题型五与切线方程有关的问题【例5】(1)若直线y＝eq\f(1,4)x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为()A．4 B．ln4＋1C．ln4－1 D．ln4(2)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq\f(1,x)(x>0)在点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．【解析】(1)∵y＝lnx的导数y′＝eq\f(1,x)，∴令eq\f(1,x)＝eq\f(1,4)，得x＝4，∴切点为(4，ln4)．代入直线y＝eq\f(1,4)x＋b，得b＝ln4－1．(2)y＝ex的导数为y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为k1＝e0＝1．设P(m，n)，y＝eq\f(1,x)(x>0)的导数为y′＝－eq\f(1,x2)(x>0)，曲线y＝eq\f(1,x)(x>0)在点P处的切线的斜率为k2＝－eq\f(1,m2)(m>0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．【答案】(1)C(2)(1,1)思维升华1．利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；(2)若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．2．求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤巩固训练1．函数y＝－eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))处的切线方程是()A．y＝4x B．y＝4x－4C．y＝4x＋4 D．y＝2x－4【解析】选B∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))′＝x－2，∴k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＝4，∴切线方程为y＋2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即y＝4x－4．2．若曲线y＝eq\r(x)在点P(a，eq\r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．【答案】4【解析】因为y′＝eq\f(1,2\r(x))，所以切线方程为y－eq\r(a)＝eq\f(1,2\r(a))(x－a)，令x＝0，得y＝eq\f(\r(a),2)，令y＝0，得x＝－a，由题意知eq\f(1,2)·eq\f(\r(a),2)·a＝2，所以a＝4．题型六利用运算法则求函数的导数【例6】求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(1,5)x5＋eq\f(4,3)x3；(2)y＝3x＋lgx；(3)y＝(x2＋1)(x－1)；(4)y＝3x2＋xcosx；(5)y＝eq\f(ex,x＋1)；(6)y＝xtanx．【解析】(1)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x5＋\f(4,3)x3))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x5))′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)x3))′＝x4＋4x2．(2)y′＝3xln3＋eq\f(1,xln10)．(3)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝3x2－2x＋1．(4)y′＝(3x2＋xcosx)′＝(3x2)′＋(xcosx)′＝6x＋x′cosx＋x(cosx)′＝6x＋cosx－xsinx．(5)y′＝eq\f(ex′x＋1－x＋1′ex,x＋12)＝eq\f(exx＋1－ex,x＋12)＝eq\f(xex,x＋12)．(6)y′＝(x·tanx)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xsinx,cosx)))′＝eq\f(xsinx′cosx－xsinxcosx′,cos2x)＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x,cos2x)＝eq\f(sinxcosx＋x,cos2x)．思维升华利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．(2)如果求导式比较复杂，要善于分析函数解析式的结构特点，需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．巩固训练1．求下列函数的导数．(1)y＝xlog4x；(2)y＝eq\f(ex＋1,ex－1)；(3)y＝xlneq\r(x)．【解析】(1)y′＝(x)′log4x＋x(log4x)′＝log4x＋x·eq\f(1,xln4)＝log4x＋eq\f(1,ln4)．(2)y′＝eq\f(ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′,ex－12)＝eq\f(exex－1－ex＋1ex,ex－12)＝－eq\f(2ex,ex－12)．(3)y＝x·lnx＝eq\f(1,2)xlnx，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)xlnx))′＝eq\f(1,2)(x)′·lnx＋eq\f(1,2)x·(lnx)′＝eq\f(1,2)lnx＋eq\f(1,2)．题型七导数运算的应用【例7】(1)设f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝eq\f(1,e)，则a＝________，b＝________．(2)f′(x)为f(x)的导数，若f(x)＝eq\r(3)f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))sinx＋cosx，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________，f(x)max＝________．【解析】(1)f′(x)＝(a·ex)′＋(blnx)′＝a·ex＋eq\f(b,x)，由f′(1)＝e，f′(－1)＝eq\f(1,e)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ae＋b＝e，,\f(a,e)－b＝\f(1,e)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，))所以a，b的值分别为1,0．(2)∵f′(x)＝eq\r(3)f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))cosx－sinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(3,2)f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))－eq\f(1,2)，得f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝1，∴f(x)＝eq\r(3)sinx＋cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，∴f(x)max＝2．【答案】(1)10(2)12思维升华(1)求函数在某点的导数值一般是先求出函数的导数，再代入自变量的值求导数值．(2)利用导数值求解参数问题，首先求出函数的导数，然后根据已知的某一个(或多个)点的导数值或函数值建立关于参数的方程(或方程组)，通过解方程(或方程组)求得参数值．巩固训练1．已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝()A．－4 B．4C．－2 D．2【解析】选A由f(x)＝x2＋2xf′(1)，得f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，则f′(1)＝2×1＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2，令x＝0，所以f′(0)＝2×0＋2f′(1)＝－4．故选A．2．已知函数f(x)，g(x)满足f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝eq\f(fx＋2,gx)，则h′(5)＝________．【答案】eq\f(5,16)【解析】由题意得，h′(x)＝eq\f(f′xgx－[fx＋2]g′x,[gx]2)，由f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，得h′(5)＝eq\f(f′5g5－[f5＋2]g′5,[g5]2)＝eq\f(3×4－5＋2×1,42)＝eq\f(5,16)．3．若函数f(x)＝eq\f(ex,x)在x＝c(c≠0)处的导数值与函数值互为相反数，则c的值为________．【答案】eq\f(1,2)【解析】∵f(x)＝eq\f(ex,x)，∴f(c)＝eq\f(ec,c)，又f′(x)＝eq\f(ex·x－ex,x2)＝eq\f(exx－1,x2)，∴f′(c)＝eq\f(ecc－1,c2)，依题意知f(c)＋f′(c)＝0，∴eq\f(ec,c)＋eq\f(ecc－1,c2)＝0，∴2c－1＝0得c＝eq\f(1,2)．题型八与切线相关的问题【例8】(1)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．【答案】x－y－1＝0【解析】(1)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，∴设切点坐标为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx(x>0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x0lnx0，,y0＋1＝1＋lnx0x0，))解得x0＝1，y0＝0．∴切点坐标为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln1＝1．∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0．(2)∵曲线y＝ax2＋bx＋c过P(1,1)点，∴a＋b＋c＝1． ①∵y′＝2ax＋b，当x＝2时，y′＝4a＋b．∴4a＋b＝1． ②又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1． ③联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9．思维升华关于函数的导数的应用及其解决方法应用求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用方法先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用巩固训练1．若过函数f(x)＝lnx＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)【解析】选B设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f′(x)＝eq\f(1,x)＋a，故f′(x0)＝eq\f(1,x0)＋a＝2，得a＝2－eq\f(1,x0)，由题意知x0>0，所以a＝2－eq\f(1,x0)<2．2．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．【答案】－4【解析】易知抛物线y＝eq\f(1,2)x2上的点P(4,8)，Q(－2,2)，如图所示．且y′＝x，则过点P的切线方程为y＝4x－8，过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立两个方程解得交点A(1，－4)，所以点A的纵坐标是－4．3．已知函数f(x)＝eq\f(alnx,x＋1)＋eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a，b的值分别为________．【答案】1,1【解析】f′(x)＝eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x)－lnx)),x＋12)－eq\f(b,x2)．由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－eq\f(1,2)，且过点(1,1)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1，,f′1＝－\f(1,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,\f(a,2)－b＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.))题型九复合函数的概念【例9】指出下列函数的复合关系．(1)y＝(a＋bx)5；(2)y＝lneq\r(3,ex＋2)；(3)y＝3log2(x2－2x＋3)；(4)y＝sin3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))．【解析】函数的复合关系分别是：(1)y＝u5，u＝a＋bx．(2)y＝lnu，u＝eq\r(3,v)，v＝ex＋2．(3)y＝3log2u，u＝x2－2x＋3．(4)y＝u3，u＝sinv，v＝x＋eq\f(1,x)．思维升华要对复合函数分层，应先准确把握住复合函数的特点，才能选择中间变量，写出构成它的内、外层函数．巩固训练1．下列函数不可以看成是复合函数的是()A．y＝xcosx B．y＝eq\f(1,lnx)C．y＝(2x＋3)4 D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))【解析】选AB中函数y＝eq\f(1,lnx)是由函数f(u)＝eq\f(1,u)和函数u＝φ(x)＝lnx复合而成的，其中u是中间变量；C中函数y＝(2x＋3)4是由函数f(u)＝u4和函数u＝φ(x)＝2x＋3复合而成的，其中u是中间变量；D中函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))是由函数f(u)＝sinu和函数u＝φ(x)＝eq\f(π,2)－x复合而成的，其中u是中间变量．题型十求复合函数的导数【例10】求下列函数的导数：(1)y＝log2(2x＋1)；(2)y＝e3x＋2；(3)y＝eq\f(1,\r(1－2x))；(4)y＝eq\f(ln3x,ex)；(5)y＝e－x·sin2x；(6)y＝ex2．【解析】(1)设y＝log2u，u＝2x＋1，则yx′＝yu′ux′＝eq\f(2,uln2)＝eq\f(2,2x＋1ln2)．(2)设y＝eu，u＝3x＋2，则yx′＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2．(3)y＝(1－2x)，设y＝u，u＝1－2x，则yx′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u))′(1－2x)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)u))·(－2)＝(1－2x)．(4)∵(ln3x)′＝eq\f(1,3x)×(3x)′＝eq\f(1,x)，∴y′＝eq\f(ln3x′ex－ln3xex′,ex2)＝eq\f(\f(1,x)－ln3x,ex)＝eq\f(1－xln3x,xex)．(5)y′＝(e－x)′sin2x＋e－x·(sin2x)′＝－e－xsin2x＋2e－xcos2x．(6)设y＝eu，u＝x2，则yu′＝eu，ux′＝2x，于是yx′＝yu′·ux′＝ex2·2x，即y′＝2xex2．思维升华1．求复合函数的导数的步骤2．求复合函数的导数的注意点(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁，复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．巩固训练1．函数y＝e－2x＋1cos(－x2＋x)的导数为()A．y′＝e－2x＋1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2sinx2－x＋2x－1cosx2－x))B．y′＝－e－2x＋1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cosx2－x＋2x－1sinx2－x))C．y′＝－e－2x＋1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2sinx2－x＋2x－1cosx2－x))D．y′＝e－2x＋1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cosx2－x＋2x－1sinx2－x))【答案】B【解析】∵y＝e－2x＋1cos(－x2＋x)，∴y′＝(e－2x＋1)′cos(－x2＋x)＋e－2x＋1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos－x2＋x))′＝－2e－2x＋1cos(－x2＋x)－e－2x＋1sin(－x2＋x)·(－2x＋1)＝－e－2x＋1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cos－x2＋x＋－2x＋1sin－x2＋x))＝－e－2x＋1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cosx2－x＋2x－1sinx2－x))．2．求下列函数的导数．(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))；(3)y＝ln(4x－1)；(4)y＝xcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))；(5)y＝xeq\r(1＋x2)；(6)y＝sin3x＋sinx3．【解析】(1)y′＝4(2x－1)3·(2x－1)′＝8(2x－1)3．(2)设y＝cosu，u＝2x－eq\f(π,4)，则yu′＝－sinu，ux′＝2，于是yx′＝yu′·ux′＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，即y′＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))．题型十一利用导数求函数的单调区间【例11】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝eq\f(ex,x－2)；(3)f(x)＝－x3＋3x2．【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝eq\f(2x2－1,x)．令f′(x)>0，得x>eq\f(\r(2),2)，令f′(x)<0，得0<x<eq\f(\r(2),2)，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))．(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，f′(x)＝eq\f(exx－3,x－22)．令f′(x)>0，即x－3>0，得x>3；令f′(x)<0，得x＜2或2＜x＜3．∴f(x)在(－∞，2)和(2,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)，单调递增区间为(3，＋∞)．(3)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋6x．令f′(x)>0，得0<x<2；令f′(x)<0，得x<0或x>2．∴f(x)在(0,2)上单调递增，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．思维升华求可导函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)，并写出解集；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．巩固训练1．函数f(x)＝lnx－4x＋1的递增区间为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B．(0,4)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))【解析】选Af(x)＝lnx－4x＋1的定义域是{x|x>0}，f′(x)＝eq\f(1,x)－4＝eq\f(1－4x,x)，当f′(x)>0时，解得0<x<eq\f(1,4)，故选A．2．设函数f(x)＝ex－ax－2，求函数f(x)的单调区间．【解析】f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a．若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0．所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)的递增区间为(－∞，＋∞)，无递减区间；当a>0时，f(x)的递减区间为(－∞，lna)，递增区间为(lna，＋∞)．题型十二由函数的单调性求参数【例12】若函数h(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围．【解析】因为h(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝eq\f(1,x)－ax－2．法一：因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝eq\f(1,x)－ax－2≤0恒成立，即a≥eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)恒成立．令G(x)＝eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)，x∈[1,4]，则a≥G(x)最大值，而G(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))2－1．因为x∈[1,4]，所以eq\f(1,x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，所以G(x)最大值＝－eq\f(7,16)(此时x＝4)，所以a≥－eq\f(7,16)．当a＝－eq\f(7,16)时，h′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(7,16)x－2＝eq\f(16＋7x2－32x,16x)＝eq\f(7x－4x－4,16x)．因为x∈[1,4]，所以h′(x)＝eq\f(7x－4x－4,16x)≤0，即h(x)在[1,4]上为减函数，故实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,16)，＋∞))．法二：因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以h′(1)≤0且h′(4)≤0，解得a≥－eq\f(7,16)．思维升华利用导数法求参数的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，eq\x(\a\al(函数fx在区间a，b,上单调递增减))→eq\x(\a\al(f′x≥0f′x≤0,在区间a，b上恒成立))→eq\x(\a\al(利用分离参数法或函数,性质求解恒成立问题))→eq\x(\a\al(对等号单,独验证))(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．巩固训练1．若函数f(x)＝ex(sinx＋a)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，则实数a的取值范围是()A．[eq\r(2)，＋∞) B．(1，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－eq\r(2)，＋∞)【解析】选C∵f(x)＝ex(sinx＋a)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴f′(x)＝ex(sinx＋cosx＋a)，由于函数f(x)＝ex(sinx＋a)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，则∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，f′(x)≥0，∴sinx＋cosx＋a≥0，得a≥－sinx－cosx＝－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，当－eq\f(π,2)<x<eq\f(π,2)时，－eq\r(2)≤－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))<1，∴a≥1，因此，实数a的取值范围是[1，＋∞)，故选C．2．已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－eq\f(1,ex)，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))【解析】易知，函数f(x)的定义域为R．f(x)为奇函数，又f′(x)＝3x2－2＋ex＋eq\f(1,ex)≥3x2－2＋2＝3x2≥0(当且仅当x＝0时，取“＝”)，从而f(x)在R上单调递增，所以f(a－1)＋f(2a2)≤0⇔f(a－1)≤f(－2a2)⇔－2a2≥a－1，解得－1≤a≤eq\f(1,2)．题型十三对极值概念的理解【例13】(多选)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下列说法正确的为()A．函数f(x)在区间(1，＋∞)内是单调递增的B．函数f(x)在x＝－1处取得极大值C．函数f(x)在x＝－eq\f(1,2)处取得极大值D．函数f(x)在x＝1处取得极小值【答案】ABD【解析】从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，于是f′(x)>0，故f(x)在区间(1，＋∞)内是单调递增的，A正确；当x∈(－∞，－1)时，xf′(x)<0，所以f′(x)>0，当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，所以f′(x)<0，故函数f(x)在x＝－1处取得极大值，B正确；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(－1,0)内是单调递减的，C错误；当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，于是f′(x)<0，故f(x)在区间(0,1)内是单调递减的，而在区间(1，＋∞)内是单调递增的，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，D正确．思维升华解决函数极值与函数、导函数图象的关系问题时的注意点(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点左、右两侧导函数的值是怎样变化的．(2)对于函数的图象，重点考查函数在哪个区间上递增，在哪个区间上递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点．巩固训练1．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点【解析】选D由极值的定义易知A错；因为函数f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，所以－x0是f(－x)的极大值点，B错；因为函数f(x)与－f(x)的图象关于x轴对称，所以x0是－f(x)的极小值点，C错；因为函数f(x)与－f(－x)的图象关于原点对称，所以－x0是－f(－x)的极小值点，D正确．2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)【解析】选D由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0．由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．题型十四求函数的极值【例14】求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝x－alnx(a∈R)．【解析】(1)f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22．(2)由f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘a－alna↗从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．思维升华1．求可导函数极值的三个步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)的值在方程f′(x)＝0的根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．两个注意点(1)不要忽视函数的定义域；(2)要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．巩固训练1．已知函数f(x)＝eq\f(x2＋x－1,ex)．(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的方程；(2)求函数y＝f(x)的极值．【解析】(1)函数f(x)＝eq\f(x2＋x－1,ex)定义域为R，且f′(x)＝eq\f(x2＋x－1′·ex－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋x－1))ex′,ex2)＝eq\f(2x＋1·ex－x2＋x－1·ex,e2x)＝eq\f(－x2＋x＋2,ex)＝eq\f(－x＋1x－2,ex)，∵曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率k＝f′(0)＝2，又f(0)＝－1，则切点为(0，－1)，∴所求切线方程为y－(－1)＝2(x－0)，即2x－y－1＝0．(2)∵f′(x)＝eq\f(－x＋1x－2,ex)，又ex>0，由f′(x)＝0得x＝－1或x＝2，当x∈(－∞，－1)和(2，＋∞)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数，由f(x)的单调性知函数的极小值为f(－1)＝－e，极大值为f(2)＝eq\f(5,e2)．2．已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋1，a∈R．求此函数的极值．【解析】函数的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝1－eq\f(a,x2)＝eq\f(x2－a,x2)．①当a≤0时，显然f′(x)>0，函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，此时函数无极值．②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝±eq\r(a)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－eq\r(a))－eq\r(a)(－eq\r(a)，0)(0，eq\r(a))eq\r(a)(eq\r(a)，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)↗极大值↘↘极小值↗由上表可知，当x＝－eq