第14讲 圆锥曲线综合问题-最值与存在性【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

第14讲圆锥曲线综合问题——最值与存在性【人教A版2019】·模块一最值问题及其常见解法·模块二存在性问题及其常见解法·模块三课后作业模块一模块一最值问题及其常见解法1.圆锥曲线中的最值问题的解题思路(1)建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)；(2)构建不等关系.【注意】：若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，一般可采用函数模型；若求解参量(诸如k、m等)、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路.【考点1椭圆中的最值问题】【例1.1】（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知椭圆C:y2a2+x2b2=1a>b>0的长轴长为26，且与x轴的一个交点是(-2,0)，过点P1A．1 B．2 C．2 D．2【解题思路】由题意可求得椭圆方程为y26+x22=1，由PA+PB=0，得点P为线段【解答过程】由题意得2a=26,b所以椭圆方程为y2因为3226+1因为PA+PB=0，所以点设A(x1y126所以(y所以3(y2-所以y2所以直线AB为y-32因为M为直线AB上任意一点，所以OM的最小值为点O到直线AB的距离d=故选：B.【例1.2】（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆C：x25+y24=1的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1，F2分别作弦A．1655,25 B．1655【解题思路】分直线斜率不存在和存在两种情况，当直线AB的斜率不存在，可求出点A,B的坐标，从而可得AF1+CF2=AB，当直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y【解答过程】解：由椭圆的对称性可知AB=CD，AF设点Ax1,若直线AB的斜率不存在，则点A-1,4所以AB=855，所以若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=联立y=k(x+1),x2则x1又AF同理可得BF所以AF1+所以AF综上，AF1+故选:C.【变式1.1】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知椭圆C:x2a2+3y2a2=1(a>0)，点P、A．13a2 B．23a2【解题思路】设Racosθ,a3sinθ,OP:k1x-y=0,OQ【解答过程】

由题可设Ra则R到直线OP的距离为k1acosθ-a3所以k1、k2是关于该方程即cos2θ-又k1x-y=0所以OP==1当且仅当k1=k2=故选：B.【变式1.2】（2023春·广东·高二统考阶段练习）已知A，B两点的坐标分别为-2,0，2,0，O是坐标原点，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-34．斜率为l的直线与点M的轨迹交于P，Q两点，则△A．12 B．32 C．1 D【解题思路】先设点M的坐标求出轨迹方程，再应用弦长公式求出PQ的值，由面积公式应用基本不等式求出最大值即可【解答过程】设Mx,y因为Mx,y满足所以有yxM的轨迹为x2设直线PQ:联立x2可得7x2x1PQ=点O到直线PQ:y=S故选：D.【考点2双曲线中的最值问题】【例2.1】（2023·全国·高二专题练习）设双曲线E:x2a2-y2b(1)求E的方程；(2)过F2作两条相互垂直的直线l1和l2，与E的右支分别交于A，C两点和B，D【解题思路】（1）根据题意得到ba=12，结合（2）设直线l1:y=kx-5，l2:y=-【解答过程】（1）由题意，得E:x2因为双曲线E的渐近线方程为y=±x2，所以b又因为F1F2=2a故E的方程为x2（2）根据题意，直线l1，l2的斜率都存在且不为设直线l1:y=k因为l1，l2均与E的右支有两个交点，所以k>12将l1的方程与x24设Ax1,y1所以AC=1+用-1k替换k，可得所以SABCD令t=k2则SABCD当1t=1故四边形ABCD面积的最小值为329【例2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，∠F1QF2的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点【解题思路】（1）由题意可知：△ARS是正三角形，则利用点A到渐近线bx-ay=0（2）方法①设点M(x0,y0)，写出直线MN方程与椭圆方程联立，利用韦达定理把MEMN，表示为点M的纵坐标的函数进行求解；方法②设直线l【解答过程】（1）由题意可知：△ARS是正三角形，所以点A到渐近线bx-ay=0所以abc=32所以双曲线标准方程是：x（2）方法①：由双曲线的光学性质，可知点Q处的切线即为∠F1设点M(x0,设直线l的方程是：y=由y=kx+∴3k2∴-x∵-y0=-kx0+t，x0即：x0由点到直线的距离公式得：ME=直线MN方程：y-y由y=-3所以x0+xN所以y所以MN所以MEMN=6(24y0当1t=13，即y0方法②：如图，由题意知点Q在双曲线左支上，设M(x0易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，记a=1,k，又l2为因为x023-y同理QF2=2代入QF1⋅化简得x0=3ky0.又x由x0=3ky0x02所以M3k3所以直线l的方程为y=kx+由点到直线的距离公式得：ME=又直线MN的斜率为-1k，且过点M，所以直线x=-将其与x23-设Nx1,y1易知点N在第四象限，所以y0y1MN=故MEMN=当且仅当3-k2=3所以当且仅当k=1时，MEMN的最大值为【变式2.1】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C:x2a2-(1)求C的方程；(2)设点A为C的左顶点，若过点3,0的直线l与C的右支交于P,Q两点，且直线AP,AQ与圆O:x2+y2=a2分别交于【解题思路】（1）运用双曲线的焦点到渐近线的距离为b，双曲线的离心率公式计算即可.（2）联立直线PQ方程与双曲线方程，运用韦达定理计算可得kAP⋅kAQ=-12，设出直线AP、AQ方程，联立双曲线方程可求得yp、yQ、【解答过程】（1）由题可知bx-ay=0是双曲线C所以右焦点到渐近线的距离d=又因为c2=a2+由离心率e=ca所以双曲线C的方程为x2（2）如图所示，

由（1）知，A(-1,0)设直线lPQ的方程：x由x=ty+3,因为直线l与双曲线C的右支交于两点，所以t2-1≠0,y1所以kAP⋅k设AP:x=所以1m1⋅1m又因为m2=2由x=m1所以yP=2由x=m1所以yM=2所以S△APQ=m12令n=m12+所以S△令fn因为fn在区间4,5所以fn的取值范围为9,+又因为S1所以S1S2【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1，（a(1)求C的标准方程；(2)过点M(-2,0)且斜率不为0的直线l与C的左、右两支分别交于点A,B，点N在线段AB上，且|MA||MB|=|AN||NB|，P【解题思路】（1）根据题意列式求解a,（2）设直线l的方程及交点坐标，利用韦达定理求P,N的坐标，进而可得k【解答过程】（1）因为双曲线C:x2a2由双曲线过点(e,3)，且e=即c2-9故双曲线C的标准方程为x2（2）设直线l:my=x+2(由题意可知x1联立方程x=my+2由题意可得3m2-1≠0Δ则y1+y可得y4=y则P23m因为|MA||MB|则x3即N-12所以k1k2∴k1+k2≥2k1此时m=1或-1，均满足l与∴k1+k【考点3抛物线中的最值问题】【例3.1】（2023秋·河南信阳·高三校考期末）已知点P是抛物线C:y2=8x上任意一点，则点P到抛物线CA．72 B．4 C．92 D【解题思路】点P到直线l:x-3y+7=0的距离为|PA|，到准线x=-2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|【解答过程】解：由抛物线C:y2准线方程为x=-2点P到直线l:x-点P到x=-2的距离为|由抛物线的定义知：|PB所以点P到直线l:x-3y且点F(2,0)到直线l:x所以点P到直线l:x-3y故选：C．【例3.2】（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）设抛物线x2=4y的准线为l，定点M32,0，过准线l上任意一点P作抛物线的切线PA,PB，A,B为切点，过原点A．12 B．1 C．32 D【解题思路】切点A(x1,y1),B(x2,y2【解答过程】因为抛物线x2=4y的准线为l所以过点P作抛物线的切线PA,PB，设切点所以y'=12x，则kPA=12所以x=x1又因为点P在准线y=-1上，则x1x设直线AB的方程为：y=kx+所以x1x2=-4m，则m=1，所以直线AB过定点(0,1)，又因为焦点F(0,1)又因为OF的中点为Q(0,12所以MHmax故选：C.【变式3.1】（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px的准线与圆M:x+12+y2=1相切于点A，直线ABA．0,8 B．2-2C．4-42,4+42【解题思路】根据抛物线C的准线与圆M相切可求得p的值，可得出抛物线C的方程，求出点A的坐标，设出直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线C的方程联立，求出点B的坐标，设点N的坐标为N-1+cosθ【解答过程】抛物线C:y2

圆M的圆心为M-1,0，半径为1，直线x=-p2因为p≠0，解得p=4，所以，抛物线C的方程为故抛物线C:y2=8x若直线AB与x轴重合，则直线AB与抛物线C不相切，不合乎题意，设直线AB的方程为x=my-2，联立则Δ=64m2不妨设点B在第一象限，则m=1，则有y2-此时x=y-2=2，即点因为点N在圆M上，设点N-1+cos所以，AB⋅故选：C.【变式3.2】（2023秋·江西南昌·高二校考期中）设点P(s,t)为抛物线y2=x上的动点，F是抛物线的焦点，过点P作圆M:(x-2)A．33 B．23 C．3+2【解题思路】设P(t2,t)，设切线方程为x=m(y-t)+t2，由圆心到切线距离等于半径得关于m这样有y1+y2=m1+m2-2t，y1y2=(【解答过程】由题意，因为P(s,t)在抛物线y2=x上，故设则2+mt-tm1,m2是此方程的两根，则设A(y12,由x=m1(y-t同理y2直线AB方程是y-y1则AB=1+(y1+y又y1+y所以S△PAB=12令u=t2u+4u1u2-所以u=2，即t=3时，S故选：A．模块二模块二存在性问题及其常见解法1．圆锥曲线中的存在性问题的求解策略：(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律；(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若在假设存在的前提下可以求出与已知、定理或公理相同的结论，则说明假设成立；否则说明假设不成立.【考点4椭圆中的存在性问题】【例4.1】（2023秋·山东·高三校联考开学考试）已知椭圆C1:x24+y23(1)设O为坐标原点，线段OF上是否存在点Nn,0，使得QP⋅(2)过点P04,0且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线【解题思路】（1）设直线PQ的方程为y=k(x-1)，k≠0，将直线PQ的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，设线段PQ的中点为Rx0,y（2）当直线AB的斜率不为零时，设直线AB的方程为y=mx-4，m≠0，将直线AB的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，写出直线AE的方程，在直线AE【解答过程】（1）解：由题意，设直线PQ的方程为y=k(联立y=kx+1Δ=-设Px1,y1、Q则x0=x1由QP⋅NP=NQ2-NP又因为R为PQ的中点，则直线NR为直线PQ的垂直平分线，所以，直线NR的方程为y+3k令y=0得点N的横坐标n因为k2∈0,+∞，则3所以，线段OF上存在点Nn,0，使得QP⋅（2）解：当直线AB的斜率不为零时，设直线AB的方程为y=mx联立y=mx-因为过点P04,0且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A、

由Δ=-32m设Ax3,y3、Bx4,则直线AE的方程为y-令y=0得x=-=2x易知，当直线AB斜率为0时，直线AB与x轴重合，此时，点B与点E重合，则直线AE过点1,0.综上所述，直线AE过定点1,0.【例4.2】（2023秋·四川资阳·高二统考期末）已知椭圆E：x2a2+y(1)求E的方程；(2)过E的右焦点的直线l与E交于A，B两点，在直线x=2上是否存在一点D，使得△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出l【解题思路】（1）把两个点的坐标代入方程可得a,（2）先讨论斜率不存在时的情况，利用垂直可得不存在；再讨论斜率存在的情况，利用韦达定理及等腰直角三角形的性质可得也不存在.【解答过程】（1）因为椭圆E经过0,1和-2所以，a=2，则E的方程为x2（2）假设在直线x=2上存在点D，使得△ABD是以AB①当l的斜率不存在时，只有当D点为2,0，才满足以AB为底边的等腰三角形，此时不妨取A1,22，B显然AD与BD不垂直，则△ABD不是等腰直角三角形此时，不符合题意.

②当l的斜率存在时，设l：y=联立方程组y=kx-1则Δ=16设Ax1,y1，B则x1+x所以AB=又可得，x0=2因为△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，所以MD的斜率为-又D点的横坐标为2，MD=所以DM=即1+k2k2⋅2综上，不存在这样的D点，使△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形【变式4.1】（2023·四川成都·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心为O，左、右焦点分别为F1(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点F1，且四边形OAPB是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在.请说明理由【解题思路】（1）作出辅助线，得到MF2//ON，MF2⊥MF（2）先考虑直线斜率不存在时，不合要求，再考虑直线AB的斜率存在时，设为y=kx+2，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出AB中点坐标，进而得到P【解答过程】（1）连接ON，则ON⊥M因为N为MF1的中点，O为F1F2MF

S△MF由椭圆定义可知，MF1+由勾股定理得F1F22=故b2故椭圆方程为C:（2）由题意得F1-2,0，当直线AB此时48+y24由于OA=OB，由对称性可知，P为椭圆左顶点D，但当直线AB的斜率存在时，设为y=联立C:x2Δ=64设Ax1,y1则AB中点坐标为Q-假设存在点P，使得四边形OAPB是平行四边形，则P-将P-8k21+2解得k=±

此时直线AB的方程为y=±【变式4.2】（2023·四川绵阳·统考二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为4，左右顶点分别为A1，(1)若椭圆上存在两点B1，B2关于直线y=(2)过右焦点F2的直线交椭圆于M，N两点，过原点O作直线MN的垂线并延长交椭圆于点Q．那么，是否存在实数k，使得kMN+【解题思路】（1）设Px,y，则kPA1⋅kPA2=-12（2）设lMN:x=sy+2联立x2+2y2【解答过程】（1）由题意得：c=2，A1-a,0kP∵点P在C上，∴y2=b2-b2a2∵c=2，∴a2=8，b2=4设B1x1,y

设lB1B2：y=-Δ=t1+t∴B1，B2中点M23t∴t=-3（2）设lMN:x=syy1+yMN=lOQ:y则Q81+2∴kMN∵kMN+1∴2k∴2k+2=22∴存在k=22，使得k【考点5双曲线中的存在性问题】【例5.1】（2023秋·云南昆明·高三校考阶段练习）已知双曲线C:x2a2-y2b(1)求双曲线C的方程；(2)如果Q为双曲线C右支上的动点，在x轴负半轴上是否存在定点M使得∠QF2【解题思路】（1）利用双曲线的定义求解即可；（2）在x轴负半轴上假设存在点M满足题意，当QF2垂直于x轴时，易得M-1,0，当QF【解答过程】（1）因为点P在双曲线上，所以由双曲线的定义可得PF1又双曲线焦距即2c=4，且a①②③联立解得a=1所以双曲线C的方程为x2（2）假设存在点Mt,0t

设Qx0,当x0=2时，y0所以∠QMF2=45°，于是MF=当x0≠2时，tan∠因为∠QF2将y02=3所以4+2t=-2t-4综上，满足条件的点M存在，其坐标为M-【例5.2】（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知双曲线E:mx2-y2=1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为233，A是直线l：2x+3y=0上不同于原点O的一个动点，斜率为k1的直线AF(1)求k1(2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为kOM，kON，kOP，kOQ，问是否存在点A，满足kOM+kON【解题思路】（1）根据离心率公式求出双曲线方程，再根据斜率公式求解即可；（2）利用韦达定理和斜率公式分别表示出kOM+kON,kOP【解答过程】（1）由题意得,e=ca=所以b2a2=1所以双曲线E：x2所以曲线E的左、右焦点分别为F1-2设Atk1=∴k1（2）

设Mx直线AF1方程为代入双曲线方程可得：1-3k所以x1+x则kOM=k=2=2k=同理kOP即2k1即k1∴k1+k又1k1若k1+∴k1k2=-14，解得k1若k1=-14，k2=1，由∴t=65.若k1=1，k2=-14，由∴t=-65∴存在点A65,-45【变式5.1】（2023秋·广东河源·高三校联考开学考试）已知双曲线E：x2a2-(1)求双曲线E的标准方程；(2)过点P2,0的直线与双曲线E交于A，B两点，O为原点，是否存在直线l，使OA⊥OB成立？若存在，求出直线【解题思路】（1）利用抛物线求得焦点2,0即c=2，再利用离心率求得a（2）分类讨论，设直线方程，与双曲线方程联立，韦达定理，利用OA⊥OB得x1x【解答过程】（1）设E的半焦距为c，因为抛物线y2=8x所以c=2，因为E的离心率为2，所以a=1，所以双曲线E的标准方程为x2（2）当直线l的斜率为0时，显然不合题意；当直线l的斜率不为0时，设直线l：x=my+2m≠±由x=my+23x3m2-则y1+y所以x=m令x1解得m=±53所以存在直线l：3x±5y

【变式5.2】（2023·广东梅州·统考三模）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得EP⋅FQ=EQ【解题思路】（1）由AF=1，BM=3MA，直线OM的斜率为1，求得（2）设直线PQ的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF为∠PEQ的角平分线，可得直线EP,EQ的斜率之和为0【解答过程】（1）设c2=a2+b2因为点M在线段AB上，且满足BM=3MA因为直线OM的斜率为1，所以13+1b3因为AF=1，所以c-a=1，解得a=1所以双曲线C的方程为x2（2）假设在x轴上存在与F不同的定点E，使得EP⋅

当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有EP⋅当直线l的斜率存在且不为0时，设Et,0，直线l的方程为直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，则-33<设Px1,由x2-y23=1x=所以y1+y因为EP⋅FQ=EQ⋅FP，即EPEQ有y1x1-t+所以2k93k2综上所述，存在与F不同的定点E，使得EP⋅FQ=【考点6抛物线中的存在性问题】【例6.1】（2023春·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）已知抛物线C：x2=2pyp>0，过点0,4的直线l交C于P，Q两点，当PQ与x轴平行时，△(1)求C的方程；(2)在y轴上是否存在定点M，使得直线MP，MQ关于y轴对称？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解题思路】（1）由题得xP=x（2）设M0,m，Px1,y1，Qx2,【解答过程】（1）当PQ与x轴平行时，yP=yQ=4，又P，Q所以xP=x因为△OPQ的面积为16，所以12×4所以C的方程为x2（2）设M0,m，Px1,设l：y=代入抛物线方程x2=4y消去y，得x2-4kx由直线MP，MQ关于y轴对称，得kMP而kMP将x1+x2=4k，因此存在定点M满足题意，点M的坐标为0,-4．【例6.2】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C:y2=2px0<p<8的焦点为F，点M4,0，点(1)求抛物线C的标准方程；(2)若过点M的直线与C交于A，B两点，点N4,4与A，B不共线，判断是否存在实数t，使得直线AN，BN与直线x=t交于点P，Q，且以线段PQ为直径的圆过原点，若存在，求出【解题思路】（1）根据抛物线的标准方程和几何关系即可求解；（2）设点后，根据长度关系和几何关系即可求解.【解答过程】（1）

C:y2三角形EMF为等腰三角形，所以E点的横坐标为4+而点E在抛物线上，所以E点的纵坐标为4p所以2解得p=2或-5(舍去所以y2（2）

设P则以PQ为直径的圆的圆心为Gt若该圆经过原点,则原点到G的距离为PQ长度的一半,即t2整理得t2设点A坐标(x1,y1)，点B坐标联立x=所以y2所以y1+y所以直线AN:又因为y1所以y=令x=t得即m=同理可得n由t2所以t2整理得，t2又y1+y所以整理得at即at(上式要对任意a恒成立，则需要4+t所以t=-4【变式6.1】（2023·河南郑州·统考模拟预测）过点Mt，0，斜率为33的直线l与抛物线C：(1)求抛物线C的方程；(2)斜率为-33的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线l'，使得点Q关于l'的对称点Q'恒与P，【解题思路】（1）根据直线与抛物线相切及MN=43列方程求出（2）由题意转化为直线NP，NQ关于l'对称，只需证明两条直线NP，NQ的斜率k1,k2【解答过程】（1）由题意得直线l的方程为y=33设N(与y2=2px因为直线l与C相切，所以-2整理得3p+2t=0，且因为|MN|=1+由3p+2t所以C的方程为y2（2）由（1）得N3,2点Q关于l'的对称点Q'恒与P，N共线，则直线NP，NQ关于

设Px设直线PQ方程为x=-3y+b则Δ=y1所以直线PN斜率k1所以直线QN斜率k2k1所以直线NP，NQ关于直线x=3或y所以存在直线l'，使得点Q关于l'的对称点Q'恒与P且l'的方程为x=3或【变式6.2】（2023春·辽宁朝阳·高二校考阶段练习）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，过点-12,0的动直线l与C的交点为A，B(1)求C的方程；(2)C上是否存在定点P使得kPA+kPB=2p（其中kPA，kPB分别为直线PA【解题思路】（1）联立直线与抛物线方程，设Ax1,y1，B（2）假设在C上存在定点Px0,y0满足题意，设直线l的方程为y=kx+1【解答过程】（1）直线l的斜率为1时，直线l的方程为y=x+12，由设Ax1,y1由定义可知，AF=x1+p2，BF=x2故C的方程为y2（2）假设在C上存在定点Px0,当直线l的斜率不存在或斜率为0时，不合题意；设直线l的方程为y=kx+12，与考虑A,B不重合的一般情况，由Δ=4k设Ax1,y1，B从而kPA+=2即2k+2y所以y0=1，故在C上存在定点P12,1模块三模块三课后作业1．（2023·河北·统考模拟预测）过椭圆C：x24+y23=1上的点Ax1,y1，A．-32 B．-94 C．－【解题思路】利用椭圆的切点弦方程得直线AB的方程为x+ty【解答过程】先证椭圆的切线方程：对于x2a2+y2b证明：当该切线存在斜率时，不妨设其方程为y=a2则Δ=2代入切线方程得n=于是k=-tma整理得：mxa由椭圆方程x24+y23=1设两切线交点P4,t，易得切线PA的方程为切线PB的方程为x2由于点P在切线PA、PB上，则x1=ty1联立方程x24+y23=1由韦达定理得y1即y1⋅y故选：B．2．（2023·全国·高三专题练习）过原点的直线l与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点，F是双曲线的左焦点，过FA．2 B．3 C．2 D．3【解题思路】作出图像，利用PA⋅PB=(PO+OA)⋅(PO+OB)进行转化，根据图像求出【解答过程】如图所示，PA⋅由图可知POmax=MO∴PO2若在线段MN上存在点P，使得PA⋅则6a2≤b4a⇒3a∴e故选：B.3．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线Γ：y=14x2的焦点为F，过F的直线l交Γ于点A,B，分别在点AA．0,1 B．0,12 C．0,1【解题思路】设直线l的方程为y=kx+1，Ax1,y1,B【解答过程】显然直线l的斜率存在，因此设直线的方程为y=kx+1由y=kx+1x2故x1因为y'=x2，所以过A,B与因此由y=x1x2所以1==x1=16因为k∈R，所以4k所以1PA2+故选:C.4．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）已知抛物线C：y2=2px的（p>0）焦点为F，准线为l，过F的直线m交抛物线C于A，B两点，若在直线l上存在一点M，使△MABA．±33 B．±22 C．【解题思路】设直线m的方程为x=p2+ty(t≠0)，M(-p【解答过程】设直线m的方程为x=p2+ty(t≠0)，联立方程组x=p2则y1+y2=2AB=要使△MAB是等边三角形，则MQ=3即(-p所以(p将②式代入①式整理，可得t6所以(t2+1)2(所以直线m的斜率为k=±故选：B.5．（2023·全国·模拟预测）已知直线l:y=kx与椭圆E:x2a2+y2b2=1a>A．-22,-C．-32,-【解题思路】先设点A,B,M的坐标，然后将A,M的坐标代入方程中，相减，构造出直线MA，MB的斜率，相乘转化只含有a,b的表达式，再根据a,b【解答过程】设Mx由直线l:y=kx与椭圆E交于所以B-x1由题意知：x2x2即y2又kMA由椭圆的离心率的取值范围是33即33所以13即-2故选：D.6．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知双曲线C:x2-y2b2=1(b>0)的左､右焦点分别为F1,F2①C的离心率e=2②两渐近线夹角为30∘③PA⋅PB为定值④AB的最小值为32则所有正确结论为（

）A．①② B．①③ C．③④ D．①③④【解题思路】根据圆与渐近线相切可求出b=3，c=2根据渐近线方程可得倾斜角，从而可得两渐近线的夹角，可判断②不正确；设P(x0,y0)(设P(x0,y0)(x【解答过程】因为圆(x-1)所以圆心(1,0)到渐近线bx-y=0即bb2+1所以c=a2+b因为C的渐近线为y=±3x，所以两渐近线的倾斜角为60∘和120∘设P(x0|PA|⋅|PB|=|3x0依题意设PA:y联立{y-y0=-联立{y-y0=所以|=34y因为x0≥1，所以|AB|=3x02-9故选：D.7．（2023·吉林·统考二模）在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线l:x(1)求动点M的轨迹方程；(2)若直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求|【解题思路】(1)根据题意列出等式化简即可；(2)设直线OP的方程为y=kx，直线OQ的方程为y=-1kx，联立直线OP的方程与M的方程，可得|OP|【解答过程】（1）解：由已知可得：(x-2)即x2所以动点M的轨迹方程为：x2（2）解：由OP⊥OQ可设直线OP的方程为y=kx，直线由y=kx3所以|OP同理可得|OQ又由|OP|2>0且所以1|所以|OP所以|OP当且仅当|OP所以|OP|8．（2023·河北衡水·衡水市校考三模）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过点M(1,32(1)求E的方程；(2)已知P2,0，是否存在过点G-1,0的直线l交E于A，B两点，使得直线PA，PB的斜率之和等于-1【解题思路】（1）设出椭圆E的方程，利用待定系数法求解作答.（2）设出直线l的方程，与椭圆E的方程联立，借助斜率坐标公式求解作答.【解答过程】（1）设椭圆E的方程为mx由点M(1,32)，N(-23,2所以E的方程为x2（2）存在，理由如下.

显然直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为x=ky-1，由x=ky-1x则y1+yx1因此y=2ky所以存在符合要求的直线l，其方程为x-9．（2023·全国·高二专题练习）已知B为抛物线y2=2x-2上一点，A2,0，B为(1)求曲线E的方程；(2)过点F1,0作直线交曲线E于点M、N，点P为直线l：x=-1上一动点．问是否存在点P使【解题思路】（1）设Cx,y，表达出B（2）设出直线MN：x=my+1，联立抛物线方程，根据等边三角形，得到方程，求出m【解答过程】（1）设Cx,因为点B在抛物线y2=2x化简得y2=4x，所以曲线E（2）假设存在点P-1,y当MN垂直于y轴时，不符合题意；当MN不垂直于y轴时，设直线MN：x=my+1，MN联立y2=4x∴Δ=16m2+16，∴MN=∴t=y1∴PK=∵△MNP为正三角形，∴3即4m∴m=±PK：y-2m∴y所以存在点P(-1,±82)使

10．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为3，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为12的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP

(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得xP=2xT（其中xP【解题思路】（1）根据双曲线以及椭圆的几何性质即可求解a,（2）联立直线与椭圆的方程得到韦达定理，结合坐标运算即可求解.【解答过程】（1）由已知可设双曲线方程为x2a2则双曲线的一条渐近线方程为y=bax，即即b=3，又a2-b2a（2）设Px0,y=y0由-2xN=16y0所以-xN=同理直线BPy=由于B,M是直线BP与椭圆的两个交点，所以P在双曲线上，满足x024x可得xM=4x0，所以x而P在第一象限，所以x0=2211．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1的离心率为2，点F1(-c,0)，(1)求双曲线的标准方程.(2)线段PF1交圆C2:(x+c)2+y2=4a2于点B，记△【解题思路】（1）根据双曲线C1:x2a2-y2b（2）设Px1,y1，则x12a2-y12b【解答过程】（1）解：因为双曲线C1:x所以e=ca=2，又过点F所以2b解得a=所以双曲线的方程为：x2（2）设Px1,y1所以PF=1+=e由双曲线定义得PF所以PF2=所以SS=2SS所以SS当且仅当λ=所以SS1+12．（2023·北京·校考模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，过椭圆右焦点(1)求椭圆C的标准方程；(2)当直线l的斜率为kk≠0时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P【解题思路】（1）根据题意列式求解a,（2）根据题意分析可得x轴为直线PA与直线PB的对称轴，根据斜率关系结合韦达定理运算求解.【解答过程】（1）设椭圆C的半焦距为c>0由题意可得a2=b所以椭圆C的标准方程为x2（2）由（1）可得：F1,0根据题意可设直线l:联立方程y=kx-1则Δ=64可得x1+由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，则kPA可得kx因为k≠0，可得x整理得