人教A版高二下册数学选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理（第1课时）【课件】

普通高中教科书数学必修第三册6.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）第六章

计数原理分类加法计数原理01问题导入随着人们生活水平的提高,家庭汽车拥有量迅速增长,汽车号牌序号需要扩容．那么,交通管理部门应如何确定序号的组成方法,才能满足民众的需求呢?计数问题问题导入小朋友数玩具红、黄、绿三面旗帜组成航海信号4种碱基组成不同的RNA分子思考：通过一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“计数”，以提高效率呢？新知探索思考用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？编号有2类方案：

第一类方案

用大写的英文字母编号：可编出

26种

不同的号码;

第二类方案

用阿拉伯数字编号：可编出

10种

不同号码;

总共能编出

26+10=36种

不同的号码.

新知探索探究你能说一说这个问题的特征吗?首先这里要完成的事情是“给一个座位编号”其次“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同．这两类号码数相加就得到号码的总数．新知探索思考上述计数过程的基本环节有哪些？（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；（2）分别计算各类号码的个数；（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数．新知探索举例小明要从北京到重庆，一天中飞机有4班，火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆共有多少种不同的走法？从北京到重庆有2类方案：

第一类方案

乘坐飞机：可编出

4种

不同的号码;

第二类方案

乘坐火车：可编出

3种

不同号码;

总共能编出

4+3=7种

不同的号码.

新知探索定义一般地，有如下分类加法计数原理：

典例讲解例1：在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些

自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1，表6.1-1A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学管理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？典例讲解分析要完成的事情是“选一个专业”．因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件．解析该同学选一个专业，有两类方案：第1类，在A大学中选，有5种专业选择方法；所以根据分类加法计数原理，共有不同选法种数为:

N=5+4=9第2类，在B大学中选，有4种专业选择方法．典例讲解可以从男生或女生种选一名．从男生中有30种不同选法，从女生中有24种不同选法．根据分类加法计数原理，该班选一名做代表的选法种数为N=30+24=54解析54跟踪练习：某班有男生30名，女生24名，现要从中选一名，代表班级参加比

赛，共有_______种不同的选法.新知探索探究完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第

2

类方案中有

m2

种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？共有

N=m1+m2+m3

种不同方法推广如果完成一件事情有

n

类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢?

共有

N=m1+m2+...+mn

种不同方法分步乘法计数原理02思考探究追问前一个问题和这个问题，完成的事情都是“给一个座位编号”，这两个问题有何不同？

思考这两个问题中编号的要求不同，在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码．但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤．思考探究提示用图6.1-1所示的方法可以列出所有可能的号码.

图6.1-1是解决计数问题常用的“树状图”追问你能用树状图列出所有可能的号码吗？思考探究追问有没有更简单一点的计数方法？

我们还可以这样来思考：由于前

6

个英文字母的任意一个都能和

9

个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不相同，因此共有6×9=54个不同的号码.新知探索探究你能说一说这个问题的特征吗?首先这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”其次“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的．新知探索思考上述计数过程的基本环节有哪些？（1）确定分步标准，根据问题条件分：先选字母号码，后选数字号码两个步骤；（2）分别计算各步骤号码的个数；（3）各类号码的个数相乘，得出所有号码的个数．新知探索举例小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京经成都到重庆共有多少种不同的走法？从北京到重庆：需分2个步骤进行

第一步

从北京到成都：有

4种

不同的走法;

第二步

从成都到重庆：有

3种

不同的走法;

总共有

4×3=12种

不同的走法.

新知探索定义一般地，有如下分步乘法法计数原理：

辨析(1)无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数(2)只有各个步骤都完成才算做完这件事情学以致用例2：某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加

比赛，共有多少种不同的选法?分析要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步，选女生．任选男生和女生各1名，可以分两个步骤完成：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法，所以根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为:N=30×24=720解析学以致用跟踪练习：某电话局管辖范围内的电话号码由6位数字组成，其中前4位的数

字是不变的，后2位数字都是0～9之间的一个数字，这个电话局

不同的电话号码最多有多少个？确定后两位数字组成一个电话号码，可以分两个步骤完成：第1步，选第5位上的数字，有10种不同选法；第2步，选第6位上的数字，有10种不同选法，所以根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为N=10×10=100解析探究新知探究完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第

2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

共有

N=m1×m2×m3

种不同方法推广如果完成一件事情需要

n

个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢?

共有

N=m1×m2×...×mn

种不同方法典例讲解例3：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，

第3层放有2本不同的体育书．(1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法?(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法?分析(1)要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；(2)要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书”，可以分三个步骤完成．典例讲解(1)从书架上任取

1

本书，有三类方案：解析第1类方案是从第1层取１本计算机书，有4种方法；根据分类加法计数原理，不同取法的种数为：N=4+3+2=9第2类方案是从第2层取１本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层取１本体育书，有2种方法．典例讲解(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分3个步骤完成：解析第

1

步，从第

1

层取

1

本计算机书，有

4

种方法；根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为：N=4×3×2=24第

2

步，从第

2

层取

1

本文艺书，有

3

种方法；第

3

步，从第

3

层取

1

本体育书，有

2

种方法．典例讲解跟踪练习：要从甲、乙、丙

3

幅不同的画中选出

2

幅,分别

挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不

同的挂法?解析法一：分步乘法计数原理3×2=6

第

1

步：选出

2

幅画(

3种：甲乙、甲丙、乙丙)

第

2

步：对

2

幅画确定左右(各

2

种挂法)法二：分步乘法计数原理3×2=6

第

1

步：选

1

幅挂左边(

3种：甲、乙、丙)

第

2

步：选

1

幅挂右边(各

2

种选择)典例讲解解析法三：分类加法计数原理2+2+2=6

第

1

类：甲在左(

2种方法：甲乙、甲丙)

第

2

类：乙在左(

2种方法：乙丙、乙甲)

第3类：丙在左(

2种方法：丙甲、丙乙)法四：树状图列举法，如右图跟踪练习：要从甲、乙、丙

3

幅不同的画中选出

2

幅,分别

挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不

同的挂法?方法总结总结分类计数原理加法与分步乘法计数原理的异同：相同点回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题不同点分类加法计数原理分步乘法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．课堂小结两个计数原理布置作业作业1：完成教材：第5页~第6页

练习1,2,3,4.作业2：配套辅导资料对应的《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》.

1．填空题(1)一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是

；(2)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是

．练习(第5页)(1)由分类加法计数原理可得，不同选法的种数是：5+4=9(2)由分步乘法计数原理可得，不同选法的种数是：3×2=6练习(第5页)在例1中，若数学也是A大学的强项专业，则A大学有6个专业可以选择，B大学有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10．这种算法有什么问题？这种算法不正确.因为要确定的是这名同学的专业选择，并步需要考虑学校的差异，所以应当是6+4-1=9（种）可能的专业选择.练习(第5页)3．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法?(2)从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法?(1)从书架上任取

1

本书，有两类方法：第

1

类方法是从上层取

1

本数学书，有

6

种取法；第

2

类方法是从下层取

1

本语文书，有

5

种取法，根据分类加法计数原理可得，不同的取法种数为

N=6+5=11练习(第6页)3．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法?(2)从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法?(2)从书架的上、下层各取

1

本书，可以分成两个步骤完成：第

1

步，从上层取

1

本数学书，有

6

种取法；第

2

步，从下层取

1

本语文书，有

5

种取法，根据分步乘法计数原理可