中考数学-几何热考题（三） 四边形热考模型(5种类型19种模型详解+专题训练)(含答案)

Page第五章四边形重难点09几何热考题三四边形热考模型（5种类型19种模型详解+专题训练）【题型汇总】题型01中点四边形模型【基础模型】已知点E、F、G、H分别为任意四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则①四边形EFGH是平行四边形②CEFGH=AC+BD③【名师总结】1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形.2）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形.3）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形.4）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形.速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正.1．（2024·山西·中考真题）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为()A．互相垂直平分 B．互相平分且相等C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等2．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1BA．ab2n B．ab2n−1 C．3．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC=4，BD=6，则AD+BC的最小值是．

4．（2024·云南·中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．5．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁Varingnon，Pierre1654

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG=1

∴DNNM=DGGC．∵DG=GC∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S▱HPQG∵S△ADC=1任务：(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．依据2是指：_____________．(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系，并证明你的结论．

6．（2024·青海·中考真题）综合与实践顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．【探究一】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形．证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF、GH分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EF=12AC，GH=同理可得：EH=FG．∴中点四边形EFGH是平行四边形．结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．（1）请你补全上述过程中的证明依据①________【探究二】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形AC=BD菱形从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．【探究三】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形AC⊥BD②________（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．【归纳总结】（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．原四边形对角线关系中点四边形形状③________④________结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．

题型02垂美四边形模型已知四边形中AC⊥BD如图，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP如图，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP图示结论S四边形ABCD=12•AC7．（2020·四川雅安·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB28．（2024·山东泰安·二模）小明学习了四边形后，对有特殊性质的四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形，如图：已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，对角线AC=4，BD=6，设S=AD+BC，则S的最小值等于．9．（2021·山东枣庄·中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+C（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE10．（2023·江苏常州·二模）【知识感知】：我们把对角丝互相垂直的四边形称为“垂美四边形”如图1所示．【概念理解】：①在下列四边形中，①正方形；②矩形：③菱形；④平行四边形，是垂美四边形的是；②三边长为2的垂美四边形周长为．【性质探索】：若记垂美四边形ABCD面积为S，试直接写出S与AC、BD之间的关系；【性质应用】：尝试用两个全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△BED）如图2摆放，其中B、C、E在一条直线上，若假设直角三角形三边长为x，y，z11．（2024·浙江杭州·三模）（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是．（2）探索研究方法：如图1．已知四边形ABCD是垂美四边形，求证：AB（3）尝试问题解决：已知AB=52，BC=42，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE①如图2，当∠ACB=90°，连接DE，求DE的长；②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH=26，求S12．（2023·江苏徐州·中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+P题型03正方形热考模型1）十字架模型【基础模型-两边过顶点】使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O,互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF图示：大招结论：相等则垂直，垂直则相等.【模型进阶-一边过顶点】条件：在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，DC上的点，AE与FG相交于点O,图示：结论：正方形十字模型中，构成“十”字形的两条线段，知垂直推相等，知相等推垂直.【模型进阶-两边均不过顶点】图示：结论：正方形十字模型中，构成“十”字形的两条线段，知垂直推相等，知相等推垂直.【易错点】以上结论成立的条件是:四点必须位于四边，否则不成立.类型矩形的十字架模型（两边过顶点）矩形的十字架模型（两边不过顶点）条件在矩形ABCD中，E是AD上的点,CE⊥BD交于点O在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BC，AB，CD上的点,EF⊥GH交于点O,图示结论△CDE∽△BCD△EMF∽△GNH①正方形两边过顶点13．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE=CF=5，则BG的长为．14．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM=CN，AN与DM相交于点P．

(1)求证：△ABN≌△DAM；(2)求∠APM的大小．15．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．

【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的长．②正方形一边过顶点16．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，那么线段FC的长为

17．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥(1)求证：△ABE≌△FMN；(2)若AB=8，AE=6，求ON的长．18．（2024·河南·一模）综合与实践数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，已知AE⊥BF，求证：AE=BF．

甲小组同学的证明思路如下：由同角的余角相等可得∠ABF=∠DAE．再由AB=DA，∠BAF=∠D=90°，证得△ABF≌△DAE（依据：________），从而得AE=BF．乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知AE=BF，同样可证得AE⊥BF，证明思路如下：由AB=DA，BF=AE可证得Rt△ABF≌Rt△DAEHL，可得完成任务：（1）填空：上述材料中的依据是________（填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”）【发现问题】同学们通过交流后发现，已知AE⊥BF可证得AE=BF，已知AE=BF同样可证得AE⊥BF，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．【迁移探究】（2）在正方形ABCD中，点E在CD上，点M，N分别在AD,BC上，连接AE,MN交于点P．甲小组同学根据MN⊥AE画出图形如图2所示，乙小组同学根据MN=AE画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知MN⊥AE仍能证明MN=AE，乙小组同学发现已知MN=AE无法证明MN⊥AE一定成立．①在图2中，已知MN⊥AE，求证：MN=AE；②在图3中，若∠DAE=α，则∠APM的度数为多少?【拓展应用】（3）如图4，在正方形ABCD中，AB=3，点E在边AB上，点M在边AD上，且AE=AM=1，点F，N分别在直线CD，BC上，若EF=MN，当直线EF与直线MN所夹较小角的度数为30°时，请直接写出19．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考下面是小逸同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．用“平移法”解答几何问题解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线的策略．如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE=FG．

图1小逸在分析解题思路时想到了两种平移法：方法一：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形．如图2，平移线段FG至BH交AE于点K，由平移的性质得FG∥

图2∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥∴四边形BFGH是平行四边形（依据1），∴BH=FG，∵FG⊥AE，∴BH⊥AE，∴∠BKE=90°，∴∠KBE+∠BEK=90°，∵∠BEK+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBH，在△ABE和△BCH中，∠BAE=∠CBHAB=BC∠ABE=∠C，∴∴AE=BH（依据2），∴AE=FG．方法二：如图3，平移线段BC至FH交AE于点P，则四边形BCHF是矩形，

图3∴BC∥FH，BC=FH，∠FHG=90°，∴∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=90°，∴AB=FH，∠ABE=∠FHG，∵FG⊥AE，…

图4任务：(1)填空：材料中的依据1是指___________________，依据2________________．(2)补全材料中方法二的剩余证明过程．(3)如图4，在正方形网格中，A，B，C，D为格点（网格线的交点），AB交CD于点O．则tan∠AOC=③正方形两边均不过顶点20．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）阅读与思考：下面是小姜同学写的一篇数学学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务：正方形中相等的线段如图1，在正方形ABCD中，如果点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M，那么AE与BF相等吗？证明你的结论．对于上面的问题，我是这样思考的：（1）：______．反思1：对于两个端点分别在正方形ABCD一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，那么这两条线段是否仍然相等呢？对此可以做进一步探究：如图2，在正方形ABCD中，如果点E、F、G、H分别在BC、AD、AB、CD上，且EF⊥GH，垂足为M，那么EF与GH相等吗？证明你的结论．（2）：______．反思2：对于两个端点分别在正方形ABCD一组对边上的线段，若这样的两条线段相等，那么这两条线段是否一定垂直呢？对此可以画图说明：如图3，在正方形ABCD中，如果点E、F、G、H分别在BC、AD、AB、CD上，且EF=GH，那么EF与GH垂直吗？证明你的结论．（3）：______．任务：(1)完成笔记中的“我是这样思考的”；(2)回答笔记中反思1的问题，并证明；(3)回答笔记中反思2的问题，在图3中画图并简要说明．④矩形两边均不过顶点（含一边过顶点）21．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当

22．（2023·河南·三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．

(1)操作判断如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F．根据以上操作，请直接写出图1中BE与CF的数量关系：______．(2)迁移探究小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：如图2，在矩形纸片ABCD中，AB:AD=m:n，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F，请求出BECF(3)拓展应用如图3，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做匀速运动，动点E、F同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE，交于点G，连接GD，则线段GD长度的最小值为______，点G的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）

23．（2023·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，求EGFH【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=45°，AB=322BC，点E，F分别在线段AB，【拓展提高】（3）如图3，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AD上一点，过点E作FG垂直CD交AB于点F，交CD的延长线于点G．若AF=2，BF=3，CD=7，求AE的长．24．（2024·山东泰安·中考真题）综合与实践为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．【探究发现】（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连结BG，EF与BG相交于点H．同学们发现图形中四条线段成比例，即EFBG【拓展延伸】（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF，将纸片展平，连结EG，FH，FG，同学们探究后发现，若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分剧点”，即BG25．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB、BC上，DF⊥CE于点O，点G，H分别在边AD、BC上，GH⊥CE．(1)问题解决：①写出DF与CE的数量关系：；②GHCE的值为(2)类比探究，如图②，在矩形ABCD中，ABBC=k（k为常数），将矩形ABCD沿GH折叠，使点C落在AB边上的点E处，得到四边形EFGH交AD于点P，连接CE交GH于点O．试探究GH与(3)拓展应用，如图③，四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=6，AD=CD=4，BF⊥CE，点E、F分别在边AB、AD上，求CEBF2）半角模型【模型介绍】从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连结它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型.已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点O、P，则：①EF=BE+DF②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE③C∆CEF=2倍正方形边长④S∆ABE+S∆ADF=S∆AEF⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G）⑥OP2=OB2+OD2⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形(11)EF=2OP(12)S∆AEF=2S∆APO(13)AB2=BP×OD(14)CE•CF=2BE•DF(15)∆EPC为等腰三角形(16)PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X)证明：①思路：延长CD到点M，使DM=BE，连接AM先根据已知条件∆ABE≌∆ADM(SAS)，由此可得AE=AM，∠BAE=∠DAM而∠BAE+∠FAD=45°，所以∠DAM+∠FAD=45°，可证明∆AEF≌∆AMF(SAS)，由此可得EF=MF，而MF=DM+DF=BE+DF，因此EF=BE+DF②思路：∵∆AEF≌∆AMF(SAS)∴∠AFM=∠AFE，∠AMF=∠AEF∴AF平分∠DFE又∵∠AMF=∠AEB∴∠AEB=∠AEF∴AE平分∠BEF③思路：C∆CEF=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=（BE+EC）+（DF+FC）=BC+DC=2BC④、⑤思路：过点A作AG⊥EF，垂足为点G根据②证明过程可知AFG=∠AFD，∠AEB=∠AEG因此可以证明:∆ABE≌∆AGE(AAS),∆AGF≌∆ADF(AAS)所以AB=AG=AD，S∆ABE=S∆AGE，S∆AGF=S∆ADF则S∆AEF=S∆AGE+S∆AGF=S∆ABE+S∆ADF⑥思路：绕点A将∆APD逆时针旋转90°得到∆ANB,使AD，AB重合因为∆APD≌∆ANB(AAS)所以AN=AP，BN=DP，∠NAB=∠PAD，∠ADP=∠ABN因为∠ADB=∠ABD=45°，所以∠NBO=90°因为∠BAE+∠PAD=45°所以∠NAB+∠BAE=45°则∆ANO≌∆APO(SAS)所以NO=OP在Rt∆NBO中，由勾股定理可知：ON2=OB2+NB2，则OP2=OB2+OD2⑦思路：已知tan∠EAB=BEAB=12，且∴tan∠FAD=13（“12345型”），∴DF:AD=1:3，即点F为⑧思路：假设∠AEF的度数为α，∠AFE的度数为β.在右图中已知表示45°角，表示角的度数为α，表示角的度数为β所以∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA⑨、⑩思路：1）∵∠EAP=∠EBO=45°，∴ABEP四点共圆∵∠EBA=90°，∴AE为直径，∴∠APE=90°则AP⊥PE∴∠AEP=180°-∠APE-∠EAP=45°∴∆APE为等腰直角三角形2）同理AOFD四点共圆，∵∠ADF=90°，∴AF为直径，∴∠AOF=90°则AO⊥OF∴∠AFO=180°-∠AOF-∠OAF=45°∴∆AOF为等腰直角三角形3)∵∠EOF=∠EPF=∠ECF=90°，∴OECFP五点共圆(11)思路：∵∆APO∽∆AEF∴AEAP=EFOP,假设AP长为1，则AE=2,∴(12)思路：∆APO∽∆AEF相似比为22，则面积的比为12，S∆AEF=2S(13)思路：∵∆ABP∽∆ODA∴ABOD=BPAD,∴AB×AD=BP×OD则AB2(14)思路：假设正方形的边长为m，BE长为a，DF长为b，则EF长为a+b根据勾股定理可得EC2+FC2=EF2,则(m-a)2+(m-b)2=(a+b)2化简得(m-a)(m-b)=2ab所以CE•CF=2BE•DF(15)思路：根据⑩证明过程可知∆APE为等腰直角三角形，所以AP=PE再证明∆ADP≌∆CDP(SAS)，所以AP=PC，则PE=PC所以∆EPC为等腰三角形(16)思路：过点E作EX⊥BD，垂足为点X,过点A作AY⊥BD，垂足为点Y，连接PE先证明∆APY≌∆PEX(AAS)(“一线三垂直模型”)，所以AY=PX∵AY=12BD,∴PX=12BD①半角模型26．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN=45°，则MN的最小值为．27．（2022·贵州黔西·中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且∠EAF=45°．(1)当BE=DF时，求证：AE=AF；(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH=AE．若DF=a，CH=b，请用含a，b的代数式表示EF的长．28．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．

【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM=∠CNH；【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．连接AC交BD于点O，求EFNM29．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，且∠DAE=45°，BD=3，CE=4，求DE的长．解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接

由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠CAD∴∠CAD'+∠EAC=45°∴∠DAE=∠D在△DAE和△DAD=AD'，∠DAE=∠D∴___①___．∴DE=D又∵∠ECD∴在Rt△ECD'∵CD'=BD=3

∴DE=D'E=【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．

【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究BE、EF、DF的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D、E在边AC上，且∠DBE=45°．设AD=x，CE=y，求y与x的函数关系式．

30．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且(1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN．用等式写出线段DM，(2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，用等式写出线段(3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN=60°，用等式写出线段31．（2024·山东东营·模拟预测）【操作与发现】如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN=45°．(1)将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．从而可得：DM+BN=MN．请说明理由．(2)【实践探究】在图①条件下，若CN=6，CM=8，则正方形ABCD的边长是(3)如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN=45°，若tan∠BAN=13，求证：M(4)【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN=45°，BN=4，则32．（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．根据以上操作，得∠EBF=________°．【探究证明】（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM=MF．【深入研究】若AGAC=1k，请求出②与半角模型有关的多结论问题33．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重合），∠BHF=90°，HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，连接BF交AC于点G，交CD于点N，连接BD．则下列结论：①∠HBF=45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，则sin∠NBC=1010；④BN=2BM；⑤若AH=A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤34．（2021·湖北黄石·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是．（2）下列结论：①BM2+DN2=MN2；②若F是CD的中点，则35．（2022·四川达州·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持∠EBF=45°，连接EF，PF，PD．以下结论：①PB=PD；②∠EFD=2∠FBC；③PQ=PA+CQ；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接DH，则DH的最小值为22−2．其中所有正确结论的序号是3)风车模型使用场景：已知正方形ABCD，点O是对角线的交点，∠MON=90°图示：大招结论：1)△OAE≌△OBF，△OBE≌△OCF2)BE+BF=AE+FC=AB3)△EOF为等腰直角三角形4)5)6)(当OE⊥AB时OE取最小值)36．（2023·湖北襄阳·中考真题）【问题背景】人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，PAPC=k（

【特例证明】（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N①填空：k=______；②求证：PM=PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≅△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）【类比探究】（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．【拓展运用】（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN=45°，延长NP交边CD于点E，若EN=kPN，求k的值．37．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况．操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中：（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______．（2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S1，在旋转过程中S1与类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF=2拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM=BN时，请求出重叠部分的面积．（参考数据：sin15°=6−2438．（2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF∠P=90°,∠F=60°的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH=α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含（参考数据：sin15°=4)一线三等角模型已知∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE图示结论①一线三等角模型39．（2024·海南·中考真题）正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），∠1=∠2，AE=EF，AF交CD于点H，FG⊥BC交BC延长线于点G．

(1)如图1，求证：△ABE≌(2)如图2，EM⊥AF于点P，交AD于点M．①求证：点P在∠ABC的平分线上；②当CHDH=m时，猜想AP与③作HN⊥AE于点N，连接MN、HE，当MN∥HE时，若AB=6，求40.（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB=2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN=90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H．(1)如图1，若BE=10，EF=12，求点M与点B之间的距离；(2)如图1，若BE=10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；(3)如图2，若BF=22，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH，点O是CH的中点，连接HB、MO，则2OM+HB的最小值为_______．41．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB=BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE=EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE=EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．②构造一线三等角模型42．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=−x2+4上，点D在y轴上．若A，CA．m+n=1 B．m−n=1 C．mn=1 D．m43．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则FGCE的值为（

A．2 B．3 C．322 44．（2023·海南·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E在边AD上，且AD=4AE，点P为边AB上的动点，连接PE，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，则EFPE=．若点M是线段EF的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为

45．（2022·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标(−1,0)，点D的坐标是(−2,4)，则点C的坐标是．

题型04特殊四边形热考模型1）最值模型①矩形对角相等求最值图示解题策略结论根据矩形的性质，可知对角线相等，即EF=BD，则对角线EF的最小值为点B到斜边AC的高BG46．（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（

A．132 B．6013 C．12547．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（

A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少48．（2023下·天津河东·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=6，AC=8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN

A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.849．（2022下·江苏淮安·八年级校联考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是(

)A．12 B．65 C．125②利用菱形的对称性求最值图示解题策略结论求DE+EF的最小值.连接BE，根据对称性，可知DE=BE，则DE+EF=BE+EF≥BF，根据“垂线段最短”确定当BF⊥CD时BF取最小值，再通过等面积法或勾股定理求出EF的长度.连接BF，当BF⊥CD时BF取最小值50．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点，CF=BF，则MA+MF的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．251．（2022·四川广安·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）A．2 B．3 C．1.5 D．552．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A−3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（

A．3 B．5 C．22 D．③利用正方形的对称性求最值条件：如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E在AC上正方形对角线，连接顶点对称现图示：正方形对角线，连接顶点对称现解题大招：正方形是轴对称图形，具有4条对称轴，围绕对称轴，有多组对称型全等.53．（2021·青海·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为54．（2023·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为．

55．（2023·安徽合肥·三模）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（

）

A．23 B．26 C．3 56．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE:PF=1:2时，则PC=（

）

A．3 B．2 C．5 D．557．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B,D不重合），GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足．连接EF,AG，并延长AG交EF于点H．

(1)求证：∠DAG=∠EGH．(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由．④正方形与等边三角形类型以正方形的一边向内构建等边三角形以正方形的一边向外构建等边三角形条件在正方形ABCD中，△BCE为等边三角形四边形ABCD为正方形，△DCE为等边三角形图示结论△ABE，△DCE，△AED为等腰三角形△ABE≌△DCE，∠EAD=∠EDA=15°，∠BAE=∠CDE=75°△BCE为等腰三角形△ABF≌△ADF≌△EDF，△BCF≌△DCF，∠BEC=∠CBE=15°，∠AFD=∠AFB=75°58．（2024·山东青岛·一模）如图，正方形ABCD边长为4，△ABP为等边三角形，连接PC，PD，则∠PCD的正切值为（

）A．12 B．2−3 C．3259．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（

）A．23+2 B．5−33 C．60．（2024·广东珠海·一模）图，E是正方形ABCD内一点，△BCE是等边三角形，连接DE，AE，延长DE交AB于点F．(1)求证：△ABE≌(2)求∠AFD的度数．61．（2023·安徽黄山·模拟预测）如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．(1)连接MN，(2)求证：△AMB≌△ENB；(3)①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．62．（2023·广东广州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A，D重合）．边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．

(1)若∠ABE=15°，求证：△ABF是等边三角形；(2)延长FA，交射线BE于点G；①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由；②若AB=3+6，求△BGF2）折叠模型解题方法：与特殊平行四边形有关的折叠问题与轴对称的知识联系紧密，解决这类问题有两个“秘诀”:一是折叠前后的两部分是全等的(对应边、对应角相等)；二是折叠前后的对应点所连线段被折痕垂直平分.63．（2023·四川达州·中考真题）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A'处，若AB=6,BC=10，求AE

（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B'处，若BC⋅CE=24,AB=6，求BE（3）如图③，在△ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC，垂足为点D,AD=10,AE=6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE=2∠DAC，直接写出BD+564．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．65．（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．66．（2023·江苏盐城·中考真题）综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B'，折痕与边AD，BC分别交于点E，F【活动猜想】（1）如图2，当点B'与点D重合时，四边形BEDF【问题解决】（2）如图3，当AB=4，AD=8，BF=3时，求证：点A'，B'，【深入探究】（3）如图4，当AB与BC满足什么关系时，始终有A'B'（4）在（3）的情形下，设AC与BD，EF分别交于点O，P，试探究三条线段AP，B'D，67．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图1，在▱ABCD纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将▱ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C'、D'，射线C'E与射线

(1)求证：AF=EF；(2)如图2，当EF⊥AF时，DF的长为______；(3)如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM交C'D'于点N，连接AN、EN3）对角互补模型模型1两90°的等邻边对角互补模型1.基础类型条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.【注意】已知角平分线、邻边相等（非对称）和对角互补中的两个，可推导出第三个.2.模型引申条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE.提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF结论：①OC平分∠AOB，②OE－OD＝OC，③.模型2.含120°、60°的等邻边对角互补模型1.基础类型条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE.结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.2.模型引申条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，结论：①OC平分∠AOB，②OD－OE＝OC，③.69．（2023·四川达州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，已知四边形的面积为9，CD=2，则BC长为（

）A．5 B．4 C．113 70．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，两个半径长均为2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是AB的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE，CF交于点G，半径BE，CD交于点H，则图中阴影面积等于（

）A．π2−1 B．π2−2 C．71．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，等腰Rt△ABC的斜边AC的中点为D，∠B=90°，E是边AB上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC于点F．若CF=2AE，四边形BEDF的面积是9，则BE的长为72．（2020·湖南湘西·中考真题）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFC≌△BFE，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．73．（2021·贵州贵阳·模拟预测）如图①，直线y=x(x>0)上有一点M(6,m)，反比例函数y=kx（k为常数k≠0，x>0）的图像经过点M，作∠AMB=90°，且角两边分别与x轴，y轴的正半轴交于（1）求反比例函数的表达式；（2）求四边形AOBM的面积；（3）如图②，点P(3,n)是反比例函数y=kx(x>0)图像上的一点，点F在直线y=x(x>6)上，点E在x4）手拉手模型等腰三角形

手拉手模型等边三角形

手拉手模型等腰直角三角形

手拉手模型正方形手拉手模型【小结】1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右.2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.73．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α0°≤α≤90°【初步探究】如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G,BG交AD于点M．问题1BE和DF的数量关系是________，位置关系是_________．【深入探究】应用问题1的结论解决下面的问题．问题2如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．【尝试应用】问题3如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．74．（2020·辽宁铁岭·模拟预测）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接(1)①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．(2)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于点75．（2022·辽宁阜新·中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE<AB），∠EDF=90°，DE=DF，连接AE，CF．(1)如图1，求证：△ADE≌△CDF；(2)直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB=4，DE=2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．76．（2022·内蒙古通辽·中考真题）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．(1)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求2CE2(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图2，求：CEDG(3)AB=82，AG=22AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α(0°<α<360°)，当C，G，77．（2020·广东深圳·中考真题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG题型05构造中位线求解78．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG=3，CG=1，则线段MN的长度为（）

A．5 B．172 C．2 D．79．（2023·广西·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则

80．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为25，点E是CD的中点，BE与AC交于点M，F是AD上一点，连接BF分别交AC，AE于点G，H，且BF⊥AE，连接MH，则AH=，MH=第五章四边形重难点09几何热考题三四边形热考模型（5种类型19种模型详解+专题训练）【题型汇总】题型01中点四边形模型【基础模型】已知点E、F、G、H分别为任意四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则①四边形EFGH是平行四边形②CEFGH=AC+BD③【名师总结】1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形.2）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形.3）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形.4）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形.速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正.1．（2024·山西·中考真题）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为()A．互相垂直平分 B．互相平分且相等C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等【答案】A【分析】本题主要考查了中点四边形、菱形的判定与性质及三角形的中位线定理，根据题意画出示意图，得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题．【详解】解：如图所示，连接BD，AC，∵点H和点E分别是AD和AB的中点，∴HE是△ABD的中位线，∴HE=1同理可得，GF=1∴HE=GF，HE∥∴四边形HEFG是平行四边形．∵HE=12BD，HG=∴HE=HG，∴平行四边形HEFG是菱形，∴EG与HF互相垂直平分．故选：A．2．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1BA．ab2n B．ab2n−1 C．【答案】A【分析】利用中位线、菱形、矩形的性质可知，每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，由此可解．【详解】解：如图，连接AC，BD，A1C1∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AD=BC，AB=CD．∵A1，B1，C1∴A1∴A1∴四边形A1∵A1C1∴四边形A1B1同理，由中位线的性质可知，D2C2D2A2∴四边形A2∵AD⊥AB，∴C2∴四边形A2∴四边形A2B2∴每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，∴四边形AnBn故选:A．【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的性质以及中位线的性质，证明四边形A1B13．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC=4，BD=6，则AD+BC的最小值是．

【答案】2【分析】设AC,BD的交点为O，AB,BC,CD,DA的中点分别是P,Q,R,S，连接PQ,QR,RS,SP,OQ,OS,QS，先证AD+BC=2(OS+OQ)，由此得当OS+OQ最小时，AD+BC最小，再根据“两点之间线段最短”得OQ+OS≥QS，再证四边形PQRS是矩形，且PQ=2,SP=3，根据勾股定理的OS=13，进而求得AD+BC【详解】解：设AC,BD的交点为O，AB,BC,CD,DA的中点分别是P,Q,R,S，连接PQ,QR,RS,SP,OQ,OS,QS，∵AC,BD互相垂直，∴△AOD和△BOC为直角三角形，且AD,BC∴AD=2OS,BC=2OQ，∴AD+BC=2(OS+OQ)，∴当OS+OQ最小时，AD+BC最小，再根据“两点之间线段最短”得OQ+OS≥QS，∴当点O在线段QS上时，OQ+OS最小，最小值为线段QS的长，∵P,Q分别为AB,BC的中点，∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ=1同理QR=1RS=1SP=1∴PQ∥∴四边形PQRS是平行四边形，∵AC⊥BD,PQ∥∴PQ⊥SP，∴四边形PQRS是矩形，在Rt△PQS中，PQ=2,SP=3∴QS=P∴OQ+OS的最小值为13，∴AD+BC的最小值为213

故答案为：213【点睛】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键．4．（2024·云南·中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．【答案】(1)见解析(2)111【分析】（1）连接BD，AC，证明四边形ABCD是平行四边形，再利用三角形中位线定理得到GF∥BD，HG∥AC，利用矩形的性质得到（2）利用三角形中位线定理和菱形性质得到12BD+12AC=OA+OB=11【详解】（1）解：连接BD，AC，∵AB∥CD，AD∴四边形ABCD是平行四边形，∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，∴GF∥BD，∵四边形EFGH是矩形，∴HG⊥GF，∴BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，∴GF=EH=12BD∵矩形EFGH的周长为22，∴BD+AC=22，∵四边形ABCD是菱形，即12∵四边形ABCD的面积为10，∴12BD⋅AC=10∵OA+OB∴OA∴AB=O【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，矩形的性质和判定，三角形中位线定理，菱形的性质和判定，菱形面积公式，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握相关性质是解题的关键．5．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁Varingnon，Pierre1654

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG=1

∴DNNM=DGGC．∵DG=GC∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S▱HPQG∵S△ADC=1任务：(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．依据2是指：_____________．(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系，并证明你的结论．

【答案】(1)三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）(2)答案不唯一，见解析(3)平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD长度的和，见解析【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可；（2）作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可；（3）根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，即可得妯结论．【详解】（1）解：三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）（2）解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：如图即为所求

（3）瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的两条对角线AC与BD长度的和，证明如下：∵点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，∴EF=1∴EF+GH=AC．同理EH+FG=BD．∴四边形EFGH的周长=EF+GH+EH+FG=AC+BD．即瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD长度的和．【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．6．（2024·青海·中考真题）综合与实践顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．【探究一】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形．证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF、GH分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EF=12AC∴EF=GH．同理可得：EH=FG．∴中点四边形EFGH是平行四边形．结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．（1）请你补全上述过程中的证明依据①________【探究二】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形AC=BD菱形从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．【探究三】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形AC⊥BD②________（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．【归纳总结】（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．原四边形对角线关系中点四边形形状③________④________结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．【答案】（1）①中位线定理（2）证明见解析（3）②矩形（4）证明见解析（5）补图