《弹性力学》 课件 第6章 平面问题

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第6章平面问题§6.1基本方程§6.2应力函数法§6.3应力函数法求解弹性力学平面问题§6.4矩形梁的纯弯曲-逆解法§6.5梁的弹性平面弯曲-半逆解法§6.6简支梁受均布荷载作用-半逆解法§6.7极坐标系下基本方程§6.8厚壁圆筒问题§6.9圆孔孔边应力集中§6.10半无限平面问题§6.11对径受压圆盘中的应力分析2

（一）问题的提出§6.1基本方程弹性力学空间问题中，物体的受力与变形情况，需用15个变量来描述。即：6个应力分量，3个位移分量，6个应变分量，且均为

。求解空间问题时，数学问题会很困难。弹性力学平面问题中，需用8个变量来描述，且均为。平面问题可分为：平面应力问题、平面应变问题。3

§6.1基本方程（二）平面应力问题(PlaneStressProblem)平面应力问题条件是：⑴等厚度的薄板；⑵体力、作用于体内，∥面，沿板厚不变；⑶面力、作用于板边，∥面，沿板厚不变；⑷约束、作用于板边，∥面，沿板厚不变。4

§6.1基本方程（二）平面应力问题

故只有平面应力存在。由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：⑴两板面上无面力和约束作用，故：5

§6.1基本方程（二）平面应力问题∴归纳为平面应力问题：a.应力中只有平面应力存在；b.且仅为

。⑵由于板为等厚度，外力、约束沿z向不变，故应力仅为。弧形闸门闸墩计算简图：深梁计算简图：F§6.1基本方程（二）平面应力问题7

§6.1基本方程（三）平面应变问题(PlaneStrainProblem)条件是：⑴很长的常截面柱体；⑵体力、作用于体内，∥面，沿长度方向不变；⑶面力、作用于柱面，∥面，沿长度方向不变；⑷约束、作用于柱面，∥面，沿长度方向不变。8

§6.1基本方程（）平面应变问题故任何z面（截面）均为对称面。

⑴截面、外力、约束沿z向不变，外力、约束∥xy面，柱体非常长，∴9

§6.1基本方程（）平面应变问题⑵由于截面形状、体力、面力及约束沿向均不变，故应力、应变、位移均为 。

∴归纳平面应变问题：a.应变中只有平面应变分量存在；b.且仅为 。10

§6.1基本方程（）平面应变问题隧道挡土墙oyxyox11

§6.1基本方程（四）平面问题基本方程平面应力问题基本方程如下：（1）平衡方程（2）物理方程（3）几何方程方程12

§6.1基本方程（四）平面问题基本方程（4）协调方程平面应力问题，基本方程如下：2个平衡方程、3个物理方程、3个几何方程，方程内含有3个应力分量、3个应变分量、2个位移分量。用应力法求解时，需将协调方程用应力分量表示。为此，协调方程式用应力分量表示如下：若不计体力或体力为常数时，上式可化为：或写成上式称为莱维（Levy）方程，式中

为拉普拉斯算子。13

§6.1基本方程（四）平面问题基本方程平面应变问题基本方程如下：（1）平衡方程（2）几何方程方程（3）协调方程14

§6.1平面问题的基本方程（四）平面问题基本方程（4）物理方程方程一方程二在z方向，15

平面应力物理方程→平面应变物理方程：变换关系：平面应变物理方程→平面应力物理方程：§6.1平面问题的基本方程（四）平面问题基本方程16

§6.2应力函数法（一）应力函数平面问题的弹性解，要求联立平衡方程和应变协调方程，并满足边界条件。在不考虑体力条件下，即：17

§6.2应力函数法（一）应力函数观察平衡方程，若引入一个函数，使得代入平衡方程，可知恒满足。于是有：由应变协调方程，得：18

§6.2应力函数法（一）应力函数展开为：或简写为：函数称为艾里（Airy）应力函数。上式称为双调和函数。由此可知，平面问题的应力分布函数可用应力函数

表示，而函数

应满足双调和方程，并且满足边界条件。19

§6.2应力函数法（一）应力函数现在考虑有体力的情况。假定体力是有势的，则：其中，为势函数。此时，平衡方程化为：令与平衡方程式比较，可满足平衡方程20

§6.2应力函数法（一）应力函数

对于平面应力情况：对于平面应变情况：用应力函数求解弹性力学问题，基本思路如下：

首先假定应力函数，然后求解应力分量表达式，根据本构方程求解应变分量表达式，最后积分求解位移。21

§6.3应力函数法求解弹性力学问题（一）应力函数法分类1、逆解法假定应力函数，然后求解应力、应变，代入基本方程。若满足基本方程，则代入边界条件看是否满足。若即满足基本方程又满足边界条件，则假定的位移或应力场函数为弹性力学问题的解。若不满足任一基本方程或边界条件，则重新选择位移或应力场函数，直至即满足基本方程又满足边界条件。2、半逆解法假设部分位移或应力量已知，通过基本方程和边界条件，求解其他变量，然后调整，直至得到解答。3、数值解法通过数值近似方法求解。差分法（导数用差商代替）、变分法、有限元法。22

（二）简单应力函数一次式双调和方程可满足。对应于无应力状态。二次式双调和方程可满足，考察每一项所能解决的问题即：

方向没有面力，

方向有

的面力。即：纯剪状态§6.3应力函数法求解弹性力学问题23

（二）简单应力函数三次式即：上下无面力，左右两边没有铅直面力，而每一边上的水平面力合成一个力偶。可见应力函数

能解决矩形梁的纯弯曲问题。§6.3应力函数法求解弹性力学问题24

试检验能否作为应力函数？若能，试求应力分量（不计体力），并画出图示杆件上的面力，求面力的合力并指出该应力函数所能解的问题。§6.3应力函数法求解弹性力学问题25

（1）检验函数：相容方程：

可见满足相容方程，故该函数可作为应力函数。（2）应力分量：

（3）板边面力：

上下边界左边界右边界§6.3应力函数法求解弹性力学问题26

§6.4矩形梁的纯弯曲-逆解法矩形截面的长梁，长度l远大于高度h，它的宽度设为单位长度1，远小于高度和长度。在两端受相反的力偶而弯曲，体力可以不计。试求解该弹性力学问题。由上节可知，该问题为平面应力问题，可采用三次式应力函数求解。相应应力分量为27

§6.4矩形梁的纯弯曲-逆解法考察应力分量是否满足边界条件：在上下边界条件，没有面力作用左右边界此外，

、

两端面面积较小，应用圣维南原理，

将关于

的边界改用主矢量和主矩代替。将

代入得：28

§6.4矩形梁的纯弯曲-逆解法回代后，矩形梁截面惯性矩与材料力学一致。根据本构方程，根据几何方程，积分前两式，式中，

、

为

和

的待定函数。29

§6.4矩形梁的纯弯曲-逆解法代入可得整理得左边为

的函数，右边为

的函数。因此积分得：即：表示刚体位移，需由约束条件求解。30

§6.4矩形梁的纯弯曲-逆解法对于简支梁，边界条件如下：可求得得：挠度方程与材料力学相同。31

§6.5梁的弹性平面弯曲-半逆解法设悬臂梁自由端有集中力F作用，梁高为2h，厚度为

，跨度为l，不计梁的自重，试求解梁在力F作用下应力、应变及位移场。边界条件：自由端无轴向应力，顶部和底部没有荷载作用，自由端切向应力积分应等于F

。32

§6.5梁的弹性平面弯曲-半逆解法（1）选取应力函数由材料力学知，任一截面的弯矩随

作线性变化，而且截面上任一点的正应力

与

成比例，故可假定

为其中，

为一常数。将上式对

积分两次得：此处

、

为

的待定函数。将

代入双调和方程，得：由于上式中对任意

成立，必有：33

§6.5梁的弹性平面弯曲-半逆解法积分两式，得：其中，-为积分常数。将

和

表达式代入应力函数，得：由此，其他两个分量为：34

§6.5梁的弹性平面弯曲-半逆解法（2）确定系数根据边界条件：上下边界即上述两式对任意

均成立，解方程组得：35

§6.5梁的弹性平面弯曲-半逆解法（2）确定系数于是，将

表达式代入得：其中，

，为截面对中性轴的二次矩。至此，可得：由此可见，所得结果与材料力学完全一致。并可得出结论，如端部切应力按抛物线分布，正应力按线性分布，这一解是精确解；若边界条件如前文所述，则该解在梁内远离端部的截面是足够精确的。左边界36

（3）计算位移§6.5梁的弹性平面弯曲-半逆解法应用胡克定律及几何方程，得出：积分前两式，代入第三式整理得：上式对任意x和y均成立，因此有：37

§6.5梁的弹性平面弯曲-半逆解法（3）计算位移积分上述两式得：因此，位移表达式中三个常数需要3个约束条件来确定，如在固定端有：由此确定常数分别为：38

§6.5梁的弹性平面弯曲-半逆解法于是可得梁的位移方程为：（3）计算位移梁轴线竖向位移（即挠度）为：自由端挠度为：现在考察悬臂梁横截面的变形。设在变形前某一横截面方程为：则变形后方程变为：这是三次曲面。由此得出，梁的任一截面变形后不再保持平面，这一点和材料力学初等理论所得到的结果是不同的。39

§6.6简支梁受均布荷载作用-半逆解法设简支梁上表面有分布力

作用，梁高为

，厚度为1，跨度为

，不计梁的自重，试求解梁在分布力

作用下应力、应变及位移场。40

§6.6简支梁受均布荷载作用-半逆解法（1）假设应力函数形式由材料力学知识知，弯应力

主要由弯矩引起，切应力

主要由剪力引起，挤压应力

主要由直接荷载

引起。与x无关，因而可假设

与x无关，即：推求应力函数：积分得：式中，

、

、

均为y的待定函数。41

§6.6简支梁受均布荷载作用-半逆解法（2）由协调方程求应力函数将

代入相容方程得：上式为x的二次方程，对任意x均成立，故有：积分前两式，得：将

代入第三式，并积分得：42

§6.6简支梁受均布荷载作用-半逆解法（3）由应力函数求解应力分量（4）确定系数对称性yoz面是对称面，应力分布应对称于yoz面因此，

、

为x的偶函数，

为x的奇函数。因此，

43

§6.6简支梁受均布荷载作用-半逆解法（4）确定系数边界条件上下边界：代入各自应变分量，得：联立上述四个方程，得：44

§6.6简支梁受均布荷载作用-半逆解法（4）确定系数将常数代入应力分量表达式：右侧边界条件：将剪应力表达式代入，自动满足。不满足。45

§6.6简支梁受均布荷载作用-半逆解法（4）确定系数但根据圣维南原理，解答可以近似满足。即：由上述两式得：验证左侧边界条件，可知也成立。46

§6.6简支梁受均布荷载作用-半逆解法因此，得最后解答：梁的惯性矩静矩：弯矩：47

§6.6简支梁受均布荷载作用-半逆解法剪力：与材料力学相比，

相同，

为弹力修正项。对浅梁而言（

），

，这时修正项可忽略。材料力学中

常忽略，

与材料完全相同。48

§6.7极坐标下基本方程（一）平衡方程xyOPABC应力正负向规定：正面正向，负面负向为正正面负向，负面正向为负49

考虑微元体平衡（取厚度为1）：上式可得：（高阶小量，舍去）§6.7极坐标下基本方程（一）平衡方程xyOPABC50

§6.7极坐标下基本方程（一）平衡方程xyOPABC两边同除以：两边同除以，并略去高阶小量：51

§6.7极坐标下基本方程（一）平衡方程——剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：方程中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。xyOPABC52

xyOPAB(1)只有径向变形，无环向变形。径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）§6.7极坐标下基本方程（二）几何方程53

§6.7极坐标下基本方程（二）几何方程xyOPBA径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）环向线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）剪应变为：（e）yxOPBA(2)只有环向变形，无径向变形。径向线段PA的相对伸长：（f）径向线段PA的转角：（g）环向线段PB的相对伸长：环向线段PB的转角：（h）（i）剪应变为：（j）§6.7极坐标下基本方程（二）几何方程55

(2)只有环向变形，无径向变形。§6.7极坐标下基本方程（二）几何方程需要注意：是环向位移而引起的环向线段的转角。因为变形前环向线切线垂直于OP，而变形后的环向线切线垂直于OP’’，这两切线的转角应为角POP’’。这个转角使得原来的夹角APB增大，按切应变的定义为负。这项在极坐标中才有。yxOPBA（f）（g）56

(3)总应变整理得：——极坐标下的几何方程§6.7极坐标下基本方程（二）几何方程57

§6.7极坐标下基本方程（三）物理方程平面应力情形：平面应变情形：58

§6.7极坐标下基本方程（4）协调方程轴对称条件下：应变分量与

无关，故可简化为：（5）边界条件位移边界条件：应力边界条件：59

r§6.7极坐标下基本方程（5）边界条件示例一60

（6）控制方程§6.7极坐标下基本方程根据弹性力学平面问题控制方程，由于因此极坐标下控制方程可写作：用应力函数表示：-61

§6.7极坐标下基本方程因此可求得；（6）控制方程62

§6.8厚壁圆筒问题内径为2a，外径为2b的厚壁圆筒，受内压

和外压

作用，且筒长远大于筒径，试求筒壁内应力分布。由问题对称性可知，应力、应变分布对称于中心轴线。取径向为

轴，切向为

轴，筒长方向为z轴。筒壁内每个点位移只有

方向的

，且均与

无关。

63

§6.8厚壁圆筒问题同时，由于筒长无限长，故满足平面应变条件，因此，

与

也无关，即：

因此，平面内只有一个位移分量。几何方程可写作：因此，相对体积变形为：64

§6.8厚壁圆筒问题本构方程：平衡方程：将代入平衡方程：得65

§6.8厚壁圆筒问题上式为欧拉二阶线性齐次微分方程，其特解为

将特解代入微分方程，得其特征方程为：因此，相应特解为

和

，而其通解应为2个特解的线性组合，即：66

§6.8厚壁圆筒问题将此结果代入本构方程，得：其中应由边界条件确定。67

§6.8厚壁圆筒问题边界条件为代入应力分量表达式，得：68

§6.8厚壁圆筒问题若

（外侧压力为零）若

（内侧压力为零）若

，即，无限大区域内无支护隧道静水压力条件下圆形隧道周围应力分布曲线69

§6.9圆孔孔边应力集中圆孔孔边应力对边受均匀拉力作用的带孔平板，设孔为圆形，半径为

，且与板的尺寸相比为很小（如图所示）。则孔边的应力将远大于无孔时的应力，这种现象称为应力集中。由圣维南原理可知，在远离小孔的地方，孔边局部应力集中的影响将消失。对于无孔板来说，板中应力为：70

§6.9圆孔孔边应力集中与之相应的应力函数为用极坐标表示为现在要找一个应力函数

，使它适用于有圆孔的板，且在值足够大时与应力函数给出的应力相同。取应力函数为下列形式代入双调和方程：可得：71

§6.9圆孔孔边应力集中因上式对所有的均应满足，即

，故有上式第一式为欧拉线性方程，其特解为于是得72

§6.9圆孔孔边应力集中特征方程为其4个根为从而得同理，第二式也是欧拉线性方程，其特解同样为可得因此73

§6.9圆孔孔边应力集中根据可得

（6.9-17）74

§6.9圆孔孔边应力集中上式中的常数，应根据下列条件确定：（1）当

时，应力应保持有限；（2）当时，

。因当

，以

，

为系数的项无限增长，故75

§6.9圆孔孔边应力集中此外，应力函数

在

足够大时给出的应力应与

给出的应力相同。因

，故由

确定的应力分量为以上要求即在

的条件下，（6.9-17）应于（6.9-18）相同，于是，

（6.9-18）76

§6.9圆孔孔边应力集中将以上结果代入应力函数，并弃去

（因它对应力分量没有影响），得应力函数为各应力分量为77

§6.9圆孔孔边应力集中图78

§6.9圆孔孔边应力集中当

时，

，这就是说，板条拉伸时孔边的最大拉应力为平均拉应力的3倍。而当

或

时，

，为压应力。当

时，；当

时，

；当

足够大时，

；即应力集中现象只发生在孔边附近，远离孔边即迅速衰减下去。应当指出，在孔的尺寸

（如图所示）与平板尺寸

相比为很小时，可采用下列近似公式79

§6.9圆孔孔边应力集中对于椭圆形的孔，当椭圆的一个主轴（

）与受拉方向一致时（如图所示），则在另一主轴（

）端部产生的应力为由此可见，如

，则

，且当

，即椭圆孔趋于一条裂纹时，裂纹尖端的应力是相当大的。这种情况表明，垂直于受拉方向的裂纹首先在端部扩展。为防止裂纹的扩展，常在裂纹尖端钻一小孔以降低应力集中系数。80

§6.10半无限体平面问题楔顶受有集中力P作用xyOP楔形体顶角为α，下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力P

，与中心线的夹角为β，求：（1）应力函数的确定因次分析法：由应力函数与应力分量间的微分关系，可推断：81

§6.10半无限体平面问题楔顶受有集中力P作用将其代入相容方程，以确定函数：（1）应力函数的确定—4阶常系数齐次的常微分方程其通解为：将其代入前面的应力函数表达式：xy（对应于无应力状态）82

§6.10半无限体平面问题楔顶受有集中力P作用（1）应力函数的确定（2）应力分量的确定边界条件：1）——自然满足xyOP83

§6.10半无限体平面问题楔顶受有集中力P作用边界条件：（2）应力分量的确定2）楔顶的边界条件：任取一圆弧，其上的应力应与楔顶的力P平衡。xyOPab§6.10半无限体平面问题楔顶受有集中力P作用积分得：可解得：代入式应力分量式得：

——（J.H.Michell）解答（2）应力分量的确定85

§6.10半无限体平面问题楔顶受有集中力P作用三种特殊情况：PxyOab（1）（2）xyOabP86

§6.10半无限体平面问题楔顶受有集中力P作用（3）PxyO无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用87

§6.10半无限体平面问题楔顶受有集中力偶M作用xyOM（1）应力函数的确定由应力函数与应力分量间的微分关系，可推断：将其代入相容方程：88

§6.10半无限体平面问题楔顶受有集中力偶M作用（2）应力分量的确定考虑到：反对称载荷下，对对称结构有：为θ奇函数；而则为θ偶函数。由应力函数与关系可知，应为θ奇函数。即xyOM89

§6.10半无限体平面问题楔顶受有集中力偶M作用（2）应力分量的确定边界条件：1）——自然满足90

§6.10半无限体平面问题楔顶受有集中力偶M作用2）楔顶的边界条件：xyOMab代入应力分量表达式（d）,得：——英格立斯（C.E.Inglis）解答说明：另外两个边界条件，一定自动满足。91

§6.10半无限体平面问题楔顶受有集中力偶M作用特殊情况：xyOM说明：

前面有关楔形体的分析结果，在楔顶处应力均趋于无穷，这是由于集中力P和集中力偶M的原因，事实上集中力和集中力偶是不存在的，而是分布在一小区域上的面力；另一方面，分布在小区域的面力超过材料的比例极限，则弹性力学的基本方程不再适用。

前面有关楔形体的分析结果的适用性：离楔顶稍远的区域。92

§6.10半无限体平面问题楔体侧面受有均布面力作用（1）应力函数的确定由应力函数与应力分量间的微分关系，可推断：将其代入相容方程：得到：93

§6.10半无限体平面问题楔体侧面受有均布面力作用该方程的解为：（2）应力分量的确定边界条件：由此可确定4个待定常数。94

§6.10半无限体平面问题楔体侧面受有均布面力作用可求得：将常数代入应力分量表达式，有95

§6.10半无限体平面问题楔体侧面受有均布面力作用特殊情况：xyO若用直角坐标表示，利用坐标变换式：96

xyOxyOa§6.10半无限体平面问题楔体侧面受有均布面力作用§6.10半无限体平面问题楔体侧面受有均布面力作用xyOaaxyOaxyOa98

§6.11对径受压圆盘中的应力分