湖北省荆州市沙市区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

沙市2024年秋季期末质量检测九年级数学试题注意事项：1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟．2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．3．在答题卡上答题，选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔或黑色墨水钢笔作答．一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）1.用配方法解方程时，下列配方正确的是（）A. B. C. D.2.已知二次函数，下列说法正确的是（）A.其图象的顶点坐标为 B.函数的最小值为C.其图象的开口向上 D.其图象的对称轴为直线3.点关于原点对称的点B的坐标是（）A B. C. D.4.下列说法正确的是（）A.“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨B.若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷次图钉，钉尖向上的次数为次C.经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件D.汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件5.如图，在中，，，则弧的长为（）A. B. C. D.6.下列说法正确的是（）A.平分弦直径垂直于弦 B.直线和圆有公共点，则直线与圆相交C.相等的圆心角所对的弧相等 D.半圆（或直径）所对的圆周角是直角7.小明在如图所示的方格纸中，将三个顶点都在格点上的经过旋转后得到，则其旋转中心是（）A.格点M B.格点P C.格点Q D.格点N8.如果点，，在反比例函数的图象上，那么下列结论正确的是（）A. B. C. D.9.如图，正三角形的边长为，点，，分别为，，的中点，以，，三点为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.10.已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是（）A.3 B.－1 C.3或1 D.－3或1二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11.围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是________．12.已知一个扇形的半径为，扇形的周长为，则该扇形的面积为________．（结果保留）13.若是方程一个根，求的值_________．14.如图，是半圆的直径，弦相交于点是的中点，则_____．15.如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为______．三、解答题（本大题9小题，共75分）16.解方程：（1）；（2）．17.已知抛物线与y轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与轴的交点坐标；（3）当在什么范围时，？当在什么范围时，？18.小明和小亮用如图所示的转盘进行游戏，三个扇形的圆心角均相等，分别标有数字1，2，3．游戏规则如下：一人转动一次转盘，若两次转盘指针所指的数字之积为偶数，则小明胜；若两次转盘指针所指的数字之积为奇数，则小亮胜．（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果．（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由，19.如图，函数与函数的图象交于点和点，点是点A关于轴的对称点，连接，．（1）分别求这两个函数的解析式；（2）求的面积；（3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集．20.如图1，A，是上的两点，，C是的中点．（1）求证：四边形是菱形；（2）如图2，将线段绕圆心逆时针旋转，得到线段，交于点，连接，若，求的周长．21.某水果店购入一批进价为元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表．销售单价……日销售量……（1）求与的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润多少？22.把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形，如图，的半径是R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长．23.如图，点是正方形内一点，，，，绕点A顺时针旋转得到，连接，延长与相交于点．（1）求线段长；（2）求角的大小；（3）求正方形的面积．24.如图，二次函数与轴交于点和，与轴交于点．（1）求二次函数的表达式和直线的表达式；（2）若点为二次函数的顶点，连接，求的面积．（3）将（1）中的二次函数图像平移，使其顶点与坐标原点重合，再将其图像绕坐标原点逆时针旋转得到抛物线，若抛物线与直线交于两点，点是抛物线上位于直线左侧一个动点，连接，求的面积最大值．

沙市2024年秋季期末质量检测九年级数学试题注意事项：1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟．2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．3．在答题卡上答题，选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔或黑色墨水钢笔作答．一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）1.用配方法解方程时，下列配方正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，根据用配方法解一元二次方程的步骤即可进行解答．【详解】解：，配方，得：，即：．故选：B．2.已知二次函数，下列说法正确的是（）A.其图象的顶点坐标为 B.函数的最小值为C.其图象的开口向上 D.其图象的对称轴为直线【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点)中各项参数与函数性质的关系成为解题的关键．根据二次函数顶点式的性质以及a的值确定开口方向，由h，k的值确定最大值、对称轴、顶点坐标逐项判断即可解答．【详解】解：A．该函数的顶点坐标为，故该选项错误，不符合题意；B．该函数的最大值为2，故该选项错误，不符合题意；C．由，所以该二次函数图象开口向下，故该选项错误，不符合题意；D．该函数的对称轴为直线，故该选项正确，符合题意．故选：D．3.点关于原点对称的点B的坐标是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了关于原点对称，熟练其规律是解决本题的关键．关于原点对称的两点的坐标的关系是横坐标、纵坐标都互为相反数，据此规律写出即可．【详解】解：点关于原点对称的点B的坐标是．故选A．4.下列说法正确的是（）A.“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨B.若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷次图钉，钉尖向上的次数为次C.经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件D.汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件【答案】C【解析】【分析】本题主要考查概率的意义、事件的分类等知识点，掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义、事件的分类逐项判断即可解答．【详解】解：A、“明天下雨的概率为”是说明天大约有可能下雨，原说法错误，不符合题意；B、抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数可能为40次，原说法错误，不符合题意；C、经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件，原说法正确，符合题意；D、汽车累积行驶没有出现故障，是随机事件，原说法错误，不符合题意．故选：C．5.如图，在中，，，则弧的长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查弧长公式、圆周角性质等知识点，掌握弧长的计算公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解题关键．根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后根据弧长公式求解即可．【详解】解：∵，∴，，．∴弧的长为．故选：A．6.下列说法正确的是（）A.平分弦的直径垂直于弦 B.直线和圆有公共点，则直线与圆相交C.相等圆心角所对的弧相等 D.半圆（或直径）所对的圆周角是直角【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理、直线和圆的位置关系等知识点，灵活运用圆有关定理和性质是解题的关键．由垂径定理可判定A选项；由直线和圆的位置关系得出选项B选项；由圆心角、弧、弦的关系得出选项C选项；由圆周角定理得出选项D选项．【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故A不正确，不符合题意；B．若直线和圆有公共点，则直线和圆相交或相切，故B不正确，不符合题意；C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C不正确，不符合题意；D．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，故D正确，符合题意．故选D．7.小明在如图所示的方格纸中，将三个顶点都在格点上的经过旋转后得到，则其旋转中心是（）A.格点M B.格点P C.格点Q D.格点N【答案】C【解析】【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转的性质，旋转中心为对应点连线的中垂线上，连接，两条线段的中垂线的交点即为旋转中心．掌握旋转的性质，是解题的关键．【详解】解：旋转的性质，旋转中心为对应点连线的中垂线上，连接，两条线段的中垂线的交点即为旋转中心．，故选C．8.如果点，，在反比例函数的图象上，那么下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；根据反比例函数的性质可进行求解．【详解】解：由反比例函数可知：，图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点，，在反比例函数的图象上，∴；故选：C．9.如图，正三角形的边长为，点，，分别为，，的中点，以，，三点为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】连接，根据等边三角形的性质可得，，求得圆的半径都是4，再利用求解即可．本题考查等边三角形的性质、扇形的面积公式及勾股定理，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解题的关键．【详解】解：连接，则，∵是等边三角形，∴，，∴，即三个圆的半径都是4，在中，，∴．故选：A．10.已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是（）A.3 B.－1 C.3或1 D.－3或1【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3．【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，∴，解得：，又∵，，，∴，∴解并检验得：或，∵，∴，故选：A．二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11.围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键；根据概率公式计算即可．【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，一共有6种等可能性，4个白色棋子，有4种等可能性，∴摸到白色棋子的概率是，故答案为：．12.已知一个扇形的半径为，扇形的周长为，则该扇形的面积为________．（结果保留）【答案】【解析】【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式（其中l为扇形的弧长，R为扇形所在圆的半径）是解题的关键．先求得该扇形的弧长为，然后利用利用扇形的面积公式（其中l为扇形的弧长，R为扇形所在圆的半径）求解即可．【详解】解：设扇形的弧长为l，则，由题意可得：．故答案为：．13.若是方程的一个根，求的值_________．【答案】2025【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解得的定义得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵是方程的一个根，∴，∴，∴．故答案为：2025．14.如图，是半圆的直径，弦相交于点是的中点，则_____．【答案】##【解析】【分析】此题考查了圆周角定理、含角的直角三角形的性质等知识．由是半圆的直径得到，由得到，求出，由是的中点得到，则，得到，，根据含角的直角三角形的性质即可得到答案．【详解】解：是半圆的直径，，，，，是的中点，，，，，．故答案为：．15.如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为______．【答案】##【解析】【分析】如图，连接，作于H．首先证明点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，当点Q在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题．【详解】解：如图，连接．作于H．∵点Q为的中点，∴，∴，∴点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，当点Q在的延长线上时，的值最大，在中，∵，∴，∴，,在中，，∴的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．三、解答题（本大题9小题，共75分）16.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用解一元二次方程中的因式分解法求解即可；（2）利用解一元二次方程中的公式法求解即可．【小问1详解】解：，，所以，．【小问2详解】解：由公式法可知：Δ=∴，∴，．17.已知抛物线与y轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与轴的交点坐标；（3）当在什么范围时，？当在什么范围时，？【答案】（1）；（2），；（3）当时，；当或时，．【解析】【分析】本题考查二次函数的图像与性质、二次函数图像与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式，正确求得函数解析式，以及二次函数的性质是解答的关键．（1）将点代入函数解析式中求得m值即可；（2）令，解方程即可解答；（3）根据二次函数的图像与性质求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线与y轴交于点，∴，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】解：令，由解得，，∴抛物线与轴的交点坐标为和；【小问3详解】解：由得，∴抛物线的开口向下，又抛物线与轴的交点坐标为和，∴当时，；当或时，．18.小明和小亮用如图所示的转盘进行游戏，三个扇形的圆心角均相等，分别标有数字1，2，3．游戏规则如下：一人转动一次转盘，若两次转盘指针所指的数字之积为偶数，则小明胜；若两次转盘指针所指的数字之积为奇数，则小亮胜．（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果．（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由，【答案】（1）见解析（2）不公平，理由见解析【解析】【分析】本题考查画树状图或列表法表示事件的等可能性，简单概率计算．（1）根据题意列表法表示即可；（2）根据（1）中列表计算出现的概率是否一致来判断是否公平即可．【小问1详解】解：根据题意，列表如下：由表格可知，共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同．【小问2详解】解：不公平，理由如下：由（1）中表格可知，两次转盘指针所指数字之积为偶数的有5种，积为奇数的有4种，则小明胜的概率是，小亮胜的概率是．，这个游戏不公平．19.如图，函数与函数的图象交于点和点，点是点A关于轴的对称点，连接，．（1）分别求这两个函数的解析式；（2）求的面积；（3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集．【答案】（1），；（2）16；（3）或．【解析】【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的综合、待定系数法求函数解析式、反比例函数与不等式等知识点，掌握反比例函数的图象和性质是解答关键．（1）分别将点代入和求解即可；（2）先根据轴对称求出点C的坐标，再坐标与图形以及反比例函数求得点B的坐标，最后利用三角形面积公式求解即可；（3）根据反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，再利用图象来求解不等式的解集即可．【小问1详解】解：把点代入得：，解得：，∴反比例函数的解析式为；把点代入得：，解得：；∴正比例函数的解析式为．【小问2详解】解：∵点是点A关于轴的对称点，，∴，∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，∴，∴，∴．【小问3详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，所以根据图象可得：不等式的解集为或．20.如图1，A，是上的两点，，C是的中点．（1）求证：四边形是菱形；（2）如图2，将线段绕圆心逆时针旋转，得到线段，交于点，连接，若，求的周长．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）如图1，连接，证明是等边三角形，则，同理，进而得到即可证明结论；（2）如图2，连接，求出、，则平分得到，则、，再运用勾股定理求出、，然后根据三角形的面积公式求解即可．【小问1详解】证明：如图1，连接，∵，是的中点，∴，∵，∴是等边三角形，∴，同理∶，∴，∴四边形是菱形．【小问2详解】解：如图2，连接，∵是等边三角形，∴，∵将线段绕圆心逆时针旋转，得到线段，∴，∴，，∴平分，∴，∴，∴，∴，∴．∴的周长为．【点睛】本题主要考查了垂径定理、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理、图形的旋转等知识点，熟练掌握菱形的判定、等边三角形的判定和性质是解题的关键．21.某水果店购入一批进价为元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表．销售单价……日销售量……（1）求与的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）；（2）当销售单价定为元时，所获日销售利润最大，最大利润是元．【解析】【分析】本题考查求一次函数解析式、二次函数的应用等知识，根据题意列出函数解析式是解题的关键．（1）设，然后根据待定系数法即可解答；（2）设日销售利润为元，结合单件利润乘以销售量等于总利润可建立函数解析式求解即可，然后确定售价的取值范围，最后根据二次函数的性质求最值即可解答．【小问1详解】解：设，由题意得：，解得：．则与函数表达式为．【小问2详解】解：设日销售利润为元，由题意得：，∵销售单价不低于进价且不超过元/千克，∴，则当时，有最大值元．答：当销售单价定为元时，所获日销售利润最大，最大利润是元．22.把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形，如图，的半径是R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长．【答案】圆外切正三角形的边长为2R；圆外切正方形的边长为2R；圆外切正六边形的边长为R．【解析】【分析】标注字母，外切正三角形时，求出∠AOD=60°，然后解直角三角形求出AD，再根据边长AB=2AD计算即可得解；外切正方形时，求出∠AOD=45°，根据等腰直角三角形的性质可得AD=OD，再根据边长AB=2AD计算即可得解；外切六边形时，求出∠AOD=30°，然后解直角三角形求出AD，再根据边长AB=2AD计算即可得解．【详解】解：如图，外切正三角形时，∠AOD=360°÷6=60°，所以，AD=OD•tan60°=R•=R，所以，外切正三角形边长AB=2AD=2R；外切正方形时，∠AOD=360°÷8=45°，所以，△AOD是等腰直角三角形，所以，AD=OD，外切正方形的边长AB=2AD=2R；外切六边形时，∠AOD=360°÷12=30°，所以，AD=OD•tan30°=R，所以，外切六边形的边长AB=2AD=R．【点睛】本题考查了正多边形和圆，主要利用了解直角三角形，熟记正多边形的性质并求出切点与相邻的顶点所对的圆心角的度数是解题的关键．23.如图，点是正方形内一点，，，，绕点A顺时针旋转得到，连接，延长与相交于点．（1）求线段的长；（2）求角的大小；（3）求正方形的面积．【答案】（1）；（2）；（3）13．【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、勾股定理逆定理、正方形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）根据正方形的性质得、，再利用旋转的性质得，，于是可判断是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理即可解答；（2）由等腰直角三角形性质知，利用旋转的性质得，再根据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形且，然后利用平角定义求得的度数；（3）如图：作，垂足为E，由、，求出，在中，再运用勾股定理求出，最后根据正方形的面积公式即可解答．【小