已知两点坐标四种方法计算x轴点P到两点距离和最小值的方法步骤A3

-4-已知A(2,7),B(3,10),求x轴上点P到A,B距离和最小值主要内容：本文通过解析几何直线性质、三角形三边关系以及导数法，介绍已知A(2,7),B(3,10)求x轴上点P有其到A,B距离和最小值的主要步骤。☀.对称分析法根据两点间直线距离最短，先找出其中1个点关于x轴对称点，再与另外一个点连成直线，则直线与x轴的交点即为所求的p点。☆.找关于A点对称步骤：A(2,7)B(3,10) xP(eq\f(41,17),0)A1(2,-7)此时A关于x轴的对称点为A1(2,-7)，此时直线A1B的斜率k1为：k1=eq\f(10-(-7),3-2)=17,则其直线方程为:y-10=17*(x-3).令y=0，代入求出x=eq\f(41,17),所以p(eq\f(41,17),0).☆.找关于B点对称步骤：A(2,7)B(3,10) xP(eq\f(41,17),0)B1(3,-10)此时B关于x轴的对称点为B1(3,-10)，此时直线B1A的斜率k2为：k2=eq\f(7-(-10),2-3)=-17,则其直线方程为:y-7=-17(x-2).令y=0，代入求出x=eq\f(41,17),所以p(eq\f(41,17),0).☀.三角形分析法已知A(2,7),B(3,10),求x轴上点P有其到A,B距离和最小，即问题转化为在三角形ABP中，已知边AB的长度c=eq\r(10)为定值，求三角形另外两边BP和AP长度和的最小值。 P(x,0) A(2,7)B(3,10)由于三角形的两边和大于第三边，即BP+AP>AB，可知当BP与AP的夹角越接近180°时，AP+PB的值最小,设p点坐标为P(x,0)，x∈(2,3),此时AP和PB的斜率绝对值相等。又Kap=eq\f(7,2-x)，kbp=eq\f(10,3-x)，所以：|eq\f(7,2-x)|=|eq\f(10,3-x)|，求出x=eq\f(41,17)，其中x=-eq\f(1,3)(舍去)。☀.光线最短路径分析法思路：光线总是沿传播所耗时间最短路程传播。B(3,10)A(2,7) 90°-θθP(x,0)x所求点即为光线的入射角，光线从A点出发，在p点反射后，经过点B,设PB与x轴的倾斜角为θ，则光线的入射角=反射角=90°-θ，此时PA的与x轴的倾斜角为180°-θ，根据斜率关系有：tanθ=kbp=eq\f(10,3-x),tan(180°-θ)=Kap=eq\f(7,2-x),所以：10(2-x)=-7(3-x),即：x=eq\f(41,17)。☀.导数分析法设p的坐标为p(x,0),所求距离和为d，则：d=eq\r((x-2)2+72)+eq\r((x-3)2+102),是关于x的函数，对x求导有d'x=eq\f(x-2,eq\r((x-2)2+72))+eq\f(x-3,eq\r((x-3)2+102)),令d'x=0，则eq\f(x-2,eq\r((x-2)2+72))=-eq\f(x-3,eq\r((x-3)2+102)),(3-x)eq\r((x-2)2+72)=(x-2)eq\r((x-3)2+102),可知2<x<3,方程两边平方有:102(x-2)2=7