江苏省苏州市常熟市2021-2022学年高一下学期数学期中试卷（含答案）

江苏省苏州市常熟市2021-2022学年高一下学期数学期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．a，b是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（）A．a=b C．a2≠b2．若复数z满足(1−i)z=2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知平面向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a⋅(A．π6 B．π3 C．2π34．如图所示的△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段BC的中点，则DE=A．−16ABC．12AC−5．一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为（）A．6π B．12π C．86π6．已知0<α<π2，0<β<π2，且sin(α−β)=−A．6365 B．5665 C．33657．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN，现选择点A和另一座山的山顶（点）C作为测量观测点，从A测得点M的仰角∠MAN=45°，点C的仰角∠CAB=30°，测得∠MAC=75°，∠MCA=60°，已知另一座山高BC=100米，则山高MN等于（）A．1003 B．1002 C．200 8．在边长为2的等边△ABC中，D为AC的中点，M为AB边上一动点，则MC⋅A．32 B．118 C．2 二、多选题9．圆柱的侧面展开图是长6cm，宽4cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（）A．24πcm3 B．24πcm310．已知复数z1，z2，z1A．若z12+z22=0，则zC．若z1⋅z2是实数，则z211．下列计算正确的是（）A．sinB．tanC．coD．co12．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴､y轴正方向同向的单位向量.若向量OP=a=xe1+yeA．a⋅b=−3C．a⊥b D．a+b三、填空题13．已知向量a=(−1，2)，b=(2，−1)14．已知△ABC的面积为33，AB=2，∠A=π315．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD−A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=8cm，16．在代数发展史上，解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题.数学有如下代数基本定理：任何一元n(n∈N*)次复系数方程f(x)=0至少有一个复数根.进而可得到：一元n项式方程有n个复数根（重根按重数计）.早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家得到了一元三次方程､一元四次方程的解法，实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0=0在复数集C内的根x1，x2满足x1+四、解答题17．已知复数z满足|z|+z=8−4i，i为虚数单位.（1）求复数z；（2）若复数z，z−1+6i在复平面内对应的点为A，B，O为坐标原点，求△OAB的面积.18．已知a，b，c是同一平面内的三个不同向量，其中a=(1（1）若|c|=25，且a（2）若|b|=2，且|ka+b|=219．某港口海水的深度y(m)是时间t（时）（0≤t≤24）的函数，记为y=f(t).已知某日海水深度的数据如下：t（时）024681012141618202224y(m)9.512.51412.59.58.09.512.514.012.59.58.09.5经长期观察，y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Asin（1）根据以上数据，求出函数y=f(t)=Asin（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为7.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？20．在①csinB=b，②sinC=2sin在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，b=3，____.（1）求角C；（2）若M是AB边上的一点，且AM=2MB，求CM的长.21．如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地AOB（圆心角为π3）和COD（圆心角为π2），BD为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域OEFG，一块为平行四边形区域MNPQ，已知圆的直径PF=2百米，且点P在劣弧AB上（不含端点），点Q在OA上､点G在OC上､点M和N在OB上､点E在OD上，记（1）经设计，当OE−12MN达到最大值时，取得最佳观赏效果，求θ（2）设矩形OEFG和平行四边形MNPQ面积和为S，求S的最大值及此时cos2θ22．若已知向量a=(cosx，sinx)（1）若α∈(π3，5π6（2）若函数g(x)=12[f(x−

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】A．a，B．a⋅C．a2=aD．由C知|a故答案为：D.

【分析】由相等向量的概念：大小相等，方向相同的两向量为相等向量，即可判断A；由向量的数量积的定义，即可判断B；由向量的平方即为模的平方，以及单位向量的概念，即可判断C，D.2．【答案】B【解析】【解答】由题意，复数z满足(1−i)z=2i，可得z=2i可得复数z在复平面内对应的点为(−1，1)位于第二象限.故答案为：B.

【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z在复平面内对应的点的坐标得答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：因为|a|=2，|b所以a⋅(a−设向量a与b的夹角为θ，则cosθ=因为θ∈[0，π]，所以故答案为：C

【分析】先求出a，b的数量积，再由向量的夹角公式，计算即可得答案.4．【答案】B【解析】【解答】由已知可得DB=23所以DE=故答案为：B．

【分析】由已知可得DB=235．【答案】D【解析】【解答】设正四棱柱的外接球半径为R因为正四棱柱的底面边长为2，高为4，所以(2R)2=2所以该正四棱柱的外接球的表面积为4πR故答案为：D

【分析】由于正四棱柱的体对角线就是其外接球的直径，求出体对角线，从而可求得球的半径，进而可求出外接球表面积.6．【答案】C【解析】【解答】由0<α<π2，0<β<π2可得：−sin故答案为：C

【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得cos(a-β)和cosβ的值，再利用两角和的正弦公式求出sina=sin[(a-β)+β]的值.7．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC中，BC⊥AB，∠CAB＝30°，BC＝100，所以可得AC＝BCsin∠BAC＝在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，由正弦定理可得：ACsin∠AMC＝AMsin∠ACM，即2002在Rt△AMN中，∠MAN＝45°，所以MN＝AM•sin∠MAN＝1006×22＝1003故答案为：A．

【分析】由题意及三角形的正、余弦定理，可求出各个三角形的边长，进而求出山高MN的值.8．【答案】D【解析】【解答】如图：以{AB，设AM∵MC∴MC⋅MD=(AC故答案为：D．

【分析】以{AB，AC}为基底向量，利用向量的线性运算可得MC→9．【答案】A,C【解析】【解答】因为圆柱的侧面展开图是长6cm，宽4cm的矩形，所以当圆柱的高为4cm，则底面周长为6cm，设底面半径为r，则2πr=6，得r=3所以此时圆柱的体积为πr当圆柱的高为6cm，则底面周长为4cm，设底面半径为r，则2πr=4，得r=2所以此时圆柱的体积为πr综上，圆柱的体积可能为24πcm故答案为：AC

【分析】分圆柱的底面周长为6cm和圆柱的底面周长为4cm，分别求出底面半径和高，由体积公式求解即可得答案.10．【答案】B,D【解析】【解答】对于A，若z1=i，z2对于B，因为|z1|≥0，|z2|≥0，对于C，若z1=2i，z2对于D，设z1=x+yi=(所以|z因为|z所以|z故答案为：BD

【分析】由复数的运算，结合共轭复数以及复数的模的运算，逐项进行判断，可得答案.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】sin72°tan22coscos故答案为：ACD

【分析】利用两角差的正弦公式可判断A；利用正切的二倍角公式可判断B；利用同角三角函数基本关系式和余弦的二倍角公式可判断C；利用正弦的二倍角公式结合同角三角基本关系式可判断D.12．【答案】B,C,D【解析】【解答】a⋅b=(2cos−4+10×12+674−24×故答案为：BCD

【分析】利用新定义的坐标概念结合向量数量积的运算和向量模的公式，逐项进行判断，可得答案.13．【答案】4【解析】【解答】因为a=(−1，2)所以λa因为a⊥(λ所以a⋅(λa+故答案为：4

【分析】利用向量垂直的性质列出方程，求解可得答案.14．【答案】2【解析】【解答】因为△ABC的面积为33，AB=2，∠A=由三角形面积公式S=1∴b=6，又a2∴a=27，即BC=2故答案为：27

【分析】由已知利用三角形的面积公式可求出b，再利用余弦定理可求出a，即得边BC长.15．【答案】209【解析】【解答】由题意得，SEFGH四棱锥O−EFG的高4cm，∴VO−EFGH又长方体ABCD−A1B所以该模型体积为V=V其质量为0.故答案为：209

【分析】由V=V16．【答案】-2；1±【解析】【解答】x3−x+6=0即(x+2)(x2−2x+3)=0，解得实数根x1=−2，又故答案为：−2；1±

【分析】因式分解求解实数根和虚数根即可得答案.17．【答案】（1）解：设复数z=a+bi(a，b∈R)，由题意得a2+b所以z=3−4i.（2）解：由（1）可得z−1+6i=2+2i，所点A(3，−4)，B(2，2)，cos因为∠AOB∈(0，π)，所以所以S【解析】【分析】（1）设复数z=a+bi(a，b∈R)，把z代入已知等式，利用复数相等的条件列式求得a与b的值，可求出复数z；

(2)由（1）可得z−1+6i=2+2i，OA→，OB→的坐标，利用向量夹角公式可求出cos∠AOB18．【答案】（1）解：因为a=(1，2)，且a所以|c解得λ=±2，所以c=(2，4)（2）解：由|ka+b所以k2因为|a|=5，|因为k>0，所以a⋅当且仅当k2=1所以(a设a与b夹角为θ，则此时cosθ=【解析】【分析】（1）根据题意设c=λa=(λ，2λ)，然后根据|c→|=25，可求出λ的值，进而可得出c的坐标；

（2）由|ka+19．【答案】（1）解：由题设的数据可得A+b=14−A+b=8，故A=3，b=11周期T=12，故ω=π6，故因为t=4时y=14，所以3sin(2π因为|φ|<π2，所以y=3sin（2）解：令y≥7.5+5=12.5，则所以π6+2kπ≤π6t−因为t∈[0，24]，所以故2≤t≤6或故船舶至多能在港内停留16小时.【解析】【分析】（1）根据表中数据可判断出周期以及最值，即可代入求解出函数y=f(t)=Asin(ωt+φ)+b的表达式；20．【答案】（1）解：若选①，由正弦定理，可得sinC因为B∈(0，π2)，所以因为△ABC为锐角三角形，所以C无解，不符合题意.若选②，由正弦定理，可得c=2a.因为a=2，b=3，所以c=4.所以cosC=因为△ABC为锐角三角形，所以C无解，不符合题意.若选③，由正弦定理，可得sinA=又sinA=sin因为B∈(0，π2)，所以因为C∈(0，π2（2）解：（法一）因为AM=2MB，所以CM=所以CM=1所以CM=37（法二）在△ABC中，c2所以c=7所以cosA=b2+c2−所以CM所以CM=37【解析】【分析】（1）根据正余弦定边角互化，即可从三个条件中选择符合的，求出角C；

（2）根据向量的线性表示，进而求得CM的长.21．【答案】（1）解：在矩形OEFG中，∠EOF=∠BOP=θ，OF=1，所以OE=cos因为MN∥PQ，∠AOB=π3，所以在△OQP中，OP=1，∠QOP=πOPsin∠OQP=得PQ=2所以OE−因为θ∈(0，π3)，所以θ+π3∈（2）解：设平行四边形MNPQ边MN上的高为h，所以有h=sin所以平行四边形MNPQ的面积为23在矩形OEFG中，EF=sinθ，所以矩形OEFG的面积为所以S==2==39其中sinφ=339，cosφ=639，当2θ+φ=π2，θ=π4−此时cos2θ=【解析】【分析】（1）由题意得OE=cosθ，PQ=233sin(π3−θ)，代入OE−12MN，得关于θ的函数，进行三角恒等变换整理成OE−22．【答案】（1）解：由题意，f(x)==cos所