广东省增城区四校2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷（含答案）

广东省增城区四校2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知复数z满足(3+4i)z=2+i，则z=（）A．25−i B．225−12．若复数z对应的点是(−1,1)，则1z+1A．i B．−i C．-1 D．13．已知在平行四边形ABCD中，AD=(2，6)，ABA．(−2，−5) B．(−1，−5) C．4．在△ABC中，若b=3，c=322A．无解 B．两解C．一解 D．解的个数不能确定5．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为（）A．3π B．3π2 C．36．如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高相等，下面部分的体积为16A．23 B．13 C．127．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（）A．56m B．153m C．52m D．156m8．设点E为正方形ABCD的中心，M为平面ABCD外一点，△MAB为等腰直角三角形，且∠MAB=90∘，若F是线段A．ME≠DF，且直线ME、DF是相交直线B．ME=DF，且直线ME、DF是相交直线C．ME≠DF，且直线ME、DF是异面直线D．ME=DF，且直线ME、DF是异面直线二、多选题9．若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为（）A．平行 B．相交C．直线在平面内 D．相切10．已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）A．i10=−1 B．复数−2−iC．若复数z为纯虚数，则|z|2=z2 D．若11．已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c.A．若b=1，c=2，A=2π3B．若b=5，B=π4，sinC．若A>B，则sinD．若A=π6，a=5，则12．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD−A1BA．水的部分始终呈棱柱状B．水面四边形EFGH的面积为定值C．棱A1D1D．若E∈AA1，F∈BB三、填空题13．已知向量a=(−2,3),b=(3,m)，且a⊥14．已知正方体ABCD−A1B15．若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为.16．已知△ABC是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=3，b=4，则最大边c的取值范围是．（结果用区间表示）四、解答题17．知非零向量e1和e（1）如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3（（2）欲使向量ke1＋e2与e118．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知3a（1）求角B的大小；（2）若b=1，△ABC的面积为34，求△ABC19．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C（1）求证：BD1//（2）求点B到平面ACE的距离．20．如图，在△ABC中，AB=2，cosB=13，点D（1）若∠ADC=3π4，求（2）若BD=2DC=4，求sin∠BAD21．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD，并证明你的结论．22．已知半圆圆心为O，直径AB=4，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）若PA=34CA−14（3）若y=PA⋅PO，当y得最小值时，求点P

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】z=2+i故答案为：C．

【分析】利用复数的除法运算求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】由题得z=−1+i,∴1故答案为：B

【分析】首先由复数的几何意义结合点的坐标再由复数的运算性质整理即可得出答案。3．【答案】D【解析】【解答】由题设，AM=故答案为：D.

【分析】根据向量加法的几何意义可得AM→4．【答案】C【解析】【解答】由正弦定理，得bsin得sinC=因为c<b，则C<B，故C为锐角，故满足条件的△ABC只有一个.故答案为：C.

【分析】根据正弦定理求出sinC=5．【答案】C【解析】【解答】圆锥底面周长为12所以圆锥的底面半径r=1，圆锥的高h=2所以圆锥的体积为V=1由祖暅原理，该几何体的体积也为3π故答案为：C

【分析】由圆锥底面周长可求得圆锥的底面半径r=1，圆锥的高h=26．【答案】A【解析】【解答】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，故个漏斗的容积为16故答案为：A

【分析】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，即可得到答案.7．【答案】D【解析】【解答】在△BCD中，∠CBD=180由正弦定理得BCsin解得BC=152在Rt△ABC中，AB=BCtan故答案为：D

【分析】在△BCD中，由正弦定理，求得BC=152，再Rt△ABC在中，即可求得AB=158．【答案】B【解析】【解答】连接EF，如下图所示：由题意AB⊥AD，AB⊥AM，AM=AD，AB=AB，则Rt△BAM≌Rt△BAD，所以，BM=BD，因为E、F分别为BD、BM的中点，则EF//DM，因为FM=12BM=所以，ME=DF，且直线ME、DF是相交直线.故答案为：B.

【分析】连接EF，推导出四边形FMDE是等腰梯形，结合等腰梯形的几何性质可得结论.9．【答案】A,C【解析】【解答】如图1所示，α与β平行，a//β，而直线a在平面如图2所示，α与β平行，a//β，而综上：若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为平行或直线在平面内.故答案为：AC

【分析】画出图形，分析出这条直线与另一个平面的位置关系为平行或直线在平面内.10．【答案】A,D【解析】【解答】A：(iB：对于复数−2−i的虚部为-1，B不符合题意；C：由复数z为纯虚数，设z=bi(b∈R，则|z|2=bD：设复数z=a+bi(a，b∈R)，则所以z⋅z故答案为：AD

【分析】根据复数的乘方与复数的几何意义、共轭复数的概念与运算依次判断选项即可.11．【答案】A,B,C【解析】【解答】A.因为b=1，c=2，A=2π由余弦定理得：a2=bB.因为b=5，B=π4，sinA=解得a=bC.因为A>B，0<A<180°，0<B<18由正弦定理，得2RsinA>2Rsin所以sinA>D.因为A=π6，a=5，设R为由正弦定理，2R=asinA故答案为：ABC

【分析】利用余弦定理求解即可判断A；利用正弦定理和余弦定理求解即可判断B；利用正弦定理即可判断C、D.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由于四边形ABFE与四边形DCGH全等，且平面ABFE‖平面DCGH，则由棱柱的定义可知，水的部分始终呈棱柱状，所以A符合题意，因为BC‖FG，BC⊥平面ABB1A1，所以FG⊥平面ABB1A1，因为EF⊂平面ABB1A1，所以FG⊥EF，因为FG‖EH，FG=EH，所以因为四边形EFGH为矩形，所以水面四边形容器底面一边BC固定在底面上时，BC‖FG‖A1D1，所以由线面平行的判定定理可知，棱A如图，由于水平放置时，水的体积是定值，水的高度是定值h，底面面积不变，所以当一部分上升的同时，另一部分下降相同的高度a，设BF=h−a，则AE=h+a，所以BF+AE=h−a+h+a=2h为定值，所以当E∈AA1，F∈BB故答案为：ACD

【分析】利用棱柱的定义即可判断选项A，由水面四边形EFGH的边长在变化，即可判断选项B，利用线面平行的判定定理即可判断选项C，由于水平放置时，水的高度是定值，从而求出AE+BF为定值，即可判断选项D.13．【答案】2【解析】【解答】由题意可得−2×3+3m=0,解得m=2.

【分析】利用两向量垂直数量积为0，结合数量积的坐标表示，从而求出m的值。14．【答案】12π【解析】【解答】根据题意正方体的对角线为外接球的直径，正方体的棱长为2，易得对角线长度为23，所以外接球的半径r=3，则外接球的表面积为：故答案为：12π.

【分析】正方体的对角线为外接球的直径，进而根据题意求出外接球的半径r=315．【答案】100【解析】【解答】因正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则该正四棱台上底、下底面边心距分别为1，4，而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高h'因此，侧面积S=4×2+8所以所求的侧面积为100.故答案为：100

【分析】根据正四棱台的结构特征，借助其高、斜高、两底面对应边心距构成的直角梯形求出斜高即可计算得解.16．【答案】（5，7）【解析】【解答】因为△ABC是钝角三角形，最大边为c，所以角C为钝角，在△ABC中，由余弦定理可得：cosC=a2又因为c<a+b=7，所以5<c<7，所以最大边c的取值范围是：5<c<7，故答案为：（5，7）.

【分析】由题意可得C为钝角，由余弦定理结合c<a+b，即可求解.17．【答案】（1）解：因为BD=BC＋CD=5e1+5且AB为非零向量，所以AB与BD共线，即A，B，D三点共线.（2）解：因为ke1＋e2与e1所以存在实数λ使得ke1＋e2=λ(e即(k−λ)e因为e1和e2不共线，所以k−λ=0，【解析】【分析】（1）利用共点向量的共线证明三点共线即可；

（2）利用向量共线可得(k−λ)e1=(kλ−1)e2，又非零向量e118．【答案】（1）解：在△ABC中，由正弦定理得a=2Rsin∵3acosB=b∵A∈(0，π∴3cosB=sinB，又显然∴tanB=3，又∵B∈(0（2）解：∵B=π3，由S△ABC在△ABC中，由余弦定理，得b∴1=(∴a+c=2，∴△ABC的周长为3．【解析】【分析】(1)根据正弦定理可得3acosB=bsinA，结合同角的三角函数关系和角B的范围即可求解；

19．【答案】（1）证明：如图所示：连接BD与AC交于点O，连接OE，∵E，O为中点，∴BD又BD1⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，∴B（2）解：设点B到平面ACE的距离为d，在Rt△ADE中，AE=A在Rt△CDE中，CE=C∴AE=CE，又∵O为CA中点，∴OE⊥CA，在Rt△ABC中，CA=A则OE=A即S△AEC∵在正方体ABCD−A∵VB−AEC=VE−ABC，∴【解析】【分析】（1）由题意，根据线面平行判定定理，结合中位线定理，可得答案；

（2）由题意，根据等体积法VB−AEC=V20．【答案】（1）解：∵cosB=13，则B为锐角，∵∠ADC=3π4，则∠ADB=π4，在∴AD22（2）解：∵BD=2DC=4，故DC=2，BC=BD+DC=6，由余弦定理可得AC=A在△ABD中，由正弦定理可得BDsin故sin∠BAD=2在△ACD中，由正弦定理可得CDsin故sin∠CAD=∵sin∠ADB=∴sin【解析】【分析】（1）由题意，根据三角形的性质，结合正弦定理ADsinB=ABsin∠ADB，可得AD=83；

（2）由题意，根据余弦定理，求得21．【答案】（1）证明：取PB中点Q，连MQ、NQ，∵M、N分别是AB、PC的中点，∴NQ//BC，MQ//PA∵AD//BC，∴NQ//AD，∵MQ∩NQ=Q，PA∩AD=A，∵MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD∴平面MNQ//平面PAD，∵MN⊂平面MNQ，∴MN//面PAD（2）解：由（1）可知Q在PB的中点上时，平面MNQ//平面PAD【解析】【分析】（1）取PB中点Q，连MQ、NQ，中位线定理和四边形ABCD为平行四边形可得MQ//PA，NQ//AD，根据平面与平面平行的判定定理可证得平面MNQ//平面PAD；故可得MN//平面PAD．（2）由（1