江苏省常州市2024-2025学年高一上册10月月考数学学情检测试题（含解析）

江苏省常州市2024-2025学年高一上学期10月月考数学学情检测试题一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A B. C. D.2.如图中是全集，，是的两个子集，则图中阴影部分表示为（）A. B.C. D.3.已知命题，则为（）A.， B.，C.， D.，4.设a，b，m都是正数，且，记，则（）A. B.C. D.与的大小与的取值有关5.若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.6.不等式的解集为（）A. B.C. D.7.某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（）．A.36平方米 B.48平方米C64平方米 D.72平方米8.已知关于的一元二次不等式的解集为，则有（）A.最小值 B.最大值 C.最小值 D.最大值二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知实数满足，则（）A. B. C. D.10.已知集合，若，则实数的值可以是（）A. B.1 C. D.11.1872年德国数学家戴德金从连续性要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.例如，取，则就是一个戴德金分割.已知有理数集与无理数集都具有“稠密性”，即任意两个不同的实数之间都有无穷多个有理数，也有无穷多个无理数.则下列说法中，正确的有（）A.若有最大元素，有最小元素，则可能是一个戴德金分割B.若没有最大元素，有最小元素，则可能是一个戴德金分割C.若有最大元素，没有最小元素，则可能是一个戴德金分割D.若没有最大元素，没有最小元素，则可能是一个戴德金分割三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.满足关系的集合有____________个.13.已知，则“”是“”的_____________条件.（请在“充分且不必要”、“必要且不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填写）14.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是____________.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知非空集合，集合.（1）若，求；（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围.16.已知集合，集合，设集合.（1）求；（2）当时，求函数的最小值.17.已知，关于的一元二次不等式的解集为或.（1）求的值；（2）解关于的不等式.18.与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔AB的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如左图），已知.（1）请计算天宁宝塔AB的高度（四舍五入保留整数）；（2）为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高AB直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如右图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式）【注】可能用到的基本事实有：对于锐角越大，则越大，反之亦然；对任意两个锐角，总有成立.19.已知有限集，若中的元素满足，则称为“完美集”.例如，集合的元素满足，故为“完美集”.（1）已知是“完美集”，求的值;（2）若是“完美集”，且，求证：中至少有一个大于2；（3）试求出所有的每一个元素都为正整数的“完美集”.江苏省常州市2024-2025学年高一上学期10月月考数学学情检测试题一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据并集的定义计算可得.【详解】因为，，所以.故选：D2.如图中是全集，，是的两个子集，则图中阴影部分表示为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】分别表示出四个选项所表示的部分，得到答案.【详解】A选项，表示的部分为②和④，A错误；B选项，表示的部分为①和④，B错误；C选项，表示的部分为①，③和④，C错误；D选项，表示的部分为①，D正确.故选：D3.已知命题，则为（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】D【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：命题的否定是．故选：D4.设a，b，m都是正数，且，记，则（）A. B.C. D.与的大小与的取值有关【正确答案】A【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案.【详解】由，且，即，可得，即，故选：A.5.若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据给定条件，求出集合中元素，再列出不等式求解即得.【详解】由集合有6个非空真子集，得集合中有3个元素，为，因此，解得，所以实数的取值范围为.故选：A6.不等式的解集为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】当时直接得解，当时原不等式等价于，再解分式不等式即可.【详解】不等式，当时，不等式显然成立；当时，则原不等式等价于，等价于，解得或，综上可得原不等式的解集为.故选：D7.某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（）．A.36平方米 B.48平方米C.64平方米 D.72平方米【正确答案】C【分析】设不靠墙的两个侧面的长度分别为，由题有，利用基本不等式可得答案.【详解】设不靠墙两个侧面的长度分别为，由题有.令，则，即，当且仅当时取等号.故选：C8.已知关于一元二次不等式的解集为，则有（）A.最小值 B.最大值 C.最小值 D.最大值【正确答案】B【分析】由题意先确定参数之间的关系式，从而可将表示成只含有的代数式，结合基本不等式即可求解.【详解】因为一元二次不等式ax2+bx+c>0所以当且仅当，即当且仅当，所以因为，所以上式，当且仅当，即时取等.所以有最大值.故选：B.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知实数满足，则（）A. B. C. D.【正确答案】ACD【分析】利用同向不等式的可加性和同向正数不等式的可乘性来推理，即可得到判断.【详解】由，利用同向不等式的可加性得：，故A对，B错；再由，平方可得：，再利用同向正数不等式的可乘性得：，故C对；又由，可得：，再利用同向正数不等式的可乘性得：，两边同除以正数得：，故D对，故选：ACD.10.已知集合，若，则实数的值可以是（）A. B.1 C. D.【正确答案】CD【分析】根据包含关系分或或三种情况讨论，运算求解即可.【详解】，因为，所以，则有：若，解得或，当时，，，不符合集合元素的互异性；当时，，，不符合集合元素的互异性；若，解得或，当时，，，不符合集合元素的互异性；当时，，，符合题意；若，解得或，当时，，，不符合集合元素的互异性；当时，，，符合题意；综上所述：或.故选：CD.11.1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.例如，取，则就是一个戴德金分割.已知有理数集与无理数集都具有“稠密性”，即任意两个不同的实数之间都有无穷多个有理数，也有无穷多个无理数.则下列说法中，正确的有（）A.若有最大元素，有最小元素，则可能是一个戴德金分割B.若没有最大元素，有最小元素，则可能是一个戴德金分割C.若有最大元素，没有最小元素，则可能是一个戴德金分割D.若没有最大元素，没有最小元素，则可能是一个戴德金分割【正确答案】BCD【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误.【详解】对于A：若有最大元素，不妨设为，则，要使，所以，此时中没有最小元素，同理，若有最小元素，则中没有最大元素，所以若有最大元素，有最小元素，则不可能是一个戴德金分割，故A错误；对于B：设，此时没有最大元素，有最小元素，满足是一个戴德金分割，故B正确；对于C：设，此时有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故C正确；对于D：设，，此时没有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故D正确；故选：BCD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.满足关系的集合有____________个.【正确答案】4【分析】由题意可得集合为的子集，且中必包含元素，写出满足条件的集合，即可得答案.【详解】即集合为的子集，且中必包含元素，又因为的含元素的子集为：,共4个.故4.13.已知，则“”是“”的_____________条件.（请在“充分且不必要”、“必要且不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填写）【正确答案】必要且不充分【分析】根据对勾函数性质得到，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为，所以，又对勾函数在上单调递增，所以，所以由推不出，故充分性不成立；由推得出，故必要性成立；所以“”是“”的必要且不充分条件.故必要且不充分14.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是____________.【正确答案】【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后将都表示成的形式即可得解.【详解】因为不等式的解集为，所以二次函数的对称轴为直线，且需满足，即，解得，所以，所以，所以.故答案为.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知非空集合，集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【正确答案】（1）或.（2）【分析】（1）代入求出集合P，解一元二次不等式求出集合Q，再根据集合的运算求解；（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得⫋，分与讨论求解即可；【小问1详解】当时，P=x4≤x≤7，或，解不等式得：，即，所以或.【小问2详解】若“”是“”的充分不必要条件，即⫋，当时，即，即时，⫋；当时，要使⫋，则，且等号不同时取得，解得：，∴满足⫋的实数a的取值范围是．16.已知集合，集合，设集合.（1）求；（2）当时，求函数的最小值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，解分式不等式求出集合，再进行集合补集、交集运算，即可得到答案；（2）利用基本不等式求函数的最小值即可；小问1详解】由，即，解得，所以，由，等价于，解得，所以，所以，则；【小问2详解】当时，即，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以当时，函数的最小值为.17.已知，关于的一元二次不等式的解集为或.（1）求的值；（2）解关于的不等式.【正确答案】（1），（2）答案见解析【分析】（1）由题中条件，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解出即可；（2）依题意可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集.【小问1详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或，所以关于的一元二次方程的两解为和，所以，解得；【小问2详解】由（1）得关于的不等式即，因式分解得，①当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为；②当时，原不等式为，解得或，所以不等式的解集为；③当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为；④当时，原不等式解得，即不等式的解集为；⑤当时，原不等式解得，即不等式的解集为；综上可得：当时不等式的解集为；当时不等式的解集为；当时不等式的解集为；当时不等式的解集为；当时不等式的解集为.18.与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔AB的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如左图），已知.（1）请计算天宁宝塔AB的高度（四舍五入保留整数）；（2）为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高AB直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如右图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式）【注】可能用到的基本事实有：对于锐角越大，则越大，反之亦然；对任意两个锐角，总有成立.【正确答案】（1）159米（2）米【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果.（2）由图，将表示，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值.【小问1详解】在中，，得，在中，，得，因为，所以，解得米.【小问2详解】由图可知，设米，则，，，当且仅当，即时等号成立.根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然，显然，可得最大时最大.答：当为