2024-2025学年江苏省南京市高一上册10月月考数学质量检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省南京市高一上学期10月月考数学质量检测试题注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题，则为（）A. B.C. D.2.已知集合A=｛1，2，3，4｝，，则A∩B=A.｛1,4｝ B.｛2，3｝ C.{9，16} D.｛1,2}3.已知全集，集合，是的子集，且，则下列结论中一定正确的是（）．A. B.C D.4.已知，则“且”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知集合，若，则实数a的值为（）A.5或 B. C.5 D.6.已知，，若，则的最小值为（）A.2 B.4 C. D.97.设，则满足的集合A的个数为（）A. B. C. D.8.已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知全集，，，，，，则下列选项正确为（）A. B.A的不同子集的个数为8C. D.11.如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为.用表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是（）A.若，则B.存在集合A，使得C.若，则D.若，则第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B___．13.已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______.14.已知，则的最小值为______.四、解答题，本题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合.（1）若A中有且仅有1个元素，求实数m的值；（2）若，求实数m的取值范围.16.已知命题；命题.（1）若p为真命题，求实数a最小值；（2）若与q恰有1个为假命题，求实数a的取值范围.17.如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米.（1）若建造健身步道费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少?（2）若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长?18.已知集合.（1）当时，求；（2）若“”是“”必要条件，求实数a的取值范围；（3）若，使，求实数a的取值他围.参考公式：若关于x的方程有两根与，则关于x的不等式的解集为，的解集为.19.对了给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质.（1）判断集合是否具有孪生性质，请说明理由；（2）设集合且，若C具有孪生性质，求n的最小值；（3）设集合，若，求证.2024-2025学年江苏省南京市高一上学期10月月考数学质量检测试题注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题，则为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】利用存在量词命题的否定，直接判断即可.【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以为.故选：A2.已知集合A=｛1，2，3，4｝，，则A∩B=A.｛1,4｝ B.｛2，3｝ C.{9，16} D.｛1,2}【正确答案】A【分析】依题意，，故【详解】依题意，，故.【考点定位】本题考查集合的表示以及集合的基本运算，考查学生对基本概念的理解.3.已知全集，集合，是的子集，且，则下列结论中一定正确的是（）．A. B.C. D.【正确答案】B【分析】利用集合交、并、补运算以及逐一判断即可.【详解】集合，是的子集，且，对于A，，故A不正确；对于B，，故B正确；对于C，，不包括属于且不属于的部分，故C不正确；对于D，，其交集为属于且不属于的部分，故D不正确.故选：B4.已知，则“且”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据不等式性质判断两条件关系，再根据充分必要概念作选择.【详解】，因此充分性成立；，因此必要性成立，综上是充分必要条件，选C.充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．5.已知集合，若，则实数a的值为（）A.5或 B. C.5 D.【正确答案】D【分析】根据求得值，再验证每个取值是否满足条件.【详解】因为，所以，所以或.若，则，此时，此时不成立；若，则或，当时，，B中有两元素相等，故不成立；当时，此时，此时成立；综上.故选：D6.已知，，若，则的最小值为（）A.2 B.4 C. D.9【正确答案】D【分析】由基本不等式结合乘“1”法可得答案.【详解】由可得，，当且仅当等号成立，故选：D.7.设，则满足的集合A的个数为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】集合至少包括所有元素，还要从根据任意取1个，2个或个元素，则根据组合个数可求解.【详解】集合至少包括所有元素，还要从根据任意取1个，2个或个元素，则集合的个数为，故选：D8.已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】由命题为假命题，则在上无解，即与，函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题为真命题，则，求出参数求交集即可.【详解】命题为假命题，在上无解，即与，函数图象没有交点，由图可知：或，命题为真命题，则，解得，综上所述：实数a的取值范围为.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D若，则【正确答案】BD【分析】对A：举反例说明；对BCD：作差后根据条件判断大小.详解】对于选项A，当时，，故A错误;对于选项B，，因为，所以，所以，即，故B正确;对于选项C，，因为，所以，所以，即，故C错误；对于选项D，因为，又因为，所以，所以，即，故D正确.故选:BD.10.已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（）A. B.A的不同子集的个数为8C. D.【正确答案】ABC【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案.【详解】因为，因为，所以集合中有，集合中无的元素只有1，9；因为，所以既不在集合中，也不在集合中的元素只有4，6，7；因为，所以集合与的公共元素只有3；所以集合中有，集合中无的元素只有0，2，5，8，即.如图：所以：，，，故AC正确；因为集合中有3个元素，所以A的不同子集的个数为8，故B正确；因为，故D错误.故选：ABC11.如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为.用表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是（）A.若，则B.存在集合A，使得C.若，则D.若，则【正确答案】ACD【分析】选项A，列出集合的子集，然后得到集合，然后利用元素与集合关系判断即可；选项B，利用集合元素的个数和子集个数的关系得到的元素个数判断即可；选项C，利用集合的运算得出集合与集合无相同元素，然后再判断的交集即可；选项D，利用集合元素个数和集合子集个数的关系判断即可.【详解】若，所以故，选项A正确；若一个集合有个元素，则其子集个数为个，即，显然当时，无解，故选项B错误；若已知，则集合与集合无相同元素，故集合与集合只有唯一相同子集，所以，故选项C正确；若，假设集合有个元素，则集合有个元素，所以集合与集合的子集个数分别为个，即故，所以选项D正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B___．【正确答案】【分析】直接计算并集得到答案.【详解】集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则.故答案为.13.已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______.【正确答案】【分析】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得.【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得；但且两端等号不同时成立，所以，即；因此实数m的取值范围为.故14.已知，则的最小值为______.【正确答案】4【分析】变形给定式子，令，再利用基本不等式求出最小值.【详解】由，得，令，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4.故4四、解答题，本题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合.（1）若A中有且仅有1个元素，求实数m的值；（2）若，求实数m的取值范围.【正确答案】（1）或（2）【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解；（2）求得集合，分、结合的情况讨论方程的解的情况，可求实数m的取值范围.【小问1详解】若，方程化为，此时方程有且仅有一个根；若，则当且仅当方程的判别式，即时，方程有两个相等的实根，此时集合中有且仅有一个元素，所以实数m的值为或；【小问2详解】，因为，所以，由（1）知时，，不符合，当时，若，解得，此时，符合，若，解得，此时方程的根为，集合，符合，若，由，则可得，此时有且，无解，综上所述：实数m的取值范围为.16.已知命题；命题.（1）若p为真命题，求实数a的最小值；（2）若与q恰有1个为假命题，求实数a的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用不等式的解集为，求解可得实数a的最小值，（2）利用基本不等式求得为真命题时a的取值范围，为真命题时a的取值范围，进而可求结论.【小问1详解】因为为真命题，所以的解集为，所以，解得，所以实数a的最小值为；【小问2详解】因为，所以，所以，，当且仅当，即时取等号，所以，所以，因为，所以当为真命题时，，由（1）可知为真命题时，，当为真命题，为假命题时，，所以，当为假命题，为真命题时，，所以，综上所述：与恰有1个为假命题，实数a的取值范围为.17.如图（示意），在公路一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米.（1）若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少?（2）若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长?【正确答案】（1）规划时，面积最少（2）步道至少有7米.【分析】（1）根据条件建立建造费用的等量关系，消元转化并由基本不等式计算即可；（2）根据条件建立建造费用的等量关系，分解因式配凑定值由基本不等式计算即可.【小问1详解】根据题意建造健身步道的费用为，内部的建造费用为，即，所以有，而公园占地面积，当且仅当时取得等号，所以规划时占地面积最少；【小问2详解】根据题意有：，即，而，当且仅当，即时取得等号.所以规划时，即步道至少为7米.18.已知集合.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围；（3）若，使，求实数a的取值他围.参考公式：若关于x的方程有两根与，则关于x的不等式的解集为，的解集为.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先求得集合A，利用条件及二次函数的性质得集合B，由交集的概念计算即可；（2）利用反比例函数的性质求得C，再根据必要条件得出，利用集合的基本关系及二次函数动轴定区间分类讨论计算即可；（3）将问题转化为，结合（2）的结论分类讨论计算即可.【小问1详解】由可得，即，而时，，由二次函数的性质知，即，所以；【小问2详解】根据反比例函数的性质知时，，则，由（1）知：，由“