2025届沈阳市某中学高三数学（上）第三次模拟考试卷（附答案解析）

2025届沈阳市20中高三数学(上)第三次模拟考试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.复数Z/、Z2满足Z/+Z?=Z/Z2，若Z/=/-i,则忆21=()

A./B.1C.72D.2^2

2.设S是数列皿/的前"项和,且％=/,S=(2S+l)S,则詈=()

nnnn+1311

A.--1B.--2C.-2D.--3

234

3.在半径为2的圆C上任取三个不同的点/,B,P,且|4B|=2C,则方•丽的最大值是()

A.72+2B.2+2y/1C.2c+4D.4+4y/J

4.已知正四棱台下底面边长为4C,若内切球的体积为与兀，则其外接球表面积是()

A.49TlB.56nC.657rD.1307r

5m2ncosy,Sv=()

.已知数列n/的前〃项和为%,an=则

A.1x(48-1)B.'x4—i)c.三xd_1)D.~^(47-1)

6.当neN时，将三项式伐2+刀+//展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：

(X2+X+1)0=1

(X2+X+I)1=X2+X+1

(x2+x+I)2=x4+2x3+3x2+2x+1

(x2+x+I)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1

(x2+x+I)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1

若在(7+a幻*2+第+〃7的展开式中，％7的系数为一15,则实数q的值为()

广义杨辉三角形

第0行1

第1行111

第2行12321

第3行1367631

笫4行1410161916104

A.1B.-1C.2D.一2

7.已知/⑴=瓶0皿一若"初有两个零点，则实数机的取值范围为（）

A.*C.",+WD.6,+8)

8.已知a>e?,b>0,c>0,当x>。时，今-/可。+g-O20恒成立，则詈的最小值为（）

A.—BD

27-9l

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6

分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.AA8C的内角4B,。的对边为a,b,c则下列说法正确的是（）

A.ACCB>0,则△力BC是锐角三角形

B.若cos??!+cos^B-cos?C=/,则△ABC是直角三角形

C.若力+B<］贝I］sinA+sinB<C

D.若tanXtanF>7,则tan/ltanBtanC>1

10.若实数x,y满足/-+俨=6,则（）

A.\x-y\>2B.\x-y\<12C.x2+y2>2D.x2+y2<12

11.如图，在直棱柱力BCD-4/B/C/D/中，底面48CD为菱形，且AB=44/=2,乙BAD=60。，〃■为线段。储/

的中点，N为线段B/C/的中点，点P满足钾=4正+〃两则下列说法正确的是（）

A.若（1=1时，三棱锥P-D8C的体积为定值

B.若4=决寸，有且仅有一个点P,使得PD1PB/

C.若4+〃=5则|PN|+|PC|的最小值为3

D.若4=0,则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为9隗［7旧

26

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若命题TxGR,都有-4>0”是假命题，则实数m的取值范围为,

13.曲线y=Inx与曲线y=*/的公切线方程为.

x

14.已知函数/㈤=W-e,g（x）=一In久的零点分别为打，x2,且町>2,x2>2,则町-三^=

若a<刈-打恒成立，则整数a的最大值为.

（参考数据:ln2~0.7,InJ~1.1,ln7«1.95,In；7«2.8.）

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.体小题13殳）

2

记%为等比数列何"的前n项和，已知Sn=an+1-1.

求何力的通项公式；

an,n为奇数,

(2)设刈={1ri为盾数求数列出力的前20项和乙。

1。。2。/。。2即+2''

16.体小题15分)

已知四棱柱4BCD中，底面/8C。为梯形,4B〃CD,4〃，平面/BCD,力。148,其中48=44/=

2,AD=DC=LN,M分别是线段B/C/和线段£>小上的动点，且可F=/lZ沟，RM=WD^(O<X<1).

勾求证D/N〃平面CB/M；

⑵若N到平面CB/M的距离为手，求D/N的长度.

17.体小题15分)

某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，

本周随机选取2人参加.

0)求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；

⑵记参加活动的女教师人数为X,求X的分布列及期望E㈤；

⑶若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1

项或2项的可能性均为%每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均

为《每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取

的两人得分之和为匕求¥的期望

18.体小题17分)

在AABC中，内角/,B,。所对的边分别为a,b,c,tanA=3tanC.

若C=(,b=tanB,求△4BC的面积S；

(II)求证：2a?-2c2=/；

3

"II）当taa4——=取最小值时，求tanf.

tanF

19.体小题17分）

已知函数/㈤=ln（7-ax）+^x2（a。0）.

（7）证明：当。=/时，/同只有1个零点；

0当时，讨论/㈤的单调性；

（3）若a—1,设98）=/切一：％2,证明：v%/>到<0,/J>仪乜）—（支2）

2J%1%2+%1+%2+1%1—%2

4

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：Z1+z2=Z]Z2f

又•・,z}=1-

•••Zj=1+i,

Z1l+i

Zo-------

zZ1—1

・,・忆21=yjI2+(~I)2=>J~2.

故选：C.

根据共辗复数的概念得到与，根据条件用力表示Z2,化简之后求模长.

本题主要考查共辗复数的定义，复数模公式，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：vSn=(2Sn+l)Sn+1,

1

•••S九=s+2s九.S]9=2,

n+1Sn

1

Si-ai=1,

■■■是以1为首项，公差为2的等差数列,

—=2TL-

1,Sn=-----,Su11=—,

Sn2n-l21

=S5-S4=]12

763

22

-63X27

S113

故选：B.

由Sn=但Sn+〃Sn+/,可推得"■，是以1为首项，公差为2的等差数列，可得sn=白，进而求得S〃，a”

SnZn—1

即可得到答案.

本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：在AABP中，由正弦定理,

得ABAPBP=2r=4,

sinZ-APBsinz.ABPsinz.BAP

即二2=4,所以sinUP8三苧

sinz.APB

5

又UPBe(0,71),所以NAPB=信年

当〃PB=t时,设NABP=8<0<e<乡，则NB4P=与一/

由”=BP=4,得AP=4sin。,BP=4sin(网-9),

sin^ABPsin434P'47

所以港•PB=\PA\•|P5|cosJ=8y/lsin0sm(^-e)

=8y/~2sin3(cos0+^^sin。)=8sin6cos6+8sin26

=4sin26+4(1—cos26)=4>J~2sm(20—^+7,

由得2。一三(一三力，

所以sin(20—6(一号,〃，

即同•丽G(0,4+4C];

当乙4PB=半时，PA-~PB<0-,

综上所述，丽.丽的最大值为4+4，1

故选：D.

由正弦定理确定N4PB,设N4BP=。，再结合正弦定理求得4P,BP,由平面向量数量积的定义进一步可

求解.

本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题.

4.【答案】C

【解析】解：由题意知正四棱台力BCD-4/B/C/D/下底面边长力B=40，所以令其内接球半径为八

因此.川=今兀，所以川=8,解得r=2,

取/£CD,A]B],C/0的中点E,F,Ej,F1,

所以四边形EFF]Ej内切圆即为正四棱台内接球的截面大圆，

2

所以四边形EFF/曷是等腰梯形，EE,=^(EF+EIFI),又因为EE，=[\(EF-EE),+(2r),

[\(EF+E/F/〃2=[；(EF-EjFi)]2+(2r)2,整理可得EF-EjF1=16,

6

又因为EF=4j2所以E//=2，1，

令。为正四棱台4BCD-4/B/C/D/外接球球心，R为球半径，所以。C=OC/=R,

令M,N分别为正四棱台ABC。—A/B/C/D/上下底面的中心，因此Mg=2,MN=4,NC=4,OM=

JOC21-MC21=7R2-4,ON=VOC2-NC2=V/?2-16,

当球心O在线段MN的延长线时，7R2—4—7R2—16=4,无解,

当球心O在线段MN时，7R?—4”R2—16=4,解得R2=竽，球。的表面积为S=4兀炉=65兀;

4

因此所求外接球表面积是657r.

作出正四棱台及其内切球的轴截面，求出正四棱台的上底面边长，再求出外接球半径即可得解.

本题考查球的表面积问题，属于中档题.

5.【答案】A

【解析】解：由题可得数列他J为类周期数列，且以7=4变化，

244

而七=2cos]=0,a2=22cos4=—2,a3=23cos4=0,a4=2cos^-=2,

贝1JS/6=(-22+24-26+28-210+2n-214+216)

故选：A.

找到数列fa"的规律，然后利用求和公式即可求解.

本题考查了利用数列的规律求和，属于中档题.

6.【答案】A

【解析】解：依题意，“广义杨辉三角形”构造方法为：

第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数坏足3数的，缺少的数计为0之和，

所以“广义杨辉三角形”的第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,

“广义杨辉三角形”的第6行为1,6,21,50,90,126,141,126,90,50,21,6,1,

“广义杨辉三角形”的第7行为1,7,28,77,161,266,357,393,357,266,161,77,28,7,1,

7

在+x+〃7的展开式中，/的系数为266,/的系数为357,

2

贝*7+ax)(x+%+/5的展开式中，久7的系数为357+266a=-15,

解得a=1.

故选：A.

阅读题意，结合广义杨辉三角形和二项式定理求解即可.

本题考查了对杨辉三角的扩展，二项式的展开式的配对，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

7.【答案】A

【解析】解：若/⑴有两个零点，贝好㈤=memx-\nx=0有两个解，等价于小壮3-xlnx=0(x。有两

个解，

令g(t)=tel,则原式等价于刈=gfliu：)有两个解，

即mx=\nx(x>0有两个大于零的解.

令h(x)=^(x>0),贝田㈤=手，

当Ov%〈e时，h'(x)>0,当工,e时，h，(x)<0,

所以h⑶)在(0,e)上单调递增，在僧,+8)上单调递减，且/i(%)图像如图:

所以当0<小<:时，爪=当有两个交点，即/⑴有两个零点.

故选：A.

由同构的思想可知，若/㈤有两个零点，贝!JmxeE—x\nx=0(x>0有两个解，即=In%有两解,分离变

量求导即可.

本题考查函数的零点与方程的解，用到同构思想，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解：当汽>0时，原不等式化为(亍一化2—b%+020恒成立，

令f(x)=三一y/~a,g(x)=x2-bx+c,求导得/㈤=[

由尸㈤<0,得0<x<1；由尸㈤>0,得x>J,

函数在〈0,〃上单调递减，在(7,+8)上单调递增，

而"1)=e—<0,当％—0时，f(x)->+oo,当％->+8时，f(x)-»+oo,

8

则函数/勿在仅+8)上有两个零点，记为%],X2(0<Xj<X2),

显然当％V或%>%2时，f(X)>0,当勺V%V%2时，f(X)<0,

要使/㈤g㈤NO恒成立，则工八久2也是。出的两个零点，

于是b=%/+%2，c=%/%2，由F=F得:2=a,即：=a,因此*

令％切=捺，求导得出何=与及，由九他〈0,得0<b<3,由出色)>0,得b>3,

函数九如在(0,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，h(b)m[n=h(3)=，

所以作的最小值为白

故选：A.

当%>0时，不等式(:一—6%+0之0恒成立，设f(x)=%_jd,g(x)=x2—bx+c,利用导数研

b

究的零点，并由两个函数有相同零点结合韦达定理，经变形构造出函数八向=云o，再利用导数求出最

小值.

本题主要考查不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：A,因为前•方>0,因此gr方<0,

故cosC<0,因为0<C<7T,

因此C为钝角，故N错误；

B,因为cos?4+cos?^—cos?。=/,

因此/一sin2A+1-sin2B-(1-sin2。=1,

整理得sin2c=sin?4+sin2F,由正弦定理得c2=a2+b2,

所以△ABC为直角三角形，故8正确；

C,因为4+B<5

所以0<B—力<],

因此sinA+sinB<sin?l+sin(1—A)=sin4+cosX=y/~2sin(A+^)<y]~2,因此C正确；

D,因为tanAtanB>/,可以得出tanA,tanB同正或同负，同负时明显不成立，所以43都是锐角，

因此tanA+tanB>2、tanAtanB>2,

tanC=tanf?r—A—B)=—tan(X+B)=ta"+tanB>°,

9

因止匕tanC>0,

tanCtanTltanB—tanC=tanA+tanB,

因此tanCtanAtanB=tanC+tanA+tanF,

因此tanCtanXtanB=tanC+tanA+tanB>1,D正确.

故选：BCD.

结合向量数量积的定义检验选项/;结合同角基本关系及正弦定理检验选项&结合同角基本关系及辅助

角公式，正弦函数性质检验选项C；结合和差角公式检验选项D即可判断.

本题主要考查了向量数量积的定义，同角基本关系及正弦定理在三角形形状判断中的应用，诱导公式及同

角基本关系的应用，还考查了和差角公式的应用，属于中档题.

10.【答案】AC

【解析】解：因为-4比y+y2=6,

所以y=4珏-6丁2-6)=2x±门彳与，

当y=2x+73N+6时,x—y=—V3x2+6—x,

令〃=-V3x2+6—x,

当时，/>0,函数〃=—73N+6-％在(一8,一〃上单调递增,

当%>—1时，/v0,函数〃=—V3x2+6—%在(―1,+8)上单调递减,

所以〃max=-V3X72+6+1=-2,无最小值，

则1%-y\>2,

当y=2x—A/3X2+台时,x_y=弋3壮+6—x,

可得％—y=V3x2+6—x,

令〃=V3x2+6—x,

可得"9一乙

当％vJ时，J<0,函数〃=V3x2+6—%在（一8,〃上单调递减,

当%>/时，/>0,函数4=73N+6—x在(1,+8)上单调递增,

所以〃min=73X12+6-1=2,无最大值，

则1%-y|N2,故选项4正确，选项5错误;

因为％2—4xy+y2=6,

所以/+y2+2[2(-x)y]=6,

10

此时/+y2+2[(-X)2+y2J>6,

则久2+y2>2,

当且仅当％=-丫，§Px=1,y=—/或尤=一/,y=/时，等号成立，故选项C正确；

当y=4时，方程炉-16x+10=0,

此时/=(-16)2-4x1x10>0,方程有解，

所以/+产>/2,故选项。错误.

故选：AC.

由题意，把y作为主元，求得y=2比土下3炉+6,分类计算求得x-y的最值，进而可判断选项4B；方

程变形为d+y-+2[2(-x)y]=6,得到/+y2>2即可判断选项C；利用赋值法可判断选项D

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：对于选项/：当4=/时，B^P=XBC，故点尸在B/C/上运动，而B/C/〃平面DBC,

所以三棱锥P-D8C的体积为定值.故/正确；

对于选项2：当4=决寸，取2C中点记为E,连接EN,易得点P在EN上运动，

当尸与点£,N重合时，由勾股定理可得|PB/『+|P02=|DB/|2,所以PDJ_PB/,故5错误；

对于选项C：当4+时，取中点记为E，取BB/中点记为R连接£咒

则点尸在线段跖上运动，易得点C关于直线跖的对称点为C,连接N。，

此时点N、E、。三点共线，故点P与点£重合时取得最小值为3,故C正确;

对于选项。：当2=0,〃=弓时，尸为BB/的中点，

过点P作DM的平行线交AB于点E,过点M作DE的平行线交感的于点F,

11

即可得到截面也易知BE,B]F=三,

所以DM=C，EP=~,FB=殍,DE=J2?+(|尸—2x2x|cos60。=3,

44知

22一

+^2X7XXC仞O

0-3-OS-3

易得平面由/截该直棱柱所得截面周长为+,故〃正确.

故选：ACD.

分别根据每一个选项确定点P的轨迹，然后判断选项即可.

本题主要考查棱锥的体积，棱柱的结构特征，截面周长的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】[-4,0]

【解析】解：由题意可得，VxeR,都有机炉一2znx-4W0是真命题，

当m=0时，不等式为-4W0恒成立，符合题意；

m<0

_,2A\<解得一4<m<0；

（Am

综上，实数m的取值范围为（一4,0].

故答案为：[-4,0].

由题意可得“V久£R,都有小d-—4W0”是真命题，讨论m的取值，结合二次不等式恒成立，即

可求得答案.

本题主要考查存在量词命题真假的应用，属于基础题.

13.【答案】2x-2gy—您=0

【解析】解：设/⑶）=lnx,g㈤=（/的公切线为/：y=kx+b,

且/：y=kx+6与曲线y=//初相切于点AR/,y）,与曲线y=相切于点⑶优力力），

由尸向）=得k=—,则工-X]+b=Inx；,即/+b=In%/①.

由9包）=工％,得k=42，贝壮靖+b=[另，即b=-^^②.

易得工=工肛，即与=巴③，将②③代入①，可得点—2eln%2=0,

%1eX2

12

令h（x）=x2—2elnx,则»㈤=2x—^=e\

当也㈤＜0时，即/一。＞o,解得0＜久＜，3,所以九8）在区间（0,V"为上单调递减，

当也㈤＞0时，即第2一？va解得%所以八㈤在区间"E+8）上单调递增，

所以h㈤之/i（S/@=?-2elnV~^=0,当且仅当％=标时，等号成立，则％2=V~^，

所以々=-X2=-j=ib=-=一：，

故曲线y=In%与曲线y=2％2的公切线方程为y=京％一；，

即2x-2-\l-cy-=0.

故答案为：2x-2yJ~ey-y/~e=0.

设公切线为/：y=kx+b,与曲线y=/优）相切于点4口/,力），与曲线y=g（%＞相切于点B仅力丫2），利用导

2

数的几何意义得到1+b=ln%〃b=一*4结合%/=£，得到*—2e1nx2=0,构造函数九⑶=x-2elnx,

利用导数与函数单调性间的关系，得到%2=混，即可求解.

本题考查导数的几何意义，属于中档题.

14.【答案】26

【解析】解：函数y=姜^与两函数y=e,y=In%图象的交点的横坐标即为/㈤和自㈤的零点，

反比例函数y=1的图象关于直线y=久对称，

函数y=皆=2+*的图象，可以由y=§的图象向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，

则对称直线为y=（x—2）+2=x,

所以函数丫="=2+邑的图象关于直线y=%对称，

11

则有2+=e"/=%2，2+=Inx,=町,

1

所以*/-7~7=2,

13

1

所以肛-X1=久2_2---

12—Z

由自㈤=1^2一In%可得，

9(8-5)=^^-ln8.5=总一1吟=||-fln/7-ln2;《||一⑵8—。力>。，

g(9)=3？一出9=y-21n3若-2.2VO,

由零点存在性定理可得8.5<X2<9,

故6.5—白<肛一勺<7—

0.0/

X6.5E(6.7),7—^6(6,7),

0.5/

若a<町-打恒成立，则整数。的最大值为6.

故答案为：2；6.

x

利用函数图象的对称性，得点仅/,战)与点白2,卜冷)关于直线y=x对称，则有2+-^=e>=x2,2+-^-=

\nx=x,,所以打一*=2；x-=X-2--^~,由已知参考数据利用零点存在性定理可得

2%2-N%2-22X12

8.5<x2<9,可求第2-的范围得整数。的最大值.

本题考查了函数的零点与方程的根及函数图象交点的关系，考查了数形结合思想及函数思想，属于难题.

15.【答案】解：(7)当7122时，an=Sn-Sn_]=(an+1—1)—(an—1)=an+1—an,

•••an+1=2an(n>2),

・•・等比数列fa1的公比q=2

当71=1时，由S九=。九+/—1得=。2—1，即G/=2d]—1f解得Q/=19

所以册=271T.

n

0由题意得，当n为奇数时，bn=an=2T,

当〃为偶数时，b=^(—―三)，

n2n—ln+r

•••b/+%+打+•••+b”=2°+22+24+218=]*(f=[x(410-1),

b2+b4+b6+-+b20=\x[(l-^)+(^-^)+(^-^)+-+(^-^)]=^x(l-^)=^,

T20=b]+%+63+…+力20=(b]+力3+b5+…+19)+也2+①+坛+…+

3'72137

【解析】。根据册=sn-Sn_m>2)得等比数列公比为2,结合条件计算卬=2的值，得到的通项公

式.

14

(2)由⑺计算生，利用分组求和的方法得出数列那"的前20项和.

本题考查的知识点：数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

16.【答案】解：证明：因为力4_L平面48CD,AD,ABABCD,

所以力/力_LAD,AjA1AB,又力B,

所以48,AD,44/两两垂直，

以/为原点，AB,AD,44/所在直线分别为x,乃z轴建立空间直角坐标系，

如图，

因为力B=44/=2,AD=DC=1,

则D/0/0,5(1,1,2),B1(2,0,2),C(1,1,0),D(O,1,O),

所以C/B；=(1,-1,0),

因为亦=及沟=4(7,-1,0)，

所以N61+1,—4+1,2),

所以师=(X+1,-A,0)，

又西=(1,-1,2”西=(0,0,2),DM=4西=入(0,0,2),

所以M(0,/,2W，CM=(-1,0,2A),

设平面CB/M的法向量为元=(x,y,z),

fn-CM=x-y+2z=0

所以L—,,

(n-CBj=—x+2az=0

令z=l,则元=但-22+2,〃,

所以而­中=(2X,2A+2,1)■(A+1,-A,0)=+1)-X(2X+2)=0,

所以五1RW，又D/NU平面C8/M,

所以D/N〃平面CB/M；

0若N到平面CB/M的距离为f，则号i=喟型，

又瓦讨=伍一人一4+1,0，

15

所以d_|2%_2；1_2；12-2；1+2；1+2|

八11J422+4%+8/1+4+1'

整理可得12A2-32A+13=0,

解得"；或兽舍去)，

Zo

所以N1|[,2),

所以|D/N|=”苧.

【解析】(〃建立空间直角坐标系，由已知长度分别求出历可和平面C8/M的法向量，利用法向量同时垂直

于直线和平面证明即可；

⑵求出瓦N,代入空间点到面的距离公式，进而求出N点坐标，再代入空间两点间距离公式求解即可.

本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.

17.【答案】解：。设“有女教师参加活动”为事件/,“恰有一名女教师参加活动”为事件3,

则P64B)=^=4，P(A)=

c6ibc65

8

所以p但⑷=需=,.

「kr<2.—k

⑵依题意知X服从超几何分布，且pg=k)=^-(k=0,1,2),

C6

P(X=O)=^=l，P(X=1)=^=^,P0=2)=L

所以X的分布列为：

X012

281

p

51515

⑸设一名女教师参加活动可获得分数为X/,一名男教师参加活动可获得分数为Xz，

则X/的所有可能取值为3,6,X?的所有可能取值为6,9,

1119

P(X1=3)=P(Xj=6)=1，E(X])=3x^+6xl=l，

1I115

P(X2=6)=P(X2=9)=\,E(X2)=6x^+9xl=^-,

有X名女教师参加活动，则男教师有2-X名参加活动，

Y=^9X+^1-S(2-X)=15-3X,

所以£的=E(15-3X)=15-3E(X)=75-3x|=73.

16

即两个教师得分之和的期望为113分/

【解析】切由条件概率的计算公式即可求解；

⑵参加活动的女教师人数为X,则X服从超几何分布，即可写出X的分布列及期望.

⑸根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，即可得y=/5-3X,即可求得EM.

本题考查超几何分布、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

18.【答案】解：(I)由题意，tan/l=3tanC=3tan(=3,

贝=邛^,C)=—tanZ+tanC3+1

Usin/tanB=—tan(X+=2,

1—tanAtanC1-3x1

?3710

则sinB=1，所以b=tanB=2,a=竺学=3逅

5smB2V52

5

13<2^<23

所以△ABC的面积S=^absmC=-x——x2x—=一;

2222

“D证明：由taivl=3tanC,

可得强1=9£,即空i=cos/a

cosZcosC3sinfcosf3c

b^+c^—a^

由余弦定理得：三而a(b2+c2-a2)a

a^+b£-c£c(a2+62-c2)3c'

2ab

化简得：b2+2c2—2a2=0,即2a2—2c2=b2；

fill)由tanA=3tanC,可得:

tanA+tanCtanyl-F-tan?!4tanA

tanB=—tan(C4+C)=—

1-tanZtanCl-tanzgtanZtan2?l-3?

又taii4>0,

r-rK|,.1/.tan2A—33,..3、r333

所以tam4-------=tan/l------------=—tan/4+-------N2

tanB4tanX44tanZ-442

当且仅当tam4=,即taa4=1时取等号,

tanA

此时tanC=工tan力=-xl=工.

333

【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，三角形面积公式，有基本不等式求取值范围，属于

中档题.

(I，先由C=:得到tan>l的值，再结合tanB=-tan(C4+0得至UtanB,根据正弦定理得到a,最后由三角形面

积公式S=gabsinC可得结果；

“D由同角三角函数的基本关系和正余弦定理，化简即可证明；

17

"II)利用tanB=—tan(C4+。和taa4=J