2025届高考数学第一轮专项复习：平面向量中的范围与最值问题

2025届高考数学第一轮专项复习一平面向量中的范围与最值

问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................5

题型一：利用三角向量不等式......................................................5

题型二：定义法..................................................................8

题型三：基底法.................................................................10

题型四：几何意义法.............................................................13

题型五：坐标法.................................................................18

题型六：极化恒等式.............................................................22

题型七：矩形大法...............................................................27

题型八：等和线、等差线、等商线.................................................29

题型九：平行四边形大法.........................................................36

题型十：向量对角线定理.........................................................41

03过关测试....................................................................42

1/63

方法特眄与Q饯

技巧一.平面向量范围与最值问题常用方法：

(1)定义法

第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步：得出结论

(2)坐标法

第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步：将平面向量的运算坐标化

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

(4)几何意义法

第一步：先确定向量所表达的点的轨迹

第二步：根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

技巧二.极化恒等式

(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

年+邸+|£_邸=2(前2+|邸)

证明：不妨设4B=a,4D=B,则NC=a+B,DB=a-b

困卜就2=口+,=盯+2.彳+,①

叫=丽2=@/)2邛『质彳+卜②

①②两式相加得:

2/63

国2+\DB\=2(时+麻卜成珂+回0

(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：，「伍+T_仅-同[-------极化恒等式

①平行四边形模式：a-b=^\AC^-\DB^

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方

差的5

②三角形模式：a-b=\AM^~^\DB^(M为的中点)

技巧三.矩形大法

矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形/BCD与所在平面内任一点,

证明：OA2+OC2=OB2+OD2.

【证明】(坐标法)设4B=a,4D=b,以所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy,

则B(a,0),D(0,6),C(a,6),设。(x,y),则

OA2+OC1=(x2+/)+[(x-a)2+(y-Z?)2]

OB2+OD2=[(x-a)2+y2]+[x2+(y-b)2]

OA2+OC2=OB1+OD2

技巧四.等和线

(1)平面向量共线定理

已知厉=2砺+〃无，若力+〃=1,则4及。三点共线；反之亦然.

(2)等和线

平面内一组基底与，砺及任一向量而，砺=4刀+〃砺(2,〃eR),若点尸在直线A5上或者在平行

3/63

于的直线上，则2+必=左(定值)，反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和

线.

①当等和线恰为直线48时，k=l；

②当等和线在。点和直线AB之间时，左e(O,l)；

③当直线AB在点。和等和线之间时，ke(1,+8)；

④当等和线过。点时，k=0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值左互为相反数;

技巧五.平行四边形大法

1、中线长定理

2

2A0=网，|/球_他砰

2、P为空间中任意一点，由中线长定理得：

2

2PO=|P^|2+|PC|2-1|^C|2

2

2PO引附+归砰一他靖

两式相减：|以「+|尸C「_(|尸。「+|尸耳2)=也上j^£L=2熬

技巧六.向量对角线定理

------»2►2►2►2

就诙=(AD+BC)-(AB+CD)

一2

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题剑噩总结

题型一：利用三角向量不等式

【典例1-1】已知,+同=2,1_*4,则同+间的范围是—.

【正确答案】［4,275］

设同=加，忖=〃,

|a+fe|=2,伍+祝）=|a|2+25-6+1^|=/+2,石=4…①；

•.*_同=4,伍-3）=|a|2-la-b+|fo|=m2+n2-2a-b=16...@；

2222

①+②得：2（m+«）=20,m+n=10,

［m+«）2=10+2mn<10+2x（加;”］（当且仅当m=n=y/5时取等号）,

则（制+〃）2V20,.1小+〃42石；

■.-\a\+\b\=m+n>\p+b\=4（当且仅当N与B同向时取等号），

••・同+间的取值范围为［4,2⑸.

故答案为.［4,2石］

【典例1-2】（2024•浙江杭州•模拟预测）已知|万一2声卜历_即=1,悔|=1,则向量的范围是

【正确答案】二,6

4」

设］=a-2e,d=b-e,\c\=\d\=1

所以5石二仁+2巨）•（才+巨）=1•2+济（2/+3）+2①，

5/63

一方面，H+3.(2d+1)+2"d+|2d+H+2=l+3+2=6,

当且仅当已与2同向，e与(27+1)同向时取得最大值，

另一方面，c-d+e+c)+2>c-\ld+c\+2=-(t2-5\-t+2=-t2-t+,

114V7444

其中/=恒+*[0,3],当且仅当|2才+己|=2,G与(22+1)反向时取得最小值.

-r1-

故。小€--,6.

4

故居,6

【变式1-1］已知忖=1,同=2,忖=3且-3则K+B+4的最大值为（）

A.5.5B.5C.6.5D.6

【正确答案】A

又己R+同忖+4=3xJ甘小2+2/%=11+4彳=y＞当且仅当日与万+B同向时取得等号;

故,+*+4<^l+4+9+|+2xy=y=5.5.

故选：A.

【变式1-2］（2024・高三・浙江金华•开学考试）已知向量满足|£十万|=4,苗-加=3,则|力十|3|的范围是

()

A.[3,5]B.[4,5]C.[3,4]D.[4,7]

【正确答案】B

"+W>max[.+阳.-码=4,

由于：(向+町=/+片+2同.同,

I—*—»|2I—►—d2/—>2-»2\-2—t2—*2—*2—»2—»2|—►|I-*|

25=Q+6+\a=21a+b=a+b+a+b>a+b+2a・b,

当且仅当口=N时等号成立.

所以(”+忖)24k+4+|a-S|=25,

所以忖+归卜5,

所以4(同+恸45.

故选：B

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【变式1-3］（2024•河北保定•二模）如图，圆。।和圆。2外切于点尸，A,B分别为圆。和圆仪上的动点,

【正确答案】D

方廊=（两+.（他+港］西•地+西•冬+而他+即•印

=_1+的.（9_取）+亚型=_1,

所以附•型H的.（乖一切旧型一山，

所以|向.型『曰型『+卬『一2弗.型，即卬.取『+2取.取-2V0,

解得一1一月4汇•冬4T+6.

国+可=西+4+他+即2=|弗+型］=丽?+画,+2取型

=2+2用.取42+2*（一1+@=2丘

故选：D

【变式1-4］已知平面向量q,%满足悍2-,|=2,设5=,+4e2，B=,+6，若IV万•BwZ，贝/码的取值范

围为•

【正确答案】［V3-1,V5+1］

一一1

设/=,—2与，则b=5（1+3）,则由条件10万万＜2知2«晨伍+3）44,

所以34方+小己+；己245,所以6W5+|<V5,|=1,

所以区6+1.

故答案为.［百-1,石+1］

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题型二：定义法

【典例2-1】已知向量2、刃满足：同=应建设与Z+B的夹角为6,贝hine的最大值为

【正确答案】迪/2百

33

设H=l,则卜卜J五，设向量£、B的夹角为a,

若「-R=4,贝1J7一2鼠加+7=3»一2"2cosa=16，可得cosa=3；

由题意可得-”围341,解得4（后-1）4”4（万+1）,

2。2产

所以，,+@=a+2a-b+b=3t2+2y[lt2cosar=6?2-16,.,J4+.=16「-16,

cosd=(»)]叫「J

所以,卜+,卜-可4461-16

当卜加即当"手时，cos。取得最小值;，此时sin。取得最大值,

故答案为.迪

3

【典例2-2】八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的

上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成,

黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在

长江以南的时间稍晚的松泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的

图形，在图2中，圆中各个三角形（如△NCD）为等腰直角三角形，点。为圆心，中间部分是正方形且边

长为2,定点/,8所在位置如图所示，则在•击的值为（）

D.8

8/63

【正确答案】A

如图：连接0D

因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形,

所以ZADO=/OZ)B=45。，|而卜夜，|亚卜4,ZADB=90°.

2

所以AB-AO=(AD+DB)(AD+W)=^+ANDO+DBAD+DBDO

=42+4xV2xcos—+0+2xV2cos—=14.

44

故选：A

【变式2-1】已知点4,B,C均位于单位圆(圆心为。，半径为1)上，且45=后,善•就的最大值为

()

A.V2B.V3C.V2+1D.V3+1

【正确答案】C

设。为圆心，贝!J|1=|1=||=1,因为

所以方2二(砺—04)2=砺2—2砺•厉+OA=2,所以OB^OA=0，

所以AB^AC=~AB^(OC-04)=AB^OC-AB•OA=AB•OC-(OB-04)^04

=ABOC-OBOA+OA=\AB|-|OC|cosAB,OC+l=yj2cosAB,OC+1,

因为cos而，反e[-1,1],所以(存•就)1mx=1+VL

故选：C.

【变式2-2】已知尸。，肱V是半径为5的圆O上的两条动弦，园=6,|加卜8,贝川西+的最大值是(

A.7B.12C.14D.16

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【正确答案】C

如图，连接MO,O0,。尸,。N,作尸。，OE,MN1OD,

易知£是。尸的中点，。是九W的中点，由勾股定理得OE=4,0D=3,

ikPM+QN=OM-OP+ON-OQ=(OM+ON)-(dP+OQ)=2(dD-OE),

故|西7+丽=2回-词42(|西+国)=14,当函历反向时等号成立，故C正确.

故选:C

题型三：基底法

【典例3-1】已知的内角4民。的对边分别为。也c,若N=]，a=2,。为的中点,E为。。的

中点，BC=3BF>则亚的最大值为.

131

【正确答案】工/2；

66

因为。为NB的中点，E为C。的中点，

所以施=；(而+%)=；xg万+=+g就，

____2______1__.

因为BC=3BF，所以4C—45=3(4F-/B),所以/尸=+

则近.万七存+g可益J%][脑^AB-AC-i-^AC,

所以存•万=J_(〃+c2)+26c.

612266、>24

因为/=],“=2,所以由余弦定理得4=/+c2-26ccosg,

所以/+<?=4+儿22反，贝!|6cV4,当且仅当6=c=2时，等号成立，

所以孤.#=—(4+bc)+36c=—++巳=」，

6,72438326

当且仅当6=。=2时，等号成立.

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,,13

故不

—•1—•

【典例3-2］在AA8C中，44=60。，3C=1,点。为的中点，点£为C。的中点，若BF=mBC,则

乐.下的最大值为.

13

【正确答案】-

在中，乙4=60。，|蔗|=1,点。为N8的中点，点£为C。的中点,

ULU1LlUUl±---------1--------------1-----.1-------1-1-

设AB=a,AC=b,贝114E——(AD+AC)=—AB+—AC=—ci-\--b,

^.\AB\=x,\AC\=y,

由余弦定理可得1=—+/-肛,

因为/+了？22刈，nJW-1=+72-xy>xy,即孙VI,当且仅当x=y时取等号,

___、1、___„___、1„__„1___„__、O、1„2___1

又因为丽=_苑，则/=焉+_前=焉+_(就一焉)=_焉+_就=_[+_$,

3______3__________33_____3_____33

,,1—»1—►—»11—►2—►-*_1__S

贝(]4及/尸=(-0+—6>(—°+—6)=—(2°+5./+262)=一(2；(：2+2/+一孙)

423312122

1/9小，1户。、13

=----(―AT+2)<——(一+2)=——,

12212224

13

即施行的最大值为彳

,,13

故77・

24

【变式3-1］在AASC中，N/=60。，|分口=1,点。为N2的中点，点E为CD的中点，若设

LlUUl1LlLim1_____k一一--►1-----►__

AB=a,AC=b,则益可用a,6表示为」若BF=fBC，则赤.刀的最大值为

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1_1_13

【正确答案】-：a+-b

4224

在中，44=60。，|瓦|=1,点。为的中点，点£为C。的中点,

UULi1LLU.UI1---------1--------------------1--------►1-»1—1-

由AB=a,AC=b,贝！J4E=—(AD+AC)=—AB+—AC=，

设网二》,3。卜)，

由余弦定理可得1=X2+/-xy,

因为Y+j?2？孙，可得1=—+,2一初之初，即孙＜1,当且仅当％二》时取等号,

___、1____»____„____,1____„____„1____„____»O____»1____„21

又因为而=_数，则善=焉+_前=z§+_(就一益)=_施+_%=_£+_3,

3333333

»,11­►2,11—►2—►c1ccS

则4E.4/=(14+56>(§4+§6)=在(24+5a-b+2b2)=—(2x2+2~

1/9-1户。、13

=—(―xy+2)<—(—+2)=——

12212224

即乐•赤的最大值为三13.

【变式3-2]在AASC中，”是边8c的中点，N是线段9的中点.若4=[,的面积为百，则

0

石心前取鬟小值时，贝！|28C=()

A.2B.873-12C.6D.4

【正确答案】D

在“Be中，由乙4=3，"3C的面积为G，得6=1/BMCsing,则/2必。=46，

626

——►1—►―►

由M是边_BC的中点，N是线段的中点，AM=—(AB+AC),

AN=^(AB+AM)=~(AB+^AB+^AC)=^AB+^AC,

-----►—►1—»—»3—►1—►3—»c1—►c1—»—►

则4M.3=5(/5+/。).75+丁。)=1"|2+-|^C|2+-AB-AC

荔F+j元曲就|co方咨|二||就\AB\\AC\^\AB\\AC\=,

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当且仅当内|刀上|衣I，即I存1=2,1就1=2退时取等号，

在AABC中，由余弦定理得：BC=AB2+AC2-2AB-ACcosA=^4+12-2x2x2V3x^=2.

所以28c=4.

故选：D

【变式3-3］如图，已知等腰“3C中，|/B|=|/C|=3,忸C|=4,点尸是边3C上的动点,则

AP-(^AB+AC)()

B.为定值6

D.为变量且有最小值为6

【正确答案】A

设丽=4灰（04X41）,因为以4=以。|=3,忸C|=4

所以万•（荏+就）=（万+而）•（万+就）=在2+次.就+2元.（在+就）,

_\AB^+\AC2-\^C\_9+9-16_L

cosA

—2\AB\-AC\一2x3x3~9

所以衣・（刀+衣）二方2+商.7^二|花『+］篇'就k05/=9+3X3XL10

9

故选：A.

题型四：几何意义法

【典例4-1】已知£,反5是同一平面上的3个向量，满足忖=3,恸=2后，a-b=-6,则向量Z与3的夹角

为______,若向量£与"-石的夹角为立，则F|的最大值为______.

411一.

37T

【正确答案】吟113sV58

4

因为同=3,W=2A/^,a•b=-6，

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_丁a-b-6叵

所以cos。,6=前后

\a\-\b3x2收2

又扇Be[0,兀],所以=?，

因为同=3,同=2后，a,b=＞如图，设忘=3，OB=b^OC=c^

贝!IH反_厉=%，c-b=OC-OB=BC，

又向量。与。的夹角为:，则4叫，又4。3咛,

所以。,48,。四点共圆，又荔=5-3，

所以画=他一可2=7^+P-2b-a=^32-^2＞/2）2-2＞（-6）=/29-

设外接圆的半径为R,

V29_欣

由正弦定理「①一石一”，所以同的最大值为屈.

Sm4工

衅；屈

【典例4-2】已知向量I,1满足同=阔=2,则归+可+卜-同的最小值是最大值是

【正确答案】4275

（几何法）：本题的关键是要挖掘隐含条件：归+日和归国是以同,问为邻边的平行四边形的两条对角线，

故1+可+|a-6|=2（同2+同）=10.

如图，忖+可和人可是以同,W为邻边的平行四边形的两条对角线，A是以。为圆心的单位圆上一动点,

构造2个全等的平行四边形.

所以归+可+归一可=|画+1画.

易知当48,c三点共线时，|益|+|死|最小，止匕时|方|+|就H瑟卜4；

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当击时，3司+|於I最大，此时=2%,=2石.

（坐标法）:设5=（cos。,sin。）,b=（2,0）,则方+B=（cos6+2,sin。）,a-b=（cos0-2,sin0）,

所以卜+可=,5+4COS6，B-&|=j5-4cos6,

贝ij他+,+5—矶之=io+2,25-16COS2%[16,20],

所以4寺+可+卜—42石.

（不等式法）：最小值:归+可+归一/卜+勺一,一勺卜同=4.

（当且仅当4+B和。方向相反,即左/疡时,取“=”）.

-2-2

Ja”+—=2B（当且仅当卜+旧小-小布，即时，取

（转化为二元最值问题）：令归+可=工,归-曰=＞＞原题转化为工2+/=10,且x,ye[l,3],求的最值.

方法1（数形结合）:直线公与圆弧/+必=1o且x,ye[1,3]有交点，如图可得4VtV2囱.

方法2（判别式法）:/+Q-x）2=10化简得2--2代+产-10=0,得A=4/一8（八一10）N0,所以4Wf42店.

故4；275

【变式4-1]（2024•内蒙古包头•模拟预测）已知。是“3C所在平面内一点，且网=2,04.AC^-l，

OCAC^1＞则N/8C的最大值为（）

7171_7171

A.—B.—C.-D.一

6432

【正确答案】B

根据9.元=-1，面.怒=1可得1•就-方•就=（1-刃）•就=就2=2,

即可得|就卜行；

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即可知C点轨迹是以A为圆心，半径为亚的圆，如下图所示:

由图可知，当BC与圆相切时，//BC取到最大,

又阿卜2,困卜也可知此时N4BC=：

故选：B.

【变式4-2］已知平面向量入b，3且『|=1,问=2.已知向量g与3所成的角为60。，且!-吊班」|

对任意实数，恒成立，则卜+e|+加的最小值为（）

A.V3+1B.2百C.V3+V5D.275

【正确答案】B

根据题意，b-e=b\-\ecos60°=1^|,

R-te\>^-e\,两边平方W|2+t2\e|2-2tb-?>|^|2+|?|2-2b-e,整理得到t2-^\t-l+\b\>0,

对任意实数，恒成立，则A=|m2一4,1+|矶40,解得（问-2）2V0,则心|=2.

+2e

e

\a+e\^^a+2e,1.7

由于同=2如上图,则B+a+-a-b-a+2e~\—a-L

222

=忤+可=,快+目=78+•e=2/3,贝！||@+a+的最小值为2省.

一1

当且仅当-26,6,二3终点在同一直线上时取等号.

2

故选：B.

【变式4-3］已知Z,员工是平面向量，且工是单位向量，若非零向量"与工的夹角为《，向量石满足

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?-4eJ+3=0»则卜一画+B-司的最小值是（）

A.V5-2B.V5-1C.2D.45

【正确答案】B

由铲-4GZ+3=0=庐-403+3G2=0=/一孙3+0,平-山0-32）,

T§lOA=e,OB=b,OC=a,以。为原点，况的方向为x轴正方向，建立如图所示的坐标系，

由但-巨壮,-鲍），得点3在以。（2,0）为圆心，以1为半径的圆上，

又非零向量"与"的夹角为:，设1的起点为原点，则"的终点在不含端点。的两条射线〉=±x（x>0）上,

设C（x,-x）,

・••（阿H困-女「石-1

故选：B.

【变式4-4］（2024•山东青岛•三模）已知向量b,工满足M=W=1,a-（a-b）=^,（5-c）1（3^-c）,

贝!|卜-c|的最小值为（）

A.6一1B.V3C.2D.1

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【正确答案】A

由题意设刃=05=(1,0),a=OA=(m,n),c=OC=(x,y),

ii3

则(冽㈤•(冽-1/)=5,BP(m--)2+n2=-,且源+〃2=i,

解得加=；,〃=或〃=一直.

222

由仅_c)_L(33—c)可得-c)•03—o)=0,即(1一x,_y)•(3—x,_y)=(x-2)2+y2

则(x-2)2+/=I,即"的终点C在以。(2,0)为圆心，1为半径的圆上,

由圆的对称性，不妨令〃=容即£=弓,亭,

如图，连接/D,交圆于E,

22

由点与圆的位置关系可知，|S|>|2E|=|T1Z)|-|D£,|=-2)+(y-)-1=V3-1.

故选：A.

题型五：坐标法

【典例5-1】(2024•河北沧州一模)如图，在等腰直角2BC中，斜边48=4加，点。在以5c为直径的

圆上运动，贝/益+石|的最大值为()

D

18/63

A.476B.8C.6A/3D.12

【正确答案】D

如图：以C为原点，建立平面直角坐标系.

则1(0,4),5(4,0),可设Z)(2+2cose,2s加9),

则18=(4,-4),15=(2+Icosd,2sin0-4)

所以AB+AD=(6+2cos9,2sinO-8)

所以同+现2=(6+2cose)，(2s山。-8)2=104+8(3cos。-4s幽.

又因为3cos6-4s%eV5,所以,B+4D『<144=>|/8+4D卜12.

故选：D

【典例5-2】已知|万7|=2,而=2施，若动点尸,。与点/,M共面，且满足|刀上|五7|,

|5g|=|I>则标•荻的最大值为()

A.0B.yC.1D.2

【正确答案】C

以点”为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则/(-2,0),8(1,0),

由|才|=|而|=2,得点尸在以A为圆心，2为半径的圆(X+2)2+/=4上,

由|豆0|=|丽:|=1,得点。在以B为圆心，1为半径的圆。-1)2+/=1上，

设P(-2+2cosa,2sina),0(1+cossin0),

贝1JA/P-A^=(-2+2coscr)(l+cos>0)+2sinasin)3

19/63

=2coscrcos,+2sinasin,+2（cosa-cos,）一2

=2cosg尸）+2卜s[用F]-cos]耍f[-2

=-4sin?与一4sm*sinj=-（2sinj+sin*）2+sin2*Vsin2=Vl,

2222222

当。=],£=与时，能取到所有等号，

所以声•说的最大值为I.

故选：C

【变式5-1】在梯形48C。中，ABIICD,48=2,AD=®，CD=1,BAD=45°,P,。分别为线

段/£>和线段ZC上（包括线段端点）的动点，则N•而的最大值为（）

A.2A/5B.2V2C.V10D.3

【正确答案】D

以48为x轴，过4垂直于48的直线为y轴，

因为&,/D/B=45。，所以。(1,1),

因为CD=l,4B=2,ND/3=45。，所以C(2,l),

AP=AAD,0<A<1,AQ=tAC,0<t<1,

AP-AQ=AAD-tAC="(1,1)(2,1)="(2+1)=3力，

当X=/=l时，万.质的最大值为3.

故选：D.

TT

【变式5-2】在△N3C中，BC=2,ZBAC=~,。为3c中点，在△ABC所在平面内有一动点尸满足

ULILULUuuunum____1_____k

PBPD=PCPD，则/尸•8。的取大值为()

20/63

A.B.C.百D.

3

【正确答案】D

LlUlUUULUULUUULUUfiLULILfi----U--L--U.---------------UUULLlUUl

由PB•PD=PC•PD，得PD-(PC-PB)=0,即P»BC=0,

UULUUULflUULULIULUULAflUUULUULULlUlflULUuuiunum

所以AP,BC=(AD—PD)•BC=AD•BC—PD•BC=AD,BC.

设属花所在圆的圆心为〃，连接〃5、MC、MD,

BD2百

2BD

则MDL8C,ZBMC=—,可得5。=1,MD=~^=T，,BM=----=----

.兀3

3tan-0sin—

33

以5为原点，8c所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系,

可得0(2,0),。(1,0)〃,个］,圆”的方程为(x_l『+|y_g=1,

设“(九〃),则15=(17%-〃)，结合於=(2,0),

可得25・瑟=2(1-加)+0=2-2加,

<I—\2

因为/点在圆M：(x-1)2+y--Y=1•上运动，

所以1-W加41+26,可得当m=]—26时,2-2m=2-2(1-,达至U最大值.

33333

综上所述，当机=1一拽时，而.瑟有最大值述.

33

故选：D.

【变式5-3]在A43c中，AB=2BC=2,Z5=90°,P是以43为直径的圆上任意一点，则就.刀的最

大值是()

A.V5+2B.275-2C.275D.4

21/63

【正确答案】A

如图：以中点。为原点，建立平面直角坐标系,

则4（0,1）,C（l,-1）,设P（cosa,sina）,aG[0,2TT）,

所以力。=（1,一2）,4P=（cosa,sina—1）,

所以/C•AP=（1,-2）.（cosa,sin（7-1）=cosa—2sina+2.

因为cosa—2sina=,cos（a+＜）,（其中夕£（0,兀）且tan夕=2）.

所以cosa_2sina=迅cos（a+夕）（石.

从而就•善工店+2.

故选：A

题型六：极化恒等式

JT__

【典例6-1】已知"3C中，BC=4,/=§，若“BC所在平面内一点。满足丽+灰1+2方3=0，则

丽・皮的最大值为___.

【正确答案】-1

如图，设3C中点为E,

所以。为NE中点,

22/63

所以丽.灰=屏+硝.艇+灰)=艇+丽).廊-现)=凉_亩=凉-4,

XBC2^AB2+AC2-2AB-AC-COSABAC，

所以］6=/82+/C2_/8./CN/82+/C2_/82+/C2=/B2+/c2,

22

即4B2+/c2V32,当且仅当48=/C=4时等号成立，

=12,当且仅当AB=/C时等号成立,

所以

所以丽庆二方2―心阴2—4=T.

故答案为.-1

【典例6-2］在APNB中，AB=2拒/APB=g点0满足历=2（谖+诬），则谖•豆的最大值为

【正确答案】

设45中点为M,则网=2(函+丽)n存=4近，则由=g由,

QA-QB=(QM+MA)-(QM+MB)=(QM+MA)-(QM-MA)

=|西2一可=曰研一可，

由余弦定理可得:

画2=|可+用2_2图.阀cos乙4PB=|可+网2一周.网=12,

有图2+|而闫同.阀+12,

即司.阀+12=网2+摩卜2图.用，

即网.网W12,当且仅当网=同时，等号成立,

则尸M124国上网+同.阿=；（12+2网网］（12+2x12）=9,

23/63

即遢①=$啊2_际『＜gx9_3=_

故答案为

【变式6-1】在边长为2的正方形/3CD中，动点P。在线段2。上，且|尸0|=2,则".而的最小值为

（）

A.2B.V2C.1D.y

【正确答案】C

方法一：设尸。的中点为“，

贝用.而=（屈+西.（而+近）

-------»2-------、2

=AM-MP

二|而『-122-1=1（当〃为AD中点时取等号）.

方法二：建立平面直角坐标系如图所示.设尸（。,2-〃），

因为在边长为2的正方形488中，动点P,。在线段6。上，且忸。|=2,

所以0（Q+V^,2_V^-a）,aG|^0,2—V?J,

以/尸./0=（q,2_Q），（q+,2—V2—Q）

=q（Q+V2j+（2-q乂2-a）

（2-历Y

=2。2_（4-2收）。+4-2行=2a--+1,

所以当q="2时，行.而有最小值1.

故选：C.

24/63

【变式6-21点尸是边长为1的正六边形NBC。防边上的动点，则强.丽的最大值为（）

11—c13

A.2B.—C.3D.—

44

【正确答案】C

分别取/B,OE中点0,R,连接尸。，QR,

222

则由题a=；,BD=£>C+SC-2£>CxJ8CxcosZ5C£>=l+l-2xlxlxcosl200=3,即6,

所以百.而=（而+网版+西=（而+四.（苑©）

所以莎•丽的最大值为3.

故选：C.

【变式6-3】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两

个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知

/6=2,尸为弧/C（含端点）上的一点，则丽・岳的范围为—.

25/63

A

P

B

【正确答案】[0,2]

取BC中点为O,

c

则丽.而=而.无=（而+砺卜（而+响=（而+西•（丽-砺

=PO2-OB2=PO2

其中易得时k[1,6],故而于e[0,2].

故答案为.[0,2]

【变式6-4]（2024•河南新乡•二模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里

慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12,转盘的直径为

10,A,2为摩天轮在地面上的两个底座，[48|=10,点尸为摩天轮的座舱，则刀.刀的范围为___.

【正确答案】[-21,119]

设。为的中点，如图示：由题意可知：2<|PC|<12,

ACB

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则刀.丽=(定+国-因+国=跖-万二丽"?，

又因为由＜2,12],所以成.丽的取值范围是12