2025高考数学专项复习讲义：直线方程及直线间的位置关系（学生版+解析）

第01讲直线方程及直线间的位置关系

（7类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

给值求值型问题

2023年新I卷，第6题,5分已知点到直线距离求参数余弦定理解三角形

切线长

求点关于直线的对称点

2023年新II卷，第15题,5分由直线与圆的位置关系求参数

直线关于直线对称问题

2022年新II卷，第3题,5分已知斜率求参数等差数列通项公式的基本量计算

2022年全国甲卷（理科），

已知两点求斜率求椭圆的离心率或离心率的取值范围

第10题,5分

2022年全国甲卷（文科），

求平面两点间的距离由圆心（或半径）求圆的方程

第14题,5分

2021年新n卷,第3题,5分己知点到直线距离求参数根据抛物线方程求焦点或准线

2021年全国甲卷（文科），

求点到直线的距离已知方程求双曲线的渐近线

第5题,5分

2021年全国乙卷（文科），

求点到直线的距离求双曲线的焦点坐标

第14题,5分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-6分

【备考策略】1.理解、掌握直线的倾斜角与斜率及其关系

2.熟练掌握直线方程的5种形式及其应用

3.熟练掌握距离计算及其参数求解

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，通常和圆结合在一起考查，需重点练习

知识讲解

1.两点间的距离公式

A（X],yJ，B（X2,y2）,|人q=J（%2—%y+（%一yy

2.中点坐标公式

Xi+x2

12

A（Xi，%）,B（x2,y2）,“（jo,%））为AB的中点，贝J：<

M+%

%=

2

3.三角形重心坐标公式

A（Xj，必）,B（X2,y21ca,%），”（尤。，％）为AA3CM心

X；+x2+x3

xo=

3

%+为+%

=<%=

3

Zi+Z2+Z3

3

4.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系

（1）斜率：表示直线的变化快慢的程度；k>Q,直线递增，k<0,直线递减,

（2）倾斜角：直线向上的部分与x轴正方向的夹角，范围为[0,万）

（3）直线的斜率与倾斜角的关系：k=tan0

e0°30°45°60°90°120°135°150°

旦_V3

tan80不存在

1V3-V3-1一W

5.两点间的斜率公式

k

A（X1,%）,B（X2,%），AB=—~—

6.直线的斜截式方程

y=kx+b,其中左为斜率，b为y轴上的截距

7.直线的点斜式方程

已知点尸（%,％），直线的斜率左，则直线方程为：y-y0^k（x-x0）

8.直线的一般式方程

Ax+By+C^O（A2+B2^0）

9.两条直线的位置关系

（1）平行的条件

k]—k?

①斜截式方程：ll:y=klx+bl,I,.y=k,x+b2,

4迅

”2=44

②一般式方程：(：A%+用y+G=。，，2：A2x+B2_y+C2=0,/"//20V

&G

AJC2H

（2）重合的条件

①斜截式方程：（y=左科+4,，2：y=42%+62，/112重合o<

②一般式方程：

工人fAB9=A1B,

4:A/+gy+G=0,:4x+B2y+C,—0,/1,/,重s<=><"

IAQ=Aci

(3)垂直的条件

k

①斜截式方程：4y=左X+伪，Z2:y^k2x+b2,乙J_乙=Ki=T

②一般式方程：

I1:A九+与丁+G=。，，2：^2^+32y+。2=o，41，4<^>+B[B2—0

10.点到直线的距离公式

点尸（公,%）,直线/：Ax+3y+C=0,点到直线的距离为：1=邑二幽土^

川+笈

11.两条平行线间的距离公式

考点一、直线的倾斜角与斜率

典例引领

1.（2024•上海•高考真题）直线了->+1=0的倾斜角.

2.（23-24高二上•青海西宁•阶段练习）已知A（2%,2）,8（4,-l）,C（-4,-附三点在同一条直线上，则实数机的

值为—.

3.（23-24高二上•山东枣庄•阶段练习）经过A。,机）,3（m-1,3）两点的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范

围是.

4.（23-24高二上•福建厦门•期中）已知两点A（-3,2）,B（2,l）,过点P（0,-l）的直线/与线段A3（含端点）

有交点，则直线/的斜率的取值范围为（）

A.（-<x）,-l][1,-Kx））B.[T1]

1.（2024高三・全国•专题练习）直线％sin2-ycos2=0的倾斜角的大小是（）

11

A.——B.-2C.-D.2

22

2.（2024・河南信阳•二模）已知直线2x-y+l=0的倾斜角为则tan2a的值是.

3.（2022・上海•模拟预测）若d=（2,-4）是直线/的一个方向向量，则直线/的倾斜角大小为

考点二、直线的5种方程

典例引领

1.（22-23高三•全国•课后作业）经过点（-3,1）和点（2,-2）的直线方程是.

2.（22-23高二上•山东日照•阶段练习）过点4（4,1）且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是

3.（22-23高二上•广东江门•期末）直线岳+y+2=0的倾斜角及在y轴上的截距分别是（）

A.60°,2B,60°,-2C.120°,-2D.120°,2

4.（24-25高三上•湖南长沙•开学考试）过点（T,2）,倾斜角为方的直线方程为（）

A.x-y+2=0B.x+y+2=0C.x-y=2D.x—y+l=0

5.（20-21高一•全国•单元测试）如果ACvO,BC>Q,那么直线Ax+冷+C=0不通过（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3

1.（2024高三•全国•专题练习）过点A（0,2）且倾斜角的正切值是w的直线方程为（）

A.3尤一5y+10=0B.3x—4y+8=0

C.3尤+5y-10=0D.3x+4y-8=0

2.（21-22高二上•湖南•阶段练习）已知直线/过点G（l,-3）,H（-2,1）,则直线/的方程为（）

A.4x+y+7=0B.2x-3y-ll=0C.4x+3y+5=0D.4x+3y—13=0

3.（23-24高二上•陕西•阶段练习）直线％-2y—2=。在X轴上的截距为〃，在y轴上的截距为乩则（）

A.a=2,b=lB.a=2fb=—1

C.a=-2,b=lD.a=-2,b=—l

4.（2024高三・全国•专题练习）己知直线/的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为后，则直线/的

方程为（）

A.y—6x+737B.y=6x+6

C.y=6x±6D.y=6x~6

5.（18-19高一下,福建莆田•期中）如果AC<0且RC<0,那么直线Av+2y+C=0不通过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

考点三、两直线平行求参数

典例引领

1.（23-24高三上•陕西西安•阶段练习）已知直线皿+2y+m+2=。与直线4x+（m+2）y+27〃+4=。平行，

则m的值为（）

A.4B.-4C.2或TD.-2或4

2.（2024,全国,模拟预测）已知直线（：ax+3y—6=0,直线4：2x+（a—l）y—4=0,贝!]"a=—2"是"4〃4”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

1.（2024・黑龙江哈尔滨・模拟预测）已知直线4：办+3丫-6=0,直线/2：2了+（4-1刀-4=0,贝|”〃4”是"4=3

或。=-2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023・河北保定■三模）已知直线4:ox—5y—1=0,4：3x—（a+2）y+4=0,"。=3"是"4〃4"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

考点四、两直线垂直求参数

典例引领

1.（23-24高三下•江苏•阶段练习）已知直线4：6x+3y+l=0,若直线4与4垂直，则4的倾斜角是（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

2.（23-24高三下•安徽芜湖•阶段练习）已知直线小“7-3=0,/2：（根—2）尤7+1=0,贝1]"m=1"是"/—/2"

的)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

1.（2024・四川南充■一模）"加=1"是"直线A:x+（m+l）y+l=0与直线［：O+l）x-冲-1=0垂直”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（23-24高三上•河北•阶段练习）已知直线4：or+2y+6=0与直线4：bx-y+a=。垂直，则1+万?的最小

值为（）

A.2B.4C.6D.8

考点五、直线的交点坐标与距离公式

典例引领

22

1.（2024.广西柳州•模拟预测）双曲线上-匕=1的一个顶点到渐近线的距离为（）.

416

A.75B.4C.半D.26

2.（2024•黑龙江吉林•二模）两条平行直线jx+y+l=0,/2：x+y-l=0之间的距离是（）

A.1B.72C.2A/2D.2

22

1.（23-24高二下•广西•开学考试）椭圆三+匕=1的上顶点到双曲线x?-y2=i的渐近线的距离为（）

59

A.72B.—C.2D.-

22

2.（23-24高二上,河南,期中）若直线4：x+ay-2=O与/2：2x+（/+l）y-2=0平行，则两直线之间的距离

为（）

A.J2B.1C.—D.2

2

考点六、直线恒过定点问题

典例引领

1.（2022高三•全国•专题练习）已知直线（3〃La）x+O+2〃）y-〃=。则当加，〃变化时，直线都通过定点—

2.（2024•重庆•三模）当点P（TO）到直线/：（32+l）x+（X+l）y-（44+2）=0的距离最大时，实数X的值为

（）

A.-1B.1C.-2D.2

1.（20-21高二上•安徽六安•期末）直线区-y+l-3%=0,当左变动时，所有直线都通过定点（）

A.（3,1）B.（0,1）C.（0,0）D.（2,1）

2.（23-24高三上•四川•阶段练习）已知直线/:（根+l）x-y-3m-2=0,则点尸到直线/的距离的最大

值为.

考点七、直线综合问题

典例引领

1.（24-25高二上•江苏泰州•阶段练习）已知河（2,5）,N（-2,4）,动点尸在直线//-2丫+3=0上.则|「网+|川|

的最小值为.

2.（24-25高二上•四川成者B•阶段练习）已知直线4：A%+耳、+£=0，（4,4，^N°）与直线

k-.A.x+B.y+Q=0,（4，S2,C2^0）,则直线//关于V轴对称的充要条件是（）

A"=邑

BR_A=A

B2C2-AB2

c_A=D_A=A=5_

A,B2C24B2C2

3.（24-25高二上•山东潍坊•阶段练习）点尸到直线/:。+3九）彳+（1+九）、-2-4/1=0（/1€1＜）的距离最

大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）

A.5/13;2x—3y+l=0B.A/1T;3X+J—4=0

C.厄3x+2y-5=0D.7TT；2x-3y+l=0

4.（24-25高二上♦河北石家庄•阶段练习）已知点4（2,-3）,3（-5,-2）,若直线/：蛆+y+优-1=0与线段A8

（含端点）有公共点，则实数机的取值范围为（）

43

A.

3,4

34

C.

4,3

1.（24-25高二上•四川成都•阶段练习）已知平面上两点4（4,1）,以0,4）,M是直线3尤7-1=。上一动点，则

|九洲-|“同的最大值为（）

5L

A.—B.布C.2括D.5

2.（24-25高二上•四川成都•阶段练习）平面内四个点陷（0,3）,陷（2,0）,陷（4,1）,以（6,4）分布在直线

/:Ax+By+C=。的两侧，且两侧的点到直线/的距离之和相等，则直线/过定点（）

A.（2,3）B.（3,2）C.（-2,-3）D.（-3,-2）

3.（24-25高二上•陕西西安•阶段练习）过点P（0,-l）作直线/,若直线/与连接4（-2,1）,川20,1）两点的线

段总有公共点，则直线/的倾斜角范围为（）

4.（24-25高二上,福建厦门•阶段练习）经过点尸（0,-D作直线/,若直线/与连接A（-2,l）,2（-1,-g-1）两点的

线段总有公共点，贝心的倾斜角a的取值范围为（）

“兀rrc、「八兀r/兀3兀r„兀r3兀、

A.[0,—]B.[0,7i）C.[0,—]（―,—]D.r[0,—]I,7i）

IN.好题冲关

一、单选题

1.（2024•河南•三模）已知直线Ax+3y+C=0与直线y=2x-3垂直，则（）

A.A=—2Bw0B.A=2Bw0

C.B=—2Aw0D.B=2Aw0

2.（24-25高二上•福建•阶段练习）已知直线I过点（«,3）和（3,2）,且在x轴上的截距是1,则实数机等于（）

A.1B.2C.3D.4

3.（23-24高二下•山东枣庄,期中）若点P是曲线y=Y-ln无上任意一点，贝U点P至U直线y=丫一4的最小距离

为（）

A.1B.y/2C.20D.4A/2

4.(2024•河南洛阳•模拟预测)"a=0"是"直线4:x+2ay-2024=0与直线4：(a-l)x+ay+2024=0平行”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2024・安徽•模拟预测）"。=2"是"直线办+2y+2=0与直线x+（a-l）y+l=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2024•贵州黔南•二模）已知直线y=x+2左与直线丁=-X的交点在圆/+V=4的内部，则实数上的取值范

围是（）

A.—1<k<1B.—2<%<2C.—3<左<3D.--^/2<k<5/2

7.（2024・山东•二模）已知直线/与直线》-'=0平行，且在丫轴上的截距是-2,则直线/的方程是（）.

A.X—y+2=0B.x-2y+4=0

C.x-y-2=0D.x+2y-4=0

二、填空题

8.（2024・上海•三模）已知直线/的倾斜角为且直线/与直线机：X-指y+l=0垂直，则々=

9.（2024•山东,二模）过直线无+>+1=。和3》->一3=0的交点，倾斜角为45。的直线方程为.

10.（2024,福建泉州,模拟预测）若曲线>=强在无=2处的切线与直线以-丁+1=0垂直，贝.

一、单选题

1.（23-24高二上•江苏南京,开学考试）己知直线4：g+y+3=0和直线4：3twc+（m-2）y+m=0,则“m=5"

是“〃小的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

2.（2024•河南郑州•模拟预测）已知直线4：x+my+l=0与直线4：x+（l-2附y-3=0,贝7c{1,-2}”是

"4乜”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（24-25高二上•江苏南京•阶段练习）如图所示，己知点4（2,0）,3（0,2）,从点尸（1,0）射出的光线经直线AB

反射后再射到直线02上，最后经直线。2反射后又回到点P,则光线所经过的路程是（）

4.（24-25高二上•四川成都•阶段练习）已知直线4：A》+耳y+£=o，（A，4c*0）与直线

k-.A.x+B.y+Q=0,（4，B2,C2^0）,则直线关于'轴对称的充要条件是（）

用_GRA-耳

与G4B2

c_A-D_A_A__^_

A,B2C2A,B2C2

5.（24-25高二上•四川成都•阶段练习）已知平面上两点A（4,l）,B（0,4）,M是直线3x-y-l=0上一动点，则

性碎-囚倒的最大值为（）

A.I*B.75C.2A/5D.5

6.（2024•河南信阳•模拟预测）动点P在函数y=-«（x+l）的图象上，以尸为切点的切线的倾斜角取值范围

是（）

712兀

A.B.C.2'T

二、多选题

Q

7.（24-25高二上•江西赣州•阶段练习）若直线l]:y=--x+l,Z2:8x+15y+2=0,/：8x-15y+5=0则（）

Q

A.4的截距式方程为百x+y=iB.%〃2

c.4与之间的距离为iD.4与4的倾斜角互补

三、填空题

8.（24-25高二上•广东广州•阶段练习）已知点尸在直线x-y-l=0上，点4（1,-2）,B（2,6）,则41TpM的

最小值为,此时点P坐标为

9.（2024・河北•模拟预测）抛物线C:/=4x上的动点p到直线y=x+3的距离最短时，P到C的焦点距离

为.

四、解答题

10.（24-25高二上,湖北黄冈,阶段练习）已知VA3C的顶点4（5,1）,边A3上的中线C。所在直线方程为

2x-y-5=0,边AC上的高线防所在直线方程为x-2y-5=0.

⑴求边BC所在直线的方程；

（2）求ABCD的面积.

1.（2024・上海・高考真题）直线x-y+l=0的倾斜角

2.（2024•北京•高考真题）圆龙2+y-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为（

A.aB.2C.3D.30

3.（2022•全国•高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，44',8瓦小^’。〃是桁，相邻桁的水平距离

称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中OR,CG，8瓦,A4t是举,

1

ODi，DG，CB「BA是相等的步,相邻桁的举步之比分别为点=05会=配黑=月，普=k3.已知k1,k2,k3

ULf]Cn,n/lj

成公差为0.1的等差数列，且直线Q4的斜率为0.725,则％3=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

22

4.（2021•全国•高考真题）点（3,0）到双曲线,q=1的一条渐近线的距离为（）

9864

A.—B.—C.—D.一

5555

22

5.（2021•全国•高考真题）双曲线三-上=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为______.

45

6.（2021•全国•高考真题）抛物线丁=2°尤（0>0）的焦点到直线y=x+l的距离为则。=（）

A.1B.2C.2忘D.4

7.（2020•全国•高考真题）点（0,-1）到直线,=左（》+1）距离的最大值为（）

A.1B.72C.^3D

第01讲直线方程及直线间的位置关系

（7类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

给值求值型问题

2023年新I卷，第6题,5分已知点到直线距离求参数余弦定理解三角形

切线长

求点关于直线的对称点

2023年新II卷，第15题,5分由直线与圆的位置关系求参数

直线关于直线对称问题

2022年新II卷，第3题,5分已知斜率求参数等差数列通项公式的基本量计算

2022年全国甲卷（理科），

已知两点求斜率求椭圆的离心率或离心率的取值范围

第10题,5分

2022年全国甲卷（文科），

求平面两点间的距离由圆心（或半径）求圆的方程

第14题,5分

2021年新H卷,第3题,5分己知点到直线距离求参数根据抛物线方程求焦点或准线

2021年全国甲卷（文科），

求点到直线的距离已知方程求双曲线的渐近线

第5题,5分

2021年全国乙卷（文科），

求点到直线的距离求双曲线的焦点坐标

第14题,5分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-6分

【备考策略】1.理解、掌握直线的倾斜角与斜率及其关系

2.熟练掌握直线方程的5种形式及其应用

3.熟练掌握距离计算及其参数求解

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，通常和圆结合在一起考查，需重点练习

知识讲解

12.两点间的距离公式

M%‘%)'IA_B|=J(%2-%)2+(%—H)2

13.中点坐标公式

X+x9

xo=———-

夙々，%)，M(%o，%)为AB的中点，则：\g

_/十>2

14.三角形重心坐标公式

4再,％),B(X2,%),C(x3,y3\M(x0,%)为AA3踵心

%1+X2+X3

3

M+%+%

=><%=

3

Z+z?+Z3

3

15.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系

(4)斜率：表示直线的变化快慢的程度；k>Q,直线递增，k<0,直线递减,

(5)倾斜角：直线向上的部分与X轴正方向的夹角，范围为［0,〃)

(6)直线的斜率与倾斜角的关系：k=tan0

e0°30°45°60°90°120°135°150°

73_73

tan8016不存在-百-1

V

16.两点间的斜率公式

A(Xi，%),3(々，%)，：

A2A1

17.直线的斜截式方程

y=kx+b；其中左为斜率，b为y轴上的截距

18.直线的点斜式方程

已知点尸(见,%)，直线的斜率左，则直线方程为：y-y0^k(x-x0)

19.直线的一般式方程

Ax+By+C^O(A2+B2^0)

20.两条直线的位置关系

（4）平行的条件

k、—k?

①斜截式方程：4>=左％+伪，">=左2%+为，4〃，20,

b产b?

\B=AB

②一般式方程：4：A^x+B^y+Cy=0,1:A,x+By+C=0,Z//Z<»<22X

222t2AGw4G

（5）重合的条件

收-左2

①斜截式方程：（y=%x+4，，2：y=42戈+4，/1」2重合o<

4=包

②一般式方程:

4坊=4与

<

/]：A]九+_8]丁+G=°，12：4元+32丁+。2=0,9

4G=A2cl

（6）垂直的条件

①斜截式方程：4：3=自力+0，03=左2元+。，4，/2=k#2=-1

②一般式方程：

<>

/]:A^x+男丁+G=。，，2：42元+B2y+C*2—09_L^442+B]B2—0

21.点到直线的距离公式

点尸（方,%）,直线/：Ax+3y+C=0,点到直线的距离为：]=邑匕强乂

JA^+B2

22.两条平行线间的距离公式

,iQ-cJ

I[:Ax+By+G=0,Z•Ax+By+C=0,d——,='

22yl^+B2

考点一、直线的倾斜角与斜率

典例引领

1.（2024・上海・高考真题）直线》-'+1=。的倾斜角.

【答案】7

4

【分析】求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角之间的关系求解即可.

【详解】设直线尤-'+1=。的倾斜角为。,。以0,兀），

易知直线x-y+i=o的斜率为1,

所以tan6=l,

JT

解得9

4

故答案为：—

4

2.(23-24高二上•青海西宁•阶段练习)已知A(2m,2),3(4,-l),C(T,-㈤三点在同一条直线上，则实数机的

值为-.

【答案】5

【分析】根据三点共线，直线AB,BC斜率相等，即可列式计算.

【详解】根据题意可得：kAB=-^-=^=kBC,

2m-48

即：m2—3/7Z—10=0,(m-5)(m+2)=0,

解得〃z=5或—2；

又当〃?=-2时，AC是同一个点，不满足题意，故舍去；

综上所述，实数机的值为：5.

故答案为：5.

3.(23-24高二上•山东枣庄•阶段练习)经过4。M),8(根-1,3)两点的直线的倾斜角是钝角，则实数机的范

围是■

【答案】(f,2)u(3,+o))

3—JTI

【分析】由题意可得〃7r2且斜率々=Y＜0,计算即可得解.

m-2

【详解】根据题意加一1W1,即相。2,

且斜率6=三3—々m＜0,

m-2

即(3-m)(m-2)＜0,

解得机＜2或机＞3.

实数加的范围是(T»,2)。(3,+00),

故答案为：(-co,2)o(3,+co)

4.(23-24高二上•福建厦门•期中)已知两点A(-3,2),*2,1),过点尸(0,-1)的直线/与线段48(含端点)

有交点，则直线/的斜率的取值范围为()

A.(r°，T[1,+℃)B.[-1,1]

C.^-co,-1^u[l,+co)D.-1,1

【答案】A

【分析】求出直线上4、P8的斜率后可求直线/的斜率的范围.

【详解】

y/

-1-2-1-1

kpA=-19而kpB—=1,

0+30-2

故直线/的取值范围为（-8,-1]口（1,+力）,

故选：A.

1.（2024高三•全国•专题练习）直线xsin2-ycos2=0的倾斜角的大小是（）

11

A.——B.-2C.-D.2

22

【答案】D

【分析】根据题意，求得直线的斜率，得到左=tan2,结合倾斜角的定义，即可求解.

【详解】由直线xsin2-ycos2=0,可得直线的斜率％=%=tan2,所以直线的倾斜角为2.

cos2

故选:D.

2.（2024・河南信阳•二模）已知直线2x-y+l=0的倾斜角为。，则tan2a的值是.

【答案】-三4

【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，得tana=2,再利用正切的二倍角公式即可得到结果.

【详解】由直线2x—y+l=0方程，得直线斜率tano=2,

2tan。2x24

所以tan2a=

1-tan2a1-223

故答案为：-]4

3.（2022•上海•模拟预测）若d=（2,-4）是直线/的一个方向向量，则直线/的倾斜角大小为

【答案】九一arctan2

【分析】先根据直线方向向量求出斜率，再由直线方向向量和倾斜角关系求出倾斜角.

-4

【详解】因为。=（2,-4）是直线/的一个方向向量，所以直线/的斜率左二万=—2,

所以直线/的倾斜角大小为»-arctan2.

故答案为：arctan2.

考点二、直线的5种方程

典例引领

1.（22-23高三•全国•课后作业）经过点（-3,1）和点（2,-2）的直线方程是.

【答案】3x+5y+4=0

【分析】根据两点式求得直线方程.

【详解】经过点（-3,1）和点（2,-2）的直线方程是：转=芸|,

整理得3x+5y+4=0.

故答案为：3元+5y+4=0

2.（22-23高二上•山东日照,阶段练习）过点A（4,l）且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是

【答案］1y=0或x+y_5=0.

【分析】分截距为0和截距不为。两种情况，设出直线方程，待定系数法进行求解.

【详解】当截距为。时，设直线方程为产匕，

将4（4,1）代入，可得及=：,

所以直线方程为y=

4

当截距不为0时，设直线方程为二+』=1,

aa

将A（4,I）代入，可得：°=5,

所以直线方程为尤+y-5=0,

综上：直线方程为y=+或x+y-5=0.

故答案为：尤-h=0或尤+y-5=0.

3.（22-23高二上•广东江门,期末）直线氐+y+2=0的倾斜角及在y轴上的截距分别是（

A.60°,2B.60°,-2C.120°,-2D.120°,2

【答案】C

【分析】将直线方程化成斜截式方程，即可求解.

【详解】直线6x+y+2=0化成斜截式y=->/,

可知直线的斜率％=-6，故倾斜角为120。，直线在y轴上的截距为-2,

故选：C

Q-T1-

4.（24-25高三上,湖南长沙•开学考试）过点（T,2）,倾斜角为方的直线方程为（）

A.x-y+2=0B.x+y+2=0C.x-y=2D.x-y+l=0

【答案】B

【分析】由题意可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般方程可得.

【详解】由题可得直