2025高考数学解答题专练：圆锥曲线的综合应用（10大题型）含答案及解析

斛答题，，圆布曲俵的徐金瘙用

----------°°---------

题型一最值问题.......................................................................1

题型二参数范围问题...................................................................3

题型三定值问题.......................................................................4

题型四过定点问题.....................................................................6

题型五定直线问题.....................................................................7

题型六动点轨迹问题...................................................................9

题型七角度关系证明问题..............................................................11

题型八向量共线问题..................................................................12

题型九存在性问题探究...............................................................14

题型十“非对称”韦达定理.............................................................16

必刷大题..............................................................................18

题型一

o大题典例

1.(24-25高三上•福建福州・月考)已知椭圆「:4+g=1经过点4(2,3),右焦点为斤(2,0)

a

(1)求椭圆「的方程；

(2)若直线Z与『交于C两点,且直线AB与AC的斜率互为相反数，求的中点M与尸的最小距

离.

S变式训练•••

2.(24-25高三上•贵州黔东南•开学考试)已知双曲线G：与—耳=l(o>0,6>0)的一个焦点与抛物

a?bz

线a：靖=的的焦点尸重合，且G被&的准线i截得的弦长为苧.

⑴求a的方程；

(2)若过斤的直线与G的上支交于4,8两点，设。为坐标原点，求|出+5司的取值范围.

3.(24—25高三上•四川成都•期中)已知抛物线E：靖=2pc(p>0)经过点P(l,2),直线=+m与

E的交点为A,B,且直线PA与PB倾斜角互补.

(1)求抛物线在点P(L2)处的切线方程；

⑵求卜的值；

(3)若m<3,求APAB面积的最大值.

题型二参数范围问题•M

s大题典例

4.(23-24高三下•全国•模拟预测)已知椭圆。:苧+y2=l.

(1)若椭圆。的左右焦点分别为为。的上顶点，求APE用的周长；

(2)设过定点河(0,2)的直线I与椭圆。交于不同的两点4、B,且乙4OB为锐角(其中O为坐标原

点),求直线I的斜率k的取值范围.

s变式训练

5.(23-24高三下•江苏苏州•月考)在平面直角坐标系xOy中，已知动点“到定点F(V3,0)的距离和它

到定直线x=军的距离之比为平，记M的轨迹为曲线C.

(1)求。的方程；

(2)已知点4(0,1)，不过A的直线，与。交于P,Q两点，直线人尸，尸Q,AQ的斜率依次成等比数列，

求人至此距离的取值范围.

6.(24-25高三上•湖南•开学考试)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为点。(g⑵在抛物线C

上，且尸|=2.

(1)求抛物线。的标准方程；

(2)抛物线的准线与rc轴交于点K,过K的直线I交抛物线。于两点，且反方=AKN,AG(1,2],

点G为线段的垂直平分线与刀轴的交点，求点G的横坐标xG的取值范围.

题型三定值问题

S大题典例

7.(24-25高三上•贵州毕节•期中)已知椭圆+《=l(a>b>0)的焦距为4,Q(V3,1)为椭圆C

a2b-

上一点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设F为椭圆C的左焦点，直线Z:力=3P为椭圆上任意一点，点P到F的距离为小，点P到I的距

离为n,若空为定值,求此定值及t的值.

n

S变式训练•••

8.(24-25高三上•湖北武汉•开学考试)已知曲线。上的点到点F(-1,O)的距离比到直线T=3的距离

小2,0为坐标原点.直线Z过定点A(O,1).

(1)直线Z与曲线。仅有一个公共点,求直线I的方程；

(2)曲线。与直线Z交于两点，试分别判断直线(W,ON的斜率之和、斜率之积是否为定值？并

说明理由.

9.(24-25高三上・甘肃张掖•模拟预测)已知双曲线—冬=l(a>0,b>0)的焦距为8,右焦点为

尸，直线/："=4立与双曲线在一、三象限的交点分别为P,Q,且尸PLFQ.

(1)求双曲线。的方程及APQF的面积；

(2)直线沙=而+zt(RWO)与双曲线。交于两点,若直线PA、PB与工轴分别交于点A,B，且

|B4i|=|P8j.证明：R为定值.

题型四过定点问题•M

s大题典例

10.（24-25高三上•河南驻马店•开学考试）已知动圆P过点鸟⑵0），并且与圆“Q+2）2+娟=4外切，设

动圆的圆心P的轨迹为C.

⑴直线EQ与圆E相切于点Q，求网QI的值；

（2）求曲线。的方程；

（3）过点£的直线。与曲线。交于E,尸两点，设直线l-x=^，点。（一1,0），直线ED交，于点M,证明

直线经过定点，并求出该定点的坐标.

o变式训练

11.（24-25高三上•湖北襄阳・月考）已知抛物线E:y[=2px®>0）与双曲线春—,=1的渐近线在第

O4

一象限的交点为Q,且Q点的横坐标为3.

（1）求抛物线E的方程；

（2）过点朋r（—3,0）的直线Z与抛物线E相交于4,8两点，B关于立轴的对称点为®，求证:直线AB'

必过定点.

12.（24-25高三上•天津北辰•期中）已知椭圆C：4+£=l（a>6>0）的一个焦点为尸,其短轴长是焦

azbz

距的四倍，点A为椭圆上任意一点,且|AF1的最大值为3.

⑴求椭圆C的方程；

（2）设动直线I：u=+m与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线宓=4相交于点Q.问：c轴上

是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过定点M?若存在，求出点河的坐标;若不存在，说明理

由.

题型五定直线问题

金大题典例

13.（24—25高三上•北京・月考）已知椭圆C：W+《=l（a>b>0）的左、右焦点分别为E、月，一个焦点

为F（J^,O）,P是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知AP居用的面积的最大值为2.

（1）求椭圆。的方程；

（2）过点（1,0）且斜率不为0的直线，与椭圆C相交于两点,椭圆长轴的两个端点分别为A1，

4，4双与4N相交于点Q,求证:点Q在某条定直线上.

9变式训练•••

14.(23—24高三下.湖南长沙.三模)已知抛物线C:婿=2pc(p>0),过点。(0,2)的直线Z与。交于不同的

两点当直线Z的倾斜角为135。时，|人引=4沏.

(1)求。的方程；

(2)在线段48上取异于点48的点况且满足艺=口，试问是否存在一条定直线，使得点E恒

\DB\\EB\

在这条定直线上？若存在，求出该直线;若不存在,请说明理由.

15.(24—25高三上•上海•期中)已知双曲线。的中心为坐标原点，E,用是。的两个焦点，其中左焦点为(

-2V^",0),离心率为V5.

(1)求。的方程；

(2)双曲线。上存在一点P,使得NEPE=120°,求三角形PE月的面积；

(3)记。的左、右顶点分别为4,4，过点(-4,0)的直线与。的左支交于M,N两点,河在第二象限，

直线MA,与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.

题型六动点轨迹问题•••

o大题典例

16.（23-24高三下•湖南益阳•一模）已知两点4—2,0）,3（2,0）及一动点P,直线上4,PB的斜率满足kPA

%=—/，动点P的轨迹记为C.过点（1,0）的直线2与。交于河，N两点，直线AM,BN交于■点、Q.

（1）求。的方程；

（2）求的面积的最大值；

（3）求点Q的轨迹方程.

s变式训练

17.（23-24高三下•江西抚州・月考）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线及:尤-y2=1经过点

m

4（2,1）,点B与点A关于原点对称，。为M上一动点，且。异于两点.

⑴求M■的离心率；

（2）若/^BCT的重心为A,点。（8,4）,求\DT\的最小值；

（3）若ABCT的垂心为4求动点T的轨迹方程.

18.(23-24高三下•安徽合肥•模拟预测)图1为一种卫星信号接收器,该接收器的曲面与其轴截面的交线

为抛物线的一部分，已知该接收器的口径=4《，深度2,信号处理中心尸位于抛物线的焦

点处，以顶点。为坐标原点，以直线。尸为X轴建立如图2所示的平面直角坐标系立。夕.

⑴求该抛物线的方程；

(2)设Q是该抛物线的准线与比轴的交点，直线Z过点Q,且与抛物线交于H,S两点,若线段RS上有

一点P,满足无=需，求点P的轨迹方程.

•••

题型七角度关系证明问题

念大题典例

19.(24-25高三上•云南昆明•开学考试)在平面直角坐标系xOy中，已知点4(—2,0),6(2,0),动点河满

足直线4W与直线的斜率之积为-言，设点河的轨迹为曲线C.

(1)求。的方程；

(2)已知点尸(1,0)，直线/立=4与力轴交于点。，直线AMr与I交于点N,证明：AMFD=24NFD.

o变式训练

20.(23-24高三下.山西运城.三模)已知双曲线C-.x2-^~=l的左、右焦点分别为E，鸟，点［为。的左

顶点，点P为。右支上一点(非顶点)，NRPB的平分线PM交x轴于M

(1)过右焦点用作ENLPM于N,求|ON|；

(2)求证：NP&4=2^PAF2.

21.（23-24高三下.广西.二模）已知抛物线,过点成0,2）作直线交抛物线。于4B两点，过4

B两点分别作抛物线C的切线交于点P.

（1）证明：P在定直线上；

（2）若尸为抛物线。的焦点，证明：=

题型八向量共线问题

s大题典例

22.（24—25高三上•四川成都•模拟预测）椭圆。的中心为坐标原点O,焦点在夕轴上，离心率e=^，椭

圆上的点到焦点的最短距离为1—e,直线Z与0轴交于点P（O,m）（小工0）,与椭圆C交于相异两点

4且51+加范=4种.

（1）求椭圆方程；

（2）求nz的取值范围.

o变式训练

23.(23-24高三下.山西太原.三模)已知双曲线。耳—鼻=l(a>0,fe>0)的左、右顶点分别为A与

azd

点。(3,2)在。上,且直线AD与口。的斜率之和为方.

(1)求双曲线。的方程；

(2)过点P(3,0)的直线与C交于M,N两点(均异于点)，直线MA与直线x=l交于点Q,求

证：B,N,Q三点共线.

24.已知抛物线r：y2=2px(p>0)经过点P(l,2),直线I与抛物线P有两个不同的交点直线PA交y

轴于加r，直线交0轴于N.

(1)若直线I过点Q(0,1),求直线I的斜率k的取值范围；

⑵若直线，过抛物线『的焦点交V轴于点。，山=痛反屈=〃屈，求4+〃的值；

⑶若直线，过点Q(0,l),设0(0,0),臣方=/19,而=”前,求:+工的值.

A〃

题型九存在性问题探究

念大题典例

25.（23-24高三下•上海•三模）已知椭圆。：4+斗=1,3鸟分别为左、右焦点，直线Z过鸟交椭圆于

o4

A、B两点.

（1）求椭圆的离心率；

（2）当乙％48=90°,且点A在立轴上方时，求两点的坐标；

（3）若直线交沙轴于河，直线欲交y轴于N,是否存在直线I，使得S.AB=S△磔亚？若存在，求出

直线Z的方程;若不存在,请说明理由.

o变式训练

26.（24—25高三上•上海・月考）已知双曲线。:与—%=l（a>0,b>0）的离心率e=2,左顶点

A（—1,0）,过C的右焦点尸作与田轴不重合的直线，，交C于尸、Q两点.

（1）求双曲线C的方程；

（2）求证:直线AP.AQ的斜率之积为定值；

⑶设说=苏日,试问:在x轴上是否存在定点T,使得AF±（TP-久河）恒成立？若存在，求出点

T的坐标;若不存在，说明理由.

27.（23-24高三下•西藏拉萨・月考）已知抛物线C：y2=2PMp>0）,准线，与力轴交于点为抛

物线。上一点，ADLZ交沙轴于点D当为=42时，凉=就+说.

（1）求抛物线。的方程；

（2）设直线⑷W•与抛物线。的另一交点为B（点B在点4河之间），过点尸且垂直于T轴的直线交AM

于点N.是否存在实数小使得\AM\\BN\=A\BM\\AN\?若存在，求出4的值;若不存在,请说明理由.

题型十“非对称”韦达定理

念大题典例

28.(23-24高三上.陕西西安.期中)已知椭圆+之=l(m>0)的长轴长为4,左、右顶点分别为

4mm

A,经过点P(l,0)的动直线与椭圆W相交于不同的两点C,。(不与点4口重合).

(1)求椭圆W的方程及离心率；

(2)若直线CB与直线入。相交于点判断点M是否位于一条定直线上？若是,求出该直线的方程；

若不是，说明理由.

S变式训练

29.(23-24高三上•上海闵行•期中)已知双曲线C：生—喜=l(a>0,&>0)的离心率为方，点(3,-1)

在双曲线。上.过。的左焦点尸作直线Z交。的左支于4、B两点.

(1)求双曲线。的方程；

(2)若反(一2,0),试问：是否存在直线I，使得点及在以AB为直径的圆上？请说明理由.

(3)点F(-4,2)，直线AP交直线x=—2于点Q.设直线Q4QB的斜率分别取、区，求证：自—无为

定值.

2?/2

30.（24-25高三上•重庆・月考）已知尸是椭圆。:%+%=l（a>b>0）的右焦点，O为坐标原点，M为

a?bz

椭圆上任意一点,\MF\的最大值为2+遮，当|OM=Qm时，△朋O尸的面积为y.

⑴求之的值；

a

（2）48为椭圆的左、右顶点，点P满足前=3席,当双与AB不重合时，射线MP交椭圆。于点N,

直线AM,BN交于点、T,求乙4TB的最大值.

c（必刷大题）o

s刷模拟

1.（23-24高三下•河北•模拟预测）椭圆C：与+竺=l（a>6>0）左右顶点分别为A,且|4日=4,

azbz

离心率e=乌.

（1）求椭圆。的方程；

（2）直线Z与抛物线夕2=42相切，且与C相交于M、N两点，求ZWNB面积的最大值.

2.（24—25高三上•河北石家庄•月考）已知焦距为2代的椭圆=l（a>b>0）的右焦点为厂,

a2b-

右顶点为4过F作直线，与椭圆。交于夙。两点（异于点⑷，当BDL刀轴时，|皿|=1.

（1）求椭圆。的方程；

（2）证明：0是钝角.

3.(24-25高三上•重庆・月考)已知双曲线C邑—4=l(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=乎宓,

azbz2

点P(4,3)在双曲线。上.

(1)求双曲线。的方程.

(2)设过点(-1,0)的直线I与双曲线。交于河，N两点，问在c轴上是否存在定点Q,使得就•两

为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.

4.(24—25高三上•云南保山•期中)若P⑵2)为抛物线「:好=小①上一点，过p作两条关于①=2对称的

直线分别另交r于人如如出但外)两点.

(1)求抛物线r的方程与焦点坐标；

(2)判断直线48的斜率是否为定值？若是，求出定值;若不是，请说明理由.

5.(24-25高三上•湖北武汉•期中)已知椭圆。：三十《=l(o>b>0)的离心率为空，点A(O,1)在

a-b"2

。上，直线Z与。交于不同于A的两点河，N.

(1)求。的方程；

(2)若彳法•俞=0,求△AVN面积的最大值；

(3)记直线AM,4V的斜率分别为自，自，若自居=一工，证明：以上亚为直径的圆过定点，并求出定点

坐标.

2?/2

6.(24—25高三上•上海宝山・月考)已知椭圆C:%+4=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi、F?

azbz

N(—2,0)为椭圆的一个顶点，且右焦点尸2到双曲线.炉—92=2渐近线的距离为卓，

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)设直线l:y=k岔+m(k于0)与椭圆。交于A、B两点.

①若直线I过椭圆右焦点尸2,且a的面积为华;，求实数k的值；

5

②若直线，过定点P(0,2),且卜>0,在立轴上是否存在点T90)使得以24、为邻边的平行四边

形为菱形？若存在，则求出实数方的取值范围；若不存在,请说明理由.

21

刷真题

7.(2024•全国.高考真题)已知4(0,3)和尸(3,,)为椭圆+白=l(a>b>0)上两点.

(1)求C的离心率；

(2)若过P的直线，交。于另一点B,且AABP的面积为9,求Z的方程.

8.(2024.全国.高考真题)已知椭圆C,+看=l(a>b>0)的右焦点为尸，点/1,勤在。上，且MF

_L2轴.

(1)求。的方程；

⑵过点P(4,0)的直线交。于A8两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MR于点Q,证明：

AQ_Lg轴.

9.(2024・天津・高考真题)已知椭圆《+《=l(a>b>0)的离心率为2.左顶点为下顶点为8,C

azbz2

是线段OB的中点(O为原点)，△ABC的面积为号.

(1)求椭圆的方程.

(2)过点。的动直线与椭圆相交于P,Q两点.在夕轴上是否存在点T,使得声恒成立.若

存在,求出点T纵坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.

10.(2024.北京.高考真题)已知椭圆E：然=l(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四

azbz

边形是边长为2的正方形.过点(0,力)(方>四)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点过点

A和。(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为。.

(1)求椭圆E的方程及离心率；

(2)若直线BD的斜率为0,求土的值.

11.（2024.上海.高考真题）已知双曲线「:"―4=1,0>0）,左右顶点分别为4,4,过点河（一2,0）的直

0

线/交双曲线『于P,Q两点.

⑴若离心率e=2时，求b的值.

（2）若b=义件,△AM2P为等腰三角形时，且点P在第一象限，求点P的坐标.

（3）连接OQ并延长，交双曲线「于点R,若乖•声=1,求b的取值范围.

12.（2024.上海.高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆+^=1上一点，耳片分别

02

为椭圆的左、右焦点.

（1）若点A的横坐标为2,求的长；

⑵设「的上、下顶点分别为Mi、此，记的面积为Si,A4M此的面积为S2,若&>S2,求|O川

的取值范围

（3）若点4在立轴上方,设直线A片与r交于点B,与n轴交于点K,KF,延长线与r交于点c,是否存

在2轴上方的点C,使得房+而+而=4（房+旗+成5）（衣用成立？若存在，请求出点。的坐

标;若不存在,请说明理由.

斛答题，，圆布曲俵的徐金瘙用

----------°°---------

题型一最值问题.......................................................................1

题型二参数范围问题...................................................................4

题型三定值问题.......................................................................6

题型四过定点问题....................................................................10

题型五定直线问题....................................................................13

题型六动点轨迹问题..................................................................15

题型七角度关系证明问题..............................................................19

题型八向量共线问题..................................................................21

题型九存在性问题探究...............................................................25

题型十“非对称”韦达定理.............................................................28

必刷大题..............................................................................31

题型一最值问题

s大题典例

1.（24-25高三上•福建福州・月考）已知椭圆「与+m=1经过点人（2,3）,右焦点为下⑵0）

a-b-

（1）求椭圆「的方程；

（2）若直线，与r交于B,C两点，且直线AB与AC的斜率互为相反数，求的中点M与F的最小距

离.

【答案】（1）条+告=1;（2）嚅

【解析】（1）由已知可得—+-^-=l,a2—62=。2=4,解得a2=16,&2=12;

a2b2

所以椭圆r的方程为4+2=1.

（2）由于直线AB与AC的斜率互为相反数，

不妨设直线AB的斜率为k,则直线的斜率为一%,3（附,加）,C（xc,ya）;

则直线AB的方程为y=&（c-2）+3,如下图所示：

•M

®=*（6一2）+3

联立</靖_，整理可得（4奴+3）"+（24—16取）力+16取一4注-12=0,

116+I2

16fc2-48/c+128fc2-24fc-6

，又以=2,可得的=

4奴+34k2+3

日口of8k2—24k—6—12k2-12k+9\

即与4婷+3'—k—%

同理用代替k可得。（8*2+产―6,-12空12"+9）

rrA/IO4rrvIO

—12fc2+9

因此可得BC的中点河（整三■，一肚9），因此可得koM=4fcH3=_1

v4fc2+34k2+3）班2—62

4k2+3

所以可得点“在直线y=―^-x上,

o1—31

可得点河与尸的最小距离即为点F到直线g=~x的距离d=J।=

2VMI7

当且仅当OM_L人加时，取得最小值.

解法指导

求最值及问题常用的两种方法：

（1）几何法:题中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用几何图形性质来解决；

（2）代数法:题中所给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求该函数的最值,

求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。

S变式训练

2.（24-25高三上•贵州黔东南•开学考试）已知双曲线G：4—耳=l（a>0,6>0）的一个焦点与抛物

azbz

线G：d=84的焦点F重合，且G被G的准线I截得的弦长为29.

⑴求G的方程；

（2）若过尸的直线与G的上支交于A,B两点，设。为坐标原点，求\OA+OB\的取值范围.

【答案】（］4―d=l;（2）［4,+oo）

【解析】（1）由题可知，F的坐标为（0,2）,则02+62=4.

易知/的方程为y=-2,不妨设/与G相交于点7W（—m,—2）,7V（m,—2）,

则J—誓=1,整理得雇=〃3T）=冬，

出b\出,az

则|2WN|=2\m\=—=,可得

a3b=l,

故G的方程为署一"=1.

o

（2）由题可知，直线AB的斜率一定存在，

设5：y=kx+2,4（物，%）,_8（电,纺），则。4=（电,阴），OB=（g,纺）.

y=kx~\~2,

联立方程组<夕22_］整理得（A;?—3）力2+或力+1=0,

则工1+g=芳■,/02二行'

-12—3股—12

%+例=A；01+，2)+4=<Vi'1/2=k2Xi-x+2k{x+Xi)+4=

取一321A;2-3

由A,B在2轴的上方，所以%+纺=厂3>0,防•纺=―'二>0,

K—3K—3

可得04k2V3.

OA+OB=0i+，2,%+%),

则|出+方=J(g+Z2)2+(%+纺)2=4^^^=4^^+看.

由04k2<3,得771Tw—!，

K-OJ

则4/——------1——1—>4

M(妒-3)2妒-3i

故的取值范围为［4,+oo).

3.（24-25高三上•四川成都•期中）已知抛物线E：靖=2必@>0）经过点PQ⑵，直线/：,=皿+五与

E的交点为且直线E4与P8倾斜角互补.

（1）求抛物线在点P（l,2）处的切线方程；

⑵求k的值；

（3）若小<3,求ABAB面积的最大值.

【答案】（1切=c+1;（2）—1；（3）气&

【解析】（1）由题意可知，4=2p,所以p=2,所以抛物线E的方程为必=4/,

即g=2Vx（x>0）,则y'=,

则抛物线在P点的切线斜率为k=yf\=1,

I工二1

则切线方程为g—2=1X（比一1）,

故切线方程为?/=x+1.

（2）如图所示：

设4（力1,必）,_B（力2,纺），将直线I的方程代入才=4%，

222

得fcx+（2fcm—4）x+m=0,所以/i+~,xrx2-,

因为直线P4与PB倾斜角互补，

7I7例—2Iy「2kx+m-2fc^+m-2

所以k以+而打=-----+------=---2--------+-----------=0,

力2—161—1力2—121—1

即+(%+馆-g+g—2

2k2)(‘^=2k+(fc+m—2)=0,

Ni—1

\X2—l(劣2—1)(电-1)

4—2knz—2k2

所以2k+(fc+m—2)=0,

(fc+m—2)(fc+m+2)

4k+4

=0,所以k=—1.

即2k+晨曾4fc+m+2

22

(3)由(1)(2)可知，x—(2馆+4)力+?712=0,所以/]+22=4+2?71,xxx2—m,

则|4B|=V(-1)2+1xJ(61+/2)2-4/巡2=4^2-Vl+m,

因为△=(2m+4)2—4m2>0,所以m>—1，即一1VmV3,

又点P到直线AB的距离为d=—尸—2+==与如

V(-i)2+iV2

所以S=[x4^2•Vl+m,-3=2A/(3—m)2(m+l),

2V2

因为(3-m)2(m+l)=y(3-m)(3-m)(2m+2)<方(3-馆+3了+2zn+2『=需,

所以,当且仅当即

S&32^^3—nz=2m+2,m时，等号成立,

t7O

所以△RLB面积最大值为警③.

9

题型二参数范围问题

9大题典例

4.（23-24高三下•全国•模拟预测）已知椭圆。:手+y2=l.

（1）若椭圆。的左右焦点分别为瓦月,P为。的上顶点，求APE后的周长；

（2）设过定点河（0,2）的直线Z与椭圆。交于不同的两点4、B,且/49B为锐角（其中。为坐标原

点）,求直线I的斜率k的取值范围.

【答案】⑴4+2存⑵（-2,—乎）U（空,2）

【解析】(1)由题意得Q2=4,〃=I,

所以a=2,b=l,c=Va2—&2=V3,

所以APRE的周长为|PF]|+|PE|+IE月I=2Q+2c=4+2通;

T

⑵显然力=0不满足题意，设直线/的方程为g=far+2,A（j；i,7/i）,B（2,y2）,

y=kx-\-2

22

由,<+y2=i)得(1+4fc)rc+16kx+12=0,

由△=(16fc)2-4x12(1+4/c2)>0,得力>，,

16k12

贝I£Ci+X=—，力巡2=

24fc2+l4k2+1

2+

yiy2—(kg+2)(k力2)=+2fc(a?i+x2)+4,

因为ZAOB为锐角，4,0,B不共线，所以cosZAOB>0,

所以OA,OB>0,所以少巡2+ynh>0,

12(fc2+l)16fc-2fc14(4-fc2)

所以力避2+以纺=（1+。2）21电+2"（力1+力2）+4=4fc2+l十―4fc2+l

4k2+1•••

解得0〈我V4,

因为出2＞菖，所以解得一2〈七〈一乎或乎VkV2,

所以实数%的取值范围为（一2,—寻）U（手,2）

解法指导

圆锥曲线的取范围问题

1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

3、利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围；

4、利用己知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围；

5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域,从而确定参数的取值范围.

念变式训练

5.⑵-24高三下•江苏苏州・月考）在平面直角坐标系xOy中,已知动点河到定点F（V3,0）的距离和它

到定直线•=亭的距离之比为乎，记M的轨迹为曲线C.

（1）求。的方程；

（2）已知点4（0,1）,不过4的直线，与。交于P,Q两点，直线的斜率依次成等比数列,

求人至M距离的取值范围.

【答案】（1）］一婿=1;（2）（0,空）.

【解析】（1）设河（，〃），由题意得响：靖=乎,

化简得万—靖=1,所以C：］—y2=l.

(2)由题意，直线/的斜率存在且不为0,

设直线I的方程为y—kx+b(bW1),P(g,%),口(%2,纺).

f之_q2=i

联立(2,，得(1一2奴)炉一4kbl—2〃-2=0,

\y-kx-\-b

l-2fcV0

A=(4fc6)2-4(l-2fc2)(-262-2)>0

4kb

所以＜劣1+62

1-2/c2

一2〃一2

判・劣21-2/c2

2

因为kPQ=kAP•kAQ,即一“"一"=,所以+6—1)/电+b—1)=kXiX2,

371力2

所以k(b—1)(0+/2)+(b—1)2=0,又bW1,所以k(力i+电)+(b-1)=0,

i_op

所以(2%2+1»+2k2—2=0,所以b=,2.

十J.

4fc2

|1—"24好

所以点A到直线Z的距离d=2fc+l

Ve+iVA；2+I（2A；2+i）Vfc2+i'

令t=S^+l,则取=t2一1,

代入△=4（2〃一或2+2）>0,即（1一2fc2）（2fc2+4N+2）>0,解得好v/.

所以t=+le（1,等），d=------4肥=4x上二.

12>（2炉+1）灰五2t3-t

当te（1,普）时，d'=4义—>0恒成立,

所以6=在区间（1,争）单调递增，

所以de（0,乎），即点A到直线Z的距离的取值范围为（。，聋｝

6.（24-25高三上•湖南•开学考试）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F,点。（如2）在抛物线C

上，且斤1=2.

（1）求抛物线。的标准方程；

（2）抛物线的准线与T轴交于点K,过K的直线I交抛物线。于M,N两点，且加=AKN,A6（1,2],

点G为线段MN的垂直平分线与力轴的交点，求点G的横坐标xG的取值范围.

【答案】⑴式=4/；⑵（3,普].

【解析】⑴因为D（rco,2）在抛物线C:y2=2px（p>0）上，所以4=20g,

产2

付g=—;

P

因为|。川=2,所以力。+与=2,即2+£=2,解得p=2,

2p2

所以抛物线。的标准方程为y2=4x.

（2）易知抛物线的准线为力=—1,则可得K（—1,0）；

设M（血,nJ,N（%y2）,由KM=^KN可得yr=入皿,

如下图所示：

设直线l:x=my—1,代入到好=4/中得y2—4my+4=0,

所以m+改=4?九,%敌=4,即可得知2+纺=^rn,Ayl=4,

联立两式并整理可得4M2=（1+抄=4+二+2,

AA

又劣1+/2=??2（阴+42）—2=4m2—2

由1V/1&2可得g=/l+±+2递增，即有4m2E,即?n?g

又7VW中点坐标为

可得直线TV/N的垂直平分线的方程为y—2m=—m（a;—2m2+l）,

令g=0,