2025高考数学专项复习讲义：平面向量基本定理及其拓展（爪子定理）（高阶拓展）（学生版+解析）

第03讲平面向量基本定理及其拓展

（“爪子定理”）（高阶拓展）

（3类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年全国乙卷文数，第6数量积的运算律

用基底表示向量

题,5分数量积的坐标表示

2022年新I卷，第3题,5分用基底表示向量无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示

3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量

4.会综合应用平面向量基本定理求解

【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易

理解，易得分，需重点复习。

知识讲解

1.平面向量基本定理

如果ei,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一

对实数九，h,使a=/liei+22e2.

其中，不共线的向量ei,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

（1）.基底ei,e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.

（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

应用平面向量基本定理应注意的问题

（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组.

（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、

减运算或数乘运算.

3.形如AD=xA3+yAC条件的应用（“爪子定理”）

“爪，，字型图及性质：A

（1）己知AB,AC为不共线的两个向量，则对于向量AD,必存在羽y,使得/\

AD=xAB+yAC,则8,。,。三点共线ox+y=1/\

DC

当0<x+y<l,则。与A位于BC同侧，且。位于A与BC之间

当尤+y>l,则。与A位于3C两侧

x+y=l时，当尤>0,y>0,则。在线段上；当孙<0,则。在线段延长线上

A

（2）己知。在线段3C上，且|班>:|CD|=加:人则AD=-------AB+-------AC/\

m+nm+n//'

3、AD=xAB+yAC中光,y确定方法„Z__Z-------

°tnDn

（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定演y

（2）若题目中某些向量的数量积己知，则对于向量方程A£>=xA8+yAC,可考虑两边对同一向量作数

量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解

（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于尤,y的方程，

再进行求解

考点一、基底的概念及辨析

典例引领

1.（2024高三•全国•专题练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（）.

A.4=（。,。）,七=。，-2）B.ex=（-1,2）,e2=（5,7）

C.，=（3,5）,e2=（6,10）D.q=（2,—3）,e2=（g，—j）

2.（2024高三・全国•专题练习）如果令，4是平面a内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为

平面内所有向量的一组基底的是（）

A.q与。十%B.0—2e?与G+2^

C.6]+&2与6一。2D.G+2q+64

3.（2023高三•福建•阶段练习）下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（）

A.a=(1,2),b=(0,0)B.a=(1,2),Z?=(—1,—2)

C.a=(1,2),b=(5,10)D.a=(1,2),b=(—1,2)

1.（2023•陕西西安•一模）设左eR,下列向量中，可与向量q组成基底的向量是（）

A.b=(k,k)B.0=（一左,一女）

C.d=(左2+1，左2+1)D.e=(左?—1,左2_1)

2.（2023高三•全国,专题练习）设,©｝为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（）

A.G+4才口G—e?B.46+2^2和2e2—4,

C.2G+/和G+/D.ex-2/和4^2+2q

考点二、平面向量的基本定理综合

典例引领

1.（2022•全国•高考真题）在,ABC中，点。在边上，班＞=2ZM.记。4=利。。=”，则CB=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

2.（全国•高考真题）在ElABC中，AD为3C边上的中线，E为AD的中点，则防=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

3.（2024・陕西安康•模拟预测）在ABC中，M是的中点，AN=3NC,CM与3N相交于点尸，则AP=（）

3113

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

5555

1331

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2442

1.（广东•高考真题）在平行四边形ABC。中，AC与BD交于点O,£是线段。。的中点，AE的延长线与

CD交于点尸,若AC=a，BD=b，则AF'=

A.—ciH—bB.—ciH—bC.—ciH—bD.-ciH—b

42332433

2.（2024・山西吕梁•三模）已知等边的边长为1,点2石分别为A5,5。的中点，若DF=3EF，则Ab=

（）

1513

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

iiuun3uum

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

3.（22-23高一下•河南洛阳•阶段练习）在ABC中，点M是A3的中点，N点分AC的比为AN：NC=1:2,3N

与CM相交于设A5=/AC=b,则向量AE=（）

1-1712,2.13,4

A.-QH—bB.-ci-\—bC.-dH—zbD.-4H—b7

32235555

考点三、“爪子定理”的综合应用

典例引领

1.（全国•高考真题）设。为11ABe所在平面内一点，且5c=38,则（）

1414

A.AD=——AB+-ACB.AD=-AB——AC

3333

4141

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

ABC中，AN=-NC,P是BN上的一点，若AP="?AB+2AC,则实数m的值为（

2.如图，在,

311

9532

A.——B.—C.—D.—

11111111

-1.2

3.如图，在.ABC中，AN=-NC,P是BN上的一点，若AP="?AB+—AC,则实数〃z的值为（

311

9532

A.—B.—C.—D.—

11111111

1.（2024•云南昆明•一模）在J1BC中，点。满足A£>=4OB,则（）

1331

A.CD=-CA+-CBB.CD=-CA+-CB

4444

1441

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+-CB

5555

2.（2024•广东广州•一模）已知在中，点。在边上，且50=5。。，则AO=（）

151uum5uuu1441

A.-AB+-ACB.-AC+-ABC.-AB+-ACD.-AB+-AC

66665555

3.（2023•湖北武汉・华中师大一附中校考模拟预测）如图，在一ABC中，点。在BC的延长线上，忸q=，

如果AD=xA8+yAC,那么（）

1313

A.x=一,y=一B.x=——,y=—

2222

1313

C.x=，y=D.x=-,y=-

~2~22

4.（2023•江苏苏州•模拟预测）（多选）在ABC中,记A8=,AC=6，点。在直线3C上，且友）=3DC.

若40=+4，则竺的值可能为（）

n

11

A.—2B.—C.—D.2

33

IN.好题冲关

1.（2024•上海浦东新•三模）给定平面上的一组向量G、4,则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的

是（）

A.2q+e2和q-e?B.q+Se?和%+3q

C.一q和2q-6qD.q和q+q

2.（2024・浙江绍兴•二模）已知四边形ABCD是平行四边形，EC=2BE.DF=2FC，记A8=a,AD=Z?,

则后尸=（

A.L+L12-

B.——a——b

3333

2121

C.一〃H—b7D.—a——bz

3333

3.（2024•全国•模拟预测）在平行四边形ABCD中，EB=2AE,BF=FC,记==则.=（）

217B.2/

A.—a——b

3232

D-

3223

2

4.（2024・山东济南•二模）在「ABC中，E为边AB的中点，BD=-BC,则（）

A.--AB+-ACB.-AB+-AC

6363

C.-AB+-ACD.-AB--AC

6363

5.（2024•全国•模拟预测）已知等边三角形ABC的边长为2,尸为ABC的中心，PELAC,垂足为£,则

PE=（）

122uuiiiuum

A.—ABH—ACB.--AB+-ACC.--AB+-ACD.——AB+-AC

33366333

6.（2024•陕西安康•模拟预测）在梯形ABCD中，OC=3AB,E为线段AD的中点，。尸=2FC，则E尸=（）

A.-BA+-BCB.--BA+BCC.--BA+-BCD.-BA+-BC

22222

7.(2024・四川•模拟预测)已知平行四边形A3CD中，E为AC中点.尸为线段AO上靠近点A的四等分点,

设AB=a,=6,则E尸=()

117317

A.——a——bB.——a——b

4242

1-1；13

C.——a——bD.——a——bZ

2424

8.（2024•黑龙江•模拟预测）已知在梯形ABCD中，A3〃C£）且满足4?=2DC,£为AC中点，尸为线段A3上

靠近点B的三等分点，设AB=a,AD=b＞则EF=（）.

213」

A.—a——b7B.C.D.L-

324612226

9.（2024•广东汕头•三模）已知四边形ABCD是平行四边形，BE=2EC,D?=FC，则EF=)

A.一-AB+-AZ)B.--AB--AD

2323

C.--AB+-ADD.--AB--AD

3232

10.（2024•广东佛山•模拟预测）在,ABC中，AB=a,AC=b,若AC=2EC,BC=2DC,线段与班交

于点尸，则C尸=（）

A.L+Z

B.—a——b

333

C-匕+2-12

D.——a—b7

3333

一、单选题

1.（2024•福建漳州•模拟预测）在ABC中，D是边3C上一点，且3。=2DC,E是AC的中点，记AC=丸AO=人

则BE=（）

5775

A.—n-3mB.-n-3mC.-m-3nD.—m—3n

3222

2.（2024•辽宁•二模）已知平行四边形ABC。，点尸在△5CD的内部（不含边界），则下列选项中，”可能

的关系式为（）

1313

A.AP=-AB+-ADB.AP=-AB+-AD

5544

2324

C.AP=-AB+-ADD.AP=-AB+-AD

3433

3.（2023•湖南•一模）在中，点。满足AO=2O民E为△5CD重心，设BC=%,AC=〃，则AE可表

示为（）

1212

A.—m+—nB.——m+—n

3333

5858

C.——m+—nD.—m+—n

9999

4.（22-23高三上•全国•阶段练习）在平行四边形ABC。中，BE=2ED-AF=AC+2AB,若

EF=2AS+/zAr＞（A,//eR）,则一=（）

A.1B.2C.4D.8

5.（2024•内蒙古包头•一模）如图，在菱形ABCD中，AB=4,ZABC=60,E,尸分别为AB,BC上的点，

BE=3EA，8尸=3”.若线段上存在一点M，使得+尤DA（xeR），则DATCA等于（）

A.2B.4C.6D.8

6.（2024•河北衡水•模拟预测）在ABC中，。是8C的中点，直线/分别与交于点M,瓦N,且

4

AB=-AM,AE=2ED,AC=AAN,则4=()

8575

A.—B.—C.-D.一

5342

7.(2024•宁夏银川•模拟预测)在一ABC中，BD=2DC，过点。的直线分别交直线AB、AC于点E、F,

S.AE=mAB,AF=nAC,其中m>0,n>0,贝!J机+2〃的最小值为()

8

A.2B.夜C.3D.-

二、多选题

8.（2024・河北廊坊•模拟预测）如图，在矩形ABCD中，43=6,8。=4,石是86的中点，尸是。C上的一点,

且Db=2FC,则下列说法正确的是（）

B.AF=-AB+AD

3

C.AE-AF=28D.AE-AF=32

三、填空题

9.（23-24高三上•天津和平•阶段练习）如图，在.ABC中，AB=2,AC=3,AB.AC=3,点。是8C的中点，

点E在边AC上，3AE=AUBE交AD于点/，设=XAB+〃AC（/l,〃eR）,则4+〃=；点6是

线段8C上的一个动点，则BF.FG的最大值为.

3

10.（2024,天津•模拟预测）如图，在ABC中，AB=2,AC=5,cosZCAB=-,。是边8C上一点，且

3

8D=2O。.若=记尸。二入川+4水^^川金区3则几+/二;若点尸满足3P与4方共线，

BP

PA1PC，则——的值为.

AD

C

Di

1.（2020・山东•高考真题）已知平行四边形ABCD,点E,尸分别是AB,3C的中点（如图所示），设AB=

AD=b，则所等于（）

A.+B.万卜-Z?）C.耳仅-G）D.3a+b

2.（全国•高考真题）在BBC中，AB=c9AC=b-若点。满足50=20。，则AD=（）

2152,2112

A.—7b+—cB.—c——bC.—7b——cD.—7b+—c

33333333

3.（•全国•高考真题）在一ABC中，D是A5边上一点.若AD=2D民CD=；C4+XC5,则2的值为（）

2112

A.-B.—C.—D.----

3333

4.（全国•高考真题）中，点D在A3上，CZ）平分/ACB.若CB=a，CA=b，同=1，忖=2,贝

12213443

A.—ciH—bB.—ci—bC.—aH—bD.—QH—b

33335555

5.（安徽•高考真题）在YA3CD中，AB=a,AO=b,AN=3NC,M为BC的中点，则MN=.（用a、b

表示）

6.（北京•高考真题）在蜘BC中，点M,N满足AM=2MC,BN=NC,^MN=xAB+yAC,则x=

y=•

7.（江苏•高考真题）如图，在4ABe中，。是BC的中点，E在边上，BE=2EA,与CE交于点。.若

AB

A8-AC=6AO-EC，则力的值是.

第03讲平面向量基本定理及其拓展

（“爪子定理”）（高阶拓展）

（3类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年全国乙卷文数，第6数量积的运算律

用基底表示向量

题,5分数量积的坐标表示

2022年新I卷，第3题,5分用基底表示向量无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示

3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量

4.会综合应用平面向量基本定理求解

【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易

理解，易得分，需重点复习。

知识讲解

1.平面向量基本定理

如果ei,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一

对实数71,h,使a=/hei+22e2.

其中，不共线的向量ei,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

（1）.基底ei,e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.

（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

应用平面向量基本定理应注意的问题

（3）只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组.

（4）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、

减运算或数乘运算.

4.形如AD=xA5+yAC条件的应用（“爪子定理”）

“爪，，字型图及性质：A

（1）已知AB,AC为不共线的两个向量，则对于向量AD,必存在羽y,使得/\

AD=xAB+yAC„则瓦。,。三点共线ox+y=1//\

B乙pc

当0<x+y<l,则。与A位于同侧，且。位于4与之间

当x+y>l,则。与A位于3C两侧

x+y=l时，当尤>0,y>0,则。在线段上；当孙<0,则。在线段延长线上

A

（2）已知。在线段3C上，且加:人则AD=—^—A3+—AC7/\

m+nm+n//'

3、A。=xAB+yAC中确定方法/_/-----

D

mDn

（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定x,y

（2）若题目中某些向量的数量积己知，则对于向量方程AD=xA8+yAC,可考虑两边对同一向量作数

量积运算，从而得到关于l,y的方程，再进行求解

（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，

再进行求解

考点一、基底的概念及辨析

典例引领

I___________________

1.（2024高三•全国•专题练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（）.

A.4=（0,0）,e2=（1,-2）B.ex=（-1,2）,e2=（5,7）

c.4=（3,5）,e2=（6,10）D.=（2,-3）,e2

【答案】B

【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底.

【详解】因为4=(-1,2)与6=(5,7)不共线，其余选项中4、02均共线，所以B选项中的两向量可以作为基

底.

故选:B

【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.

2.(2024高三•全国•专题练习)如果q©是平面a内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为

平面内所有向量的一组基底的是()

A.q与4+&2B.2e?与q+Ze?

C.q+a2与0—«D.q+3/与2d]+6/

【答案】D

【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.

【详解】选项A中，设4+e?"q,无解，则两向量不共线；

/、f2=1

选项8中，设6—24=4,+2/),贝U,,,无解，则两向量不共线；

II=—Z

/、f2=1

选项C中，设A+02=4(6-a)，贝"，无解，则两向量不共线；

[1=­Z

选项。中，6+3%=；(2q+6«2),所以两向量是共线向量.

故选:D.

【点睛】本题考查了基底的涵义，考查了两向量是否共线的判定.本题的关键是判断两向量是否共线.

3.(2023高三•福建•阶段练习)下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是()

A.a=(1,2),6=(0,0)B.a=(1,2),6=(-1,-2)

C.a=(1,2),b—(5,10)D.a=(1,2),0=(-1,2)

【答案】D

【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断.

【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线，

A.向量6是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A错误；

B.a=-b，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B错误；

C.b=5a，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C错误；

D.不存在实数彳，使6=%，所以向量a,6不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D正确.

故选:D

1.(2023•陕西西安•一模)设ZeR,下列向量中，可与向量4组成基底的向量是()

A.b=(k,k)B.c=

C.d=^k2+1,k2+1）D,e=（lc-1,k2-1）

【答案】C

【分析】根据构成基地向量的条件不共线的两个非零向量解决.

【详解】对于AB项，若左=0时，^=（0,0）,c=（0,0）不满足构成基向量的条件，所以AB都错误；

对于D项，若改=±1时，e=（0,0）不满足构成基向量的条件，所以D错误；

对于C项，因为3+1x0,又因为俨+1卜（-1）-俨+1卜1W0恒成立,说明d与q不共线，复合构

成基向量的条件，所以C正确.

故选：C

2.（2023高三•全国•专题练习）设,七｝为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（）

A.q+e?和q-e2B.4q+2e2和2/-4q

C.2q+e2和G+ge2D.q-2e?和4e,+2q

【答案】C

【分析】根据基底的概念确定正确答案.

【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，

C选项中，2q+4=,即2q+e?和q为共线向量，

所以它们不能作为基底.

其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.

故选：C

考点二、平面向量的基本定理综合

典例引领

1.（2022•全国•高考真题）在,A5c中，点。在边A3上，BD=2DA.记QtinCDu”，则CB=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边上，BD=2DA,所以3O=2D4，即CD-CB=2（CA-C£＞）,

所以CB=3CD-2cA=3n-2m=-2m+3n.

故选：B.

2.（全国,高考真题）在回ABC中，AD为8C边上的中线，E为AD的中点，则班=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得=+之后应用向量

31

的加法运算法则一三角形法则’得到g.+Ac,之后将其合并，得到郎下一步应

31

用相反向量，求得日之-/C,从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

；5A+；（5A+AC）

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=

2224

24444

31

所以所产一严,故选A。

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加

法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

3.（2024・陕西安康•模拟预测）在一ABC中，M是AB的中点，AN=3NC,CM与3N相交于点尸，则人尸=（）

311-3

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

5555

1331

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2442

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算、三点共线等知识列方程组，由此求得正确答案.

【详解】设=+由加是AB的中点，得AB=2AM，

4

由AN=3NC，得AC=§AN,

4

所以A尸=+S.AP=AAB+-^AN,

由CM与相交于点尸可知，点P在线段CM上，也在线段上,

2/l+〃

由三点共线的条件可得L4」解得，5所以”=；1■十:3AC.

A+—//=1

故选：B

1.（广东•高考真题）在平行四边形ABC。中，AC与BD交于点、O,E是线段0。的中点，AE的延长线与

CD交于点F若AC=a，BD=b，则AF=

A.—a+—bC.—a+—bD.—a+—b

422433

【答案】B

【分析】利用平面几何知识求解

【详解】如图，可知

DF

一__-.一2一-2——》2一一-

AF=AC+CF=AC+-CD=AC--AB=AC--(AO+OB)

=AC--（-AC--BD\=a--\-a--b\=-a+-b,选B

3（22）3（22J33

【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，

2.（2024•山西吕梁•三模）己知等边"C的边长为1,点9E分别为ABIC的中点，若。尸=3E尸，则”=

13

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

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C.-AB+ACD.-AB+-AC

2

【答案】B

【分析】取｛AC,AB｝为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.

【详解】在"ABC中，取｛AC,为基底，

贝I］陷==2,（AC,码=60,

因为点D,E分别为AB,BC的中点，DF=3EF,

所以斯」£>2」AC,

24

所以A/=AE+跖=—（AB+AC）+—AC=-A5+±AC.

2V7424

故选：B.

3.（22-23高一下•河南洛阳•阶段练习）在.ABC中，点〃是AB的中点，N点分AC的比为4V：=1:2,BN

与CM相交于E,设AB=a,AC=b,则向量AE=（）

11712,21z3也

A.—aH—bB.—ciH—bC.—ciH—bD.