2025广东中考数学专项练习 第五章 四边形（教用）

2025广东版数学中考专题

第五章四边形

5.1多边形与平行四边形

基础练

L[2024吉林长春，]在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其

中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则za的大小为（）

A.54°B.60°C.70°D.72°

【答案】D

2.[2024东莞三模，]如图，4B、C、。为一个正多边形的顶点，。为正多边形的中心.若

UDB=20°,则这个正多边形的边数为（）

【答案】C

【解析】连接04,OB,

•••4、B、C、D为一个正多边形的顶点，0为正多边形的中心，

•••点A、B、C、D在以点。为圆心，。4为半径的圆上，

•:乙ADB=20°,

乙AOB=2AADB=40°,

・••这个正多边形的边数=黑=9.

40

3.[2024重庆A卷，]如果一个多边形的每一个外角都是40。，那么这个多边形的边数为

【答案】9

4.[2024佛山三模，]如图，中国古建筑中的亭、台、楼、阁、塔很多都采用六边形结构.

六边形的内角和为一

【答案】720

5.[2024山东济宁，]如图，四边形2BCD的对角线ZC,BD相交于点。，。4=OC,请补

充一个条件：，使四边形2BCD是平行四边形.

一

BC

【答案】OB=OD（答案不唯一）

【解析】OA=OC,OB=OD,

••・四边形2BCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

6.[2024广州二模，]已知的对角线AC,BD相交于点。，△02B是等边三角形，

AB=4,则回ZBCD的面积等于.

【答案】16V3

【解析】•・•△aoB是等边三角形，

:.OA=OB=AB=4,

•••四边形是平行四边形，

AC=2。4BD=20B,

:.AC-BD,

・•・平行四边形2BCD是矩形.

^ABC=90°,

,:OA=AB=4,AC=20A=8,

在RtZk/BC中，由勾股定理得

BC=y/AC2—AB2=V82—42=48，

・•・S⑦ABCD=AB•BC=4x4\/3=16V3.

7.[2024湖北武汉，]如图，在团ZBCD中，点E,尸分别在边BC,2。上，AF=CE.

(1)求证：XABE三XCDF.

(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形2BEF是平行四边形.(不需要说

明理由)

【答案】(2)AF=BE.(答案不唯一)

【解析】

(1)证明：•.・四边形2BCD是平行四边形，：.AB=CD,AD=BC,ZB=乙D,­：AF=CE,

AB=CD,

AD-AF=BC-CE,即DF=BE,在△ABE与△CDF中，ZB=ZD,ABE

BE=DF,

CDF(SAS).

(2)详解：•••四边形ABC。是平行四边形，•••4D〃BC,即"〃BE,当■=BE时，四

边形2BEF是平行四边形.

8.[2024湖南，]如图，在四边形4BCD中，AB//CD,点E在边上，.

请从“①NB=UED；②ZE=BE,AE=CD”这两组条件中住造：组作为已知条件，填

在横线上(填序号)，再解决下列问题：

(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；

(2)^AD1AB,AD=8,BC=10,求线段ZE的长.

【解析】

(1)选择①的证明：•.・NB=NZED,BC〃。瓦••・ZB”。。，.•.四边形BCDE为平行四

边形.

选择②的证明：•••AEBE,AE=CD,；.BE=CD,-：AB//CD,四边形BCDE为平行

四边形.

(2)由(1)可知，四边形BCDE为平行四边形，DE=BC=10,vAD1ZB,.•.乙4=90°,

・•・AE=y/DE2—AD2=V102—82=6,即线段4E的长为6.

提升练

9.[2023珠海一模，]如图，已知点。、E、F、G、H、/分别在△力的三边上，如果六

边形OEFGH/是正六边形,下列结论中不正确的是（)

A.乙4=60°

CC六边形DEFGHI3CS六边形DEFGHI2

C.----------------=-D.-------------=-

CRABC5S^ABC3

【答案】c

【解析】:六边形。EFG”/是正六边形,.3IDE=乙DEF=120°,

・•・乙ADE=Z-AED=60°,

即△力DE是等边三角形，

・•・Z.A=60°,

故A选项中结论正确，不符合题意；

同理得出NB=ZC=ABHI=乙CGF=60°,

即△ABC,ABHI,ZkCGF均为等边三角形，

•••HI=GH=GF,ABH=GH=CG,

r.GH1

即n一=",

BC3

・・・DE=GH,

.DE_1

•*,——9

BC3

故B选项中结论正确，不符合题意；

,六边形DEFGHI_6_2

CLABC93'

故C选项中结论不正确，符合题意；

S六边形DEFGHI_6_2

S&ABC93'

故D选项中结论正确，不符合题意.

10.[2023湖南衡阳，]如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3

个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是

【答案】10

【解析】如图，•••正五边形的外角2122=湾=72。,

^AOB=180°—72°X2=36°,

・••要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数为攀=10.

36

11.[2024惠州联考，]如图，在正八边形4BCDEFG”中，将EF绕点E逆时针旋转60。得到

EP,连接ZE,AP,若4B=2,则AZPE的面积为.

【答案】1+

【解析】如图，连接2F,PF,作PS12F,HMLAF,GN1AF,

由正八边形性质得2F〃”G,AF1EF,

•••将EF绕点E逆时针旋转60。得至UEP,；.EF=PE,ZPEF=60。,

・•.△PEF为等边三角形，

乙PFE=60°,A2PFA=30°,

,:EF—AB—2,

PF=2,PS=1,

由正八边形性质得乙4”G=135。，

易知乙=45°,

•:AH=2,

・・・AM=2-sin45°=V2,

同理FN=V2,

・•・AF=2+2V2,

S〉PAE^^AEF~S>PEF—SAPAF

^EF-AF-^-IAF-PS

=Ix2x(2+2V2)-yX22-|x(2+2V2)x1

—1+V2—V3.

12.[2024广州一模,]如图，在平行四边形ABC。中，ZB=4cm,A£>=8cm,/.ABC=60°,

点P为线段ZD的中点.动点E从点Z开始沿边2。以1cm/s的速度运动至点P,动点F从点C

开始沿边CB以2cm/s的速度运动至点B.点E、F同时出发，当其中一个动点到达终点时，

另一个动点也随之停止运动.作点C关于直线EF的对称点。，在点E从点2运动到点P的过

程中，点C'的运动路径长为cm.

【答案】胃n

【解析】连接AC,BP,CP,延长B4CP,交于点T,设AC,EF交于点。，如图,

•••在平行四边形ZBCD中，AB=4cm,AD=8cm,^ABC=60。，点P为线段2。的中点,

ZB=2P=4,DP=DC=4,乙D=^ABC=60°,PCD为等边三角形，

PC=PA=PD=4,乙PCD=60°,

易知乙4CD=90°,

vAB!ICD,AC1AB,

AC=BC-sin60°=8x—=4V3.

2

vABIICD,^ABC=60°,

乙BCD=120°,又；乙PCD=60°,

Z.PCB=60°=乙ABC,

・•.△TBC是等边三角形，

•••动点E从点2开始沿边以1cm/s的速度运动至点P,动点F从点C开始沿边CB以

2cm/s的速度运动至点B,

,AE_1

•,——.

CF2

•：AE//CF,

・•・△AEOCFO,

AO_AE_1

••CO-CF-2’

CO=-AC=-x4V3=—,

333

VAB^AP,Z-BAD=120°,

乙ABP=30°,

Z.TBP=乙CBP=30°,

•••BP1TC,BP过点。，

•••点。是△TBC的外心，

连接T。，

Z.TOC=2乙TBC=120°,

连接。C',•••点C关于直线EF的对称点为点L,

OC=OC=也,

3

・•・当点E运动到点P时，点F运动到点B,此时EF与BP重合，点厂与点T重合，

・・・点C'的运动轨迹为CBT,

・•・点C’的运动路径长为鲁ITX卓=争TT.

13.[2023佛山模拟，]如图，在四边形2BCD中，Z.BCD=90°,对角线AC,BD相交于点

N.点M是对角线80的中点，连接AM,CM.AM=DC,AB1AC,^AB=AC.

A

AD

M

(1)求证：四边形2MCD是平行四边形；

(2)求tanNDBC的值.

【解析】

(1)证明：•.•点M是BD的中点，乙BCD=90。，CM=BM=MD=^BD,又AB=AC,

AM=AM,AMBZMC(SSS),•••^BAM=^CAM,■：AB1AC,：.^BAC=90°,

^MAC=45。，又•••ABAC,：.乙4cB=^ABC=45。，；.^DCA=乙DCB-乙4cB=45°,

Z.DCA=/.MAC,:.AM"CD,XvAMDC,四边形4MCD为平行四边形.

(2)如图，延长AM交BC于点E,

A

vAB=AC,^BAC=90°,^BAM=^CAM,：.AE1BC,且点E为BC的中点，又•••点M是

BD的中点，时后是^BCD的中位线，CD=2ME,又：AM=CD,AM=2ME,；.ME=

评,在RtUBE中，v=45°,AE=BE,AME=^BE,.：tanzDBC=^=1

14.[2024广州二模，]如图，在团ZBCD中，AB=5,AD=3®=45°.

（1）尺规作图：将12aBe。沿着经过a点的某条直线翻折，使点B落在CD边上的点E处,

请作出折痕，折痕与BC的交点为F.（不写作法，保留作图痕迹）

（2）若折痕4F与DC的延长线交于点G.

①求EG的长度；

②求点G到直线4E的距离.

【解析】

（1）如图所示.

CG

（2）①由作图得4G平分ZB4E,2E=4B=5,LEAG=^GAB,•••四边形ZBCD是

平行四边形，CD//AB,A/.EGA=/.GAB,：.Z.EAG=/.EGA,EG=ZE=5.

②过点。作1AB于H,则。”=AD-sin^BAD=3A/2xy=3,4G平分ZB4E,点

G到直线4E的距离等于点G到所在直线的距离，也等于。”的长，.••点G到直线2E的距

离为3.

5.2特殊的平行四边形

基础练

1.[2024江苏盐城，]矩形相邻两边长分别为&cm、V5cm,设其面积为Scm2,贝US在

哪两个连续整数之间()

A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5

【答案】C

【解析】s=&X遍=眄<旧<存，3<m<4,即S在3和4之间.

2.[2024湖北武汉，]小美同学按如下步骤作四边形4BCD：(1)画ZM4V;(2)以点2为

圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D-(3)分别以点B,。为圆心,

1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；(4)连接BC,CD,8。.若乙4=44。，贝UzCBD的

大小是()

A.64°B.66°C.68°D.70°

【答案】C

【解析】由作图过程可得ZB=AD=BC=DC,

••・四边形ABC。是菱形，

:.Z-CBD—Z.ABD=Z.ADB.

・・・Z,A=44°,

11

乙CBD=1(180°-乙4)=1(180°-44°)=68°.

3.[2024山东济宁，]如图，菱形ZBCD的对角线AC,BD相交于点。，E是的中点，连

接。E.若。E=3,则菱形的边长为()

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【解析】由菱形的性质得乙4OB=90。,

・•・E是的中点,

：•AB=2OE=6,

菱形的边长为6.

4.[2024福建，]如图，正方形ZBCD的面积为4,点E,F,G,”分别为边AB,BC,CD,

的中点，则四边形EFG”的面积为

【答案】2

【解析】•••点E,F,G,”分别是正方形2BCD的边AB,BC,CD,的中点,

•••四边形EFGH是正方形，连接EG、HF,则EG=AB,

11o1

•••S正方形EFGH=^EG.HF=3AB2，X4=2.

5.[2023深圳二模,]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点。,AB=4,BD:AD=3:2,

则ac

【答案】2小

【解析】在菱形ZBCD中，ZD=4B=4,OB=：BD,OA=^AC,AC1BD,

vBD\AD=3:2,

・・.BD=6,OB=3,

OA=y/AB2-OB2=V42-32=夕,

AC-20A-2v7.

6.[2023珠海一模，]如图，在RtZkABC中，乙4BC=90。.

IH

(1)作图：在ZC上方作射线2E,使ZC4E=乙4CB,在射线2E上截取2。，使2。=BC,

连接CD；(用尺规作图，要求保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)的条件下，证明四边形2BCD是矩形.

【解析】

(1)如图所示.

(2)证明：•••/.CAE=^ACB,BC//AD,••・=BC,.•.四边形4BCD是平行四边形，

•••LABC=90°,是矩形.

7.[2024广州一模，]先化简，再求值：27,+(l+f其中a的值为菱形的

a2-2a+l'a-ly

面积，已知在菱形ZBCD中，乙4=60。，AB=2.

【解析】如图，过点B作BE14。于E,

••・四边形4BCD为菱形,

:.AD=AB=2,

在Rtz\ZBE中，乙4=60。，AB=2,

则BE=AB-sin4=2xJ=g,

菱形ABC。的面积为•BE=2X百=2V3,即a=2V3,

原式=』+(二+」7)

(a-1)2a-1a-1

_aa

(a-1)2a-1

_aa-1

(a-1)2a

_1_1

一a-1一273-1

2V3+1

=▼.

8.[2024重庆A卷,]在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，

他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和

这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他

们的想法与思路，完成以下作圈和填与

(1)如图，在矩形ZBCD中，点。是对角线2C的中点.用尺规过点。作2C的垂线，分别

交AB,CD于点E,F,连接力F,CE(不写作法，保留作图痕迹).

(2)已知：矩形2BCD,点E,F分别在ZB,CD上，EF经过对角线2C的中点。，且EF1AC.

求证：四边形2ECF是菱形.

证明：•••四边形ABC。是矩形，

AB//CD.

.••①,乙FCO二Z.EAO.

•••点。是2C的中点，

.•.②.

CFOW2\aEO(AAS).

•・•③.

又•:OA=OC,

••・四边形2ECF是平行四边形.

・••EF1AC,

四边形2ECF是菱形.

进一步思考，如果四边形2BCD是平行四边形呢?请你模仿题中表述，写出你猜想的结论:

④

【解析】

(1)如图.

(2)ZCFO=^AEO-,0C=0A-,OF=0E；过平行四边形的一条对角线的中点作这条

对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是

菱形.

9.[2024河源一模，]课本再现

思考

我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？

可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.

(1)为了证明该定理，小亮同学画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你帮助他

完成证明过程.

已知：如图所示，已知回4BCD,对角线AC,BD相交于点。，且AC=BD.求证：囿4BCD是

矩形.

(2)利用尺规作乙4。。的平分线，交边2。于点E(要求：尺规作图并保留作图痕迹，

不写作法，标明字母).

(3)在(2)的条件下，延长E。交BC于点F.若ZE=2E。，求证：四边形4BFE是正方

形.

【解析】

(1)证明：••・四边形4BCD是平行四边形，AC=BD,：.OA=OB=OD=OC,：.乙OAB=

乙OBA,Z-DAO-匕ODA,•；Z.OAB+Z.OBA+Z-DAO+乙ODA-180°,Z.OAB+Z.DAO-

90°,/.DAB=90°,团ABC。是矩形.

(2)如图所示，OE即为所求.

(3)证明：••・四边形4BCD是矩形，0A=0D,乙EAB=^ABF=90°,vOE平分NA。。，

AEED,OE1AD,：.^AEF=90°,四边形ZBFE是矩形，vAE=20E,易知EF=

2OE,AE=EF,矩形ZBEE是正方形.

提升练

10.[2024广州一模，]如图，点E为矩形ZBCD的边CD的中点，点F为边BC上一点，且

AFAE=LEAD,若BF=8,FC=2,则2F的长为（）

A.10B.4V5C.12D.2V41

【答案】C

【解析】如图，过点E作EG12F于点G,连接EF,

••・四边形ABC。是矩形，BF=8,FC=2,

ND="=90°,AD=BC=BF+CF=10,

在△2DE和中，

(Z.EAD-Z.FAE,

Z£)=^AGE=90°,

[AE=AE,

:.XADEWZkaGE(AAS),

.・.ED=EG,AD=AG=10,

・・•点E为CD的中点，

:.CE=DE=EG,

在Rt△ECF和Rt△EGF中，

cEF=EF,

ICE=EG,

Rt△ECF=RtAEGF(HL),

・•・FG=CF=2,

・・・AF=AG+FG=10+2=12.

11.[2024佛山一模，]如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=3,将矩形ABC。绕点2逆时

针旋转得到矩形当点C、L三点共线时，交DC于点E,则DE的长度是

()

【答案】A

【解析】如图，连接AC,AC,

•••四边形ABC。为矩形，

/.ABC=^ADC=90°,BC=AD=3,DCAB4,

由旋转可知，BC=B'C'=3,AC^AC,^ABC=^AB'C=90°,ZB'==4,

又•••点C、B'、C'三点共线，

・•.△ZCC'是等腰三角形，且4B'1CC,

B'C=B'C=3,

:.AD-B'C-3,

在△2。£'和4CB'E中，

f^AED=

\^ADE=乙CB'E,

{AD=B'C,

:.XADECB'E(AAS),

AE=CE,DE=B'E,

设ZE=x,则B'E=4—久=DE,

在中，DE2+AD2=AE2,

：.(4—%)2+32=%2,

解得％=个，

o

7

・・・DE=4—x=-.

8

12.[2023深圳模拟，]如图，四边形4BCD和四边形2EFG均为正方形，点。为EF的中点,

若=2而，连接BF,则BF的长为()

A.4V5B.2V15C.5V3D.2V17

【答案】D

【解析】连接2F,将△2DF绕点A顺时针旋转90。得到△口/,连接EP,

••・四边形2BCD和四边形2EFG均为正方形，点D为EF的中点,

^AED=90°,4E=EF=2DE,4。==2通，^EAF=^AFE=45°,

DE=DF=2,AE=EF=2DE=4,

由旋转的性质得ZR4F'=90。，AF^AF',LAF'B=^AFE=45°,BF'=DF=2,

：.Z.EAF'=45°=^EAF,

AE-AE,

EAF'三△EAF(SAS),

^AEF'=Z.AEF=90°,EF=EF'=4,^AF'E="FE=45°,

AFEF'=^AEF'+^AEF=180°,

•••点F、E、尸三点共线，

v^AF'E=45°,^AF'B=45°,

乙BF'F=^AF'E+乙AF'B=90°,

•••BF,=2,FF'=EF+EF'=8,

BF=422+82=2V17.

13.[2024东莞三模，]如图，已知矩形(MCB在平面直角坐标系中，4(10,0),B(0,6),点

P为BC边上的动点，将AOBP沿0P折叠得至UAODP,连接CD、2D.则下列结论：①当

NBOP=45。时，四边形OBPD为正方形；②当ZBOP=30。时，△04。的面积为15；③

点P在运动过程中，CD长度的最小值为2后-6；④当。。12。时，BP=2.其中正确的

结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】①•••四边形。2CB是矩形，

乙OBC=90°,

•.•将△OBP沿。P折叠得至1」4ODP,

；.OB=0D,乙PDO=AOBP=9。°,ABOP=ADOP,

当乙BOP=45°时，

Z.DOP=Z.BOP=45°,

Z.BOD=90°,

Z.BOD=乙OBP=乙ODP=90°,

••・四边形OBPD是矩形，

・・・OB=0D,

四边形OBPD为正方形，故①正确；

②过点D作。“104于4，

•••4(10,0),B(0,6),

:.OA-10,OB-6,

:.OD—OB—6,

当乙BOP=Z.DOP=30。时，

Z.DOA=30°,

1

DH—2OD=3,

・・・△04。的面积为[。2•=]x3x10=15,故②正确;

③连接OC,

则。。+CD>0C,；0。的长度为定值，

.•・当。。+CD=0C,即。，D,C三点共线时，CD的长度取最小值,

vAC=OB=6,OA=10,

OC=^JOA2+AC2=V102+62=2V34,

:.CD=OC-OD=2V34-6,

即CD长度的最小值为2例-6,故③正确;

④当。。12。时，

乙ADO=90°,

•:乙ODP=乙OBP=90°,

乙ADP=180°,

-.P,D,A三点共线，

•••OA//CB,

：.乙OPB-Z-POA,

•••乙OPB-乙OPD,

Z.OPA-Z.POA,

:.AP-OA-10,

"AC=6,

CP=V102-62=8,

BP=BC—CP=10—8=2,故④正确.

14.[2024广州一模，汝口图，点E为菱形2BCD的边2。上一点，且2E=3,DE=2,点F为

对角线2C上一动点，若ADEF的周长的最小值为6,则sinNBCD=.

【答案】：

【解析】如图，连接BF、BE,

••・四边形ABC。是菱形，AE=3,DE=2,

：.=4。=5,点。和点B关于AC对称，乙BCD=乙BAD,

BF=DF,

・•・EF+DF=EF+BF>BE,

•••△DEF的周长=DE+EF+DF>2+BE,

••・△DEF的周长的最小值为6,

:.BE-4,

••・AE2=9,BE2=16,AB2=25,

：.AE2+BE2AB2,••.△ABE是直角三角形，NZEB=90。，

■Ar-xBE4

**•s\xiZ-BAD=—=—f

AB5

4

・•・smZ-BCD=

5

15.[2024佛山二模,]如图，在矩形4BCD中，点、M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE,

若ZL4ME=15°,则NZBE=.

【答案】40°

【解析】：四边形ZBCD是矩形,

ND=ZC=90°,AD=BC,

・・・点M为CD中点，

DM=MC,

.-.AADMBCM(SAS),

AM=BM,

Z.MAB-/.MBA,

••・△时吕后由^MBC翻折得到，

:.乙CBM=LEBM,ZE=9O°,

设ZCBM=x,则ZEBM=x,^ABM=90°—光,

Z.MAB-90°-x,

^AMB=180°—^MAB-^ABM=2x,

在AMBE中，vZE=90°,

乙EMA+LAMB+乙EBM=90°,

即15°+2%+%=90°,%=25°,

^ABE=90°—2%=40°.

16.[2023深圳二模，]如图，正方形4BCD的边长为8,对角线AC,BD相交于点。，点M,

N分别在边BC,C。上，且NMON=90。，连接MN交。C于P,若BM=2,则。P•OC=_

【答案】20

【解析】如图，过点。作。E1BC于点E,

•••四边形2BCD为边长为8的正方形,

OB=OC=OD,BC=8,BD1AC,

：.乙BOC=乙COD=90°,乙OBC=乙OCB=乙OCD=45°,

•:乙BOC=乙BOM+乙COM=90°,

AMON=乙COM+乙CON=90°,

Z.BOM=乙CON,

在^。8时和4OCN中，

乙BOM=ACON,

OB=OC,

，OBM=乙OCN,

OBMOCN(ASA),

OM=ON,

・•.△MON为等腰直角三角形，

乙OMN=乙ONM=45°,

乙OMP=NOCM=45°,

,:乙POM-乙MOC,

•••△OMP-AOCM,

OM_OP

OC-OM

AOP-OC=OM2,

•••Z.BOC=90°,OB=OC,OE1BC,

1

・,.OE=BE=-BC=4,

2

：.ME=BE-BM=2,

在Rt^OME中，DM2=OE?+ME2=42+22=20,OP-OC20.

17」2024山东威海，］将一张矩形纸片（四边形ZBCD）按如图所示的方式翻折，使点C落

在上的点C'处，折痕为MN,点。落在点。处，交2。于点E.若BM=3,BC'=4,

AC=3,则。N=

【答案】I

【解析】•••四边形2BCD为矩形,

:，AD—BC,AB—CD,NZ=ZB=ZC=ZD=90°,

由翻折可知DN=D'N,CD=CD',ZC=^D'C'M=90°,=N。'=90。,

易证乙D'EN=^AEC=Z-BC'M,

在RtABC'M中，BM=3,BC'=4,

MC=^BM2+BC'2=5,

QQ

•••siPBC'M=?ta’BC'M=?

在RtAZEL中,

ACrQ

siSC'=MC'M=Q=g

ACr

•."上=际%=5,

又•••CD'=CD=AB=BC+AC=7,

ED'=CD'-C'E=2.

在Rtz\NE»中，

tan乙D'EN=tanNBC'M=/=三，

ED'4

・・・ND'=-EDr=-,

42

■2

DN=D'N=

2

18.[2024佛山一模，]综合与实践

数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点，使其到该菱形三个顶点的

距离相等.

【动手操作】如图，已知菱形2BCD,求作点E,使得点E到三个顶点4D,C的距离相

等.小红同学设计如下作图步骤：

①连接BD；

②分别以点4。为圆心，大于之2。的长为半径分别在2。的上方与下方作弧，上方两

弧交于点M,下方两弧交于点N,作直线MN交BD于点E；

③连接ZE,EC,则瓦4=ED=EC.

（1）根据小红同学设计的尺规作图步骤，在图中完成作图（要求：用尺规作图并保留

作图痕迹）；

【证明结论】

（2）证明：E2=ED=EC；

【拓展延伸】

（3）当乙4BC=72。时，求△EBC与△£4。的面积比.

【解析】

（1）作图如图所示.

(2)证明：・.・四边形2BCD为菱形，NZDE=乙CDE,AD=DC,在△4。后和^CDE中，

(AD=DC,

\^ADE=ACDE,ADECDE(SAS),AE=EC,由作图知MN垂直平分4。，AE=

WE=DE,

DE,・•・AE=DE=EC.

(3)•在菱形ZBCD中，乙ABC=72。，乙ABD=乙DBC=36°,•:AD〃BC,：.zADB=

乙DBC=36°,Z.DAB=180°-^ABC=108°,♦；AE=DE,Z,EAD=^ADB=36°,:.

LEAD=乙ABD,•••^ADE=ZBDA,；.△ADE-ABDA,.•.处=竺，即人。2=BD•DE,

BDAD

・・・乙BAE=乙BAD-^EAD=72°,匕BEA=Z.EAD+^ADE=72°,・,・4BAE=ABEA,:.

2

BE=AB,设力3=x=BE=AD,DE=a(%>0,a>0),贝!J/=(%+a)-a,A%—ax—

a2=0,解得％=上且a或％=上空a(舍去)，・・・丝=如与又<△ADE=△CDE,S^EBC=

22DE2S^EAD

SAEBC_££_丝_1+遮

S^EDCDEDE2

19.[2024云南，]如图，在四边形ABC。中，点E、F、G、”分别是各边的中点，^.AB//CD,

AD/IBC,四边形EFG”是矩形.

(1)求证：四边形2BCD是菱形；

(2)若矩形EFG”的周长为22,四边形2BCD的面积为10,求的长.

【解析】

(1)证明：VAB//CD,AD//BC,••・四边形2BCD为平行四边形.如图，连接AC、BD,

•••£\”分另|为48、2。的中点，；.EH//BD,•••四边形EFGH是矩形,EF1EH,.-.EF1BD,

・；E、F分别为ZB、BC的中点，EF〃2C,•••BD12C,••・平行四边形2BCD为菱形.

(2)••・£1、”分别为AB、2D的中点，E”=390,同理FG=：BD,EF^^AC,HG=

•矩形EFG”的周长为22,•••4C+BD=22,•••四边形2BCD为菱形，；.s菱形ABCD=

IAC-BD=10,AC-BD^20,v(AC+BD)2=AC2+2AC-BD+BD2,：.AC2+

BD2=444,如图，设AC与BD交于点。，；.AO2+BO2=111,•••BD1AC,AB2=AO2+

BO2=111,.-.AB=VTTl.

20.[2024山西，]综合与探究

问题情境：如图b四边形4BCD是菱形，过点2作4E1BC于点E,过点C作CF1于

点F.

H

图1图2

猜想证明：

(1)判断四边形2ECF的形状，并说明理由.

深入探究：

(2)将图1中的AZBE绕点4逆时针旋转，得到△ZHG,点E,B的对应点分别为点G,

H.

①如图2,当线段2”经过点C时，G”所在直线分别与线段ZD,CD交于点M,M猜想线

段C”与MD的数量关系，并说明理由；

②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线2。，CD交于点M,N,直线2”与线

段CD交于点Q.若=5,BE=4,直接写出四边形4WVQ的面积.

【答案】(2)②［或个.

44

【解析】

(1)四边形2ECF为矩形.理由如下:•.・ZE1BC,CF1AD,44EC=90。，乙4FC=90°.v

四边形ABCD为菱形，AD//BC.：.^AFC+乙ECF=180°.乙ECF=180°—^AFC=

90。.；.四边形曲/为矩形.

(2)①CH=MD.理由如下：

证法一：・••四边形ZBCD为菱形，・•.AB=AD,LB=■将△4BE旋转得至1」4AHG,AB=

AH,ZB=ZH..-.AH=AD,=zD.v^HAM=Z.DAC,HAMDAC.：.AM=AC.：.

AH-ACAD-AM..-.CH=MD.

证法二：如图，连接

••・四边形2BCD为菱形，AB=AD,ZB=NTWCJ.•将△4BE旋转得至1」4AHG,AB=AH,

ZB=^AHM.：,AH=AD,AAHM=^ADC.：・^AHD=^ADH.：•^AHD-^AHM=

^ADH-^ADC.：.乙MHD=乙CDH;；DH=HD,CDHMHD.：.CH=MD.

②详解：在Rt△ABE中，ZE=yjAB2-BE2=3.vGH1CD,AB//CD,GH1AB,

又•••乙46月=90。，.••点B,A,G三点共线.当点“在4G的下方时，如图1,

图1

•••AEIBC,AD//BC,•••AE1AD,:.乙BAE+^MAG=90°,■:乙B+Z.BAE=90°,:.

AMMCIAdAM

AMAG=ZB=ZZ),・・•乙AEB=NG=90°,・・.△AMG-△BAE,—=—=.・.—=

ABAEBE5

MG3159971

344444“以"2

1721

-X-X3=—,・・・S栗乐=BC・AE=CD•NG,：,NG=AE=3,・・.NH=4-3=l.v

248麦形ABC。

ZB=ZH,ZAEB=乙QNH=90°,AEB-AQNH,：.翳=慌,二/=詈，;QN=：，

S&QNH-|QN-NH=|X|X1=I，S四边形4MNQ=SAAMH-S^QNH=£一|='当"在

4G的上方时，如图2,

4G=ZE=3,BG=5-3=2,•:ZB=,ZAGH=乙BGN=90°,AGH-△OGB,

冷标q=1,A0G=1•易知GN=AE=3,.-.ON=GN~OG=3-l=l，.-.ON=

OG乙BOG=乙CON，乙BGO=乙ONC=90°,・•・△OBGOCN,・・.CN=BG=2,•:

“，”rcHGAG43Rs21〃TTKT121.,―、

AGNQ,：.—=—,*,•—=—，:、NQ=—?*,*SkNOH=一NQ,HN=一X—X(z4+3)=

//yHNNQ4+3NQ“42y24vJ

3

BG.5__2_

个"="乙BGOjHND=90。：・4BGOSDNM,A—

MNDN'一MN-5+2

2121711721

c_c_C_14721_63

"3四边形AMNQ一、ANQH-、AAHM一百一元二丁

21.[2024佛山二模，]综合探究

已知点E是边长为2的正方形4BCD内部一个动点，始终保持乙4ED=90°.

【初步探究】

(1)如图1,延长DE交边BC于点F,当点F是BC的中点时，求筹的值;

BFC

□

AD

图1

【深入探究】

(2)如图2,连接CE并延长，交边2。于点M,当点M是2D的中点时，求啜的值;

AE

BC

匚

AMD

图2

【延伸探究】

(3)如图3,连接BE并延长，交边CD于点G,当。G取得最大值时，求啜的值.

图3

【解析】

(1)如图1,•••四边形ZBCD为正方形，^AED=LADC=NC=90°,AB=BC=CD=

AD=2,：.Z2==90°-Z3,

图1

.-.tanz2=tanzl,桑・••点F是BC的中点…冷圻1

2

（2）延长DE交边BC于点F,如图2,

图2

当点M是2。的中点时，•"ED=9。。，MM=MD=ME=|aD=L”二人在

Rt△MDC中，MC=VMD2+CD2=Vl2+22=逐，CE=MC—ME=小—L•••在

正方形2BC。中，AD//BC,Z2=Z4,♦•・Z1=乙3,Z1=22,Z4=Z3,CF=CE=

V5-1,同⑴可得"="=更二.

AECB2

(3)延长DE交边BC于点F,如图3,

图3

•••2。=2,乙4ED=90。，.••点E在以4。为直径的半圆（不含2、。点）上运动，取的

中点。,连接。E,OB,•••当BE与半圆相切时，DG有最大值.•••NBZD=90。且。4为半径，

・•.B4为半圆的切线，ZB=BE,.•.点B在线段4E的垂直平分线上，同理，点。在线段2E

的垂直平分线上，・•.OB是线段2E的垂直平分线，.•・乙1=NZED=90。，BO〃FD,又

•♦・BC//4D,.•.四边形BODF是平行四边形..•・。。=BE=1,FC=BC—BF=1.同（1）

微专题六矩形的折叠

1.[2023佛山一模]如图，在矩形2BCD中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点，WAABE

沿2E折叠，使点B落在矩形内的点尸处，连接CF,贝UCF的长为（）

A.-B.-C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】如图，过E作EG1CF于G,

•••将△4BE沿2E折叠，使点B落在矩形内的点F处，点E为BC的中点，EB=EF=EC,

.•.△CEF是等腰三角形，

•••G是CF的中点，EG平分ZCEF,又•••EZ平分NBEF,

2乙4EF+24GEF=180°,

^AEF+ZGEF=90°,

即ZE1EG,

Z.BAE+Z-BEA=Z-BEA+Z.GEC—90°,:.乙BAE—乙GEC,

•:ZB=Z-EGC=90°,

.•.△ABE〜△EGC,.•.殷=些，

ECGC

在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点，即BE=CE=jx6=3,

在Rt△ABE中，AE=<AB2+BE2=V42+32=5,

53cc今

———9CG=一

3CG5

918

・"=2CG,.•"=2Xg-

2.如图，把某矩形纸片2BCD沿EF,G”折叠（点E,”在2。边上，点F,G在BC边上），

使点B和点C落在边上同一点P处，4点的对应点为4,。点的对应点为。，若4FPG=

90°,S^A,EP=8,SAD，PH=2，则矩形ABC。的边的长为（）

Ar

R*GC

A.6V5+10B.6V10+5V2

C.3V5+10D.3V10+5V2

【答案】D

【解析】由折叠可得Z4PF=NB=90。，ZZTPG=ZC=90。，=NZ=90。，乙D'二

乙D=90°,

•••Z.FPG=90°,^A'PD'=90°,

^A'PE+乙D'PH=乙4'PE+^A'EP=90°,:.^A'EP=乙D'PH,

又•:=z£),=90°,

；.AAEP-△D'PH,

••・四边形ABC。是矩形,

・•・AB=CD,AD=BC,

设43=CD=%(%>0),

由折叠可知PA=AB=x,PDr=CD=x,

•••S—，EP=8,S"PH=2，且4A'EP—△DrPH,

：.A'P'.D'H=A'E-,D'P=2,

・r

vPA!—x,•.DH=-2x,

_11_

,,ScbD’PH_3,%・5%—2Q,

%=2V2（舍去负值）.

AB=CD=A'P=D'P=2V2,AA'E=ZE=4伍D'H=DH=五,

：.PE=J(2//+(4V2)2=2V10,

PH=J(V2)2+(2V2)2=V10,

AD=4V2+2V10+V10+V2=5V2+3V10.

3.[2023深圳模拟]如图，已知正方形ABC。的边长为4,E是ZB延长线上一点，BE=2,

产是边上一点，将ACEF沿CF翻折，使点E