2024浙教版七年级上册数学各章节必会考点知识梳理汇编

浙教版（2024新版）七年级上册数学各章节必会考点知识梳理汇编

第一章有理数

1.1正数和负数

知识1正数和负数的概念

1、正数和负数的定义

定义示例补充

大于的数叫作正数.有时为了明确表达意义,3,1.5%,3.5,2等正数前的“+”可以省

正数4

在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”）都是正数略不写

-3,-1.5%,-3.5,-负数前的不可以

负数在正数前加上符号“二”的数叫作负数3

二等都是正数省略不写

4

注意：

1）、'，+”号的双重意义：①作为运算符号是加、减号;②作为数的性质符号是正、负号。

2）、带“+”号的数不一定是正数，带号的数也不一定是负数.

3）、一个数前面的“+”号叫作它的符号.正数前面的“+”号可以省略不写.

2、0既不是正数，也不是负数。

3、0的意义

（1）0是正负数的分界；

（2）0可以表示“没有”；

（3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用正数表示，低于基准的量用负数表示。

知识2具有相反意义的量

1、在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量。

2、一般地，对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来

表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。

例如:若规定海平面的海拔高度为0m,珠穆朗玛峰高于海平面8848.86m,记作+8848.86m。

注意：具有相反意义的量应满足的条件:

①必须是同类量，而且是成对出现的；

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②只要求意义相反，不要求数量一定相等。

1.2有理数

知识1有理数

1、正整数、（）和负整数统称为整数;正分数和负分数统称为分数;整数可以写

成分数的形式:可以写成分数形式的数称为有理数。

2、有理数的分类

按有理数的定义分类按有理数的性质符号分类

正整数

-正整数可以写成正分

正有理数-

数形式的数

整数--------Q正分数

有理数-负整数有理数0

-正分数负整数

可以写成负分

分数-负有理数-

数形式的数

负分数负分数

拓展：小数的分类

'有限小数]

小数„..「无限循环小数）一可化成分数，是有理数

无限小数《“”

无限不循环小数・-不可化成分数，是无理数

注意：

（1）0既不是正数也不是负数，但它是整数。

⑵因为有限小数与无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数与无限循环小数都是分数。

⑶在对有理数进行分类时，分类标准不同，分类的形式也不同，分类时要弄清分类标准，做到不

重不漏不混淆。

3、常见分类标准

非负数：正数和零;非正数：负数和零;

非负整数：正整数和零;非正整数：负整数和零;

非负有理数：正有理数和零;非正有理数：负有理数和零.

知识2数轴

定义:规定了原点、单位长度和正方向的直线叫作数轴,它满足以下条件:

⑴在直线上任取一个点表示数0,这个点叫作原点。

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⑵通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向，从原点向左（或向下）为负方向;

⑶选取适当的长度为单位长度直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表

示1,2,3,...；从原点向左,用类似的方法依次表示-1,-2,-3,…；

单位，I原点

--3-2-'1~~0~1~2~3

注意：

⑴数轴是一条直线，可以向两端无限延伸，不能画成射线和线段。

⑵数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。

⑶原点位置的选取，单位长度的大小都是根据实际而定的。

（4）同一数轴中的单位长度一定栗统一。

⑸数轴上有无数个点，每一个点都表示一个数，不同的点表示的数不同。

知识点3数轴上的点与有理数之间的关系

1、每个有理数都可以用数轴上的一点来表示,也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点

2、一般地，设。是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴与原点的距离是a个

单位长度；表示数-a的点在数轴的负半轴上,与原点的距离是个单位长度。

表示-a的表示"的

点到原点点到原点

I*-的蹙*的距离百

।_______4一一」ti,

-a-I响ita

3、在数轴上表示有理数的方法：

-2025

4---1-----1-----1-----1-----1-----1----1.1----1------1----L_^

-5-4-3-2-1012345

注意：

⑴数轴上的点表示的数不一定是有理数.

⑵表示数的点一定栗画在数轴上，在相应的位置加上实心圆点，

知识点4相反数

11

1.相反数的定义:像3和-3,5和-5这样只有符号不同的两个数，互为相反数。

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拓展若〃和〜互为相反数，贝1Ja+b=0.

数字部分相同

+由:曲

只有符号不同

2.相反数的表示方法:一般地，a和-a互为相反数。这里。表示任意一个数，可以是正数、

负数，也可以是0。例如:当。=1时，-a=-l,1的相反数是-1,同时，-1的相反数是1。

特别地，0的相反数是0。

注意：

(1)因为a可以表示任意有理数，所以-a不一定是负数，应分类讨论。

例如：当a=-2时,-a=-(-2)=2,此时-a是正数而不是负数。

⑵一个数的相反数等于它本身，这个数是0o

⑶只有符号不同的两个数互为相反数.

⑷相反数是成对出现的，不能单独存在.

3、相反数的几何意义:到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数.

-1与I互为相反数

距离1距离1

----1--；-----；-----；---1_►

-2-101.2

距离2距离2

-2与2互为相反数

4、求一个数的相反数：在任意一个数前面添上表示原数的相反数。

5、多重符号的化简：与“+”号个数无关，有奇数个号，结果为负，有偶数个号，结果

为正。

6、倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数.例如：2与:，-3与―与-■!.

7、负倒数：乘积为-1的两个有理数互为负倒数.例如：2与-4，-3与:，与］

2jo3

注意：①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数1或-1.

知识点5绝对值

1、定义:一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值,记作⑷。

2、绝对值的判断:一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝

对值是0。即如果a>0,那么|a|=a；如果a=0,那么|a|=0；如果a<0,那么|a|=-a；

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3、绝对值非负性的应用:根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0,则每一个非负数必为“0”,

即若⑷+|勿=0,则⑷=0且|"=0。

4.绝对值的拓展

(1)非负性：IM0;

(2)双解性：若则〃=/?或a=—7.

(3)若=贝iJaNO；若|。|二一々，贝！JaWO.

(4)\a\=^-a\.

\a\1,a>0

a—1,Q<0

注意：

⑴表示一个数的点与原点的距离越远，这个数的绝对值越大；与原点的距离越近，这个数的绝对值

越小。

⑵距离不可能是负数，所以任何数的绝对值都是非负数。

⑶绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数。

知识点6有理数的大小比较

1、利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大

的顺序，即左边的数大于右边的数。

2、利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0,0大于负数,正数大于负数:

两个负数，绝对值大的反而小。

3、作差法:若两数分别为a,b,a-b>Of则a>b；若a-b<0,则a<b；若a-b=O,则a=bo

注意：

对于两个负数的大小比较，一定栗先比较它们的绝对值，并且明确两个负数的大小关系与它们绝对

值的大小关系正好相反；异号两数比较大小，正数总大于负数。

2.1有理数的加法与减法

知识点1有理数的加法法则

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取相同的符号

和取相同的符号,然后加数的绝对值相1111

同号两数相加-2+(-3)=-(2+3)=-5

加1

把绝对值相加

取绝对值较大

绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值

的加数的符号

较大的加数的符号,且和的绝对值等于加数的111

(-5)+(+2)=_(5-2)=-3

异号两数相加绝对值中HH3""F

用较大的绝对值减去

较大者与较小者的差较小的绝对值

互为相反数两数相加，和为0。a、6是互为相反数，则研加国

一个数与0相加仍得这个数a+O=a

方法：一观察、二确定、三求和

第一步：观察两个数是同号还是异号，有没有0;

第二步：选择用哪一条加法法则；

第三步：先确定和的符号，后计算绝对值

注意：

⑴在进行有理数加法运算时，要牢记“先定符号，后算绝对值”，写的时候不要忘记符号

⑵有理数加法可分为四种情况：①同号加;②异号加;③“相反"加;④与0加.每种情况都要注意符

号和绝对值的确定。

知识点2有理数的加法运算律

1、有理数的加法中，两个数数相加，交换加数的位置，和不变;加法交换律：a+b=b+a

2、在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,

和不变;加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

注意：运用加法运算律的规律

(1)互为相反数的两数相结合；

(2)和为整数的加数相结合；

⑶把同分母分数或便于通分的分数相结合；

(4)符号相同的数相结合。

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知识点3有理数减法法则

1、减去一个数，等于加这个数的相反数，即。力=。+（6）。

2、有理数的减法是有理数的加法的逆运算。

3、减法转化为加法时，减数一定要改变符号。

方法：

（1）在进行减法运算时，首先弄清减数的符号。

⑵将减法转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号

（减数变为其相反数）。

⑶在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换，因为减法没有交换律.

（4）减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依运算法则进行计算。

知识点4有理数加减混合运算

1、有理数加减混合运算

（1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算。

（2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换。

2.省略加号的和式及读法:统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式

的算式一般有两种读法。例如:-2-3+27-24,可读作负2、负3、正27、负24的和,也可以读作负2

减3加27减24.

3、有理数加减混合运算的一般步骤

方法一：减法转化成加法方法二：省略括号法

(1)减法变加法：a+b-c=a+b+(-c)（1）省略括号

（2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加（2）同号的数相结合

（3）按有理数的加法法则计算（3）进行加减运算

方法：有理数加减混合运算中的技巧

对于既含有小数又含有分数的加减混合运算，可先将小数统一化成分数或将分数统一化成小数再相

加减，也可以将小数与分数分别结合相加减，在计算时要灵活选用方法，以计算最简为原则。

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2.2有理数的乘法与除法

知识点1有理数乘法法则

1.正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数,

积为正数，积的绝对值等于各乘数的绝对值的积。

2.两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的里;任何数与0相乘,

都得_2_。

3.有理数乘法法则也可以表示如下：

设a,。为正有理数，。为任意有理数，则

(+a)x(+b)=axb,(-a)x(-》)=a^b；

(-a)x(+O)=-(户匕)，(+a)x(-6)=-(qx>)；

cx0=0,Qxc=Oo

注意：

(1)当乘数中有负号时，必须用括号括起来。

⑵两数相乘，根据有理数乘法法则，先确定积的符号，再把绝对值相乘。

⑶遇到含带分数的乘法运算时,要先把带分数化成假分数，再计算。

(4)乘法运算的最后结果一定是最简分数或整数。

知识点2倒数的概念与求法

1.倒数的概念:乘积是」—的两个数互为倒数.即若。与6互为倒数,则办以1。

1

2.互为负倒数:乘积是，的两个数互为负倒数.即若。与力互为负倒数，则上0。如：2与-]

注意：

(1)0没有倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

⑵倒数是相互的，即若。加1,则。是6的倒数,b也是a的倒数,a与b互为倒数。

⑶倒数等于它本身的数是±1。

(4)互为倒数的两个数一定同号。

2.倒数的求法:

类型方法示例

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真、假分数的倒数将分子分母交换位置告图

1

非。整数的倒数整数作分母，1作分子2的倒数是5

对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这

0.4的倒数:14-0.4=2.5

个数求倒数

小数的倒数

对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、0.3的倒数：0.3=32，倒数三in

假分数求倒数的方法来进行

先把带分数化为假分数，然后将分子分母

带分数的倒数2”?，倒数为。

调换位置5514

知识点3有理数的乘法运算律

运算律文字叙述用字母表示

乘法交换律两个数相乘，交换乘数的位置，积不变ab-ba

三个数相乘，先把前两个相乘,或者先把后两

乘法结合律(ab)c=a(bc)

£相乘，积不变

一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与

乘法分配律a(Z?+c)-ab^ac

这两个数相乘，再把积相加

注意：

运用乘法分配律时，要注意括号前面的符号，当括号前面有负号时，应该把负号带上一起与括号内

每一项相乘再求和。

例如：-2(,-a+b)-(-2)x(-a)+(-2)^b=2a-2b;-2(-«-/?)-(-2)x(-。)+(-2)x(-/?)=2a+2b.

知识点4多个有理数相乘的符号法则

1.几个不为o的数相乘,负的乘数的个(数偶是数时力，:积为正「数受

I奇数时，积为负数

2.几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为0

注意：

⑴几个不为0的有理数相乘，先根据负乘数的个数确定积的符号，然后把绝对值相乘。

⑵如果几个数相乘积为0,那么至少有一个乘数为0.

知识点5有理数除法法则

1.有理数除法法则

⑴除以一个不等于o的数,等于乘这个数的倒数。即。♦加联：

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(2)两数相除，同号得正，异号得，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的

aCL

商。若ab>0,则—>0；若ab<0,则一<0。

----b-----b------

(3)0除以任何一个不等于0的数,都得0。

注意：

⑴分数可以理解为分子除以分母，分数线代表除号。

⑵两个数相除，若商是1,则这两个数相等；若商是7,则这两个数互为相反数。

⑶在有理数的除法运算中应特别注意：除数不能为0o

⑷有理数除法没有交换律、结合律，更没有分配律。

2.有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用

⑴对于除法的两个法则,在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则(1)比

较简便,在能整除的情况下,选用法则⑵比较简便.

⑵如果被除数和除数都是整数,且不能整除,或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法

则⑴进行计算.

知识点6有理数的乘除混合运算

有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法然后按照乘法法则,确定积的符号，最

后求出结果。

注意：

(1)乘除混合运算中，积的符号由负乘数的个数确定。

⑵结果能化简的要化简。

⑶两个原则：①变除为乘;②从左到右。

知识点7有理数的四则运算

1.有理数的四则运算:先算后算团减—，有括号先算括号里面的(先小括号，再中括号，最

后大括号)，同级运算，按照从左往右顺序进行计算。

注意：

在混合运算中，分配律的应用一般有两种形式：

一■是把乘积形式a(b+c)化成和的形式ab+ac;

二是把和的形式ab+ac化成乘积的形式aS+c),注意灵活应用。

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2.3有理数的乘方

知识点1有理数的乘方

1.一般地,7?个相同的乘数a相乘，即...a,记作a"。求〃个相同乘数的积的运算,叫作

乘方，乘方的结果叫作寨。

注意：

⑴一个数或一个字母可以看作它本身的一次方，指数1通常省略不写。（如。的次数为一次）

⑵当底数是负数或分数时，栗先用括号将底数括上，再在其右上角写上指数，指数票写得小一些。

（如：-2的5次方，应写作（-2）5）

⑶指数n是正整数,底数a可以是任何有理数。

2.a"中，a叫作底数，n叫作指数,a”读作a的〃次方（或a的〃次心）

骞一式一指数

捻数

3.乘方运算的结果及符号的规律

'正数:正数的任何次哥都是正数

石粉（负数的奇次嘉是负数

＜负数｛

I负数的偶次募是正数

、0：0的任何正整数次累都是0

拓展:

（1（71为偶数）

-1的奇次森是它本身，而-1的偶次幕是它的相反数，即：（-l）nJ

I—1（72为奇数数）

知识点2有理数的混合运算顺序

1.先乘方，再乘除，最后加减。

2.同级运算，从左往右进行:

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算。运算顺序是

先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括

号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的。

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注意：

(1)“同级运算”是指加和减同级，乘和除同级。

⑵进行有理数的混合运算时，一要注意运算顺序，二要注意符号问题。

⑶灵活地运用运算律可以使运算快捷、简便。

知识点3科学记数法

把一个大于10的数表示成ax的形式(其中1<a<10,n是正整数)，这种记数方法叫作科

学记数法。对于小于-10的数也可以类似表示。例如-370000=-3,7x10%

注意：

⑴一个大于10的数用科学记数法ax10〃的形式表示时，。一定要满足1Wa<10。确定〃的值时，

把原数的整数位数减1即可。

⑵用科学记数法表示绝对值较大的负数时，不要漏掉。

⑶用科学记数法表示数时，只改变数的形式，而不改变数的大小。

知识点4近似数

1.接近实际数值的数,叫作近似数。

2.近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示。

注意：

近似数的精确度的三种表示方法：

(1)用数位表示，如精确到千位或千分位；

(2)用小数点表示,如精确到0.1或0.01；

在用四舍五入法取近似数时，不要随便将末尾的0去掉。

例如：5.4和5.40的精确度不同,5.4精确到十分位,5.40

精确到百分位。

⑶对带有单位的数用单位表示，如精确到千克、米等。

3.一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪-位。例如口-3.14(精确到0.01,

或叫作精确到百分位)。

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注意：

一个数精确到哪一位，就看这个数的最后一位数字，最后一位数字落在什么位，它就精确到什么位。

（如：2.54x105,还原后是254000,“4”在千位上，故精确到了千位。）

第三章实数

3.1平方根

知识点1平方根

1.概念：一般地，如果一个数X的平方等于跖那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二

次方根。例如，因为1.22=1.44,所以1.2是1.44的一个平方根。

说明：例如：3和-3的平方都等于9,那么3和-3都是9的平方根，它们互为相反数。平方根是它

本身的数只有0。

2.性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是0；负数没有

平方根。

注意：因为正数、0、负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根。

3.一个正数a的正平方根用表示（读作“根号a”）；a的负平方根用“-历”表示（读

作“负根号a”）,因此一个正数a的平方根就用“"表示（读作“正、负根号a”）,

其中a叫作被开方数。

知识点2开平方

1.概念：求一个数。的平方根的运算，叫作开平方。

2.开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根。

注意：

⑴开平方用符号"±6"表示，r”是一个运算符号，读作“二次根号”，这里根指数2

被省略了。

（2）“数。的平方根是m，n”与“m,”是数a的平方根”含义不完全相同，前者也，〃是互为相

反数，后者相，〃是相等或互为相反数。

知识点3算术平方根的概念及性质

1.正数的正平方根称为算术平方根。一个数a（位0）的算术平方根记作“伤”。例如，9的算

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iir~

术平方根是3,即3=3；7的算术平方根是彳即;=[

42\42

2.一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方数,0的算术平方根是0。

3.算术平方根的双重非负性：(1)被开方数至0；(2)算术平方根遍对。

注意：后与(返尸的区别

(1)意义不同：前者是。的平方的算术平方根，后者是。的算术平方根的平方。

⑵被开方数的取值范围不同，前者。为任意数，后者。为非负数。

⑶结果不同：

Va7=|a|4吩二%；(Va)2=a(a>0)

只有当aNO时，即。为非负数时，这两个式子的结果才相同。

3.2从有理数到实数

知识点1无理数

1.整数和分数统称有理数,无限不循环小数叫作无理数。

例如：2.2是有限小数，2.2是无限循环小数，它们都是有理数；2.236078954…是无限不循环小数，

是无理数。

2.小数的分类

产艮小数1有理数

小数，无限循环小弑

、无限不循环小数一一无理数

3.常见的无理数的形式

(1)开方开不尽的数，如鱼，V3；

(2)化简后含有兀的数，如兀，2n；

(3)有规律但不循环的无限小数,如1.010010001…(两个1之间依次多一个0)。

注意：

⑴无理数的小数部分位数无限。

⑵无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。

⑶判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果，如W石是有理数，而不是无理数。

TTn

(4)&不是分数，也不是有理数，是无理数。形如E(b手0,a,匕是整数)的不是整数的数才是分数。

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知识点2实数的概念及分类

有理数和无理数统称实数。

（D按概念分类

一正整数

雯

整数一

负整数

有理数-卜有限小数和无限循环小数

实数一r正分数

分数-

负分数

-正无理数-

无理数-无限不循环小数

负无理数

（2）按正实数、零、负实数的关系分类

--「正整数

正实数一正有理数-

正分数

一正无理数

实数-零

「负整数

负实数-负有理数一

负分数

负无理数

知识点3实数与数轴的关系

在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实

数。我们说实数和数轴上的点一一对应。

拓展：

⑴实数与数轴上的点是一一对应的，而与有理数就不是一一对应的，实数包括有理数。

⑵数轴上的任意一点表示的数，不是有理数，就是无理数.

知识点4实数的相关概念

在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数倒数、绝对值的意义相同。

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(1)相反数：①a的相反数是。如鱼与-鱼互为相反数。

②a与b互为相反数Qa+b=O。

(2)绝对值：①一个正实数的绝对值是它本身；

②一个负实数的绝对值是它的相反数；

③0的绝对值是Oo

⑶倒数:①。的倒数是11。如鱼与1W互为倒数。

UV2

②两个非零数a与b互为倒数=仍=1。

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。

说明：

(1)互为相反数的两个数的绝对值相等,即|a|=|-a|。

⑵实数。满|a|o

知识点5利用估算法确定无理数的大小

对于带根号的无理数的大小的估算，可以通过平方运算或立方运算，采用两边逐渐逼近的方法，首

先确定其整数部分,再确定十分位、百分位等小数部分。经常取与被开方数最近的两个

完全平方数的算术平方根进行比较。例如：估算鱼的大小，可以取和2最近的两个完全平方数1

和4,因为1<2<4,所以1<鱼<75,即1</<2。

知识点6实数的大小比较

1.利用数轴比较实数的大小

与有理数的大小比较法则一样，在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。

2.利用实数的分类比较大小

⑴正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数。

⑵两个正实数，绝对值大的数较大。

⑶两个负实数，绝对值大的数反而小。

3.无理数大小的比较

⑴作差法：若*NB>0,则代>逐；若V^-VF<0,则V^<VF。

⑵平方法：把含根号的两个无理数同时平方，比较平方后数的大小，同时要考虑符号。如：比较

3,4,回的大小，利用32<42<(取)2即可得至I」3<4<演。

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负实数1正实数

O

拓展：当两个带根号的无理数比较大小时，可应用tz>Z?>0<=>Va>Vbo

3.3立方根

知识点1立方根

1.概念及表示

一般地，一个数的立方等于。，这个数就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根，记作心。

其中a是被开方数，3是根指数，符号“V”读作三次根号。如：因为(-2)3=8,所以-2

是-8的立方根；0的立方根是Oo

2.性质

(1)每个数a有且只有一个立方根,其中a可正可负可为0。

(2)正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是_3。

注意：证中的根指数3不能省略，要写在根号的左上角。

方法：判断一个数x是否为a的立方根，只需检验％3是否等于a即可。

知识点2平方根和立方根分区别

被开方数平方根立方根

正数有两个，互为相反数有一个，是正数

负数无平方根有一个，是负数

000

注意：

⑴平方根的被开方数必须为非负数，立方根的被开方数为任意数。

⑵立方根是它本身的数有1,-1,0平方根是它本身的数只有Oo

知识点3开立方

求一个数的立方根的运算，叫作开立方。

开立方与立方是互逆运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，在开立方时，往往通过立方运算去

完成。

注意：

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(幅)3=a,Va^=«o例如：(V—2)3=—2,V—8=^/(—2)3=—2o

3.4实数的运算

知识点i实数的运算

1.实数运算的顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的

顺序进行；如果遇到括号，则先进行括号里的运算。

2.数从有理数扩展到实数后，有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用。

注意：含根号的无理数的运算，只有被开方数相同且开相同次方的数才能相加减。

拓展：正数a的算术平方根依与被开方数a的变化规律

当被开方数a的小数点向左或向右移动两位时，它的算术平方根的小数点相应地向左或向右移动一

位。当a扩大到原来的100倍(或缩小到原来的京)时,。的算术平方根相应地扩大到原来的10倍(或

缩小到原来的工)

第四章代数式

4.1代数式

知识1用含字母的式子表示数

用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，为我们今后的学习和研究带来了极大的方便.

用含字母的式子表示数的书写规则：

类型书写要求

字母与字母相乘“X”号通常省略不写或写成；如：XXy写作肛或X.y

数字通常写在字母的前面;(不只要写作字母前面，有括号时还要写在

数与字母相乘

括号前面。)如展三可写作,(a+0)・2可写作2(a+b)。

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带分数与字母相乘通常化带分数为假分数;如2：xn可写作|xn

X19

除式中含有字母要写成分数的形式。如％+12应写作白，12r应写作'

代数式带有单位当式子为几个数的和或差的形式,且结果带单位时,结果带单位时,式子整体

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加括号。如：(3+〃)米，[4+2(m-l)]c机等

注意：

(1)同一问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示。

⑵用字母表示实际问题中的某个量时，字母的取值必须使式子有意义且符合实际情况。

(3)“平方的和(差)"要先平方再相加(减)；”和(差)的平方"栗先相加(减)再平方，和(差)要加括

号。

(4)代数式中不能含有“=”“>(N)”“<(寸‘等符号。例如：42,7>-2,5/2先等都不是代

数式。

知识点2代数式的概念

像l0a+2b,生”出，2a2,学这样，由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式叫

作代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式

注意：

代数式中不能含有“=”“>(»””<(4)”等符号。例如：户2,7>-2,5x+2H3等都不是代数

式。

知识点3代数式的意义

根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来,就是将代数式的字母及运算符号赋予重

体的含义。

注意：

⑴栗注意实际问题中的数量关系必须与代数式所表示的相一致。

⑵问题的结论往往具有开放性，只要说法合乎情理即可。

知识点4列代数式

把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式。例如:用代数式表示:a与。减去6的

差的商，其中运算词“差”表示的数量关系是a减去6,列成式子为a-b；运算词“商”表是

球除以“差”，即三(填完整的代数式)

CL—D

注意：按照顺序逐步列式

(1)审题，认真分析问题中有关术语的含义。如：和、差、积、商、多、少、几倍、几分之一、增加、

增加到、减少、减少到、扩大、缩小等；

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⑵注意问题中的语言叙述所表示的运算顺序；

⑶弄清问题中的层次关系，抓住字的作用；

(4)注意运算的逆向思维。如某数与a。的积为5,则该数为反，问题中出现的是积，而列出的代数

ab

式却为商的形式。

4.2代数式的值

知识点1代数式的值的概念

用数值代替代数式中的字母按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫作代数式的值。

这个过程叫作求代数式的值。例如：当犷-5时，代数式(产2)2=(-5+2)2=(-3)2=9,那么9就是

当工-5时,代数式(x+2数的值。

知识点2求代数式的值的步骤

求代数式的值有代入和计算两步。

第一步：用数值代替代数式里的字母，简称代入。代入时，将相应的字母换成已给定的或已算

出来的数值，其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变。

第二步：按照代数式中给出的运算，计算出结果，简称“计算”。代入的值不同，最后计算出的

结果也可能不同。

注意：对概念的理解要注意以下几点

⑴代数式的值是随着代数式中字母取值的变化而变化的。

⑵代数式中字母的取值必须使代数式有意义。

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