2025高考数学热点专项突破：圆锥曲线的光学性质（含答案）

2025热点专题突破：圆锥曲线的光学性质

热点专题突破:圆锥曲线的光学性质

一、圆锥曲线的光学性质

【链接教材】选择性必修一P140阅读与思考:圆锥曲线的光学性质及其应用

（1）椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦

点上；（如图1）

（2）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光,经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇

聚到双曲线的另一个焦点上;（如图2）

（3）抛物线的光学性质:从抛物线的焦点发出的光,经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴.

（如图3）

（4）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射

出;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.

一、单选题

1.（河南省部分名校2023-2024学年高二上学期1月期末考试）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个

焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆E：M+£=l（a

>b>0）的左、右焦点分别为4后，过点用的直线与E交于点48,过点人作E的切线Z，点石关于/

的对称点为若|四=攀，|黑卜葺，则餐鳖=（）

注:S表示面积.

2.费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，如：点P为椭圆（及耳为焦

点）上一点，则点P处的切线平分乙玲尸尸2外角.已知椭圆+£=1,。为坐标原点，2是点

o4•••

P⑵方）处的切线，过左焦点E作Z的垂线，垂足为Af,则|。用为（）

A.2V2B.2C.3D.2V3

3.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴;反之，平

行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线E:y2=2pW0VpV

4）,一条平行于t轴的光线从点4（8,2p）射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C,

若△4BC的面积是10,则p=（）

A.yB.1C.-|-D.2

二、多选题

4.湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学12.椭圆有如下的光学性质，

从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆。的焦点在c

轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为E、玛一束光线从E射出，经椭圆镜面反射至月，若两段光

线总长度为6,且椭圆的离心率为今，左顶点和上顶点分别为则下列说法正确的是（）

A.椭圆的标准方程为4+邛=1

94

B.若点P在椭圆上，则sin/月尸月的最大值为《

C.若点P在椭圆上，田冏的最大值为会3

5

D.过直线,=2+2上一点河分别作椭圆的切线，交椭圆于P,Q两点，则直线PQ恒过定点（―1~，2）

5.如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另

一个焦点.已知椭圆：亨+看=1（0<6<2）,其左、右焦点分别是E，E，P为椭圆。上任意一

点，直线，与椭圆。相切于点P,过点P与，垂直的直线与椭圆的长轴交于点河，点Q（O,《），若|

|PQ|+|P月的最大值为7,则（）

A.椭圆。的离心率为-y

B.若ZXPEE的内切圆半径为2—《，则尸

C.若1PMi=即|,则“|=3度|

D.若其R_LZ,垂足为A（g,%）,则碇+涕=4

6.已知双曲线C：与一鸟=l（b>0）的左、右焦点分别为E，吊，双曲线具有如下光学性质：从右焦点

4b‘

月发出的光线m交双曲线右支于点P,经双曲线反射后，反射光线"的反向延长线过左焦点E，如图

所示.若双曲线。的一条渐近线的方程为，^久—夕=0,则下列结论正确的有（）

B.若小，n，则|P画片|=12

C.若射线n所在直线的斜率为R,则ke（―3,心）

D.当n过点朋'（8,5）时，光由£一尸一Af所经过的路程为10

7.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物面

（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的

平面截抛物面，将所截得的抛物线。放在平面直角坐标系中，对称轴与力轴重合，顶点与原点重合.若

抛物线C-.y2=4x的焦点为F,O为坐标原点，一条平行于x轴的光线。从点M射入,经过C上的点

4%弘）反射,再经过。上另一点8（狈统）反射后，沿直线力射出，则（）

A.。的准线方程为cc=—l

B.若点凶（2,1）,则

C.夕曲=一2

D.设直线AO与。的准线的交点为N,则点N在直线。上

8.其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴

的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线。靖=2"c,O为坐标原点，一束平行于

力轴的光线。从点F（m,n）（n2<4m）射入，经过。上的点火如仇）反射后，再经。上另一点B（力2,纺）

反射后，沿直线。射出，且。经过点。，则（）

A.当p=],71=1时，延长49交直线刀=—"于点。，则。、3、Q三点共线

B.当p=5，"=l时，若PB平分/4BQ,则m=萼

21b

C.乙4OB的大小为定值

D.设该抛物线的准线与c轴交于点K,则AAKF=ABKF

三、填空题

9.圆锥曲线的光学性质应用非常广泛，如图所示,从双曲线右焦点月发出的光线，通过双曲线镜面反射

出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点及已知双曲线的离心率e=5,则当入射光线片P

和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点）,cos/月的P=.

10.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.

反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C：靖=

2Pxe>0）焦点为尸,准线为I，O为坐标原点，一束平行于2轴的光线。从点P（网,2）（点P在抛物线

。内）射入，经过。上的点A反射后，再经过。上另一点B反射后，沿直线，2射出，且经过点Q，若直

线OA与抛物线。的准线交于点。，则直线口。的斜率为；若|24|=2旧。|,且P8平分

ZABQ，则p=.

四、解答题

11.设椭圆C："+咚=l（a>b>0）,鸟，鸟分别是椭圆的左、右焦点，PQ。,队）在椭圆。上.求证：

（1）直线Z：W+等=1是椭圆在点P处的切线；

a2V

（2）从月发出的光线月P经直线I反射后经过R.

12.已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点,经椭圆反射后必经过

另一个焦点.若从椭圆T:《+^=l(a>b>0)的左焦点E发出的光线，经过两次反射之后回到点

azbz

月,光线经过的路程为8,T的离心率为手.

(1)求椭圆T的标准方程；

⑵设。(砒,0),且狈〉a,过点。的直线Z与椭圆T交于不同的两点河，N，凡是T的右焦点，且

同M与同N互补，求△MN用面积的最大值.

13.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年--325年)，大约100年后，阿波罗尼斯

更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的

一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线，表示与椭

圆的切线垂直且过相应切点的直线.

已知图乙中，椭圆。的中心在坐标原点，焦点为E(—c,0),耳(c,0)(c>0),由E发出的光线经椭圆

两次反射后回到其经过的路程为

甲乙

14.抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反

之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知点斤为抛物线a"

2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，河点在抛物线上，且其纵坐标为孚，满足也田|=

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)已知平行于力轴的光线Z从点P(m,2)(m>0)射入，经过抛物线上的点入反射后,再经过抛物线上

另一点8,最后沿方向射出，若射线BP平分AABQ,求实数m的值.

15.(浙江省金华东阳市2024届高三下学期三模T18)已知抛物线：「:才=如,焦点为F,A(Xo,yo)(yo^O)

为「上的一个动点，Z是『在点A处的切线，点P在Z上且与点/不重合.直线P9与「交于两

点，且/平分直线AB和直线AC的夹角.

⑴求，的方程(用小为表示)；

(2)若从点夕发出的光线经过点人反射，证明：反射光线平行于①轴；

热点专题突破:圆锥曲线的光学性质

一、圆馋曲线的光学性质

【健接教材】选择性必修一P140阅读与思考:圆锥曲线的光学性质及其应用

（1）椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦

点上；（如图1）

（2）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光,经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇

聚到双曲线的另一个焦点上;（如图2）

（3）抛物线的光学性质:从抛物线的焦点发出的光,经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴.

（如图3）

（4）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射

出;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.

一、单

L（河南省部分名校2023—2024学年高二上学期1月期末考试）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个

焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆E：g+£=l（a

>b>0）的左、右焦点分别为E,月，过点用的直线与E交于点48,过点A作E的切线，，点B关于/

的对称点为若|四=攀，|黑卜葺，则餐鳖=（）

5|MFI|3S^AF理

注:S表示面积.

A.2B.C.3D.J

【答案】。

【解析】如图，由椭圆的光学性质可得河，A,R三点共线.设旧门=必，

则\BF{\=2a-x,\MFr\=\AF[\+\MA\=\AFX\+\AF,\+\BF^\=2a+x.

故|B旦I_2a-x_2解得—2a

故|询|2Q+N3'用寸x5.

又因引=黑，所以|4月=塔，|入同=半，所以告空里=曹|，=+=3.

555Su%\AF{\萼

2.费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，如:点P为椭圆（6月为焦

点）上一点，则点P处的切线平分ZFJPFJ外角.已知椭圆C：4+£=1,0为坐标原点，，是点

P（2,g）处的切线，过左焦点E作Z的垂线，垂足为河，则|c〃⑷为（）

A.2V2B.2C.3D.273

【答案】A

【解析】依题意可知直线I的斜率存在，设直线，的方程为"一方=%（，-2）,沙=fc（rc-2）+V2,

代入---+=1得〃+2[A：（a；-2）=8,

o4

整理得（1+2A：2）a；2+（4V2A;-8A:2）a;+8fc2-872fc-4=0,

由于直线/和椭圆。相切，则△=（4四出一8出2）2-4（1+2/（;2）（8炉一8，^;-4）=0,

整理得（V2fc+1）2=0,%=-空，

所以直线I的方程为y（c—2）+V2——^-x+2V2,

对于椭圆g+彳=1,c=，^=1=2,所以后（一2,0）,

o4

所以直线号M的方程为?/=72（2；+2）=V2a;+2V2,

由b-夸工+2方解得断::百，所以\OM\=2V2.

[y=V2x+2V2lw—2V2

故选：A

3.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴;反之，平

行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线及92=2。以0＜「＜

4),一条平行于2轴的光线从点4(8,2p)射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C,

若△ABC的面积是10,则p=()

A-1c3

A,2B.1c・万D.2

【答案】。

【解析】由题知抛物线焦点为,0),AB〃c轴,

招■y=2p代入y?=2px得力=2p,则为（2p,2p）,

由题可知石、F、。三点共线，石。方程为:?=

2

代入抛物线方程消去g得，8x—17px+2P2=0,

设方程两根为电、力2,则劣1+/2=,则旧。|=61+62+「=W?+p=学0，

OOO

又A（8,2p）至4BC:4力一3g—2P=0的距离为：d=—一"——=观即,

55

由SMBC=10得1•\BC\•d=10^~P•.8P=20^>p=2.

2o5

故选：D.

二、多选题

4.湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学12.椭圆有如下的光学性质，

从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆。的焦点在c

轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为E、&一束光线从E射出，经椭圆镜面反射至月，若两段光

线总长度为6,且椭圆的离心率为空，左顶点和上顶点分别为4B则下列说法正确的是()

O

A.椭圆的标准方程为手+£=1

B.若点P在椭圆上，则sin/^P月的最大值为《

C.若点P在椭圆上，出冏的最大值为支

5

D.过直线夕=2+2上一点M分别作椭圆的切线，交椭圆于P,Q两点，则直线PQ恒过定点(—得，2)

【答案】ACD

【解析】一束光线从后射出，经椭圆镜面反射至E,如下图所示:

所以可得|EE|+|EE|=2a=6,即a=3,

又椭圆的离心率为e=9=，可得c=，8,所以〃=a2—02=4,

a3

故椭圆方程为专+斗=1,所以4正确;

94

由椭圆的定义知，|PE|+|PE|=6,不妨设|PE|=M,|P月|=",（小）0,九〉0），

/lclm2+n2—4c2（m+n）2—2mn—4c216—2mn8

cos/RPN=-----------=-------------------=---------=------

2mn2mn2mnmn

因为6=m+n2^/mn，可得0Vmn49,

1

所以cos/EP£=1>—1——

rrm99

当且仅当馆二九时等号成立，此时NEPE最大为钝角设为夕(夕>]■),

则O&NEP月4夕，故当NEP月=全时，sin/EP后的最大值为1,故石错误；

易得_B(O,2),设点P(3cos力,2sin/),

则|BP|=J9cos2/+(2sin1—2y=V—5sinrr2—8sinT+13

—yj-5^sinx+-^-+-^-+13

当sin/=—《时,|BF|max=J+13=岑鱼，故C正确；

5vo5

易知椭圆―l(a>b>0)在点(g,伙))处的切线方程为国『+义字=l(a>6>0),

(rb2o?b2

证明如下：当切线斜率存在时，设直线y=k岔+m与—H—-=l(a>b>0)相切与点(处,珈)，联立

a2b2

y=kx-\-m

2/n(Q2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2-62)=0,

{”X+”=1

222222

所以△=(2Q2km)2—4a(m—b)(afc+&)=0,

2

整理可得m=Q2k2+匕2,又易知队=kg+7n，即7n=%—kg,

22

所以m?—(y。—kxo)—Q2k2+6；

整理可得整理-To)+〃—端+2kxoyo=0...①;

22f4—忌=生逋

又切点在椭圆上，即器+当=1,整理可得工……②，

ab3党=誓

联立①②，可得号空+等+25为=。,即+等F=0n-詈，

所以切线方程为沙一%=—登3—3),化简得笔+喈=1,

a^yQQ'b

经检验，直线斜率不存在时也符合上式，

22

即椭圆受+4=l(a>6>0)在点(漏队)处的切线方程为华+驾■=1,

22

abQ2FO2

设7W(力力+2),_?(力1,%),。(62,纺)，

22

所以椭圆三+与=1在点P处的切线PM的方程为半+斐=1,

9494

在点Q处的切线的方程为等+誓=1,两线相交于点所以可得

xt|%(1+2)

Y=1

9十4

,即点P,Q满足方程率+（*）"=1,

①2%।沙2。+2)94

.9十4二1

所以直线PQ的方程为萼+更用=1,整理可得+卷一1=0,

94\94，2

佶+号=0（X―—―/Q\

令：0_22，故直线收的方程过定点（U，2）,故。正确，

故选：ACD.

5.如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另

一个焦点.已知椭圆：1+，=l（O<b<2）,其左、右焦点分别是E，E，P为椭圆。上任意一

点，直线，与椭圆。相切于点P,过点P与Z垂直的直线与椭圆的长轴交于点点Q（O,«）,若|

户口|十火片|的最大值为7,则（）

A.椭圆。的离心率为y

B.若APE另的内切圆半径为2—四,则PR_LP®

c.若1pM=痛|,则已剧=3随|

D.若的R_LZ,垂足为_R（g,g（））,则就+说=4

【答案】BCD

【解析】由\PQ\+|P£|=2a+|PQ|—|PR|<2Q+|EQ|=4+Vc2+6=7,当且仅当P,Q,E三点共线时取

得等号，解得c则椭圆方程为亍+靖=1,则e=,4错误；

5

对B,APEE的内切圆半径为2—展,

则SA^固P=9・2c・4=/（PE|+|PE|+|FlE|）r

解得"=卓，根据对称性不妨设P在第一象限，

O

由今+/=1,解得P（手，亭），则由=（一©_亨,—乎），网="—子，—手）,

则两•用=-3+号+9=0,即PE_LP£,B正确；

yo

由椭圆的光学性质，得点P与1垂直的直线为角/耳?月的角平分线,

而SAPWW\因P|「局IWl

贝IJ---------=---------=---------如J---------=---------=上则炉囿=卬泗］,区M=砧4/|,

国

S*M\F2M\P|'|PE|\F2M\

则［诋1二答"I=普，国H=蜚，㈤"=击,则cos物PM=c°sNMP/

n.4fe.2V30.4.2V3

/T+k>1+k'•1+k・1+k

4k2+12=16k,解得k=1或k=3,

当k=1时，¥^=44=1,河与。重合，不合题意,

\PR\IWI

所以k=3,即|。叫=3炉日，。正确；

对。，如图，延长鼻R,EP交于点G,则在APE2G中，PR_LG&AF2PR=4GpR,

则\PF2\=\PG\且R为EG中点，

在kgG中,OH=j-囱G|=y(|F^|+|FG|)=}(F剧+PEI)=a=2,

则点H在以原点为圆心，2为半径的圆上，即嗡+涕=4,。正确.

6.已知双曲线。：T《=l（b>0）的左、右焦点分别为E，用，双曲线具有如下光学性质：从右焦点

4b

后发出的光线成交双曲线右支于点P,经双曲线反射后，反射光线"的反向延长线过左焦点E，如图

所示.若双曲线。的一条渐近线的方程为，^C—V=O,则下列结论正确的有（）

B.若771，八，则|P局•I尸月I=12

C.若射线n所在直线的斜率为R,则ke（—0,山）

D.当打过点河（8,5）时,光由月-PT河所经过的路程为10

【答案】AC

【解析】对于A，由题意可知，a=2,因为双曲线。的一条渐近线的方程为，一夕=0,

所以寺=，§,即6=2/3,所以双曲线的方程为1--左=1,故力正确；

对于B,由a—2,b—2A/3，得/=2?+（2V3）2=16,解得c=4,

在△PEE中，NRP%=90°,由勾股定理及双曲线的定义知，+|p里2=（|p剧_2囿）2+2|。囿.\pp^

=4a2+2|P^|-|F^|=4c2,

即2\PF]\■\PF^=4（c2-a2）=4fe2=48,解得区局•炉勾=24,故B错误;

对于。，由题意可知，双曲线的渐近线方程为g=土血c,

由双曲线的性质可得射线九所在直线的斜率范围为（一,v5）,故。正确；

对于。，由题意可知，片（一4,0）,当八过点皿'（8,5）时，

由双曲线定义可得光由另一PrM所经过的路程为\F2P\+\PM\=|J]F|+\PM\-2a=\MF1\-4：=

V[8-（-4）]2+（5-0）2—4=9,故O错误.

故选：AC

7.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面

（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的

平面截抛物面，将所截得的抛物线。放在平面直角坐标系中，对称轴与力轴重合，顶点与原点重合.若

抛物线C：必=4/的焦点为斤，。为坐标原点，一条平行于立轴的光线I1从点河射入，经过C上的点

4%幼）反射,再经过。上另一点8侬,统）反射后，沿直线L射出，则（）

A.。的准线方程为*=—1

B.若点M(2,l),则\AB\=

C.yiV2=-2

D.设直线力。与。的准线的交点为N,则点N在直线。上

【答案】

【解析】由题意，抛物线必=40,可得焦点F(1,O),准线方程为/=—1,所以A正确;

由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F,且斜率不为0,

设直线AB:x—my+1,联立方程组｛彳_；"+1,整理得婿一4?ng—4=0,

可得△=(—4m)2+16>0,所以%纺=—4，所以。错误；

若点M(2,l)，则m=1,所以纺=—4，所以劣1=1,g=4,

所以\AB\=%1+力2+2=?+4+2=?，所以B错误；

又由直线OAg=与力，联立方程组\的"，解得y1—曳=―4-=—―,

Xi\x=-lX1量％

4

由9例二—4，得统=——，所以"N=沙2,所以点N在直线，2上，所以。正确.

Vi

故选：AD.

8.其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴

的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线。靖=2pmO为坐标原点，一束平行于

2

x轴的光线Zi从点F(m,n)(n<4m)射入，经过。上的点火如切)反射后，再经。上另一点B(rr2,y2)

反射后，沿直线，2射出，且。经过点。，则()

A.当•，九=1时，延长入。交直线c=—；于点。，则O、B、Q三点共线

B.当「=去，口=1时，若平分NABQ，则小;2

C.的大小为定值

D.设该抛物线的准线与t轴交于点K,则AAKF=ABKF

【答案】ABD

【解析】如图所示：

对4_B选项：由(力2,纺)，。平行于力轴的，当p=/,?i=l时,

。过点P(nz,l)(?n>l)，所以%=1,把g=1代入抛物线的方程娟=力，

解得力=1,即1(1,1),直线AB经过焦点©,0),

直线AB的方程为g—1=——T-(力一1),即4%—3g—1=0,

「W

联立代一3g-1=0,得耐_3g-1=0,

[y-x

所以m+纺=1，％例=一彳，

因为m=1,%切=一]，所以m=一1,即白点纵坐标为一

代入得B点横坐标力二婿=±_,

16

y=x

{_1,

解得1”:，所以D点坐标为(一；，一[),

[y=~i：44

由光学性质可知BQ平行于多轴，则D、B、Q三点纵坐标都相同，

所以。、口、。三点共线，故A正确；

由光学性质可知AP平行于多轴，BQ平行于x轴，则APHBQ,有AAPB=NPBQ,

PB平分ZABQ,有AABP=APBQ,所以NAPB=AABP,

|AP|=队⑹，即加—1=J-卜)+。+,)=H，

得m=2,故B正确；

10

对C、D选项：设AB为x=my+-y,、以狈纺)，

由卜772"+2消去力得：靖―2q771g—p2=。，△>()恒成立，

[y2=2px

2

有m+纺=2P馆，幼纺=一外,x1+x2=m(y1+y2)+p=(2m+l)p,

设Z.AOx—a,Z.BOx=6,而tana=kOA——,—tanyS=kOB=—,

力ix2

贝I—tan（2tan5=kOA•kOB="仍="曲=4P=_4,贝ijtan^tan-S=4,

力便23例）U1V2

婚•••

tana+tan/?_tana+tan/?

而tan/AOB=tan(s+6)二

1—tan^tan/?3

并不是定值，故。错误；

=%

直线AK斜率kAK=:

电+与myx+p，

V2

直线BK斜率kBK=皿-

电+^my2+p

2

=%纺=一。P_P_2p2p

2

my^+pyxpy^mpyi-mpyi+fey「V2,PI

yi9/

2阴+Vl

=2py、=2P功=_2nl=yi

2

优+p22px1-\-p2(小%+旬+p—

即上依=—因此乙4KF=/BKF,故。正确.故选：ABD

三、填空题

9.圆锥曲线的光学性质应用非常广泛，如图所示,从双曲线右焦点月发出的光线，通过双曲线镜面反射

出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点及已知双曲线的离心率e=5,则当入射光线FF

和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点),cos/用理？=.

【答案】号

5

【解析】

解析：由e=5得c=5a,b=2V&a.设\PF^=m(m>0),则\PF1\=2a-\-m.

所以馆2+(2a+?n)2=(10Q)2,解得7n=6Q或nz=—8Q(舍去),

所以3/9我=差=黑3

5

10.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.

反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C：y2=

2Px(p>0)焦点为尸,准线为I,O为坐标原点，一束平行于宏轴的光线h从点P(g,2)(点P在抛物线

。内)射入，经过。上的点4反射后，再经过。上另一点B反射后,沿直线射出，且经过点Q，若直

线OA与抛物线。的准线交于点。，则直线的斜率为；若|上4|=2旧。|,且P8平分

AABQ，则p=.

【答案】02

【解析】依题意直线AB过抛物线的焦点.设直线AB的方程为x—my+三,,_8(电,纺),

联立方程组\X1m/2，得靖—2pmy—p?=0,则为夕2=—P',工巡2=-

1峭=2眸4

因为"=2,所以

因为直线O>1的方程为y—px,

所以直线OA与抛物线。的准线的交点为。（一一§）,

所以直线BD的斜率为0.

②因为PB平分ZABQ,所以NABP=APBQ=AAPB，所以=|R4|.

因为\PA\=2|BD|,所以\AB\=2|_DB|,即力1+g+p=2|^2—

所以总+£+P=2（4+^），得P=2.

故答案为：①0;②2.

四、解答题

11.设椭圆C：1+名=l（a>b>0）,回，鸟分别是椭圆的左、右焦点，P（g,队）在椭圆。上.求证:

azb‘

（1）直线+等=1是椭圆在点尸处的切线;

a?bz

（2）从£发出的光线F2P经直线I反射后经过风

【解析】证明：（1）因为P（g,。。如）在椭圆上，所以典+粤=1,所以P也在直线上.

a2b2

（登+直=],oo（_――b%oZ0°

ba2y22222244

联立直线和椭圆方程《〃°'{ayo+bXo）x—2abx0x+fea—ayo=

[箸+耨=1[b2x2+a2y2^a2b2

0,0°

22222222

因为P在椭圆上，所以ayo+bXo=a2b2=>abx—2abxox+a?bXo=0n△=0

n所以直线,与椭圆相切，又因为inC=P,

所以直线/是椭圆在点P处的切线.

⑵设E关于直线Z的对称点为玛（电,。。阴）,

则月,。。K的中点在直线/上，直线用吊与/垂直,

即I，=y1=固。侬――c)=」2%(a2一热。)=%⑷―gc)

222

"妍—g+c-b^xo+a^c-b^xo+a^c-b^c~(a-c)x0+ac-xlc

伙)(a2—gc)=普1=岛%°/'O)=e，―e

2vOQIC

(a-zoc)(a?o+c)

F'2,0。P,°。后所以三点共线，所以从月发出的光线经直线/反射后经过用.

12.已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点,经椭圆反射后必经过

11

另一个焦点.若从椭圆+vr=l（a>6>0）的左焦点E发出的光线,经过两次反射之后回到点

azbz

E，光线经过的路程为8,T的离心率为哼.

⑴求椭圆T的标准方程；

⑵设。（如,0），且砒〉a,过点。的直线I与椭圆T交于不同的两点V,N,月是T的右焦点，且

NDRM与/。为〜互补，求AMA弓面积的最大值.

【解析】（1）由椭圆的性质可知，左焦点E发出的光线，

经过两次反射之后回到点E,光线经过的路程为4Q=8,解得a=2.

又椭圆的离心率为，得6=C=，所以C=V3，故〃=Q2—。2=4—3=1,

2a2

故椭圆T的标准方程为《+炉;1；

⑵由题意得同（窝,0）,设河⑶，加），阳02,统）.因为/。理W与ND鸟N互补,

所以做我+岛的=°,即一丐京■1-----*7万=0,化简整理，可得的统一，^纺+g仍一通%=0,

Xi—V3x2—Vo

设直线A47V的方程为N=mg+?2（?7iW0）,得2加仇92+（n—V3）（7/I+T/2）=。.

\x—my+n

联立直线皿N与椭圆的方程得।21整理得(m?+4)g2+2mny+n2—4=0,

匕+婿=1

△=4m2n2—4(m2+4)(n2—4)>0,可得712Vm?+4,

2mn口2一4

则Vi+V2=——..，g曲二,.，所以+通)=o,

m2+4m22+4m+4m+4

解得n—4^^,故直线MN的方程为c=my+.

O0

'"3

点E（M5,0）到直线的距离d=

Vl+m23V1+m2

\MN\=Vl+m2-5(%+纺)2-4%敌，

=Vl+m2'^/(―段）1小E.鼠7n2+4—九2

m2+4

V3(m2+4)

2个3优2—4

所以S：N=^\MN\-d=-1Vl+m2-臂吗U

3\/1+m23m2+4

由712VTn2+4,n=4^^可得,普~<m2+4,即3m?—4>0.

OO

2

£己f=V3m2—4，贝”t>0,m2t+4

3，

1=1

X

所以S际MN-2=2x--—<2x

J守+42,tx牛4

当且仅当力=¥~，即力=4,7n2=?~时，等号成立.故△MVZ^面积的最大值为

13.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年--325年），大约100年后，阿波罗尼斯

更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图•甲，从•椭圆的•

一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线，表示与椭

圆的切线垂直且过相应切点的直线.

已知图乙中，椭圆。的中心在坐标原点，焦点为后（一c,0）,耳（c,0）（c>0）,由E发出的光线经椭圆

两次反射后回到R经过的路程为发仁

【解析】（1）点P是椭圆。上除顶点外的任意一点，椭圆。在点P处的切线为在Z上的射影H满足

Q丑1=2,利用椭圆的光学性质求椭圆C的方程；

（2）在：（1）的条件下，设椭圆。上顶点为Q,点A,B为2轴上不同于椭圆顶点的点，且以+①B=4,直线

42,BQ分别与椭圆C交于点M,N（M,N异于点、Q）,QT_LMV,垂足为T,求|OT|的最小值.

由题知4a=&^^c,延长月交于点片，

O

在居用中，瓦月,/居PH=AF0PH,则\PF2\=|P用I且H为鸟耳中点,

在ZW胭中，QH|=i出用=,（|P曰+|%|）=y（|P舆|+|P碗，则|P园+|次=4=2a,

由对称性可知直线MN的斜率不为0,所以可设直线MN:r=?ng