2025高考数学复习专项训练：函数的奇偶性、周期性、对称性【含答案】

2025高考数学二轮专题复习-函数的奇偶性、周期性、对称性-专项训练

01内容速景

一、重难点题型归纳...........................................

题型1利用函数性质解不等式..................................

题型3构造奇偶函数求函数值..................................

题型4对称性、奇偶性的运用..................................

♦类型1对称轴.........................................

♦类型2中心对称+轴对称构造周期性.....................

♦类型3“类”周期函数.................................

♦类型4对称性解决恒成立...............................

题型5三角函数中的对称性问题................................

题型6复杂奇函数问题.........................................

题型7函数的旋转问题.........................................

题型8两个函数的对称问题....................................

二、最新真题、模考题组练....................................

WKOII

题型1利用函数性质解不等式

-即:划>占

u/m/\/*（X|）一-（X2）n

XX6（-00,01（X10X）—；~；VU

1、对于任意lf22，均有'LX?成立，注意功能用来判断函

数的单调性（有具体函数时，直接求导可求单调性）；

2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式

3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴（X=u）远，谁的函数值就大；如果口朝

下：谁离对称轴（'二°）远，谁的函数值就小.

【例题1]（2023•江西宜春•校联考模拟预测）已知函数"x+2）=log」（3'+,若

/'（a-1）N/（2a+1）成立，则实数a的取值范围为（）

（-oo,-21[-2,勺

A.、」B.Ld

《卜8,-2U10,+8）D卜8,-2u片+8）

【变式1-1]1.（2023・湖南常德・常德市一中校考模拟预测）定义在R上的可导函数f（x）

满足/a）一八一乂）=乂（少+3、），且在11上有H若实数a满足

/（20・+2）-2aeV"+〃「"川+2e"2之。，则a的取值范围为（）

AbQ]B卜,+8）（-8,-1山+8）（-8,2]

【变式1-1]2.（2023•全国•高三专题练习）设函数

〃x）=sin（x-V+e*-1-©1-*一x+'，则满足/（x）+/（3-2x）＜6的x的取值范围

是（）

A佃+8）（1，+8）（-8,3）（-8,1）

【变式1-1]3.（2023湖北武汉统考模拟预测）已知函数/（x）=少-1+e】-'+X?-2x,

若不等式「（2-ax）＜八、2+3仅寸任意*6"恒成立，则实数。的取值可能是（）

_1

A.-4B「C.72D.3s

【变式1-1]4.（2024•广西・广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测）设/'（x）是定义在

R上的偶函数，且当X之0时，/（X）=公（。＞1）.若对任意的*6[0,、+11,均有

/（x+b）＞/2（x）,则实数b的最大值是（）

2

A.3B,4。。D,1

【变式1-115.（2024湖南邵阳统考三模）已知函数/"（x）是定义在A的偶函数，且在区间

「0,+8）/（log3a）+f（logia）>2f（l]

上单调递减，若实数。满足I51,则实数。的取值范围

是.

题型2利用奇偶性、周期性对称性求值

函数周期性的常用结论与技巧

设函数y=/（x）,

①若r（x+a）=r（x-a）,则函数的周期T=2Q；

②若/'（x+a）=-/（x）,则函数的周期丁=2c；

/（x+a）=—―

③若一/（X）,则函数的周期T=2。；

/,（x+a）=--^-

④若「（X,则函数的周期丁=2a；

⑤/（x+a）=/（x+b）,则函数的周期T=\a-b\

【例题2]（2022•全国•高三阶段练习）已知函数“5、）是定义在R上的偶函数，

g（3）=2，若对任意xeR渚B有/（X+6）=/（x）+〃3）,对任意rn,n6R且m+n=4

都有g（m）=g（n）贝/（99）+g（99）=

【变式2-1]1.（2023•全国•高三专题练习）已知定义域为‘勺函数"'）存在导函数,'、），

且满足“一幻=/（x）,/（4-X）=/（-x）,则曲线y=/（X）在点（2022,/（2022））处的

切线方程可能是（）

Av=xB.y=。c.y=x+iD.y=f+i

【变式2-132.(多选)(2022•山东潍坊七中高三阶段练习)设函数丫=〃的定义域为“,

且满足八1+x)=/(l-x)/(x-2)+/(-x)=0当时/(x)=-|x|+l

则下列说法正确的是()

Ay=/(x+1)是偶函数B.V="X+3)为奇函数

C.函数y=八、)一国卜植1°个不同的零点D.\k=]〃k)-1

【变式2-1]3.(2023•浙江温州•模拟预测)定义在R上的函数•/'：')满足

/(x+l)+/(x—l)=/(2022)/(-2x+l)=〃2x+5)若/G)="则

/(2022)=Xj=；k/(T)=

_________________/_________________________.

题型3构造奇偶函数求函数值

岁塾重点

对于/(X)本身不具有奇偶性，通过构造(通常将尾巴常数变为0),构造奇函数，利用奇函

数的对称性，求函数值.

f(x)=ln(x+v'l+X2)+-+4r_g

【例题3】(2023•全国•高三专题练习)已知函数'在।,

81上的最大值和最小值分别为乂、m,则M+巾=()

A.8B.6C.4D.2

【变式3-1]1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)="X'+"nx+3,若

〃m)=l则八-m)=()

A.-1B.2C.5D.7

/（x）=aln^^+bsinx+3

【变式3-1]2.（2022•河南高三阶段练习（理））已知函数‘X一】

若八⑺=L则八一血）=（）

A.-1B.2C.5D.7

【变式3-1]3.（2022•河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知函数

fM=（-r-T-1）sin|x

3,】）I2J，则“）在LJ上的最大值与最小值之和

为.

【变式3-1]4.（2022•江西・贵溪市实验中学高三阶段练习（文））已知函数

2

f(x)=czln(Vx+l-x)+bsinx-2(ab#0)若/（m）=2则八加）=

r/、LX2+2X+/.2+siiix

J(X)=------T-;-----/>0

【变式3-1]5.若函数X』(一)的最大值为M,最小值为N,且

M+N=4,则实数'的值为.

题型4对称性、奇偶性的运用

函数对称性(异号对称)

(1)轴对称：函数/(x)对于定义域内任意实数'满足/(a+\)=/(b-x),则函数/(x)

_a+L

关于直线,-k对称，特别地当/.(x)=fC2a-x)时，函数/(X)关于直线X=a对称；

2.如果函数V=/(x旅|足/(a+\)=/(a-x)，则函数y=/(x)的图象关于直线'=。对

称.

3.V=/(a-x)与V=(\-0关于直线'-2对称.

(2)点对称：若函数/(')关于直线9，。)对称,则

①/(0+x)=-/(a-x)

②/(x)=-/(2a-x)

③/(一X)=-/(2Q+X)

(2)点对称：若函数/'J关于直线(4切对称，则

①/"(a+x)=-/(a-x)+2b

②/(x)=-/(2a-x)+2匕

@/(-x)=-/(2a+x)+2力

♦类型1对称轴

【例题4-1】（2022•宁夏银川一中高三阶段练习（文））已知函数"=的定义域为

2

（-8,1）u（1,+8）,且/J+1）为奇函数，当xv1时，/（x）=-x-4x（则〃x）=2

的所有根之和等于（）

42-12—6

A.B.C.D.

,212-2

【变式4-l】l.已知函数,f（x）=2PX-—2+2X）-a有唯一零点，则负实数”二

（）

11

—2~~-1—）「一1

A.B.-C.D.假

【变式4-1】2.已知函数/（x）（x6爪）满足〃x）=/（a_x）,若函数y=卜2_ax_5|与

y=〃x）的图像的交点为J"%）（X2，V2）,,（Xm.y,”），且2i=ii=zm贝『=

A.1B.2C.3D.4

/（x）=

【变式4-1】3.已知函数』）（xf+2）,下面是关于此函数的有关命题，其中正确

的有

①函数〃x）是周期函数；

②函数"'）既有最大值又有最小值；

③函数'c）的定义域为R，且其图象有对称轴；

④对于任意的Xe（一1，°）,/（X）V。（/（X）是函数/（X）的导函数）

A.②③B.①③C.②④D.①②③

♦类型2中心对称+轴对称构造周期性

1产期#6

.丰•、、、

关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论

L若函数有两个对称中心（2,0）与（*0））,则函数具有周期性，周期T=2|a-b|.

2.若函数有两条对称轴x=a与x=b,则函数具有周期性，周期T=2|a-b|.

3.若函数有一个对称中心（a,0）与一条对称轴x=b,,则函数具有周期性，周期T=4|a-b|.

【例题4-2】已知函数"'）为定义域为"的偶函数，且满足‘G+"一'6一,当

X丘卜1r-9,10

°1」时，八f(xX)=-Xx若函数F(x)=/(x)+jf"*在区间」上的所有零

点之和为_________

【变式4-2】1.定义在"上的奇函数/'、）满足/（2-x）=/（'）,且在K）,）上单调递减，若

方程/（x）=-1在［0,1）上有实数根，则方程/（X）=1在区间LI」"上所有实根之和是

（）

A.30B.14C.12D.6

【变式4-2】2.已知定义域为由勺函数/'、）的图像关于原点对称且/（3—x）+/（-x）=（）,

若曲线》=在⑹/⑹）处切线的斜率为4,则曲线旷=/（x）在（一2022,/（-2022））

处的切线方程为（）

110111,1011

Ay=-4X-8088Dy=4x+8088「尸一二一工'=1+二

【变式4-2]3.若函数V="''是爪上的奇函数，又J+1'为偶函数，且

-1MXIVX2M1时17(X2)-/(Xi)l(X2—Xi)>。比较/(2017)/(2018)

/(2019L.,...、

J的大小为()

Af(2017)</(2018)</(2019)D/(2018)</(2017)</(2019)

C/(2018)v/(2019)v/(2017)口/(2019)v/(2018)v/(2017)

【变式4-2】4.（多选）（2023•福建福州福建省福州第一中学校考二模）定义在口上的函数

,其导函数分别为'15,若/(X)=/(-X)

g(-l)=1,/(x)+g(x-1)=x?-l,/(x)+g(x+1)=x-sin%则()

A./'(')是奇函数

B.g(x)关于(-1,1)对称

c.g(')周期为4

D.g(l)+g(3)+g(5)+.“+«/(99)=-1225

♦类型3“类”周期函数

"似周期函数"或者"类周期函数"，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：

1.是从左往右放大，还是从右往左放大.

2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0.

3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移.

【例题4-3］设函数V=7（'）的定义域为°,如果存在非零常数,，对于任意'e0，都有

f（x+T）=T-〃x）,则称函数y="X）是"似周期函数，，，非零常数T为函数=〃x）

的“似周期”.现有下面四个关于"似周期函数"的命题：

①如果"似周期函数"V=的"似周期"为—1,那么它是周期为2的周期函数；

②函数2是"似周期函数"；

③如果函数‘="⑼八是，，似周期函数，，，那么，，3=2ku,k&Z_&

3=(2k+6Z„

.以上正确结论的个数是（）

A.OB.IC.2D.3

【变式4-3】L已知函数/(X)满足当*-。时，2/(x-2)=/(x),且当xe(-2,01时，

〃x)=|x+1|-1；当x>0时，〃x)=k>g“x(a>。且a*]).若函数八、)的图象上关

于原点对称的点恰好有3对，贝联的取值范围是()

(625,+⑼(4,64)「(9,625)n(9,64)

【变式4-3】2.设函数的定义域为H,满足/(x+1)=2/(x),且当*E(0,11时,

Jff(xX))=Xx(Xx-1L1.若对任意xe(-o^m]，都有/(x)2,则6的取值范围是()

A.fB.(一空

CTD.E哨

【变式4-3】3.定义在H上函数满足/"+1)=]"'),且当*61°」)时，

/(x)=1-|2x-11则使得/(X)=+")上恒成立的小的最小值是()

丁？竺史

A.2B.2C,4D.4

♦类型4对称性解决恒成立

一期|一我16

.丰•、、、

常见不等式恒成立转最值问题：

vxeD,/(x)>mo/(x)1111n>m

3xeD,/(x)>m«/(x)11mx>m

VKED,/(x)>g(x)=(/(x)-</(x))miu>0

(3)

3xeD,fM>g(x)o(/(x)-g(x))>0

(4)milx

VX1eD,x2eM,/'(x1)>g(x2)<=>/(x。111m>g(x2)miU

(5)

3xxeD,x2eM,/(X。>g(x2)<=>/(Xi)tax>g(x*3

(6)；

。>。

(7)vxieD,mx?eM,/(Xg(x2)o/(x1111n>g(x2)miI1

(8/XieD,vx2eM,/(x1)>g(x?)=/(x])111ax>gj?)111ax

【例题4-4】已知函数/(*)=g(x+*+l),且对于任意的“6(1

“』)+"(x-i产—>°恒成立，则小的取值范围为()

(-00,0)(-8,01

A.B.

[4,+8)(12,+8)

C.D.

【变式4-4】1.已知函数,、一E(0WxM1),函数=(m-l)x(l<x<2>

若任意的xE°'l]，存在心e°2],使得/(xi)=g(x»,则实数，取值范围为()

A(1图B⑵cI'引D良引

【变式4-4】2.已知〃''是定义在R上的函数，且“'+「关于直线”=-1对称.当'-°

r(x)=[2*1,0wxV2.…

时，2-log2x,x>2，若对任意的Xu"n'm+11,不等式

)(2-2x)>/(x+〃L)恒成立，则实数巾的取值范围是()

r-po)[7,1111,+助仁,+8)

【变式4-4】3.已知疝皿1sinl〃x|,。⑺=|lnx|-值m,若对于

FC卜丁一盲3x2e[el叫使得/(xi)之g(xz),则实数加的取值范围

是•

题型5三角函数中的对称性问题

L三角函数的对称性，周期性，奇偶性，单调性，考查时可能单独考，也可能以多选的形式

综合在一个题目中考查.

2.三角函数的奇偶性

(P=ku+-

(1)函数V=Asin(wx+3)是奇函数=9=kn(keZ),是偶函数=2

(AcZ)；

(P=ku.

(2)函数V=Acos(wx+⑼是奇函数o2(*<eZ),是偶函数o甲=ku

k€Z)；

(3)函数y=ALaxi(iux+⑼是奇函数=kn(keZ).

3.三角函数的对称性

ivx+(p=kn+-

(1)函数旷=Asin(wx+⑼的图象的对称轴由2(Rez)解得，对称

中心的横坐标由3X+W=k”(keZ)解得；

（2）函数y=ACOS（3X+⑺的图象的对称轴由3x+0=（kCZ）解得，对称中心

ax+w=+=

的横坐标由2（kcZ）解得；

（3）函数V=Alan（3X+⑺的图象的对称中心由2R©z）解得.

4.基本规律

1.三角函数的对称中心（对称轴）有数个，适当结合条件确定合适.

2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心.一般情

况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点

【例题5]（2022・湖南•长沙一中高三阶段练习）已知函数

〃x）=COS（3X+w）（s>0,0vwv〃）的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心

UU

的距离为L将,'）的图象向右平移至个单位长度得到函数8、）的图象若函数的图象

在区间12'4」上是增函数，贝产的取值范围为（）

ALb*21BQL：r:dDgdJ

f（x）=sin-x.]]

【变式5-1】1.（2023•天津•统考二模）设函数2,g（x）=eTx-L当

xH-2023,2023]时，/（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（）

A.4051B.4049C.2025D.2023

_x+2__

「我一「i她y=sinx+1~—a>a>.aeZ口a>2017,,

【变式5-1】2.已知函数,与•在（，且）上

三0人一上（xi，yj（x，y）（x,„，y,„）

有个父点，22，……，，则

（X]+yi）+（X2+yz）+…+（Xfn+ym）=

A.°B.mC,2mD.2017

【变式5-1】3.已知函数/(x)=2(x+l)+sinx+ln(GTf+x),若不等式

“3'-9、)+•3'-3)<4对任意xe爪均成立，则小的取值范围为()

A(-8,2汽-1)B(-8,-2乃+/(-2乃+1,2日—1)口

(-273+1,+2

题型6复杂奇函数问题

型：-划#占

(a+b\

1.若/'(')满足/(&+乂)+/'(67)=2<;,则/'3关于12'”中心对称

特殊的奇函数：(奢览港点)：

2.

^对数与反比例复合：丫=1皿,丫=1'吧”，如：1叫芸，1叫昔^，

/p\JJ="WFHXD"l+xD"1+kx

…指数与反比例复合：y=鲁,y=*,y=不，y=卢;

③与合：y=logu({(kx)+1+kx),iQ:y=logu({(x),+l+x

3形如y=会对称中心为(0,詈)

【例题6】已知函数"、)=E+e'—e'，若不等式八&)+/Q-2ax)21对

“X6”恒成立，则实数”的取值范围是()

(0同[0,e](0,1][0,1]

A.D.C.U.

【变式6-1】1.对于定义在D上的函数"M,点‘是•/'：')图像的一个对称中心的充

要条件是：对任意X'。都有〃x)+/(2m—x)=2"，判断函数

〃x)=X,+2g+3x+4的对称中心

【变式6-1】2.设函数〃x)=ln(A2+l-x),若a,b满足不等式

f(a2-2a)+f(2b-b2)<0则当寸2a-b

的最大值为

/(x)=x7+m三若/（岛）+/（蒜）+…+/（端）+

【变式6-1】3.已知函数

c<2019e\2019/.】、1.

f^=-(a+b),其中b>°,则丽+、最小值为

A.1B.4C.42D.T

题型7函数的旋转问题

【例题7](2024•青岛开学潟函数〃="3T-2(xe[-3,31)的图象绕点(一3,。)逆

时针旋转3：°三」三”)，得到曲线0,对于每一个旋转角“，曲线"都是一个函数的图象，

则最大时的正切值为()

：'ZL

A.2B.'C.1D.v，3

【变式7-1]1.(2024春•池州期末)设°是含数1的有限实数集，''')是定义在口上的函

U

数，若/的图象绕原点逆时针旋转”后与原图象重合，则在以下各项中,11)的取值只可

能是

v'l

v3

A.1B.1C."D.0

【变式7-112.（2024春•新华区校级期末）将函数V=-x2+x（x'「0,1]）图像绕点（1（Q）

Q（0<0<y）

顺时针旋转角2得到曲线C,若曲线c仍是一个函数的图像，贝严的最大值为

nn

A.bB.4C,3D.12

h（x）=ex（x>0）

【变式7-1]3.（2024•沈河区校级四模）将函数的图像绕坐标原点逆时

针方向旋转角由田6（°，,“），得到曲线C,若曲线0仍然是一个函数的图像，则”的可能取

值为（）

Uu:H

A.1B,2C,1D.11

【变式7-1]4.（多选）（2024•雨花区校级模拟）已知函数V=/（X）,"eA,且"*A,

tiu

函数y="'）,X©八的图象绕坐标原点顺时针旋转:所得新的函数图象与原函数图象重

合，其中“可以取任意正整数，贝"'的值不可能为（）

巫k

A.0B.-C,11D.r"

题型8两个函数的对称问题

【例题8]（2024•武侯区校级模拟）已知函数=&X-,与函数式"=xlnx+1的

图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（）

（e-1,+8）（二■，+8）[?，+8）（-OO,t>-1）

A.B.127C,L2'D.

u=x：i-x2_l-a（x6\-,e]

【变式8-1]1.（2024春•海淀区校级期末）若函数V-Xfl,（Q,

'为自然对数的底数）与'=~-31"的图象上存在两组关于'轴对称的点，则实数&的取

值范围是

（0，%+2][0,e:l-4]

/A.D.

CG+2，"-4]D（9+2,+e）

/（x）=-x3—mx+3g（x）=-5x—41n-

【变式8-1】2.（2024•云南模拟）已知函数卜，\

若函数/（X）与g（x）（xeS'，]）的图象上至少存在一对关于X轴对称的点厕实数）的取

值范围是.

【变式8-1]3.（2024春•大同期中）已知函数/"）=ln（-x）与函数

g（x）=少-（e-l）x的图象上存在关于_v轴对称的点，则实数"的取值范围

为.

【变式8-1]4.（2024•景德镇模拟）对于定义域为，勺函数,（、），若满足（1）/（0）=°；

（2）当、©”,且“H0时都有x/（x）＞。；（3）当*1〈°v*2,且lx1l=lx"寸都

有“X”/（X2）,则称/（x）为"偏对称函数".现给出四个函数：①/i（x）=xsinx；②

/2（x）=ln"x2+l-x）.③九（X）=x2+|x|；④/i（x）=t_x,xv6，则"偏对

称函数"有个.

1.（2022•全国•统考高考真题）已知函数f（x）,g（x）的定义域均为R,且

Hx）+aQ-x）=5,tf（x）-f（x-4）=7.若V=。（幻的图像关于直线X=2对称,

。⑵=4,则工三♦阳=（）

A.-21B.-22c.-23D.-24

2.（2024•全国•统考高考真题）设函数“X）的定义域为RJ（x+1）为奇函数，/（x+2）为

偶函数，当XE[1,2]时，/(x)=ax?+b.若/(O)+/⑶=6,则1弓)一()

_9_：!75

A.B,C.5D.±

f（x）=sin（2x+@）（0<<p<Tl）

3.（多选）（2022•全国•统考高考真题）已知函数的图像

关于点仁'°）中心对称，则（）

A.r（x）在区间（°,匚）单调递减

Inlln|

B.0\）在区间I12，心J有两个极值点

7Tl

c.直线'=至是曲线v=r（x）的对称轴

=6_

D.直线‘一〒一'是曲线V=〃x）的切线

4.（多选）（2022•全国统考高考真题）已知函数/'吸其导函数「（X）的定义域均为R,记

g(x)=/6),若/G—x)

,g（2+X）均为偶函数，则)

A./(0)=0B.g(-9=°C,/"(-1)=fd)D,«(-1)=0(2：

TT

/(x)=(x—1)2+ax+sinX+5

5.（2023•全国•统考高考真题）若为偶函数，则

a=

6.（2023•黑龙江大庆•统考二模）已知函数/'（x）是定义域为R的奇函数，当x>°时,

[/(x)-xcos（nxI=0

〃x)=lnx-mx+1,若有三个不同的根，则实数m的取值范围

为

7.（2023・四川•校联考模拟预测）已知函数/'」及其导函数/《）的定义域均为R,若

r,1>、:x-/（x+2）

/（I-2x）,2都为偶函数，则乙

为偶函数，若对任意XeA有,（丁）一，（h）,且“2023）=3,则

/©)+/⑴+/©=

参考答案与试题解析

重难点专题01函数的奇偶性、周期性、对称性

fliknii

题型1利用函数性质解不等式........................................................20

题型2利用奇偶性、周期性对称性求值...............................................27

题型3构造奇偶函数求函数值........................................................31

题型4对称性、奇偶性的运用........................................................35

♦类型1对称轴.................................................................36

♦类型2中心对称+轴对称构造周期性............................................40

♦类型3“类”周期函数........................................................46

♦类型4对称性解决恒成立......................................................51

题型5三角函数中的对称性问题......................................................57

题型6复杂奇函数问题...............................................................62

题型7函数的旋转问题...............................................................67

题型8两个函数的对称问题..........................................................71

题型1利用函数性质解不等式

岁&重点

Xl，X?e（-8,O]（X]HX2）/V0

L对于任意，均有XLX2成立，注意功能用来判断函

数的单调性（有具体函数时，直接求导可求单调性）；

2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式

3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴（X=°）远，谁的函数值就大；如果口朝

下：谁离对称轴（X=°）远，谁的函数值就小.

K

【例题1]（2023•江西宜春•校联考模拟预测）已知函数/（X+2）=log.（（3+3一、），若

/（a-1）'（2a+1）成立，则实数a的取值范围为（）

8,-2*

A.B.

oo,—2U[0,+OO)D(-00,-2]u[i,+oo)

C.

【答案】B

【分析】设g（x）=/（X+2）=logj（3K+3**）,则可得g（'）为偶函数,且在I*王@单

12,+8）

调递增，所以八X）的图象关于直线X=2对称，在L，单调递增，则将

f（a-1）>f（2a+1）转化为I"-l-2|>|2a+l-2,从而可求出实数a的取值范围.

K-K

【详解】设。（x）=/"（x+2）=loqt（3+3）,

因为。（-x）=MM3f+3、）=ciM,

所以g（x）为偶函数,

所以/（X+2）的图象关于直线X=°对称,

所以/（X）的图象关于直线X=2对称，

设8=中小丁贝w'=3*1113-3-xln3=（3*-3一”山，

令V>o,则墨*1掣将2*口，得X>0,

„u-x（0,+OO）

所以y=3'x+3'在上递增，

因为函数v=Mg」x在定义域上单调递增，

所以。（X）在L，单调递增，

所以/'（x）在I'+8）单调递增，

因为Ha-U之门

所以|a-l-21212a+1-2|,

所以艇-3)*芝口或113骋，化简得(a+2)(3a-4)<°,解得一？*"*ii.

[-211

所以实数a的取值范围为।'：，」，

故选：B

【点睛】关键点点睛：解题的关键是根据已知条件判断出"')的图象关于直线'"对称，

\'2,+8)

在।'单调递增，从而可求解不等式.

【变式1-111.(2023・湖南常德・常德市一中校考模拟预测)定义在口上的可导函数f(x)

..、(o,+oo)小)+?<。

满足/(x)-r(-x)=x(e'+e-'),且在l'上有"若实数a满足

fUa]-f(a+2]-2aa~2u+ae-0-2+2e-a-2N0,则a的取值范围为()

A卜Q]BW+8)卜8，T]U[2,+8)(-8,2

【答案】A

【分析】根据已知条件构造函数。(X),利用偶函数的定义及导数法的正负与函数的单调性

的关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解.

【详解】由/(*)-)・*&*+-*),得‘")"一〃X)尸

令'尊"，则虱戏口,城-幻，即。(X为偶函数

又黑已(&S)时g(x)=/(x)+M<0

所以4(X在(°,*g)上单调递减

由/(2a)-f(a+2)-2ae-2a+ae-0-2+2^-2>0,得

/(2a)->/(a+2)-.

H”,即g(2a)>g(fu+2).

又。(x)为偶函数，

所以g(|2a|)2g(|a+2|),

....——vav2

所以12alMm+2],即,解得3--

21

所以a的取值范围为।!

故选：A.

【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数。(X),利用偶函数定义和导数法求出函数

的单调性，再利用偶函数和单调性即可解决抽象不等式.

【变式1-112.(2023・全国•高三专题练习)设函数

/(X)=sin(x-1)+1_x+4，则满足/(x)+/(3—2x)<('的'的取值范围

是()

A(3，+8)(1，+8)(-8,3)(-8,1)

【答案】B

［分析］构造式、)=SinX+少-ef_x,xeR,发现为奇函数，然后八乂)是g(x)

向右平移1个单位长度,向上平移3个单位长度，可得二°的对称中心为Q'3),能得到

6="x)+/(2-,通过求导可发现“、)在R上单调递增，继而求解不等式

【详解】解:假设=sinx+小一

所以g(-x)=sin(-x)+e-x-ex+x所以g(x)+g(—x)=0

所以为奇函数，

而/(x)=sin(x-1)+_e】-x-(X-1)+3是g(x)向右平移1个单位长度，向上平

移3个单位长度,所以/2的对称中心为a3,所以6=/(X)+"2-X),

由/(x)=sin(x-l)+ex-1-e1-x-x+4求导得

/(x)=COS(X—1)+Hx-1+H1-x—1=ex-1+^rr+COS(X—1)—1

ex，+当之2JexT•—T=2e—=±

因为"'H,当且仅当H即x，取等号，

所以/(X)2(),所以/(X)在R上单调递增，

因为/(x)+/(3-2x)<6=f(x)4-^a/(3-2x)</(2-x)

所以3-2x<2-x,解得x>1

故选：B

【变式1-113.(2023湖北武汉统考模拟预测)已知函数/"(X)=+e】-'+X?-2x,

若不等式/'(2-ax)<“/+3］对任意xen恒成立，则实数a的取值可能是()

_1

A.B.，C.◎D.3上

【答案】BC

【分析】令I=X-1,得到。⑶=J+«-+1T,推得。■)为偶函数，得到八,)的图

象关于X=1对称，再利用导数求得当X>1时，/(X)单调递增，当X<1时，/"(X)单调递

减，把不等式转化为II-axl<X?+2恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】由函数/(x)=e'7++X2-2x,

令Z=X-1,贝［］x=L+1,可得g(Q=e(+e_,+^-1,

可得“(-。=片'++(-LA-i=y+er'+M-i=q①，

所以。■)为偶函数，即函数r(x)的图象关于x=1对称，

又由"«)=e1-e-1+21,翎(1)=t/(l)=J-e-'+2L,

可得而⑷=I+eT+2>0,所以9⑷为单调递增函数，且3(。)=0,

当L>。时，血町徽笫，。(。单调递增，即x>1时，/'(x)单调递增；

当L<。时，/")<o,g(Q单调递减，即X<1时，/(X)单调递减，

由不等式/(2-ax)v/(x2+3)，可得2-ax-l|<|x2+3-1|,即|1-ax|vx2+2

所以不等式|1-axl<x2+2恒成立，即-X2-2<ax-1<x?+2恒成立，

fx2+ax+1>0

所以।x?-ax+3>0的解集为R,所以十一4<0且⑷-12<0,

解得-2<a<2,结合选项，可得Bc适合.

故选：BC.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法设L=x-1,从而得到

g(L)=J+U1-1,证明其为偶函数，则得到/(X)的图象关于'-1对称，再结合

其单调性即可得到不等式组，解出即可.

【变式1-114.(2024・广西・广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测)设〃x)是定义在

R上的偶函数，且当x>0时，〃x)=a'(a>1).若对任意的xC10,b+1],均有

Ax+b)工P(x),则实数b的最大值是()

_2_口

A.3B,“C.UD,1

【答案】B

【解析】利用指数的运算性质易得x24寸尸(x)=/(2x),进而根据偶函数的性质和函数

在'二0上的单调性，将不等式很成立问题转化切地也颦对任意的照以『跳』+工1恒成

立，若黑+小迪口,易于得出矛盾，在b+窜代。时利用不等式恒成立的意义不难求得b的最

大值.

【详解】当*七]也占去口时，/2小)=(公户-&2x-/(2X),

若对任意的Xefo,b+n,均有『Cx5肺次产风即为/(x+b)>/(2x),

由于a>1,当x>0时，ft«l«暧为单调递增函数，

又•.函数/(x)为偶函数，

./(X+b)>/(2x)等价于卜+加2|2x1,即向小*出北(­.«胆曲一噜41),

由区间的定义可知b>-L若麓生打回口,于是解土韦迪2乳即b>x,

由于、的最大值为b+