2025高考数学二轮复习：排列组合与二项式定理 专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题复习-第八讲-排列组合与二项式定理-专项训练

一：考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对排列组合的考查，重2023•新高考□卷，

点是特殊元素与特殊位置、两13

元素相邻或不相邻、分组、分2022•新高考□卷，

配等问题。题型一般与生活实5

排列组合

际联系紧密。2023•新高考□卷，

2.高考对二项式定理的考查，3

重点是二项展开基本定理考查2024•新高考口卷，

特定项、特定项的系数、二项14

式系数等问题，同时会涉及到2022•新高考□卷，

二项式定理

赋值法的应用。13

—：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷的排列组合是体现在概率中的，后续专题会体现出来。口

卷考查了通过列举来确定所有可能结果，其实口卷的题目也可以采用列举法，这两题

考查的方向偏向于与实际生活联系在一起；其中逻辑推理能力比较重要，而且都是压

轴题。预计2025年高考还是主要考查排列组合的应用，题型多变。

三：试题精讲

一、填空题

1.（2024新高考□卷44）在如图的4x4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有

一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格

中的4个数之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

高考真题练

一、单选题

1.（2022新高考口卷5）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若

甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

2.（2023新高考口卷—3）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层

随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中

部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）.

A.GQC/种B.c：Mc禽种

c.C热C禽种D.C%c北种

二、填空题

3.（2022新高考□卷T3）y）8的展开式中的系数为

（用数字作答）.

4.（2023新高考□卷T3）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生

需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方

案共有种（用数字作答）.

知识点总结

一、排列与排列数

1、定义：从“个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从〃个不同元素中取

出m个元素的一个排列.从〃个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，

叫做从"个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号4"表示.

2、排列数的公式：=H（n-l）（H-2）...（M-m+l）=-———.

\n—my.

特例：当机二〃时，A：=〃!=〃（〃一1）（〃一2）…3・2・1；规定：0!=1.

3、排列数的性质：

—C+1=—aA：=mA^A；_.

；n—mn—m+}

二、组合与组合数

1、定义：从〃个不同元素中取出机（加4〃）个元素并成一组，叫做从〃个不同元素中取

出m个元素的一个组合.从〃个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，

叫做从〃个不同元素中取出机个元素的组合数，用符号C：”表示.

2、组合数公式及其推导

求从〃个不同元素中取出加个元素的排列数4",可以按以下两步来考虑：

第一步，先求出从这"个不同元素中取出加个元素的组合数C：；

第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数可”；

根据分步计数原理，得到父=C：；

因止匕C”=且=MW）…（…+1）

"黑〃?！

这里“，机€乂，且〃区”，这个公式叫做组合数公式.因为4"=二丁，所以组合

[n-my.

nI

数公式还可表示为：c：=,n-..特例：C：=C：=1.

注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问

题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题.公式

C：=〃(〃一1)(〃-2)-《-〃[+1)常用于具体数字计算，C：=常用于含字母算

mlm\(n-m)\

式的化简或证明.

,1

3、组合数的主要性质：□£"=a—"；□C；；+C；-=CX1.

4、组合应用题的常见题型：

□“含有”或“不含有”某些元素的组合题型

□“至少，，或“最多，，含有几个元素的题型

三、排列和组合的区别

组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同.

注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们

之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问

题，需要考虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因

此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”.

四、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题

1、二项式定理

一般地，对于任意正整数〃，都有：

(a+by=C°an+C『b+…++…+(〃eN*),

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做3+3"的二项展开

式.

式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第r+l项：

一方，

其中的系数C；(r=0,1,2,«)叫做二项式系数,

2、二项式(a+6)”的展开式的特点：

□项数：共有〃+1项，比二项式的次数大1;

□二项式系数：第厂+1项的二项式系数为C：,最大二项式系数项居中；

□次数：各项的次数都等于二项式的易指数*字母。降幕排列，次数由〃到0;字母

6升幕排列，次

数从0到〃，每一项中，a,6次数和均为八

□项的系数：二项式系数依次是c3c3cC；,…，C；,项的系数是。与6的系数

(包括二项式系

数).

3、两个常用的二项展开式：

a(a-by=C°an-cy-'b+…+(-1)'•《口吁'//+…+(-1)""wN*)

n(i+x)"=i+c：x+c,；%2+…+c,x+…+x"

4、二项展开式的通项公式

二项展开式的通项：Tz=C；a"-W(r=0,1,2,3,

公式特点：□它表示二项展开式的第厂+1项，该项的二项式系数是C；;

□字母b的次数和组合数的上标相同；

□a与。的次数之和为”.

注意：□二项式(。+6尸的二项展开式的第什1项〃和(b+a)"的二项展开式的第

什1项G/L'a'是有区别的，应用二项式定理时，其中的。和b是不能随便交换位置

的.

□通项是针对在(a+b)"这个标准形式下而言的，如(a-b)"的二项展开式的通项是

=(-(只需把-匕看成。代入二项式定理).

五、二项式展开式中的最值问题

1、二项式系数的性质

□每一行两端都是I,即c：=c：；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即

c：+x=c;-'+c：.

□对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即c：：=.

□二项式系数和令a=b=l,则二项式系数的和为C：+C；+C"…+C：+…+C：=2”，

变形式C：+C；+…+C：+…+C；=2"-1.

口奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令

a=1fb=—l9

贝!)C°-C；+C；Y+…+(-1)"=(!-1)"=0,

从而得到：C°+C；+C：…+C?+…=C：+C；+…+C；r+1+…=：.2"=2"-1.

□最大值：

如果二项式的嘉指数〃是偶数，则中间一项7〃的二项式系数eg最大；

-+1

n-1n+\

如果二项式的嘉指数”是奇数，则中间两项MM，r„+1的二项式系数c3，C/相等且

————+1

22

最大.

2、系数的最大项

求(〃+区)”展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为

fA>A

44,…，4M，设第r+1项系数最大，应有.用一；，从而解出厂来.

IA+i-A「+2

六、二项式展开式中系数和有关问题

常用赋值举例：

1、设（。+b）"=端优+C\anlb+C；a"2b2+…+C；a"-E+.••+C»”,

二项式定理是一个恒等式，即对。，6的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要

灵活选取。，6的值.

口令aj=l,可得：2"=C；+C：+…+&

口令°=1,人=i,可得：o=c：-a+c；-c；..+（-i）"a，即：

C：+C；+…+C；=C；+C：+…+C『（假设〃为偶数），再结合□可得：

《+£；+.•.+C；=C"+…+CT=2"、

nn2

2、若f(x)=anx+a“_]X"T+an_2x~4---卜a^x+a0,则

□常数项：令x=0,得%=/（0）.

口各项系数和：令x=l,得/\1）=4+%+里+…+%T+%.

□奇数项的系数和与偶数项的系数和

（z）当〃为偶数时，奇数项的系数和为佝+%+勾+…=1⑴［八一1）；

偶数项的系数和为/+/+4+…=/⑴丁T）.

（可简记为：〃为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

⑺当〃为奇数时，奇数项的系数和为4+&+%+…=/⑴；"T）

偶数项的系数和为e+生+4+…=/⑴7f

（可简记为：〃为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

1n

若/(x)=a0+AjX+4无2T---F+anx，同理可得.

注意：常见的赋值为令x=0,x=l或x=-l,然后通过加减运算即可得到相应的结

果.

【排列组合常用结论】

一、解决排列组合综合问题的一般过程

1、认真审题，确定要做什么事；

2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清

楚分多少类及多少步；

3、确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少

及取出多少个元素；

4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略.

二、常见排列组合类型及解法

1、如图，在圆中，将圆分〃等份得到"个区域M,M2,M3,…，/"(〃..2),现取

左上.2)种颜色对这"个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色

的方案有(-1)"("1)+("D"种.

2、错位排列公式Q,=(之粤+1>〃!

3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

(1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限

制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排

列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个

位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论.

4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常

称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：

(1)以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，

再安排其他元素；

(2)以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，

再考虑其他位置；

(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列

数.

5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将"个不同元素排成一排，其中某上个

元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这左个元素“捆绑在一起“，看

成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”

n-k+1

在一起的元素“内部”进行排列，共有履种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条

件的排法共有百二解•种.

6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将〃个不同元素排成一排，其中某左

个元素互不相邻(左V”-左+1),求不同排法种数的方法是：先将(n-k)个元素排成

一排，共有可:■:种排法；然后把七个元素插入〃-左+1个空隙中，共有记_1种排法.根

据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种.

名校模拟练

一、单选题

1.（2024・重庆•三模）重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西

部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解

学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年

招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（）

A.C；，B.C瓢C.匿0aD.

2.（2024•北京•三模）已知|2的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为

（）

A.-240B.240C.60D.-60

3.（2024•陕西・三模）2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办

方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五

人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

4.（2024・四川成都•三模）成实外教育集团自2000年成立以来，一直行走在民办教育

的前端，致力于学生的全面发展，对学生的教育视为终身己任，在教育事业上砥砺前

行，永不止步.截至目前，集团已开办29所K-12学校和两所大学，其中高中教育学校

有11所.集团拟召开综合考评会.经考评后，11所学校得分互不相同，现从中任选3所

学校的代表交流发言，则排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率为

（）

5.（2024•重庆九龙坡•三模）用1,2,3,4,5,6这六个数组成无重复数字的六位

数，则在数字1,3相邻的条件下，数字2,4,6也相邻的概率为（）

6.（2024•新疆喀什・三模）（V+x+l）5展开式中，/的系数为（）

A.20B.30C.25D.40

7.（2024•新疆•三模）西安、洛阳、北京、南京和开封并称中国的五大古都.某旅游博主

为领略五大古都之美，决定用两个月的时间游览完五大古都，且每个月只游览五大古

都中的两个或三个（五大古都只游览一次），则恰好在同一个月游览西安和洛阳的概率

为（）

A.-B.-C.1D.-

5525

8.（2024•北京•三模）在（尤2-2）（2尤-1丫的展开式中，炉项的系数为（）

A.-144B.-16C.16D.144

9.（2024•河北秦皇岛•三模）三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都

必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（）

A.8种B.12种C.16种D.24种

10.（2024•安徽芜湖•三模）已知B、C、D、E、厂六个人站成一排，要求4和8不

相邻，C不站两端，则不同的排法共有（）种

A.186B.264C.284D.336

11.（2024・浙江绍兴三模）在（x+l）（x+2）（x+3）（x+a）（x+b）的展开式中,含一项的系

数是10,则log2（a+6）=（）

A.0B.1C.2D.4

24

12.（2024•湖北荆州•三模）已知（3元-1户=%+卬:+/无2+1+的）24铲"，贝U

+的+L+a2024被3除的余数为（）

A.3B.2C.1D.0

二、多选题

13.（2024•山西临汾三模）在a］的展开式中（）

A.所有奇数项的二项式系数的和为128

B.二项式系数最大的项为第5项

C.有理项共有两项

D.所有项的系数的和为38

14.（2024•江西南昌三模）已知,的展开式中二项式系数的最大值与（x+曰3的

展开式中工的系数相等，则实数。的值可能为（）

X

A.V2B.-V2C.正D.—立

22

12

15.(2024•山西•三模)已知函数/(x)=(4x-l)'=%+qx+a2x2H----FOj2x,贝I]()

3

A.a3=4xC^2B./（x）展开式中，二项式系数的最大值

为小

1

C.at+a2+a3----1-a12=3"D.f（5）的个位数字是1

三、填空题

16.（2024•山东烟台三模）0五+2］展开式的中间一项的系数为.

17.（2024•安徽合肥•三模）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员

乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号

航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻“天宫”.随后，两个航天员乘组拍下

“全家福”，共同向全国人民报平安.若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站

最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有.

18.（2024•福建福州•三模）：一1］的展开式中常数项为.

19.（2024•新疆喀什・三模）小明设置六位数字的手机密码时，计划将兀=3.14159……

的前6位数字3,1,4,1,5,9进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相

邻，且相同数字之间一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为.

20.（2024•河北衡水三模），+2可（/7）7的展开式中大6的系数为（用数字

作答）

21.（2024・河南•三模）若［取+2］（〃eN*）的展开式中存在常数项，则〃的值可以是_

（写出一个值即可）

22.（2024•上海闵行•三模）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演

赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所

有不同的安排方法有种.

23.（2024•上海•三模）2024年重庆市高考数学科目采用新试卷结构，我校高三年级将

对来自三个班级的9名学生（每个班级3名学生）做一项围绕适应新试卷结构的调

研，并再抽选其中的若干名学生做访谈，要求每个班级至少有一名学生被抽中，且任

意两个班级被抽中的学生人数之和至多为3,则不同的抽选方法数为.

24.（2024•江西九江•三模）某儿童游乐场有一台打地鼠游戏机，共有9个洞.游戏开始

后，每次有且仅有一只地鼠从某洞中冒出，地鼠第1次从1号洞冒出来.假设游戏过程

中地鼠从上一个洞继续冒出的概率为：，从其它洞冒出的可能性相等，则地鼠第3次

从1号洞冒出的概率是.假设游戏结束时，地鼠一共冒出〃次，则地鼠从1

号洞冒出的次数期望值为

参考答案与详细解析

一：考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对排列组合的考查，重2023•新高考□卷，

点是特殊元素与特殊位置、两13

元素相邻或不相邻、分组、分排列组合2022•新高考□卷，

配等问题。题型一般与生活实5

际联系紧密。2023•新高考□卷，

2.高考对二项式定理的考查，3

重点是二项展开基本定理考查2024•新高考口卷，

特定项、特定项的系数、二项14

式系数等问题，同时会涉及到2022•新高考口卷，

二项式定理

赋值法的应用。13

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷的排列组合是体现在概率中的，后续专题会体现出来。口

卷考查了通过列举来确定所有可能结果，其实口卷的题目也可以采用列举法，这两题

考查的方向偏向于与实际生活联系在一起；其中逻辑推理能力比较重要，而且都是压

轴题。预计2025年高考还是主要考查排列组合的应用，题型多变。

三：试题精讲

一、填空题

1.（2024新高考□卷T4）在如图的4x4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有

一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格

中的4个数之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

【答案】24112

【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法

写出所有的可能结果，即可求解.

【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选,

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有4x3x2x1=24种选法；

每种选法可标记为Gd),。，8Gd分别表示第一、二、三、四列的数字，

则所有的可能结果为：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.

故答案为：24;112

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1

个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.

高考真题练

一、单选题

1.(2022新高考口卷5)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若

甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有()

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元

素排列，有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位

置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列

方式，故安排这5名同学共有：3!x2x2=24种不同的排列方式，

故选：B

2.（2023新高考口卷—3）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层

随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中

部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）.

A.C/.C短种B.C乐C乳种

C.C篇C禽种D.C3嚼种

【答案】D

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60x粤=40人，高中部共抽取

«200”

60x-----20,

600

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C%C品种.

故选：D.

二、填空题

3.（2022新高考□卷13）（1［尤+＞）8的展开式中的系数为

（用数字作答）.

【答案】-28

【分析】［i-£|（x+y）8可化为（尤+“-9（尤+才，结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为y）8=（尤+y）8-3（X+,

所以［-£|（x+y）8的展开式中含的项为C#y6-?c江3y5=_28/y6,

y)8的展开式中尤2y6的系数为一28

故答案为：-28

4.(2023新高考□卷T3)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生

需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方

案共有种(用数字作答).

【答案】64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合

组合数运算求解.

【详解】(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C：C：=16种；

(2)当从8门课中选修3门，

□若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C：C；=24种；

□若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C：C：=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

知识点总结

一、排列与排列数

1、定义：从W个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从〃个不同元素中取

出加个元素的一个排列.从〃个不同元素中取出加(〃三〃)个元素的所有排列的个数，

叫做从"个不同元素中取出小个元素的排列数，用符号父表示.

I

2、排列数的公式：=n(n-l)(n-2)...(n-m+l)=-1―.

特例：当加=〃时，d=加=〃(九一1)(〃—2)…3・2・1；规定：0!=1.

3、排列数的性质：

DA：=n^-,n^=—A：,+1=-□AT=^1+A：.

n—mn—m1

二、组合与组合数

1、定义:从〃个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从〃个不同元素中取

出m个元素的一个组合.从"个不同元素中取出加(机4九)个元素的所有组合的个数，

叫做从"个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C：'表示.

2、组合数公式及其推导

求从“个不同元素中取出加个元素的排列数4：,可以按以下两步来考虑：

第一步，先求出从这〃个不同元素中取出用个元素的组合数C：；

第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数4"；

根据分步计数原理，得到父=C；•线’；

因止匕C"=.="("1)("2)…("-"7+1)

”A7加

这里“，mEN,且相W”，这个公式叫做组合数公式.因为所以组合

+\n—m)\

HI

数公式还可表示为：c：=.n-..特例：c；=c：=i.

注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问

题时，一般都是按先取后排(先组合后排列)的顺序解决问题.公式

C；="(附-1)("2)...(〃-〃?+1)常用于具体数字计算，C：='21常用于含字母算

m\ml(n-m)l

式的化简或证明.

3、组合数的主要性质：口(7;=£5；□C：+C；"T=Q；L

4、组合应用题的常见题型：

□“含有”或“不含有”某些元素的组合题型

□“至少”或“最多”含有几个元素的题型

三、排列和组合的区别

组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同.

注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们

之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问

题，需要考虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因

此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”.

四、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题

1、二项式定理

一般地，对于任意正整数“，都有：

(a+by=+c[anlb+…+。”力+…+C»"(neN*),

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做①+份"的二项展开

式.

式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第厂+1项：

其中的系数C；(r=0,1,2,〃)叫做二项式系数，

2、二项式(a+6)”的展开式的特点：

□项数：共有〃+1项，比二项式的次数大1;

□二项式系数：第r+1项的二项式系数为C；,最大二项式系数项居中；

□次数：各项的次数都等于二项式的鬲指数字母〃降塞排列，次数由〃到0；字母

6升嘉排列，次

数从0到〃，每一项中，a,6次数和均为“；

□项的系数：二项式系数依次是c；,c：,c3…，C；,…，C；,项的系数是。与6的系数

(包括二项式系

数).

3、两个常用的二项展开式：

nnrrnrr

□(a-b)=C°a"-C'na'b+...+(-l)•Cnab+.■•+(-1)"-C'^b"(nwN")

□£1+x)"=1+C[x+Cy+•••+C；xr+--+xn

4、二项展开式的通项公式

nrr

二项展开式的通项：Tr+l=C；,a-b(r=0,1,2,3,

公式特点：□它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是盘；

□字母6的次数和组合数的上标相同；

□。与6的次数之和为

注意:□二项式(a+b)”的二项展开式的第什1项〃和(b+a)"的二项展开式的第

厂+1项GV。’是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置

的.

□通项是针对在(a+b)，这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是

rrr

Tr+1=(-l)CX-b(只需把-6看成6代入二项式定理).

五、二项式展开式中的最值问题

1、二项式系数的性质

□每一行两端都是I,即c：=c;；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即

l

c：+i=c;-+c;.

□对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即c：=c：-m.

□二项式系数和令a=b=1,则二项式系数的和为C：+C：+C：+…+C：+…+C：=2",

变形式C；+C；+…+C：+…+C：=2"-1.

口奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令

a=1fb=—l9

贝Uc；-c：+c；Y+…+（-1）“q=a-1）"=o,

从而得到：C：+戏+C：…+cy+…=C：+C；+…+戏川+…=，2"=2"T.

□最大值：

如果二项式的嘉指数〃是偶数，则中间一项T"的二项式系数C：最大；

-+1

n—1n+1

如果二项式的嘉指数”是奇数，则中间两项T„+1的二项式系数C/,C?相等且

----+1

22

最大.

2、系数的最大项

求0+区）”展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为

A>A

；,+1"；,从而解出r来.

{A+i-A「+2

六、二项式展开式中系数和有关问题

常用赋值举例:

n22nr

1、设（“+b）”=C^a"+C'na"-'b+C^a-b+.••+C^a-'b+…+C»”,

二项式定理是一个恒等式，即对。，6的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要

灵活选取a,6的值.

口令。=6=1,可得：2'Y+C：+…+C：

口令a=l,6=l,可得：O=G-C：+C；Y…+(-l)"C：，即：

C+C+…+c：=c：+c：+…+C7(假设”为偶数)，再结合□可得:

C：+C：+…+C：=C；+C；+…+C丁=2"T.

n

2、若/(x)=anx+H-----\-axx+aQ,则

□常数项：令x=0,得/=/（0）.

口各项系数和：令x=l,W/(I)=a0+al+a2-i■…+an_x+an.

口奇数项的系数和与偶数项的系数和

⑴当〃为偶数时，奇数项的系数和为a。+出+%+…=/⑴1/（T）

偶数项的系数和为a1+a3+a5+-=&丁心

（可简记为：〃为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

（z'z）当〃为奇数时，奇数项的系数和为4+%+%+-=小卢^

偶数项的系数和为％+/+%+”1）7T）

（可简记为：〃为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

nxn

若/(%)=%++%炉4----Fan_xx~+anx,同理可得.

注意：常见的赋值为令尤=0,x=l或x=-l,然后通过加减运算即可得到相应的结

果.

【排列组合常用结论】

一、解决排列组合综合问题的一般过程

1、认真审题，确定要做什么事；

2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清

楚分多少类及多少步；

3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少

及取出多少个元素；

4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略.

二、常见排列组合类型及解法

1、如图，在圆中，将圆分力等份得到几个区域M,M2,M3,%（〃一2）,现取

依左.2）种颜色对这〃个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色

的方案有（-1）"（I）+（"1）”种.

2、错位排列公式£>“=（邙二上+1）优！

M加

3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限

制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排

列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个

位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论.

4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常

称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：

（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，

再安排其他元素；

（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，

再考虑其他位置；

（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列

数.

5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将〃个不同元素排成一排，其中某上个

元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这左个元素“捆绑在一起“，看

成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有ATU种排法；然后再将“捆绑”

在一起的元素“内部”进行排列，共有履种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条

件的排法共有6立;.履种.

6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将〃个不同元素排成一排，其中某左

个元素互不相邻（左4〃-左+1）,求不同排法种数的方法是：先将（〃-左）个元素排成

一排，共有4峻种排法；然后把左个元素插入〃-左+1个空隙中，共有然如种排法.根

据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有娟•种.

名校模拟练

一、单选题

1.（2024・重庆•三模）重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西

部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解

学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年

招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（）

A.C黑，B.C短，C.C短。D.C%

【答案】C

【分析】根据分层抽样的性质计算即可。

【详解】为保证调研结果的代表性，设从该校去年招收的成渝地区学生中抽取n人，

n2400

贝ni！l।=------------------------9

402400+2000+1400+1800+400

解得〃=12,

即从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为C之。.

故选：C

2.（2024•北京•三模）已知（三一苫］的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为

（）

A.-240B.240C.60D.-60

【答案】B

【分析】根据二项式系数之和可得"=6,结合二项展开式分析求解.

【详解】由题意可知：二项式系数之和为2"=64,可得〃=6,

6r

其展开式的通项为Tr+l=C；院］（-尤）’=（-1/-2--C；-x”r=0,1,2,…,6,

3

令y-3=0,解得井=2,

所以其展开式的常数项为（-咪•2,©=240.

故选:B.

3.（2024•陕西•三模）2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办

方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五

人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

【答案】C

【分析】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的两人分别在

其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即得.

【详解】要使五人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：

第一步，先从五人中任选三人，有亡种方法；

第二步再选这三人所在的区域，有C种方法；

第三步，将另外两人从余下的两个区域里任选，有种方法.

由分步乘法计数原理，共有€：；.塌.《.（4=120种方法.

故选:C.

4.（2024•四川成者B•三模）成实外教育集团自2000年成立以来，一直行走在民办教育

的前端，致力于学生的全面发展，对学生的教育视为终身己任，在教育事业上砥砺前

行，永不止步.截至目前，集团已开办29所K-12学校和两所大学，其中高中教育学校

有11所.集团拟召开综合考评会.经考评后，11所学校得分互不相同，现从中任选3所

学校的代表交流发言，则排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率为

（）

A.竺B.空C.D.2

55551155

【答案】D

【分析】利用古典概率结合组合数的计算求解即可.

【详解】从11所学校中任选3所学校共有种C'=165选法.

其中排名为第一名或第五名的学校，可以分为三种情况:

第一类：只含有排名为第一名的学校的有C；=36种选法;

第二类：只含有排名为第五名的学校的有戏=36种选法；

第三类：同时含有第一名和第五名学校的有C；=9种选法；

o177

共36+36+9=81种选法.根据概率公式可得会=会

故选：D.

5.（2024•重庆九龙坡•三模）用1,2,3,4,5,6这六个数组成无重复数字的六位

数，则在数字1,3相邻的条件下，数字2,4,6也相邻的概率为（）

A.—B.-C.—D.-

105105

【答案】A

【分析】分别求出数字1,3相邻时的六位数个数以及数字1,3相邻，数字2,4,6

也相邻的六位数的个数，根据条件概率的计算公式，即可求得答案.

【详解】设4="数字1,3相邻”，设3="数字2,4,6相邻”，

则数字1,3相邻时的六位数有A；A；=240个，

数字1,3相邻，数字2,4,6也相邻的六位数的个数为A；A；A：=72,

n(AB)723

则P(B|A)=\/=—