2024年中考数学几何模型专练：三角形中的重要模型-等积模型

专题07三角形中的重要模型-等积模型

三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的

思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三

角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应

试题分析，方便掌握。

模型1.等积变换基础模型

1）等底等高的两个三角形面积相等；

如图1,当ABUCD,则S-CD=；反之，如果S-CD=SABCD，则可知直线AB”。。。

2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2,当点。是边上的动点时，则SAABO：：OC。

如图3,当点D是边上的动点，BELAD,时，贝USAAB。：&AOC=BE：CT。

例L（山东省临沂市2023-2024学年八年级月考）如图，BD是ABC边AC的中线，点E在8C上，BE=、EC,

2

△A5D的面积是3,则BED的面积是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出

Q,BDC、uBED•

【详解】解：回班）是ABC边AC的中线，的面积是3,BDC=SABD=3,

回BE=—EC,0SBED=qSDBC=1,故选：D.

【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分

成面积相等的两部分.

例2.（河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考）如图，BD是ABC的边AC上的中线，AE是AABD

的边50上的中线，火是，ABE1的边AE上的中线，若，ABC的面积是32,则阴影部分的面积是（）

A.9B.12C.18D.20

【答案】B

【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可.

【详解】解：回8。是ABC的边AC上的中线，回$加"=5BCD=；5ABe=；x32=16,

团AE是△ABD的边8。上的中线，回S4郎=5,3=15筋0=3*16=8,

又EIBB是，A3E的边AE上的中线，则CF是"（史的边AE上的中线，

回S丽=S.尸=万5ABE=5X8=4,SCEF=SACF=SADE=SCED=3SACE=8,

贝1Js阴影=sBEF+sCEF=4+8=12,故选：B.

【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键.

例3.（湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考）如图，点G为，ABC的重心，D,E,产分别为8C,

C4,A8的中点，具有性质：AG-.GD=BG-.GE=CG-.GF=2A.己知,AFG的面积为2,则AABC的面积为.

【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案.

【详解】解：CG:GF=2:1,AFG的面积为2,

；.ACG的面积为4,.1△ACF的面积为2+4=6,

「点尸为A3的中点，AACF的面积=ABCF的面积，

ABC的面积为6+6=12,故答案为：12.

【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比

等于底之比是解题的关键.

例4.（浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，CQ是一ABC的一条中线,

E为BC边上一点且3E=2CE,AE、8相交于F四边形瓦加E的面积为6,则ASC的面积是.

【分析】连接BF,设SBDk=。，则SBEF=6-a,根据C。为边上中线，可得S.ADF=SBDF=。，

iii2

S.BDC=/SABC；根据BE=2CE,可得S1CEF=QSBEF=］（6-a）,,ABE=ABC-进而，SABC的面积可表

33

示为2sMe和/S4即由此建立方程18-。=耳。+9,解出a的值即可得到&ABC的面积.

【详解】解：连接5/，如图所示：设S血尸=4,则s5所=6-a,

团CZ）为边上中线,「•SADF=S即尸=。，SBDC=—SABC.

112

「尸尸=（Q），

0BE-2CEf/-SL.tLr=2—StitL,orpp2—、6—SAtBMFl=—3SABC'

SABC=2SBDC=2[a+（6—a）Q+g（6—〃）]=18一〃，

333

SABC=~SABE=-（2a+6-a）=-a+9,

3

即18—a=?+9.解得：〃=3.6.Me=18—a=18—3.6=14.4,故答案为：14.4.

【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面

积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.

例5.（2023春・江西萍乡•八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积.

如图LAO是边BC上的中线，则5m=5-=京小-

理由：因为AD是ASC边BC上的中线，所以BD=CD.

又因为SABDAH，SACD=^CDxAH,所以=（S△旗c•

所以三角形中线等分三角形的面积.

基本应用：

在如图2至图4中，ABC的面积为a.

（1）如图2,延长ABC的边3C到点D^CD=BC,连接ZM.若ACD的面积为贝9，=（用

含a的代数式表示）；

（2）如图3,延长，ABC的边BC到点。，延长边C4到点E,使CD=3C,AE=CA,连接DE.若DEC的

面积为邑，则邑=（用含。的代数式表示）；

⑶在图3的基础上延长到点凡使BF=AB,连接ED,FE,得到，。印（如图4）.若阴影部分的面

积为S3,则邑=（用含。的代数式表示）；

拓展应用：

⑷如图5,点。是ABC的边BC上任意一点，点E,尸分别是线段AD,CE的中点，且..ABC的面积为8a,

则的面积为一（用含。的代数式表示），并写出理由.

【答案】（1）。（2）20（3）6。（4）2°,见解析

【分析】（1）直接根据"等底同高的三角形面积相等"即可得出答案;

（2）连接AD,运用"等底同高的三角形面积相等"得出5,8=2%皿，即可得解；

（3）由（2）结论即可得出SSMSMCD+SAEKA+SA硒,，从而得解；

ACEDCE

（4）点E是线段AD的中点，可得sABE=SME，S&=S&.SBCE=ABC.点F是线段CE的中点,

可得加=%々四.从而可得答案.

【详解】（1）解：如图2,延长ASC的边BC到点。，使CD=BC,

AC为△ABZ）的中线，,sACD=s即S1=a；

（2）如图3,连接AD,

图3

延长JlfiC的边3C到点。，延长边C4到点E,使CD=3C,AE=CA,

^\ACD=S^ED=万^\ECD，=S^BC，•.S^ECD=2sABC=2af即S2-2a；

(3)由(2)得S.CD=2SMBC=2a,

同理：S^FA=2SMBC=2〃，SAECD==2a,S3=S臣CD+^^EFA+S邸FD=6〃；

（4）SABEF=2a,理由如下：理由：回点E是线段AD的中点,

团SABE=SBDE，S-CES/\DCE.回S=-s

BCE2A，BC-

团点尸是线段C£的中点，05=5=1s

B£FBCFBCE•团SBEF——5ABC—2a.

【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并

适当添加辅助线是解答此题的关键.

例6.（2023春・上海・九年级期中）解答下列各题

⑴如图1,已知直线机〃〃，点A、8在直线”上，点C、P在直线爪上，当点尸在直线机上移动时，总有

与ABC的面积相等.

图2

（2）解答下题.①如图2,在ABC中，已知3c=6,且BC边上的高为5,若过C作CE〃AB,连接AE、

BE,则BAE的面积为.

②如图3,MB、E三点在同一直线上，垂足为H.若AC=4,BH=5，ZABC=ZACB=60°,

NG=NGBF=60°,求△ACF的面积.

⑶如图4,在四边形中，AB与CD不平行，AB^CD,且，过点A画一条直线平分四

边形ABC。的面积（简单说明理由）.

【答案】（D-ABP2）①15；②201⑶图见解析，理由见解析

【分析】（1）根据租//〃，可得ABC和&45P同底等高，即可求解；

（2）①先求出$.比=15,再由CE〃AB,可得0ABC和SBAE是同底等高的两个三角形，即可求解；

②先求出S.BC=201,再由ZABC=ZACB=60°,ZG=ZGBF=60°,可得ACSBF,从而得到S^CF=SMBC,

即可求解；（3）过点8作BEHAC交DC延长线于点E,连接AE,取DE的中点R作直线AF则直线AF

+=+=

即为所求，可得SAABC=SAAEC,从而得到S四边形ABC。=^AACD^AABC^AACD^AAEC$—ED，即可求解.

【详解】（1）解：Sm//n,回,ABC和一同底等高，则ABC与工的面积相等；

（2）解：①回3C=6,且8c边上的高为5,135^^=3x6x5=15,

^CE//AB,回0ABe和BBAE是同底等高的两个三角形，回5c=15；

@^\BH±AC,AC=4,BH=后,^1x4x721=2721,

回ZABC=ZACB=60°,NG=NGKF=60°,

0ZABC=ZACB=Z.BAC=60°,NG=NGBF=ZBFG=60°,

00EBG=12O°,00£BF=6O°,00£BF=0BAC,0AO3BF,0S.ArF=S.ARr=2721；

(3)解：如图，过点8作B£I3AC交。C延长线于点E,连接AE,取。E的中点E作直线AF则直线

A尸即为所求，理由如下：

EIBESAC,EBABC和0AEC的公共边AC上的高也相等，

0^AABC=^AAEC，回6四边形ABC。=*^A4CO+\ABC=^A4CO+^\AEC=^\AED，

团S四边形.次=^MDF=3SAAED=5S四边形.c。，团'MCD>>^MBC>

团所以面积等分线必与8相交，取DE中点F,则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线.

【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题

的关键.

模型2.蝴蝶(风筝)模型

蝴蝶模型(定理)提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则

四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系

如图1,结论：①5］：邑=54：53或岳*53=邑><54；②AO:OC=(S1+82):(64+53)。

梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系

如图2,结论：①H：S3=a2：〃；②Si：S3：S2：S4=a2：b，ab:ab；③梯形S的对应份数为(a+。

例L在四边形A3。中，AC和2。互相垂直并相交于。点，四个小三角形的面积如图所示.则阴影部分

三角形BCO的面积为

【答案】45

【详解】设阴影部分面积为X。

根据蝴蝶（风筝）定理：SAOB:SBOC=SAOD:SCOD

即：20：x=16：36解得：x=45

估阴影部分的面积为45.

例2、如图，SAACB=24平方厘米，SAACD=16平方厘米，S&ABZ>=25平方厘米，则SACOB为平方厘米。

【答案】9平方厘米

【解析】在四边形A8CO中，根据蝴蝶（风筝）模型得：DO：BO=S“ACD：SAACB=16：24=2：3,

33

则SAAOB=5SAABO=5X25=15（平方厘米），贝USACOB=SAACLSAAOB=24—15=9（平方厘米）

例3、如下图，梯形ABCD的相平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知"（由与△30C的面积分别

为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米.

【答案】144平方厘米

2

【解析】根据梯形蝴蝶定理，SA0B:SBOC=atab=25:35,可得a:b=5:7,

2222

再根据梯形蝴蝶定理，SAOB:SDOC=o:Z?=5:7=25:49,所以S=49（平方厘米）.

那么梯形/1BCD的面积为25+35+35+49=144（平方厘米）.

例4、如图，梯形ABCD中，AAOB,ACOD的面积分别为1.2和2.7,则梯形A8CD的面积为

【答案】7.5

22

【解析】根据梯形蝴蝶定理，SAOB-.SACOD=a-.b=4:9,所以a:b=2:3,

3

SAODSAOB=ab'.a"=b:a=3:2,SAOD=SCOB=1.2x—=1.8»

S梯形ABCD=L2+1.8+1.8+2.7=7.5.

例5、梯形ABC。中，对角线AC,8。交于点O,AB垂直AC,并且已知AO=6厘米，8。=10厘米，则三

角形DOC的面积是平方厘米。

【答案】24平方厘米

【解析】在梯形ABCD中，根据蝴蝶定理得：SADOC=SAAOB

在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB2=OB2—OA2=102—62=64=82,所以AB=8

所以枭DOC=SAAOB=6x8+2=24（平方厘米）

例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积己经标出，则中间的四边形GQHS的面积为

【答案】17

【解析】如下图，连接EF、GH和IJ

在平行四边形ABEF中，根据蝴蝶模型得：SAABP=SAEPF=6,

在平行四边形EFGH中，SAEQF=SAGQH=13—6=7；

在平行四边形IDCJ中，SADCT=SAIJT=5,

在平行四边形GIJH中，SAGSH=SAISJ=15—5=10,

所以S四边彩GQHS=SAGQH+SAISJ=7+10=17

模型3.燕尾（定理）模型

条件：如图，在人"。中，E分别是3C上的点，G在AE■上一点，结论：SI：S2=S3：S4=SI+S3：S2+S4=5E

：ECo

例1、如图，△ABC中，M、N分别是BC、AC边上的三等分点，AM,8N相交于点O,已知△8。/的面

积为2,则四边形MCNO的面积为。

【答案】8

【解析】如图，连接OC

由“燕尾定理”可得：SAO8==_L,SAOB=3=!

SAOCCM2SBOCCN2

所以可得2sA08=sA"=SBOC=3sBOM=6

所以SNOC=115AOC=4,所以四边形MCN。的面积为8.

例2.（2023•山东•八年级专题练习）如图，在回ABC中，已知点P、Q分别在边AC、BC±,BP与AQ相交

于点O,若回BOQ、0ABO,I3AP。的面积分别为1、2、3,则EIPQC的面积为（）

A.22B.22.5C.23D.23.5

【答案】B

【分析】连接CO,根据回BOQ、0ABO,国AP。的面积分别为1、2、3,求出SAPOQ=1.5,设SAOPC=X,SACOQ=Y，

仍然利用回BOQ、回ABO、回APO的面积分别为1、2、3,列出关于x、y的方程组，解得x、y的值，然后利用

SAQPC=SAOPC+SACOQ-SAPOQ即可求出答案.

【详解】连接CO,

配1BOQ、0ABO＞团APO的面积分别为1、2、3,

^AAOC_2SAAPO_2

5金g一丁'

S'POQ1

3+x2

、yi

设S^OPC=x,SACOQ=Y，贝叫々

l+y~2

SAQPC=SAOPC+SACOQ-SAPOQ=15+9-1.5=22.5.故选B.

【点睛】本题考查三角形面积的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握三角形关于面积的相关知识与运算.

例3.如下图，三角形ABC中，AF:FB=a):QC=CE:AE=3:2,且三角形G印的面积是1,则三角形ABC

的面积为_________

【答案】19

【详解】连接BG,5曲=6份

BDC

根据燕尾定理，sAGC:SBGC=AF:FB=3:2=6:4fSABG:SAGC=BD.DC=3:2=9.6

S6

=19（份），因此AGC

得sBGC=4（份）,S.ABG=9（份）,则2ABeq

°ABC19,

SABH6SBIC6SGHI19-6-6-61

同理连接A/、CH得q=历，所以

°ABC19'SABCSABC1919

三角形G”/的面积是1,所以三角形ABC的面积是19

例4.（2023江苏淮安九年级月考）己知ABC的面积是60,请完成下列问题：

⑴如图1,若AD是ABC的BC边上的中线，则的面积ACD的面积.（填“

（2）如图2,若C。、3E分别是ABC的A3、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法，连

接A。，由AD=D5得：S20=5BDO,同理：SCEO=SAEO，设S△皿,=%，S4CEO=y,则SBL>O=X，SAEO=y

112x+y=30

由题意得：^.=-^c=30,5s—3。，可列方程组为：］x+2k3。,解得——,贝阿得

四边形ADOE的面积为.（3）如图3,AD-.DB=1:3,CE:AE=1:2,则四边形ADOE的面积为

.⑷如图4,D,歹是A3的三等分点，E,G是C4的三等分点，CD与BE交于O,且&.=6。,

则四边形ADOE的面积为

x=10120

【答案】⑴=2。⑶口⑷了

【分析】（］）过点A作A”,3c于点X,根据中线的定义得出3D=CD,再根据三角形的面积公式得出

S廿十办"ACD=^CDAH,即可得出结论；

（2）用加减消元法求解该二元一次方程组，根据S四边形包州=5的。+SAE。，即可求解；

（3）连接AO,根据题意得出SADC：S=S陋0：S5D0=1：3,S.CE5：SAEB=S,CE0：S.AEO=1：2,则

12

SS15SS4Q

.ADC=-ABC=^AEB=-ABC=设SA。。=m，S以。=〃，则S即。=3加，SAEQ=2n,列出方程

组求解，最后根据S四边形ADOE=SA0o+S隹。即可求解;

（4）连接A。，根据题意得出AT）:3D=1:2,CE:AE=1:2,用和（3）一样的方法即可求解.

【详解】（1）解：过点A作AH,3c于点H,

团AD是，ABC的3C边上的中线，SBD=CD,

^^BDAH^ACD=^CDAH,^\SABD=SACD,故答案为：一

(2)解：\'”6，①x2-②得：3%=30,解得：％=10,

[x+2y=30②

把x=10代入①得：2xl0+y=30,解得：y=10,

(x=10(x=10

团原方程组的解为1八，团S四边形WOE=SADO+SAEO=X+V=2。，故答案为：<20；

[y=10[y=10

(3)解：连接49,回AD:D5=1:3,CE:AE=1:2,

raQ•w—Q•V—-1A-3q•uw—Q-Q—i•7

由uADC,QBDC~uADO'°.BDO。.CEB'AEB-。、CEO,AAEO-4,

1i92

团ABC的面积是60,团SAo。=^SABC=^'6°=15,SAEB=-SABC=-x60=40,

设SADO=M，SCEO=几，贝!JSB°O=3冽，SAEO=2n,

[4m+2〃=40fm=9

)[<，解得：)，回S四边形儿心七=SADO+sAEO~机+2〃=9+2x2=11；故答案为：11；

m+3Qn=15\n=2

(4)解：连接AO,回。，尸是AB的三等分点，E,G是C4的三等分点，

AD:BD=1:2,CEAE=1:2,回S：S即。=SADO'即。=1：2，SCEB:SAEB=SCEO:S=1:2,

1122

回ABC的面积是60,0S=—S—x60=20,SAEB=—SABC=—x60=40,

=a

设SADO,ScEo=b,则SBDO=2a,SAEO=2b,

_80

a

3Q+2Z?=40~y8020120皿石4位120

on'斛佝：|onJ回S四边形也在=Smo+S5o=〃+2Z?=?+2xq~=j-；故答案为：—

a+5o=2x)7，U7777

b=——

17

【点睛】本题考查了三角形综合，解二元一次方程组，解题的关键是掌握同高三角形面积比等于底的比.

共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图，在△ABC中，分别是AB,AC上的点（如图1）或。在54的延长线上，E在AC上（如图2）,则

S&.C:SAADE=（ABXAC）:（ADxAE）

例1、如图，在三角形ABC中，D、E是A3,AC上得点，且4。：AB=2:5,AE：AC=4：7,三角形ADE的

面积是16平方厘米，则ABC的面积为=

【答案】70平方厘米

【解析】①观察：图中存在鸟头模型，假设：设三角形ABC的面积为。

转化：由鸟头模型比例关系有：16：a=（4x2）：（5x7）,得a=70。

即三角形ABC的面积是70平方厘米。

例2.（2023•山西晋中•九年级统考阶段练习）阅读理解

如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等

于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比，

例：在图1中，点。，E分别在A8和AC上，△AOE和是共角三角形，则不©型=_

dAD-AC

证明：分别过点区。作EG0A5于点G,CFM3于点尸，得到图2,

「EGAE

丽AGE二刻/。,又团团A=R1A,团国GA比BB1C,团——=

CFAC

AD，EG

vSAADEj.S^DEAD.EGADAES^DE_ADAE

SAABC~LAB.CF飞/AB.CFABAC5AABCABAC

2

SADE_AD-AE

任务：（1）如图3,已知团8AC+团D4氏180。，请你参照材料的证明方法，求证:

AB-AC

⑵在⑴的条件下，若U，笔=卜3则心一

【答案】（1）见解析；（2）6

【分析】（］）过点C作CG0A2于G,过点E作昉亚M交ZM延长线于E可得回£7^=EICG4=90。，再由

EFCG

0BAC+0r>A£=18O°,0DAE+0EAF=18OO,推出回CAG=®EAF,即可证明GICAGEBEA/，得至［］一=一，再由

AEAC

q-DAEF

S^=^AB-CG,得到学外二^-------DAEFDAAE

S^DAE=^DA-EF,

3△ABC-ABCGABCG~AB-AC

2

S/XDAE_DA•AE_1AD!，可得空=3,由此求解即可.

（2）根据

S/\ABCAB-AC6~AC

【详解】解：（1）如图所示，过点C作CG0AB于G,过点E作EfWM交D4延长线于产,

团团£刚二团CGA=90°,团国氏4C+回D4E=180°,^DAE+^EAF=180°,

EFCG

团团CAG二团E4/，^\CAG^\EAF,回一=——

AEAC

14D“S丛DAEaDAEFDAEFDA-AE

回5皿七二,——A5.CG团4DAH——----------------------=-----------------------=-----------------------.

2S△.LAB，CGABCGABAC'

2

C

B

图3

,、S_DA-AE_1AD1AE2

ADAE-

(2)0~^~rr;T,=一，0=一,

5AAscABAC6AC4AB3

2

团45=904£1=—48=6故答案为：6.

3

【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解题关键在于能够准确读懂题意作出辅助线构造相似三角形.

例3.(2023•重庆•九年级专题练习)问题提出：如图1,。、E分别在HABC的边46、AC上，连接。E,已

知线段AO=a,DB=b,AE=c,EC=d,则S/AOE,S/ABC和a,b,c,d之间会有怎样的数量关系呢？

B

图4

问题解决：探究一：(1)看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律.如图2,若。况BC,

则她£)£=而，且0A=0A,所以0AO£H3A2C,可得比例式：一^=—^而根据相似三角形面积之比等于相

a+bc+d

SQ2

似比的平方.可得1二7三”.根据上述这两个式子，可以推出：

JABC(。+力)

SADE_〃2_Qa_ac_ac

SABC(a+b)2a+ba+ba+bc+d(a+Z?)(c+d)，

(2)如图3,若她。£=团。，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由.

SQC

探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：/=5+4c+d）?方法回顾：

两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以

S-BDAHRD

解决.如图4,。在0ABe的边上，做AH0BC于H,可得：丁也=^-------=行.借用这个结论，请你

'ADC-DCAH°C

2

解决最初的问题.

延伸探究：（1）如图5,。、E分别在0ABe的边A8、AC反向延长线上，连接。E,已知线段AO=a,AB

s

=b,AE=c,AC=d,则三巫=____.（2）如图6,E在BABC的边AC上，D在AB反向延长线上，连

3ABe

s

接。E,已知线段AB=b,AE=c,AC=d,=.

3ABC

结论应用：如图7,在平行四边形ABC。中，G是BC边上的中点，延长GA到E,连接DE交A4的延长线

于尸，若AB=5,AG=4,AE=2,EL48CZ）的面积为30,则0AEF的面积是.

nrnr3

【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）黑；（2）结论应用：:

babd2

【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；

探究二，过。、2点分别作。“，4（7,凯，4。垂足分别为〃、N,然后按照探究一中方法证明即可；

延伸探究：（1）过。、3点分别作。0，4。,师，4（7,垂足分别为加、N,然后按照探究一中方法证明即可；

（2）过。、2点分别作。河，4。,肌，4。垂足分别为河、N,然后按照探究一中方法证明即可；

结论应用：取AO的中点连接GM并延长交。E于点M连接。G,可得5人於=15,根据题意，进而得

出SADE=£，根据人知田根闻^“诙河得口匕^,根据AE=2,AG=4,GN//AF,可得FN=2EF,进而可

13

得ED=5EF,即可得出S.mS.=].

【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：00AD£=0C,朋=她，

acS4nraaCCIO

团ADEsACB，回—-=,回二一（~c2=i9~~7=7~7xz;

c+da+bSABC（c+d）c+da+b\Ci+b）\C+d）

探究二：过。、3点分别作DMLACBNLAC,垂足分别为M、N,

N

BC

a

^DM±AC,BN.LAC⑦DM//BNm噜=嗤

fa+b'

一A.ExDM47p八八/

7AEDMca

uADE—-------------=-----x------=-------x-----

SABC—ACXBNACBNc+da+b(Q+b)(c+d)

2

延伸探究：(1)过。、8点分别作D暇，AC,BN，4C,垂足分别为M、N,

=DMa

SDM±AC,BN±AC,

-AExDM

uADE2A—E___DxM____c—_a_x_a=c___

q1-ACBN~db~bd

、谢-ACxBN

2

(2)过。、8点分别作。河，4。,砒，47,垂足分别为加、N,

SDMrAC,BN1AC,0DM//BN,0唱=嗤=*,

-AExDM

qAEDMcaac

uADE2——___x____—__x_—___■

q1ACBNdbbd'

-ACXBN

2

结论应用：取AD的中点M,连接GM并延长交£>£于点N,连接。G,

15

=

^\AM=DM,S,ADG=/S平行四边形MCD=15，^\AE=2,AG=4,0S2

2

EFAE1

^AM=DM,MNAF0FN=DN,[?L4E=2,AG=4,GN//AF=-=FN=2EF,

3

^ED=5EF,团S钻尸=(S

ADE-2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性

质是解题的关键.

模型5.金字塔与沙漏模型

金字塔模型沙漏模型

条件：①丝=些=匹22

—;②弘巫=AF:AGo

ABACBCAG

例1.（2023秋•辽宁沈阳•九年级校考阶段练习）如图，已知点。、E分别是AB、AC边上的点，且

AADEs^ABC,面积比为1:9,AG_L3C交DE于点F.则AGAG=（）

A.1:3B.3:1C.1：9D.9:1

【答案】A

【分析】根据相似三角形的性质可得DE〃BC,AF1DE，再根据相似三角形的对应边上高的比等于相似

比即可求解.

【详解】解：回.ADEsABC,/B4C是公共角，回/4DE=4,SDE//BC,

0AG±BC,SAF1DE,0ADE^.ADC,面积比为1:90相似比为1:3,ElAF:AG=l:3,故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，明确"相似三角形的对应边上高的比等于相似比"，灵活运用是关键.

例2.（2023,福建龙岩•九年级校考阶段练习）如图，ABC中，DE//BC,防与C。相交于点尸.如果

DF：FC=1：3,那么SADE：SABC等于（）

A

DL-

T

B'C

A.1:9B.1:3C.2:3D.1:8

【答案】A

【分析】根据DE〃台C,小：FT=1:3得到DF空DF=笄1=AADE^AABC,结合面积比等于相似比平

BCCF3

方即可得到答案；

npnp1

【详解】解：^\DE//BC,DF:FC=1:3,0——=——=-,AADE^AABC,

BCCF3

回S3：sABC=（1:3）2=1:9,故选：A.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形面积比等

于相似比的平方.

例3.（2023•江苏•模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,。是网格线交点，AC与相交

于点。，则ABO的面积与,CDO的面积的比为（）

A.1：2B.&2C.1：4D.0：4

【答案】C

【分析】设小方格的边长为1，根据等腰直角三角形和勾股定理求出AB和C。的长，再根据陋〃。尸

得到AOBsCOD,然后利用相似三角形的性质来求解.

【详解】解：如下图，

设小方格的边长为1,回..ABE、0b分别是边长为1和2的等腰直角三角形,

0ZABE=ZCDF=45°,AB=6，CD=2-42.

®BE〃DF,B1NEBO=NFDO,SZABO=ZCDO.

5LSZAOB=ZCOD,即ABOsCD。，回£^1=（四］,回=-.故选：C.

sCDOVCD）SCD0^2A/2；4

【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比.

例4.（2023春•北京海淀•九年级校考开学考试）如图，ABC是等边三角形，被一矩形所截，A3被截成

三等分，EH//BC,若图中阴影部分的面积是6,则四边形3CGF的面积为（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】由题意易得由〃尸G〃BC,则有△A£HS&IFGSA4BC,然后根据相似三角形的性质可进行求解.

【详解】解：由题意可知：EH//FG//BC,0AAEH^AAFG^AABC,

回变=1_4£=2,sAEH

SAE=EF=BF,12

AF2"AB3S\AB)9

UFJ4'5ABe

4

回阴影部分的面积是6,团S,"G=§S四边形EFGH=8.

9

回S,神=WS-AFG=18,fflS四边形BCGF=SABC-S"G=1°;故选C.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

例5.（2023,辽宁•九年级校考期中）如图，£B为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点尸处与地面的的距离为1.6

米,车头E4c。可近似看成一个矩形,且满3FD=2E4,盲区EB的长度是6米，车宽E4的长度为米.

7

【分析】过点P作尸般，BE,垂足为交AF于点N,根据题意，设以