2024年中考数学二轮题型突破专练：函数的实际应用（复习讲义）（学生版）

题型八函数的实际应用（复习讲义）

【考点总结I典例分析】

矍点J0第

考点01一次函数

一、一次函数图象与图形面积

解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两

条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高.如果围成的三

角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法.

二、一次函数的实际应用

1.主要题型：（1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际

问题的最值等.

2.用一次函数解决实际问题的一般步骤为：

（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程（组）与待定系数法求一次函数关

系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否

符合实际意义；（6）答.

3.方案最值问题：

对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不

等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多

少种方案.

4.方法技巧

求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进

行比较；

（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直

接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再

进行比较.

显然，第（2）种方法更简单快捷.

典例解析

1.（2023・吉林长春•统考中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行

登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度

》（米）与甲登山的时间无（分钟）之间的函数图象如图所示.

八米》

JOO

甲

乙

o\—，:由立飞分忡）

（1）当15WXW40时，求乙距山脚的垂直高度y与尤之间的函数关系式；

（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.

2.（2023•全国•统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖

掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，

甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示.

(1)甲组比乙组多挖掘了天.

(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数.

3.(2023・浙江•统考中考真题)我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升.为

促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公

司签订合同.看图解答下列问题：

(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；

(2)求方案二y关于x的函数表达式；

(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案.

4.如图1,平面直角坐标系中，等腰AABC的底边在x轴上，3C=8,顶点A在》

的正半轴上，OA=2,一动点E从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动,

到达08的中点停止.另一动点/从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点。停

止.已知点E、b同时出发，以EF为边作正方形EFGH,使正方形EEG"和AA5C在

的同侧.设运动的时间为/秒C20）.

图1图2

（1）当点H落在AC边上时，求才的值；（2）设正方形EFGH与AABC重叠面积为S,

91

请问是存在"直，使得5=；^?若存在，求出/值；若不存在，请说明理由；（3）如图2,

取AC的中点。，连结8,当点E、斤开始运动时，点M从点。出发，以每秒2石个

单位的速度沿OD-OC-CD-运动，到达点。停止运动.请问在点E的整个运动过

程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点般在正方形EFGH

内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由.

5.为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快

递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时

间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸

货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时.

（1）求ME的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间.（3）求

两车最后一次相遇时离武汉的距离.（直接写出答案）

⑤要点JI纳

考点02反比例函数

一、反比例函数中&/的几何意义

1.反比例函数图象中有关图形的面积

当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解.

(1)正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，5kM2治“尸|加；

(2)如图②，已知一次函数与反比例函数y=受交于46两点，且一次函数与X轴交于

X

=

点C,则SAAOFSAAOC+SABO所3OC1yA"万。。及台\~OC-(\%I+I%I)；

(3)如图③，已知反比例函数y=勺的图象上的两点，其坐标分别为(5，%)，(/，力)，

X

。为Z8延长线与X轴的交点，则--0C-|^|=

-OC-(\yA\-\yB\).

二、反比例函数与一次函数的综合

1.涉及自变量取值范围型

当一次函数%=左述+人与反比例函数为=4相交时，联立两个解析式，构造方程组，然

后求出交点坐标.针对%>%时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比

例函数图象的部分所对应的X的范围.例如，如下图，当为〉%时，X的取值范围为X>4

或XB<X<0；同理，当必<>2时，X的取值范围为0<x<5或x<x”

2.求一次函数与反比例函数的交点坐标

(1)从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.

①左值同号，两个函数必有两个交点；②“值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可

有两个交点；

(2)从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的

情况.

三、反比例函数的实际应用

解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别

注意自变量的取值范围.

6)典例解析

1”

6.(2023•山东・统考中考真题)如图，正比例函数必==兀和反比例函数%=—(%＞。)的图像

2x

交于点4(加，2).

(1)求反比例函数的解析式；

k

(2)将直线向上平移3个单位后，与y轴交于点3,与%=慢。＞0)的图像交于点C,连

接AB,AC,求，ABC的面积.

7.(2023•山东・统考中考真题)如图，已知坐标轴上两点4(0,4),8(2,0),连接A3,过点B

k

作3C，AB,交反比例函数y=—在第一象限的图象于点C(a,l).

x

3

(2)将直线0c向上平移:个单位，得到直线/,求直线/与反比例函数图象的交点坐标.

8.南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土

石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天.设每天

打通土石方x千立方米.(1)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)由于

工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了

100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？

9.(2023・四川成都・统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线>=-尤+5与>轴

交于点A,与反比例函数>=与的图象的一个交点为B(a,4),过点8作A8的垂线/.

X

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；

(2)若点C在直线/上，且ABC的面积为5,求点C的坐标；

(3)尸是直线I上一点，连接出，以尸为位似中心画,使它与位似，相似比为m.若

点、D,E恰好都落在反比例函数图象上，求点尸的坐标及力的值.

连要点收纳

考点03二次函数

1、函数存在性问题:解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线

或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他

点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否

符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在.

2、函数动点问题

(1)函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等

有关的二次函数综合题.

(2)解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动

时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题

小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案.

(3)解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多

少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合

题干中与动点有关的条件进行计算.

6)典例解析

10.(2023•浙江温州・统考中考真题)一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门,

球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面

3m.已知球门高为2.44m,现以O为原点建立如图所示直角坐标系.

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).

(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向

正后方移动多少米射门，才能让足球经过点。正上方2.25m处？

11.2022年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了解学生错

峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）

与时间X（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9-15表示9<x<15）

时间X（分钟）01234567899~15

人数y（人）0170320450560650720770800810810

（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识

求出y与x之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2

个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部

考生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考

生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

12.（2023・湖北武汉•统考中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机.通过实验,

收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）以、飞行高度y（单位：m）随飞

行时间f（单位：S）变化的数据如下表.

飞行时间〃s02468

飞行水平距离x/m010203040

飞行高度y/m022405464

探究发现：X与y与r之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.直接写出X关于

t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）.

问题