高考数学（人教A版）一轮复习综合测试卷

综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若集合A={x|log2(2x+1)<1},集合B={x|1<2x<4},则A∩B=()A. B. C.(0,2) D.2.(2017安徽安庆二模)设i为虚数单位,复数z满足=1i,则复数z=()A.2i B.2i C.i D.i3.若椭圆=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线=1的离心率是()A.2 B. C. D.34.设直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线,则b的值为()A.ln21 B.ln22 C.2ln21 D.2ln225.设a∈R,则“a=1”是“f(x)=ln为奇函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.(2017湖南岳阳一模)一程序框图如图所示,如果输出的函数值在区间[1,2]上,那么输入实数x的取值范围是()A.(∞,0) B.[1,0] C.[1,+∞) D.[0,1]7.已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5 B.7 C.6 D.48.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于()A.10cm3 B.20cm3 C.30cm3 D.40cm39.已知等差数列的前n项和为Sn,且S1006>S1008>S1007,则满足SnSn1<0的正整数n为()A.2015 B.2013 C.2014 D.201610.已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上,且cosA=,BC=1,AC=3,三棱锥OABC的体积为,则球O的表面积为()A.36π B.16π C.12π D.11.在△ABC中,AB=3,AC=4,∠BAC=60°,若P是△ABC所在平面内一点,且AP=2,则的最大值为()A.10 B.12 C.10+2 D.812.已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R都有f'(x)>f(x)成立,则()A.3f(ln2)>2f(ln3) B.3f(ln2)=2f(ln3)C.3f(ln2)<2f(ln3) D.3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本,将300名学生从1~300编号,按编号顺序平均分成20组,若第16组抽出的号码为231,则第1组中用抽签法确定的号码是.

14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有种;

(2)这三天售出的商品最少有种.

15.若实数x,y满足条件则2x+y的最大值为.

16.已知点A(0,3),若圆C:(xa)2+(x2a+4)2=1上存在点M,使|MA|=2|MO|,则圆心C的横坐标a的取值范围为.

三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)已知a=(sin2x,2cos2x1),b=(sinθ,cosθ)(0<θ<π),函数f(x)=a·b的图象经过点.(1)求θ及f(x)的最小正周期;(2)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值.18.(12分)某班同学利用国庆节进行社会实践,对年龄在区间[25,55]上的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55]150.3(1)补全频率分布直方图并求n,a,p的值;(2)从年龄段[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取2人作为领队,求选取的2名领队中恰有1人年龄在年龄段[40,45)的概率.19.(12分)如图,四边形BCDE为矩形,平面ABC⊥平面BCDE,AC⊥BC,AC=CD=BC=2,F是AD的中点.(1)求证:AB∥平面CEF;(2)求点A到平面CEF的距离.20.(12分)设椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点到直线=1的距离d=,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明:点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.21.(12分)设函数f(x)=2x2+axlnx(a∈R),g(x)=+3.(1)若函数f(x)在定义域内单调递减,求实数a的取值范围;(2)若对任意x∈(0,e),都有唯一的x0∈[e4,e],使得g(x)=f(x0)+2成立,求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4—4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:(x1)2+(y2)2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程;(2)求的取值范围.[选修4—5:不等式选讲]23.(10分)已知函数f(x)=|x2|+2|x+a|(a>0).(1)当a=1时,求不等式f(x)>8的解集;(2)若不等式f(x)≥3在区间(∞,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围.答案：1.A解析:∵A={x|log2(2x+1)<1}=,B={x|1<2x<4}={x|0<x<2},∴A∩B=,故选A.2.C解析:∵=1i,∴z==i.故选C.3.C解析:∵,a2=b2+c2,∴,即.在双曲线=1中,由,即,可得,故所求的离心率e=.故选C.4.A解析:设切点为(m,n),则n=lnm.函数y=lnx的导数为y'=,可得切线的斜率为,则,解得m=2,则n=ln2,故b=nm=ln21.故选A.5.C解析:若a=1,则f(x)=ln=ln.故函数f(x)的定义域为(∞,1)∪(1,+∞),关于原点对称.又f(x)+f(x)=ln+ln=ln=ln1=0,∴函数f(x)是奇函数,即充分性成立.若f(x)=ln为奇函数,则f(x)+f(x)=ln+ln=0,化为(a1)[(a+1)(x21)+4]=0,此式对于定义域内的任意x都成立,故a=1,即必要性成立.故“a=1”是“f(x)=ln为奇函数”的充要条件.故选C.6.D解析:根据题意,得当x∈[2,2]时,f(x)=2x,∴1≤2x≤2,∴0≤x≤1;当x∉[2,2]时,f(x)=3,不符合题意,∴x的取值范围是[0,1].7.A解析:∵a1a2a3=5,∴=5.∵a7a8a9=10,∴=10.又=a2a8,∴=50.∴a4a5a6==5,故选A.8.B解析:由三视图可知该几何体为三棱柱ABCDEF削去一个三棱锥ABCD,如图.因为棱柱的高为5,底面为直角三角形,且直角三角形的两直角边长分别为3,4,所以几何体的体积V=×3×4×5×3×4×5=20(cm3).故选B.9.A解析:由题意可得S1008S1007>0,即a1008>0.由S1006>S1008,得S1008S1006<0,即a1007+a1008<0.故S2015===2015a1008>0,S2014==<0,因此满足Sn<0的正整数n=2015,故选A.10.B解析:由余弦定理得cosA=,解得AB=2.故AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC.因此AC是平面ABC与球的截面圆的直径.作OD⊥平面ABC,则D为AC的中点.所以VOABC=S△ABC·OD=×2×1×OD=,所以OD=.所以OA==2.所以S球O=4π·OA2=16π.故选B.11.C解析:以点A为原点,边AC所在直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系,则A(0,0),B,C(4,0).设P(2cosθ,2sinθ),θ∈R,可得,=(42cosθ,2sinθ),故(42cosθ)2sinθ=11cosθ3sinθ+10=2sin(θ+α)+10.其中α为锐角,且tanα=,θ∈R.故当sin(θ+α)=1时,取最大值10+2.故选C.12.C解析:令g(x)=,则g'(x)=.因为对任意x∈R都有f'(x)>f(x),所以g'(x)>0,即g(x)在R上单调递增.又ln2<ln3,所以g(ln2)<g(ln3),即.所以,即3f(ln2)<2f(ln3),故选C.13.6解析:不妨设第1组抽到的号码为x.由于300名学生平均分成20组,故每组15人,则在第16组中应抽出的号码为15×15+x.即225+x=231,故x=6.14.(1)16(2)29解析:(1)由于前两天都售出的商品有3种,因此第一天售出但第二天未售出的商品有193=16种.(2)同理可知第三天售出但第二天未售出的商品有184=14种.当前两天都售出的3种商品与后两天都售出的4种商品有3种是一样的,剩下的1种商品在第一天未售出;且第三天售出但第二天未售出的14种商品都在第一天售出的商品中,此时商品总数最少,为29种.如图,分别用A,B,C表示第一、二、三天售出的商品种数.15.4解析:满足约束条件的平面区域如图阴影部分.由图可知,当x=1,y=2时,2x+y取到最大值4.16.解析:由圆C:(xa)2+(x2a+4)2=1,可知圆心C(a,2a4).设M(x,y),∵|MA|=2|MO|,∴=2,得x2+y2+2y3=0,即x2+(y+1)2=4.∴点M在以D(0,1)为圆心,以2为半径的圆D上.∵圆C与圆D有公共点,∴21≤CD≤2+1,即1≤≤3,即解得0≤a≤.17.解:(1)∵f(x)=a·b=sin2xsinθ+cos2xcosθ=cos(2xθ),∴f(x)的最小正周期为T=π.∵y=f(x)的图象经过点,∴cos=1.又0<θ<π,∴θ=.(2)由(1)得f(x)=cos.∵≤x≤,∴≤2x.当2x=0,即x=时,f(x)取得最大值1.当2x=,即x=时,f(x)取得最小值.18.解:(1)因为第二组的频率为1(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以第二组的=0.06.补全频率分布直方图如下.因为第一组的人数为=200,频率为0.04×5=0.2,所以n==1000.又因为第二组的频率为0.3,所以第二组的人数为1000×0.3=300,所以p==0.65.又第四组的频率为0.03×5=0.15,所以第四组的人数为1000×0.15=150,所以a=150×0.4=60.(2)因为年龄段[40,45)的“低碳族”与年龄段[45,50)的“低碳族”的比值为60∶30=2∶1,所以采用分层抽样的方法抽取6人,年龄段[40,45)中有4人,年龄段[45,50)中有2人.设年龄段[40,45)中的4人为a,b,c,d,年龄段[45,50)中的2人为m,n,则选取2人作为领队的有(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n),共15种;其中恰有1人年龄在年龄段[40,45)的有(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),共8种.故选取的2名领队中恰有1人年龄在年龄段[40,45)的概率为.19.(1)证明:如图,连接BD,交CE于点H,连接FH.∵四边形BCDE为矩形,∴H是线段BD的中点.又点F是线段AD的中点,∴FH是△ABD的中位线.∴FH∥AB.又FH⊂平面CEF,AB⊄平面CEF,∴AB∥平面CEF.(2)解:设A到平面CEF的距离为d,则VACEF=dS△CEF=|DE|·S△ACF.由题意可知CF=,CE=2,EF=3,则CF⊥EF,故S△CEF=×3=3,则d=,即点A到平面CEF的距离是.20.解:(1)由e=,即a=2c,故b=c.由右焦点到直线=1的距离为d=,得,解得a=2,b=.所以椭圆C的方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,联立直线AB:y=kx+m与椭圆=1,消去y得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)12=0,化简得(3+4k2)x2+8kmx+4m212=0.则x1+x2=,x1x2=.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0.∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,∴(k2+1)+m2=0,整理得7m2=12(k2+1).∴点O到直线AB的距离d=为定值.∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2≥2OA·OB.当且仅当OA=OB时取“=”号.由d·AB=OA·OB得d·AB=OA·OB≤,∴AB≥2d=,即弦AB的长度的最小值是.21.解:(1)∵f'(x)=,且f(x)在定义域内单调递减,∴f'(x)≤0在(0,+∞)内恒成立,即4x2ax+1≥0在(0,+∞)内恒成立.∴Δ=a24×4×1≤0,即4≤a≤4;或即a<4.综上可知,a≤4.(2)∵g'(x)=e1x(1x),∴g(x)在(0,1)内单调递增,在[1,e)内单调递减.又g(0)=3,g(1)=4,g(e)=e2e+3>3,∴g(x)的值域为(3,4].记h(x)=f(x)+2x2=axlnx,m=g(x),原问题等价于∀m∈(3,4],存在唯一的x0∈[e4,e],使得h(x0)=m成立.∵h'(x)=a,x∈[e4,e].①当a≤时,h'(x)≤0恒成立,h(x)单调递减,由h(x)max=h(e4