2024-2025学年陕西省西安市九年级上期末数学试卷（附答案解析）

2024-2025学年陕西省西安市九年级上期末数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的。）

1.（3分）下列是一元二次方程的是（）

9912

A.2x+l=0B.jr+x=lC.x2+2x+3=0D.—+%=1

x

2.（3分）如图所示的几何体的左视图是（）

主视方向

3.（3分）下列说法正确的是（）

A.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C.两条对角线相等的四边形是矩形

D.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形

4.（3分）在中，ZC=90°,BC=3,AC=4,那么cosB的值等于（）

3443

A.-B."C.一D.T

4355

5.（3分）已知点（2,-6）在反比例函数y=5的图象上，则下列各点一定在该函数图象上的是（）

A.（2,6）B.（-6,-2）C.（3,4）D.（3,-4）

6.（3分）如图，在矩形/BCD中，AB=4,8c=6,点E为8c的中点，将沿/£折叠，使点8落

7.（3分）如图，OA,是。。的半径，点C在劣弧而上，连接/瓦AC,BC.若//。8=120°,Z

第1页（共21页）

BAC=21°,则//8C的度数是()

C.37°D.35°

8.（3分）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表,

X-4-2035

y-24-80-3-15

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）

A.图象的开口向上

B.当x>0时，>的值随x的值增大而增大

C.方程一+63+。=0的一个解x的取值范围是-1<x<1

D.图象的对称轴是直线x=0

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.（3分）已知一元二次方程x2-3x+%=0的一个根为1,则另一个根为.

10.（3分）若二次函数y=（左-2），+2x+l的图象与x轴有交点，则左的取值范围是.

11.（3分）已知两个相似三角形的周长之比是2：3,面积之差是50,那么这两个三角形中较小三角形的

面积是.

12.（3分）已知反比例函数的图象在第二象限的一支上有一点/G,»）,过/分别向x轴，y轴作垂线段,

与x轴，y轴围成的矩形面积为12,则当-6Vx<-3时，y的取值范围是.

13.（3分）如图，在△NBC中，48=/C=10,BC=12,若点。、£分别是AB、3c边上的两个动点，连

接/£、DE,S.cos^AED=j,则/D的最小值为.

三、解答题（共11小题，计81分.解答题应写出过程）

14.（5分）计算：3tan30°+tan45°+2sin30°.

第2页（共21页）

15.(10分)解方程:

(1)2G-3)=3x(x-3).

(2)2/+3x-5=0.

16.(5分)小明同学在做一道题时需要找出已知弧线所在圆的圆心，他在弧上描出了三个点N,B,C,并

连接了48和8C,请你用尺规作图法，帮小明继续完成，找出弧所在圆的圆心。.(保留作图痕迹，不

写作法)

17.(5分)如图，在四边形/BCD中，AB//DC,AB=AD,对角线/C,8。交于点。，/C平分

过点C作交43的延长线于点E,连接OE.

(1)求证：四边形/8CO是菱形.

(2)若N2=5,BD=6,求OE的长.

18.(5分)作图题：如图，已知。是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3,-1)、(2,1).

(1)以。点为位似中心在y轴的左侧将△03C放大到两倍(即新图与原图的相似比为2,画出图形;

(2)分别写出8、C两点的对应点夕、C'的坐标.

19.(7分)如图，在坡顶工处的同一水平面上有一座古塔3C,数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该

塔的塔顶3的仰角为45。，然后他们沿着坡度为i=l：2.4的斜坡/尸攀行了26米到达点/,在坡顶N

处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.

(1)求坡顶A到地面PQ的距离；

(2)计算古塔的高度(结果精确到1米).(参考数据：sin76°仁0.97,cos76°«0.24,tan76°弋4)

第3页(共21页)

20.（7分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱.一商场以20元每个的进

价购进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出200个.经过市场调查发现，

价格每涨1元，每周就少卖5个.

（1）若商场计划一周的利润达到3000元，且要以更优惠的价格让利给消费者，销售价应定为多少元？

（2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格的基础上，销售量稳步上涨，两周后销售量达到了

每周216个，求这两周的平均增长率.

21.（7分）在诺贝尔奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别

是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高馄.小轩家刚好有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》

《高锅传》四本传记书，小轩阅读完后任选一本写读后感.

（1）小轩选到《朱棣文传》是事件.（填“随机”“必然”或“不可能”）

（2）小轩的妹妹也从这四本传记书中任选一本写读后感，请用列表或画树状图的方法，求他们恰好选

到同一本书写读后感的概率.

22.（8分）已知：如图，N3是。。的直径，CD是的弦，且垂足为£.

（1）求证：NCDB=NA；

（2）若4D8C=120°，。。的直径/8=8,求3C、C£>的长.

23.（10分）掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目.实心球行进路线是一条抛物线，如图是

一名男生投实心球时，实心球行进高度»（加）与水平距离x（%）之间的函数关系图象，掷出时起点处

高度为六根，当水平距离为4加时，实心球行进至最高点3加处.

（1）求y关于x的函数表达式；

第4页（共21页）

（2）根据高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离

大于等于9.60加时，得分为满分.请计算说明该男生在此项考试中是否得满分.

24.（12分）（1）如图1,在扇形N08中，点。为扇形所在圆的圆心，AO=273,/4。8=120°,点C

是砂上一点，则AABC面积的最大值为；

（2）如图2,在四边形N3C〃中，AB=AD,/BAD=/BCD=90°,连接NC.若/C=6,求四边形

ABCD的面积；

（3）如图3,菱形/BCD是一个广场示意图，其中菱形边长48为120米，ZA=60°,市政部门准备

在这块菱形广场中修建一个四边形景观区。班H这块四边形区域需要满足凡NEBF=6Q。，

ZEDF=15a,则这块四边形区域尸的面积是否存在最小值？若存在，请计算出面积的最小值及此

时线段3尸的长，若不存在，请说明理由.（结果保留根号）

图1

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2024-2025学年陕西省西安市九年级上期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的。）

1.（3分）下列是一元二次方程的是（）

9o12

A.2x+l=0B.）r+x=lC.x2+2x+3=0D.—+%=1

x

【解答】解：/、2x+l=0是一元一次方程，不符合题意；

3、f+x=i含有2个未知数，不符合题意；

C、x2+2x+3=l是一元二次方程，符合题意；

1

D、-+，=1不是整式方程，不符合题意，

x

故选：C.

【解答】解：根据简单组合体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形,

因此选项D的图形比较符合题意，

故选：D.

3.（3分）下列说法正确的是（）

A.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C.两条对角线相等的四边形是矩形

D.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形

【解答】解：/、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故选项N符合题意;

B,两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项8不符合题意；

C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；

D,两条对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项。不符合题意；

第6页（共21页）

故选：A.

4.（3分）在中，ZC=90°,BC=3,4C=4,那么cos5的值等于（）

3443

A.-B.-C.~D.~

4355

【解答】解：如图所示：・.,在RtZ\48C中，ZC=90°,BC=3,AC=4,

：.AB=5,

.RBC3

.,COSB=-=-

故选：D.

5.(3分)已知点(2,-6)在反比例函数y=9的图象上，则下列各点一定在该函数图象上的是()

A.(2,6)B.(-6,-2)C.(3,4)D.(3,-4)

【解答】解：:•点(2,-6)在反比例函数y=《的图象上，

：.k=2X(-6)=-12,

/、•；2><6=12W-12,.•.此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

,：-6X(-2)=12W-12,...此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

C、3X4=12r-12,此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

D、3X(-4)=-12,...此点在反比例函数的图象上，故本选项正确.

故选：D.

6.(3分)如图，在矩形/BCD中，AB=A,8c=6,点E为8C的中点，将沿/£折叠，使点8落

9

D'?

【解答】解：连接3月,

第7页(共21页)

•.•BC=6,点£为3C的中点，

:.BE=3,

又：AB=4,

7AB2+BE?=5,

由折叠知，BFLAE（对应点的连线必垂直于对称轴），

：.BFXAE=2ABXBE,

,94

贝UBF=卓，

•；FE=BE=EC,

：.ZBFC=90°,

••。=心一（9）2=学.

故选：A.

7.（3分）如图，0A,02是OO的半径，点C在劣弧而上，连接ZB,AC,BC.若N/O2=120°,Z

BAC=2V,则//8C的度数是（）

【解答】解：在优弧上取一点。，连接ND,DB.

第8页（共21页）

VZADB+ZACB=180°,

ZACB=120°,

AZ^5C=180°-ZACB-ZCAB=\S0°-120°-21°=39

故选：B.

8.（3分）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量％与函数》的几组对应值如表,

X-4-2035

y-24-80-3-15

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）

A.图象的开口向上

B.当%>0时，歹的值随工的值增大而增大

C.方程ax2+bx+c=0的一个解工的取值范围是-1<%<1

D.图象的对称轴是直线x=0

'4a—2b+c=—8

【解答】解：由题知，jc=0，

、9。+3b+c=-3

（a=—1

解得卜=2,

L=o

所以二次函数的解析式为了=-/+2x.

因为a=-1<0,

所以抛物线的开口向下.

故/选项不符合题意.

因为>=-/+2]=-（X-1）2+1,

所以当X>1时，>随工的增大而减小.

故B选项不符合题意.

令y=0得，

-X2+2X=0,

解得xi=0,12=2,

所以抛物线与工轴的交点坐标为（0,0）和（2,0）.

所以方程Q/+6X+C=O的一个解工的取值范围是-IVxVl.

故。选项符合题意.

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因为二次函数解析式为>=-（X-1）2+1,

所以抛物线的对称轴为直线X=1.

故D选项不符合题意.

故选：C.

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.（3分）已知一元二次方程x2-3x+%=0的一个根为1,则另一个根为2.

【解答】解：已知一元二次方程--3x+m=0,

，a=l,b=-3,

.,b_-3_

・・%]+%2——~==Q3，

Vxi=l,

・'・X2=3-xi=3-1=2,

即方程的另一个根为2.

故答案为：2.

10.（3分）若二次函数y=（八2）f+2x+l的图象与x轴有交点，则一的取值范围是左W3且左W2.

【解答】解：：二次函数夕=（左-2）x?+2x+l的图象与x轴有交点，

一元二次方程（八2）f+2x+l=0有解，

.户一2力0

••（△=22-4（fc-2）=12-4fc>0'

解得：收3且片2.

故答案为：左W3且后W2.

11.（3分）已知两个相似三角形的周长之比是2：3,面积之差是50,那么这两个三角形中较小三角形的

面积是40

【解答】解：•两个相似三角形的周长之比是2：3,

...两个相似三角形的面积之比是4：9,

设较小三角形的面积是4x,则较大三角形的面积是9x,

根据题意得：9x-4x=50,

解得：x=10,

：.4x=40,

即较小三角形的面积是40.

故答案为：40.

第10页（共21页）

12.（3分）已知反比例函数的图象在第二象限的一支上有一点/（x,了），过N分别向x轴，y轴作垂线段,

与x轴，y轴围成的矩形面积为12,贝1|当-64V-3时，”的取值范围是2<v<4.

【解答】解：•••反比例函数的图象在第二象限的一支上有一点N（x,>）,过/分别向x轴，了轴作垂线

段，与x轴，y轴围成的矩形面积为12,

...因=12,又因为左<0,

；.k=-12,

则该函数解析式为：>=-竽，且在第二象限，y随x的增大而增大，

当x=-6时，y=2；当x=-3时，y=4,

・,・当-6<x<-3时，y的取值范围是2<y<4.

故答案为：2<y<4.

13.（3分）如图，在△NBC中，4B=ZC=10,BC=12,若点。、E分别是43、3C边上的两个动点，连

Q32

接4E、DE,且则/。的最小值为.

【解答】解：作4交于R

•Z5=4C=10,BC=n,

1

:.BF=CF=5BC=6,/B=/C,

,RF2

则cosNB=cosNC=彳^=引

3

VcosZ^£D=1,

JZB=ZAED=ZCf

由三角形外角可知，

ZDEC=/B+/BDE=NAED+NAEC,

：.NBDE=/CEA,

：.△BDEs^CEA,

.BDBE

••—,

CEAC

设CE=x,0<x<12,贝I),

第11页（共21页）

BD=AB-AD=lO-y,BE=BC-CE=\2-x,

.10—y12—%

••—，

x10

整理得：尸（%一然+64

:（x-6）22o,

.、32

,必手

32

即：4D的最小值为

32

故答案为：y.

三、解答题（共H小题，计81分.解答题应写出过程）

14.（5分）计算：3tan30°+tan45°+2sin30°.

【解答】解：原式=3x^+1+2x*

=73+1+1

=2+V3.

15.（10分）解方程:

(1)2(%-3)=3x(x-3).

(2)2/+3x-5=0.

【解答】解：(1)2(x-3)=3xG-3),

3x(x-3)-2(x-3)=0,

(3x-2)(x-3)=0,

3x-2=0或x-3=0,

2

所以X1=W，12=3;

(2)2f+3x-5=0,

(x-1)(2x+5)=0,

x-1=0或2x+5=0,

第12页（共21页）

所以xi=l,X2=—

16.（5分）小明同学在做一道题时需要找出已知弧线所在圆的圆心，他在弧上描出了三个点n,B,C,并

连接了和BC,请你用尺规作图法，帮小明继续完成，找出弧所在圆的圆心0.（保留作图痕迹，不

【解答】解：如图，点。即为所求.

17.（5分）如图，在四边形/BCD中，AB//DC,AB=AD,对角线/C,8。交于点。，4c平分/民4D,

过点C作CEL4B,交A8的延长线于点£,连接

（1）求证：四边形/BCD是菱形.

（2）若NB=5,BD=6,求0E的长.

：.ZCAB=ZDCA,

；4C为/D4B的平分线,

：.ZCAB=ZDAC,

：.ZDCA=ZDAC,

：.CD=AD,

'：AB=AD,

；.4B=CD,

•：AB//CD,

第13页（共21页）

，四边形/BCD是平行四边形，

;AD=AB,

，平行四边形/BCD是菱形；

（2）解：：四边形/BCD是菱形，对角线NC,2D交于点O,

11

C.ACLBD,OA=OC=jXC,OB=OD=^BD,

1

：.OB=^BD=3,

在Rt/XNOB中，NAOB=9Q°,

CM=7AB2一OB2=V52-32=4,

'：CE±AB,

：.ZAEC^90°,

在RtAUEC中，NAEC=9Q°,。为NC中点，

：.0E=OA=4.

18.（5分）作图题：如图，已知。是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3,-1）、（2,1）.

（1）以。点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2,画出图形;

（2）分别写出2、C两点的对应点夕、C的坐标.

（2）B'的坐标是（-6,2）,C'的坐标是（-4,-2）.

19.（7分）如图，在坡顶N处的同一水平面上有一座古塔3C,数学兴趣小组的同学在斜坡底尸处测得该

塔的塔顶2的仰角为45。，然后他们沿着坡度为7=1：2.4的斜坡/P攀行了26米到达点/,在坡顶/

处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.

第14页（共21页）

（1）求坡顶A到地面PQ的距离；

（2）计算古塔8C的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin76°仁0.97,cos76°仁0.24,tan76。仁4）

【解答】解：（1）过点N作尸。于"，如图所示:

••—，

PH12

设AH=5km,则尸H=12左根,

则力P=7AH2+PH2=J(5K)2+(12K)2=13k(m),

.♦.134=26,解得e=2,

；.4H=10m,

坡顶/到地面P0的距离为10米.

：.BD±PQ,

；•四边形/HOC是矩形，CD=AH=10,AC=DH,

:./BPD=45°,

第15页（共21页）

：.PD=BD,

设BC=xm,则x+10=24+r>H,

.,.AC=DH=（x-14）m,

在RtZk48C中，tan76°=

即一^X4,

解得X^19,

古塔8C的高度约19米.

20.（7分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱.一商场以20元每个的进

价购进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出200个.经过市场调查发现，

价格每涨1元，每周就少卖5个.

（1）若商场计划一周的利润达到3000元，且要以更优惠的价格让利给消费者，销售价应定为多少元？

（2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格的基础上，销售量稳步上涨，两周后销售量达到了

每周216个，求这两周的平均增长率.

【解答】解：（1）设销售价应定为x元，则每个利润为（x-20）元，每周销售量为）[200-5（x-30）]

个，

由题意得：（x-20）[200-5（%-30）]=3000,

整理得：x2-90x+2000=0,

解得：Xi=40,X2=5O（不符合题意，舍去），

答：销售价应定为40元；

（2）由（1）可知，当售价为40元时，每周销售量为150个，

设这两周的平均增长率为y,

由题意得：150（1+y）2=216,

解得：71=0.2=20%,”=-2.2（不符合题意，舍去），

答：这两周的平均增长率为20%.

21.（7分）在诺贝尔奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别

是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高馄.小轩家刚好有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》

《高银传》四本传记书，小轩阅读完后任选一本写读后感.

（1）小轩选到《朱棣文传》是不可能事件.（填“随机”“必然”或“不可能”）

（2）小轩的妹妹也从这四本传记书中任选一本写读后感，请用列表或画树状图的方法，求他们恰好选

第16页（共21页）

到同一本书写读后感的概率.

【解答】解：（1）由题意得，小轩选到《朱棣文传》是不可能事件.

故答案为：不可能.

（2）将《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高馄传》四本传记书分别记为B,D,

列表如下:

ABcD

A(A,N)(A,B)(/,C)(A,D)

B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)

D(D,/)CD,B)(£),C)(D,D)

共有16种等可能的结果，其中他们恰好选到同一本书写读后感的结果有4种，

41

他们恰好选到同一本书写读后感的概率为二=7.

164

22.（8分）己知：如图，48是。。的直径，CD是OO的弦，且/2J_CD,垂足为E.

（1）求证：/CDB=

（2）若/DBC=120°,OO的直径48=8,求3C、CD的长.

【解答】（1）证明：是。。的直径，CD是。。的弦，且

：.BC=BD,

：.ZBCD=ZCDB,

'：BD=BD,

：.NA=NBCD,

；.NCDB=/A；

(2)解：VZDBC=nO0,

1

工乙BCD=乙CDB=^(180°-乙DBC)=30°,

：.ZA=ZCDB=30°,

第17页（共21页）

是。。的直径，且48=8,

ZADB=90°，

1

・••在中，BD=^AB=4,

又,：既:=BD,

：.BC=BD=4；

ABVCD.ZBCD=ZCDB=30°,

.•.在RtABCE中，BE=掷=2,

：.CE=VFC2-BE2=V42-22=2V3,

又是。。的直径，ABLCD,

：.CD=2CE=4V3.

23.(10分)掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目.实心球行进路线是一条抛物线，如图是

一名男生投实心球时，实心球行进高度〉(m)与水平距离xCm)之间的函数关系图象，掷出时起点处

高度为当水平距离为4相时，实心球行进至最高点3加处.

(1)求y关于x的函数表达式；

(2)根据高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离

大于等于9.60加时，得分为满分.请计算说明该男生在此项考试中是否得满分.

【解答】解：(1)实心球行进路线是一条抛物线，当水平距离为4小时，实心球行进至最高点3加处,

抛物线顶点为(4,3),

:掷出时起点处高度为|■加，

设函数表达式为y=a(x-4)2+3(a¥0),

5

把(0,代入得：

a(0-4)2+3=—,

1

解得a=-

第18页(共21页)

.”关于X的函数表达式为尸-会（X-4）2+3；

1

（2）令y=0,即为一（x-4）2+3=0,

解得xi=10，X2=-2（不合题意，舍去），

V10>9.60,

...该男生在此项考试中得满分.

24.（12分）（1）如图1,在扇形/。2中，点O为扇形所在圆的圆心，AO=2V3,ZAOB=120°,点。

是脑上一点，则△A8C面积的最大值为3b；

（2）如图2,在四边形4BCD中，AB=AD,NBAD=/BCD=90°,连接/C.若/C=6,求四边形

ABCD的面积；

（3）如图3,菱形/BCD是一个广场示意图，其中菱形边长AB为