2024-2025学年天津市蓟州区高三年级上册第二次学情调研数学检测试题（含解析）

2024-2025学年天津市蓟州区高三上学期第二次学情调研数学

检测试题

一、单选题（本大题共9小题）

1.已知集合4={xeN|y=log2（4_x）},8={y|y=|x_l|,xe/},则/口8=（）

A.{04}B.{04,2}

C.{123}D{1,2}

2,“0<a<b”是“lgI。I-/<1g<|—a?”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

,则图象为如图的函数可能是（）

B.片/⑴一g（x）」

c.y=/（x）g（x）D.〃x）

4.已知等比数列的首项为1,若4可2az,%成等差数列，则数列的前5

项和为（）

33

A.16B.2

3131

C.16D.64

5.己知4民C为球°的球面上的三个点,。已为V/BC的外接圆，若。&的面积为

4兀，AB=BC=AC=OO、则球。的表面积为（）

A.64兀B.48兀c.36兀D.32兀

6,若叼,6=匾3,一；则（）

A.a>b>cB.b>c>aQb>a>cD.c>b>a

7.如图已知正方体/BCD-44G2,M,N分别是4",A'的中点，贝I］（）

A.直线4。与直线垂直，直线MN//平面/BCD

B.直线4。与直线℃平行，直线小，平面ADR4

C.直线4。与直线℃相交，直线MN//平面ABC。

D,直线4。与直线°出异面，直线脑V，平面瓦乃4

II

8.己知函数"x）="c°s3x+o）（/>o,。>0,例<5）的部分图象如图所示，关于

该函数有下列四个说法：

①/（'）的图象关于点I3'J对称;

_5兀

②/（X）的图象关于直线“一一五'对称;

71

的图象向左平移2个单位长度得到;

13

④若方程g（'）=/3）">°）在（’6J上有且只有两个极值点，则,的最大值为10.

以上四个说法中，正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

jT=l(q>0,6>0)

9.己知点/,B,C都在双曲线「：。一b2±,且点/,2关于原点对

称，/C48=90。.过/作垂直于％轴的直线分别交「，BC于点”，N.若"=3而，

则双曲线「的离心率是()

A.及B.打C.2D.2G

二、填空题(本大题共6小题)

10.设复数z满足2z+7=3+i,则目=.

11.已知。>°,若3I+4xj的展开式中含一项的系数为40,则。=______.

12.直线/：>=工与圆C：(x_2y+(y-4)2=/[>0)相交于//两点，若点。为圆。上

一点，且为等边三角形，则，-的值为.

13.甲箱中有5个红球、2个白球、1个黄球和2个黑球，乙箱中有4个红球、3个

白球、2个黄球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，设事件4,

4,4,4分别表示从甲箱中取出的是红球、白球、黄球和黑球，事件8表示从乙

箱中取出的球是红球，贝IP(04)=,P⑻=.

14.如图，边长为1的正三角形/8C的边NC落在直线/上，/C中点与定点°重合，

顶点B与定点尸重合.将正三角形/8C沿直线/顺时针滚动，即先以顶点C为旋转中心

顺时针旋转，当顶点8落在/上，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续.当

V/2C滚动到△44G时，顶点B运动轨迹的长度为；在滚动过程中，

丽•赤的取值范围为.

15.己知函数〃x)=mx2-|x-2||+x-“，若函数/(x)恰有4个零点，则实数。的取值范

围是.

三、解答题(本大题共5小题)

16.在V4BC中，内角45,C的对边分别为凡仇土已知acosC+ccos/=26cosB.

(1)求3的值；

(2)若7。=56.

①求siM的值；

②求sin(2/-2)的值.

17.已知底面NBCr•是正方形，平面/BCD,PAHDQ；PA=AD=3DQ=3,点E、

尸分别为线段必、°。的中点.

⑴求证：跖〃平面尸/0。；

(2)求平面PC。与平面CDQ夹角的余弦值；

V42

(3)线段「0上是否存在点使得直线与平面PCQ所成角的正弦值是亍，若存

PM

在求出MC的值，若不存在，说明理由.

/y2_=6

18.已知椭圆+的离心率，一工"，椭圆°的上、下顶点分别为4、

4,左、右顶点分别为左、层，左、右焦点分别为片、用原点到直线4与的距离

275

(1)求椭圆°的方程;

（2）过原点且斜率为5的直线/,与椭圆交于E、尸点，试判断/是锐角、直角还

是钝角，并写出理由；

（3）P是椭圆上异于4、4的任一点，直线P4、分别交x轴于点N、M,若直线

。7与过点初、N的圆G相切，切点为7.证明：线段°?的长为定值，并求出该定值.

Q~<

19.在数列&"｝中，"12ali一+3,"22,在等差数列也｝中，前力项和为5，a=2,

2b3+S5=28

⑴求证：也+3｝是等比数列，并求数列国｝和也｝的通项公式；

（2）设数列上｝满足"一（°”+3"）c°s万，匕｝的前〃项和为Tn,求T2n

（3）设数列M｝满足Z=tan%tan62.+i,｛4｝的前〃项和为2,求3“.

f（x）=-+lnx（x>0）

20.设函数2x

（1）求/（X）的单调区间；

⑵已知a，beR,曲线了=/（x）上不同的三点（再，/（项）），&，/6）），&，/（七））处的切线都

经过点（°⑷.证明：

a

0<b-f(a)<-

(i)若a>e,则

（注：e=2.71828…是自然对数的底数）

答案

1.【正确答案】B

【详解】由4-x>0,得x<4,又xeN,因此"={0，1，2,3},8={0,1,2},

所以"I八{0,1,2上

故选：B

2.【正确答案】A

【详解】由1g⑷一、<啕〃-。2,可得啕。|+"<啕6|+方2,

令/(x)=lg|x|+’,显然函数/(x)为偶函数，且/(X)在(0，+°°)上单调递增，

所以/(a)</S),即0<|。|<|6],

所以“0<”6”是“旭⑷牙的充分不必要条件.

故选：A.

3.【正确答案】D

y=f(x)+g(x)---x2+sinx

【详解】对于A'‘■'''"4,该函数为非奇非偶函数，与函数图象

不符，排除A；

y=f(x)-g(x)——-x2-sinx

对于B,.''，4’该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排

除B；

y=f(x)g(x)=Ix2+i|sinxy'=2xsinx+1x2+—|cosx

对于C,IM,则I4J,

当一彳时，221162,与图象不符，排除c.

故选：D.

4.【正确答案】C

【详解】解：设{"J的公比为4,

因为4%2a2,%成等差数列，所以4%=4%+%,即钿=4+/,

所以4=2,

所以%=21

二邛

所以％，

故选：c.

5.【正确答案】A

【详解】设圆Q半径为「，球的半径为衣，依题意，

得乃r=4肛"=2,;VN2C为等边三角形，

由正弦定理可得/8=2rsin60°=2G,

■-OO'=AB=2^,根眄球的截面性呷平面ABC,

OO±OA,R=OA=Joo：+OA2=go；+户=4

ttt，

•••球O的表面积s=4%&2=64%.

33

a=log,—<log,1=0b=log93>log9272=—

【详解】易知4,2,

27-3

3<—0<c=33<-

因为8,则2,故得6>c>a,显然B正确.

故选：B

7.【正确答案】A

连AD',在正方体ABCD_48cA中,

M是"Q的中点，所以"为中点，

又N是的中点，所以MN//AB,

0平面48C£),48u平面ABCD,

所以九W〃平面/BCD.

因为N8不垂直3D,所以MN不垂直2。

则脑V不垂直平面8。4瓦，所以选项B,D不正确;

在正方体.8一型£。中，4DJ4D,

Z8_L平面441AD,所以

AD、cAB=A,所以AXD~L平面ABD1

平面所以4。，。由，

且直线是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确.

故选：A.

8.【正确答案】C

127r兀兀

—x——-----

【详解】依题意可得工=2,4。312,."=2,

2x—+^=0(p=-~/(x)=2cos(2x_q

再根据五点法作图可得12”,解得6,I6人

(4兀)。J4兀兀15兀八(4兀八

fr—=2cos2x------=2cos—=0r(\—，。

因为131<36；2，所以的图象关于点I31对称，故

①正确；

/f--1=2cosf-2x--->1=2cos(-7r)=-2,/、x=~—

因为I12；I126J,所以"x)的图象关于直线12对称，

故②正确；

y=2sm(2x-^\-

将I6J的图象向左平移2个单位长度得到

y=2sin2［x+/］一2=2sin—己+兀］=-2sin12x一己］

故③错误;

xe0,生c兀兀571t71

g（x）=/（比）=2cos2/X--2tx-------G

I6（66^6

因为,当时且f>0,6

因为函数g（x）在

吟上有且只有两个极值点,

57rt兀，71313

兀<------<2TC---</w---_

所以36，解得1010,即f的最大值为10,故④正确;

故选：C

9.【正确答案】B

【详解】

不妨设"小，%），'（1%，1%）,由AN=3AM且Wx轴,

所以一%）,所以（xN-x0,yN-y0）=3（0,-2y0）=（0,-6y0）

从而"N=/=-5%,即N&，-5yo）

设点C（X'J）,且它在双曲线上,

/22\/22\

2

k._Z±A,Zz2«_b

n儿k一

CBC42；2；

x+x0x-x0XXX-X

2y0

《BN

即

b2

从而7

故选B.

【正确答案】O

10.

【详解】设2=。+历，a，6eR,贝|z=a-历，

所以2z+7=2（a+bi）+"bi=3a+6i,又2z+—3+i

J3Q=3\a=\

所以i%=l,解得1=1,所以z=i+i,则忖=G+F=也.

故.6

11.【正确答案】2

.（勺=

【详解】展开式的通项公式为

令10-3-4,解得r=2,

所以一项的系数为仁/=10片=40,解得a=±2,又a>0,所以。=2

故2

12.【正确答案】2立

71

ZADB=-

【详解】由题意知，3

所以3号

则圆心（2,4）到直线/：y=x的距离为:

则r=272,

故答案为.20

53

13.【正确答案】128/0.375

^（4）=1尸⑷尸⑷尸（4）=；

【详解】由题意知:

15

—x—

212_5c

1-12P⑶4）=；P（⑼4）=；P（切4）=；

2,同理：

4Q

尸也）=£尸（4）尸（为4）=!

由全概率公式可知:1=1O

53

故12,8

4

一n吟

14.【正确答案】3

2

一71

【详解】根据题意可知,点8的轨迹为两个圆心角都为3的圆弧，且圆弧的半径为1,

2xlx—71=—71

所以顶点3运动轨迹的长度为33

设B(Xy),则08=(x，y)

OB.OP=^Hy

所以2-

滚动的过程中3的纵坐标了满足

密丽=事”

所以

4

—71

故3；

15.【正确答案】(1，2)

【详解】函数/⑴引办―X—2||+X-Q的定义域为R,

2

2IIi—ax+2—a,x<2

j(x)=-ax+\x-2\+x-a=<

当Q40时[—QX+2x—2—x22

当x<2时，/(x)>2-a>2当xN2时，f(x)=-a(x~+l)+2x-2>2x-2>2

此时函数”X)无零点；

\ax2+x-l\+x-a,x<2

/(无)=■{।2I

当a>0时，\\a^-x+2\+x-a,x>2^

当x"时，若0<a<2,则x-a>0,于是〃x)>0,

x」J

若心2,函数>=#_x+2的图象对称轴2a4,此函数在[2,+oo)上单调递增,

22

ax—x+2>ax>0,/(x)=ax"—x+2+x—a=a(x"—1)+2>0

即当a>0且xN2时，〃x)>0,函数无零点；

于是只有当。>°且x<2时，函数八>)=|"2+工一21+工一°才有零点，

1+Jl+8a—1+Jl+8a

----------WxW----------

当办9+X—2V0,即22时，

f(x)=—ax2—x+2+x—Q=—ax2+2—q

r1+Jl+8a—1+Jl+8〃1

当22时，函数'=_〃工+2_〃，当X=0时，)max=2_Q

1+Jl+8a—1+Jl+8-

X=21cX-

当2时，函数了=-◎+2-°取得最小值，而当2时，

-1+J1+8a

2

2—q>0

,-l+Vl+8a八

---------a<02c

显然当［2，即1<。<2时，函数“x）=-k+2-a有两个零点,

要函数"X）恰有4个零点，必有

,1+-\/l+8a.,—1+Vl+8GC、

龙e(-8,---------——)U(---------------,2)

当22时,函数/（x）=ax2+2x_2_a的图象对称轴

1,,1、

x=——e(-l,--)

a2,

,1+Jl+8a、，-]+Jl+8.、

(-00,--------------------------)(--------------------------,2)

则函数4%)在2上单调递减，在2上单调递增,

-1+Jl+8a、//-I+Jl+8a、—1+Jl+8a„

f(--------)<f(--------)=----------a<0

显然?22,

而/(-36Z)=9/—7〃-2=7Q(〃—1)+2(/-l)>0,/(2)=3Q+2>0,

(1+Jl+8a)(-1+Jl+8a2)

因此函数22，)上各有一个零点,

所以实数。的取值范围是工2).

故答案为.（L2）

B=-

16.【正确答案】（1）3

5#>8也

⑵①sin/=14；②49

【详解】（1）由acosC+ccos/=26cos8及余弦定理得:

a2+b2-c2+cX"+c~"=2bcosB

QX----------

2ab2bc

cosB=—

整理得6=26cos5,即2,

B=一

•­0<B<TI>3

ab八兀

——D—

(2)①rsin/sin5,及1a=5b,3,

a

sin力573

2,解得sin/=14.

②「b〉。，r.A是锐角，且sin/=14,

cosA=Vl-sin2A=—

14

110百

...sin2A=2sinAcosA=142,

246

cos24=2cosA-l=­r

142.

.—“n、sin2Acos--cos2Asin—

...sm(24-8)=33

110V314673873

=------X-------X---=----

1962196249.

17.【正确答案】(1)证明见解析

Vu

⑵7

PMPM1

----1——

(3)存在；MC或MC5

【详解】(1)证明：法一：分别取AB、CD的中点G、H,连接EG、GH、FH,

由题意可知点£、尸分别为线段必、的中点.所以EG//P4,FHHQD,

因为P4〃£>Q,所以EG//FH,所以点£、G、H、尸四点共面，

因为G、H分别为n8、CD的中点，所以GH//4D,

因为ZDu平面ADQP,GH亡平面ADQP所以GH//平面ADQP

又因为FHIIQD,°Du平面"。0尸，平面/。。尸，所以尸〃〃平面/O0P,

又因为FHCGH=H,FH、G〃］平面EGHF,所以平面EG/7F〃平面尸，

因为跖u平面EGHF,所以EFH平面ADQP；

法二：因为/BCD为正方形，且平面N3CD,所以/P、AB、两两互相垂直,

以点A为坐标原点，以/3、AD、/P所在直线分别为X、>、z轴建立如下图所示的

空间直角坐标系，

z

Q

Dy

则尸（0,0,3）、C（3,3,o）、0（0,3,1）、2（3,0,0）、

所以访=（°，3，T）,易知平面尸皿。的一个法向量。=（1，°，°）,

所以鼠前=。，所以不_LZ,

又因为成仁平面所以/平面40Q尸.

⑵解：设平面PCQ的法向量加=（、//）,PC=（3,3,-3）,。0=（-3,0,1）,

m•PC=3x+3y-3z=0

<_

贝，和诙=_3x+z=0,取x=l,可得加=（L2,3）,

所以平面尸0。的一个法向量为加=°，2,3）,

易知平面CO。的一个法向量”=（°，1，°）,设平面PCQ与平面CQD夹角为6,

卜I”,22V14

cos8=cos（加/

lx^l+4+9-V14-7

V14

所以平面尸C0与平面°纱夹角余弦值为7.

（3）解：假设存在点使得尸屈=4尸C=（34,32,-32）,其中，40,1],

a，AM=AP+PM^（0,0,3）+（3A,32,-32）=（32,34,3-32）

由（2）得平面「CO的一个法向量为机=023）,

18s（AM…-―—+6-9-训—.叵

由题意可得IM网…F7

整理可得12下.82+1=0.即（2,T）（64T）=0,

,I,PM\PM、

因为0W箔1,解得6或2,所以，MC5或MC

---t~y=1

18.【正确答案】（1）4"

(2)/巡/是锐角，理由见解析

(3)证明见解析

C，一+—=e=——=—

【详解】(1)由题意，椭圆以『1)的离心率2,即“2,

设4=2加(加>0),可得C=JL?7,则b=da1-*=m,

可得4(0,6)、4(0,-6)、4(一。,0)、与30),

可得直线方程为云-即-仍=0,即"X-2町-2m2=0

2m22石

22

所以原点到直线4员的距离为^m+4m5，解得旭=1,

—+/=1

所以a=2,b=l,椭圆方程为4

」=1x=y/2x=-V2、

<

1V24iF-V2,--

y=­x2

(2)联立2得12或I即点i>

又因为椭圆]‘一1的右焦点为外即，°),

所以，I>

庭.京二伊-框下四_#下9[-9=i-1=|>o

所以，

所以,NEF『为锐角.

,2

“02

由(2)可知4(°』)、4(°，T),设PQWo),则4+y°1

(3)

1Vo—1%o

J^-l=——xxN=-----

直线04的方程为％,令y=o,得与T；

1%+1%

y+l=——xxM=——

直线的方程为X。,令k°,得>。+1;

\OT^=\OM\-\ON\=%=4

为+1M)T歹：-1x；

根据切割线定理可得4

所以，1°胃=2,即线段。7的长度为定值2.

4.=2"-3b=n+l

19.【正确答案】(1)证明见解析,n

4〃+i-4

+3〃,〃为偶数

5

4〃+i4

^^+_3一3,〃为奇数

⑵

%

(3)

【详解】(1)当"22时，％=2%+3,故%+3=2(%+3),

又用+3=220,故k+3｝是等比数列，且公比为2,首项为为+3=2

所以a“+3=2x2i=2〃，故。“=2"-3,

设也｝的公差为“，则由4=2,29+24)+54+103=28,解得4=2,d=l,

故"=2+(〃T)=〃+l

/、(2n-1)TI/、2mi

C2„-1=3“-1+3%T)cos2=0c2„=(«2„+3b2”)cos-

(2)因为

C2n-1=(«2„-1+3刈“_|0,。2“=(%“+3&)cosmt=(-l)"(a2“+3&),

故

4〃+6n,n=2k

C2n~(4n+6n\n=2k-1.*

而。2"+3"=4"+6",故〔＜/，其中z丘KNT,

7

k=q+C2+C3+---+C2„=c2+c4+c6+c2„

-(4+6)+(42+6x2)-(43+6x3)+---+(-l)"(4"+6x»)

23

=|^-4+4-4+-••+(-1)"4"]-6+12-18+---+(-1)"6»

•+(-l)"6n

1+4

当〃为偶数时,

M+1

一4「1+4〃]n_\-4-4

Ti=--------------6+(12-18)x—^―=----------3n-3

当“为奇数时,n

4"+|-4

+3〃,〃为偶数

5

&=

4"1+4

——------3〃-3/为奇数

综上所述,

(3)因为“="+l,则62"T=2〃，b2n+l=2n+2

/、一tan2〃+tan2(n+l)

因为tan(&+「&T)=tan[2(〃+l)-2"]=tan2\+tan2〃tan

2(n+l)

「/、■)-tan2n+tanP2(w+1)1

1

=tanbln_xtanb2n+i=tan2ntan[2(〃+1)]=------------7----------一1

口J4tan幺

-tan2+tan4-tan4+tan6-tan6+tan8------tan4〃+tan(4〃+2)

D.

所以〃tan2

tan(4〃+2)-tan2?tan(4〃+2)

-(2z/+l)

tan2tan2

+co

【正确答案】⑴/(x)的单调递减区间为〔Wl

20.单调递增区间为

(2)(i)见解析；(ii)见解析.

【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

(2)(i)由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等

a1

k=^m=—<\

式成立，(ii)再，e,则题设不等式可转化为

2-m+12)

1336加。1+4)

m,结合零点满足的方程进一步转化为

-13)(m2—m+12

\nm+<0

72(/77+1),利用导数可证该不等式成立.

f'(x}=__e।1=2x-e

【详解】(1)1/2/2一,

ee

当°n<x<5,/'(x)<0；当x>5,/取)>0,

故/(x)的单调递减区间为[。4],/(X)的单调递增区间为(2'+”；

(2)(i)因为过("力)有三条不同的切线，设切点为a，/a)),i=1,2,3,

故方程/(X)-6=/'(x)(x_a)有3个不同的根,

e

(x-Q)--------Inx+Z7=0

7

该方程可整理为12x

设出)--------\nx+b

72x

1e

g'(x)="⑹一+苏

则

=—T(x—e)(x—Q)

%,

当0<x<e或x>〃时，g(x)<。；当时,g'(x)>0,

故g(x)在(O，e),(a,+s)上为单调递减函数，在(e，。)上为单调递增函数,

3个不同的零点，故gG)<°且g(a)>°,

因为

eIee

一。)---Ine+<0(u—Q)--------Ina+b>0

27

故2e且a2ai2a

b<—+1Z)>—+lntz=f(a)

整理得到：2e且2a

〃1e1a13e1

<----1-1------bln。-------1—=----------Inci

此时e2e2a2e222Q

u(a)=----lnau(a\=e<0

设“22Q，贝1J」2a2

3e

故"⑷为(”)上的单调递减函数，故w⑷丁三一加-。

故0<一(“)<；[9]

(ii)当°<a<e时，同(i)中讨论可得：

故g(x)在(0，。)，&+8)上为单调递减函数，在(a，e)上为单调递增函数

不妨设再<尤2<尤3,则°<%<"<工2<,<当

3个不同的零点，故g(a)<°且g(e)>。,

因为

Ie/、e

--lne+/>>0(a—a)--------Ina+b<0

2e之I)2a

故且a2a

—+l</?<—+lna

整理得到：2e2e,

因为玉故0<玉<。<%2<©<