浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高一下学期数学期中联考试题（含答案）

浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高一下学期数学期中联考试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数z满足(3+4i)z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．−4 B．−45 C．−4i 2．如图，直角梯形O'A'B'C'A．7+5 B．5+23+17 C．3．已知函数f(x)=lnx,0<x≤1A．−9ln3 B．9ln3 C．−27ln3 D．27ln34．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（）A．2π B．3π C．2π 5．在△ABC中，D是AB边上的一点，且CD平分∠ACB，若CA=a，CB=b，|bA．−12aC．−13a6．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知A．(2,4) B．(1,3) C．7．已知四边形ABCD内接于圆O，且满足AB=1，AD=3，BC=CD=2，则圆O的半径为（）A．213 B．2213 C．218．用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球，最多能装下小球个数为（）A．10 B．11 C．12 D．13二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。9．已知a,b,A．a+c>b+c B．1b>1a>0 10．如图，四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，E,F分别是棱A．多面体ABF−DCE是三棱柱B．直线BF与PC互为异面直线C．平面ADP与平面BCP的交线平行于EFD．四棱锥P−ABCD和四棱锥P−BCEF的体积之比为811．定义一种向量运算“⊗”：a⊗b=|a||b|sinθ,θ∈(0,π),|a−bA．若a⊗bB．若λ∈R，则λ(C．(D．若|c|=2三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分。12．设a∈R,i为虚数单位，且i(a+i)213．已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1=414．已知函数f(x)=ex−e−xex+e四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知a=(1,m)，（1）求实数m的值；（2）设c⊥b，求c与16．设函数f(x)=cosx,（1）若角α满足f(α+π4)=（2）求函数y=[f(α+17．如图，正△ABC边长为2,D、E分别是边AB,AC的中点，现沿着DE将△ADE折起，得到四棱锥A'（1）求证：ME∥平面A（2）若A'B=2（3）过ME的平面分别与棱A'D,A'B相交于点S,T，记△A'ST18．已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为（1）求B；（2）若a=41313，求△ABC（3）求a+2c的最大值，并求其取得最大值时cosC的值．19．设集合A⊆N*．定义：和集合B={x+y|x,y∈A,x≠y}，积集合（1）若A={1,2,（2）若|A|=5，求|B|的所有可能的值组成的集合；（3）若|A|=4，求证：|C|≥9．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为(3+4i)z=|4+3i|=42+所以z的虚部为−4故答案为：B【分析】本题考查复数的模长公式和复数的除法运算.先根据复数的模长公式进行计算变形化简可得：z=53+4i，再利用复数的除法运算分子和分母同时乘以3-4i进行化简可求出复数2．【答案】C【解析】【解答】解：由题意O'C'=OC=3，A'由O'A'⊥O可得∠B'O而O'所以OB=2O结合斜二测画法的规则，将直观图即直角梯形O'由勾股定理可得AO=(4所以满足题意的平面图形的周长是2+6+3+41故答案为：C.【分析】本题考查斜二测画法的规则.先利用平行线的性质推出∠O'A'B'=93．【答案】C【解析】【解答】解：由题意f(10故答案为：C【分析】本题考查分段函数的解析式.先判断自变量范围，再根据分段函数解析式化简可得：f(104．【答案】D【解析】【解答】解：由于圆锥的侧面展开面为半圆，设圆锥的底面半径为r，高为h，故2π=2πr，得r=1，则h=所以圆锥的体积为13故答案为：D.【分析】本题考查圆锥的侧面积和体积.先利用圆锥的侧面积公式求出圆锥的半径，利用勾股定理求出高，代入圆锥的体积公式可求出体积.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵CD为角平分线，∴BD∵AB∴AD故答案为：C.【分析】本题考查平面向量基本定理.先利用三角形内角平分线定理可推出：BDAD=BC6．【答案】A【解析】【解答】解：由a=c−1,b=c+1，则所以c+c−1>c+1，故c>2，由△ABC为钝角三角形，则cosB<0即c2+(c−1)2−故c的取值范围为(2,故答案为：A【分析】本题考查利用余弦定理解三角形.先根据三角形三边关系：两边之和大于第三边可求出c>2，再根据钝角三角形可得：cosB<0，利用余弦定理可求出c7．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得∠BAD=π−∠BCD，在△BAD中，由余弦定理得BD在△BCD中，由余弦定理得BD两式相减得cos∠BAD=因为∠BAD∈(0,π)，所以所以BD=8+在△BCD中，由正弦定理得圆O的半径为BD2故答案为：A【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.根据题意可得：∠BAD=π−∠BCD，在△BAD中和在△BCD中分别利用余弦定理可求出cos∠BAD和BD，利用同角三角函数的基本关系可求出sin∠BAD，最后在8．【答案】B【解析】【解答】解：如图，将第一个球O1靠近该圆柱右侧放置，球O1上的点到该圆柱底面的最大距离为2，将第二个球过点O1作O1A垂直于该圆柱的母线，垂足为A，过点O垂足为B，设O1则球O2上的点到该圆柱底面的最大距离为2+同理可得球O3上的点到该圆柱底面的最大距离为2+2由此规律可得，每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱底面的最大距离加3，因为103故答案为：B【分析】本题考查球的切接问题.画出平面图，过点O1作O1A垂直于该圆柱的母线，垂足为A，过点O2作O2B垂直于圆柱底面，先利用勾股定理求出9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A，因为a+c>b+c，所以a>b，A符合题意，A正确；B，因为1b>1a>0，所以1C，因为ac2>bc2，所以ac2−故答案为：ABC.【分析】本题考查不等式的性质，充分条件和必要条件的判断.根据不等式两边同时加减一个数，不等式的方向不改变，据此可判断A选项；先进行作差，根据符号法则进行判断，可判断C选项；根据不等式两边同时乘以一个正数，不等式的方向不改变，据此可判断C选项；举出反例取a=−1<b=0，进行计算可判断D选项.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A，多面体ABF−DCE中，由直线AF∩DE=P，得平面ABF与平面DCE不平行，显然多面体ABF−DCE中不存在平行的两个面，则该多面体不是三棱柱，A错误；B，由E,F分别是棱PD,PA的中点，得EF//C∈平面BCEF，P∉平面BCEF，C∉BF，因此直线BF与PC互为异面直线，B正确；C，由AD//BC,BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，则令平面PBC∩平面PAD=l，而AD⊂平面PAD，则l//D，连接AC,CF，令四棱锥P−ABCD的体积为V，由E,得VP−BCF=V因此四棱锥P−BCEF的体积VP−BCEF故答案为：BCD【分析】本题考查棱柱的几何特征，异面直线的定义，直线与平面平行的性质，四棱锥的体积公式.利用棱柱的几何特征进行分析可判断A选项；先根据三角形中位线定理可推出EF//AD//BC，再利用异面直线的定义进行分析可判断B选项；根句题意利用直线与平面平行的判定定理可证明AD//平面PBC，再利用直线与平面平行的性质可判断C选项；连接AC,CF，令四棱锥P−ABCD的体积为V11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A，若a⊗b=0，由a⊗b由于a,b是非零向量，故前者不可能成立，从而|a−b所以a=b，故B，设有非零向量a，则a⊗a=0，(2C，由于(2a)⊗aD，若a⊥c，|c|=2，故答案为：BCD.【分析】本题考查平面向量的数量积，平面向量的模长.根据a⊗b的定义分两种情况进行讨论，据此可推出|a−b|=0，即a−b=0，进而判断A选项；举出反例：12．【答案】-1【解析】【解答】解：由i(a+i)所以满足条件a2故答案为：−1【分析】本题考查复数的概念.先利用完全平方公式化简式子，根据复数的概念可列出方程组a213．【答案】161【解析】【解答】解：设底面ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，三棱柱ABC−A1B1取AC的中点D，可知O1∈BD，OO1=则BD=AB2可得r=BC2sin∠BAC=所以三棱柱ABC−A1B故答案为：1615【分析】本题考查球内接几何体问题.根据题意画出图形，先找出小圆圆心和球心，利用勾股定理求出BD，利用正弦的定义求出sin∠BAC，利用正弦定理可求出求底面外接圆半径r，利用勾股定理列出式子可求出外接球的半径R，代入球的表面积公式可求出答案.14．【答案】2【解析】【解答】解：由f(x)=ex−又函数定义域为R，所以函数是奇函数，f(x)=e因为y=e2x单调递增，y=1x单调递减，所以由f(2m所以2m2=−n2令t=|m−n|+|m+n|，则t2当3m2−2≥0时，即2当3m2−2<0t2所以83<t2≤8，故故答案为：22【分析】本题考查恒成立问题.首先判断函数f(x)的奇偶性，化简解析式可得：f(x)=1−2e2x+1，根据指数函数的单调性可推出f(x)在R上单调递增；利用奇偶性化简等式可推出n2=2−2m2，再代入|m−n|+|m+n|转化为关于m215．【答案】（1）方法一：∵|2a+b|=|b|方法二：∵|2a+∴a2+a（2）设c=(x,y)，∴cosθ=∴c与a+另解：由题意可不妨令c又∵∴cosθ=∴c与a+【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，平面向量的夹角计算公式.

（1）方法一：根据平面向量的坐标运算先求出2a→+（2）设出非零向量c的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可推出3x+4y=0，求出a+16．【答案】（1）已知cos(α+π4)=则cosα=cos(α+π所以当sin(α+π4)=当sin(α+π4)=−（2）y=[cos(α+所以y=1+cos(2α+所以y=1−3所以y=f(x)的值域为[1−【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，降幂升角公式，两角和与差的余弦公式，正弦函数的图象和性质.

（1）先利用同角三角函数的基本关系求出sin(α+π4)（2）先利用降幂升角公式和两角和与差的正弦公式进行化简解析式可得：y=1−317．【答案】（1）取A'B中点N，连DN∵MN∥BC，且MN=12BC，同时∴MN∥__DE又ND⊂平面A'BD∴ME∥平面A'（2）∵A∴∠A∴S根据对称性有A'C=A所以A'所以∴∠CA所以S△而S△四棱锥A'−BCDE的面积​​​​​​（3）由（1）知ME∥平面A'ST=平面A'BD∩∴ME∥ST，S又∵ST∥DN，∴S△【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定，棱锥的表面积.

（1）取A'B中点N，连DN,MN，利用三角形的中位线定理可证明四边形（2）通过勾股定理逆定理可推出∠A'DB=90°（3）由题意得ME∥ST，ST∥DN，利用相似三角形的性质可将面积比转化为线段比的平方，即A'18．【答案】（1）方法一：∵b=1，2acosB=cosC+ccosB，∴2acosB=bcosC+ccosB又∵asinA=∴2sinAcosB=sin(B+C)又∵在△ABC中，B+C=π−A，A∈(0,∴2sinAcosB=sinA，∴cosB=1又∵在△ABC中，B∈(0,π)方法二：∵b=1，2acosB=cosC+ccosB，∴2a×a∴a2+∵cosB=a又∵在△ABC中，B∈(0,π)，（2）∵b2=即c2−41313当c=1313当c=313（3）∵asinA=bsinB∴a+2c===其中，sinφ=2114，cosφ=∵在△ABC中，B=π3∴当C+φ=π2时，a+2c取到最大值此时，cosC=cos(π【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，余弦函数的图象和性质.

（1）方法一：利用正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式进行化简可求出cosB=12，据此可反推出角B的值；方法二：利用余弦定理角化边可得a2（2）先利用余弦定理求出c，再分两种情况：c=1313或（3）利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式进行展开，利用辅助角公式化简可得：a+2c=2213sin(C+φ)，利用余弦函数的图象和性质可求出19．【答案】（1）由A={1,2,C={12（2）当|A|=5，不妨记A集合为{a1,则必有a1和中剩下的a1+a并且a1一是a1+a二是a1+a4与a2+a三是a1+a4与a2+a四是a1+a4与a2+a综上述，|B|的所有可能的值组成的集合为{7（3）当|A|=4，不妨记A集合为{a1,则必有a1和中剩下的元素为a1+a所以|B|有两种可能，当a1+a4≠a2ⅰ）当|B|=6，不妨记这6个元素为b1,b2,b3ⅱ）当|B|=5，a1不妨记b1=a1+a2，b则b1<b2<b3<b下面先证明|C|≠7．假设|C|=7，由b1