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文档简介

2024-2025学年贵州省遵义市高三上学期第四次月考(12月)

数学检测试题

一、单选题(本大题共8小题)

1.已知复数Z满足Z-i=i2°24,则2=()

A.-1B.-iC.iD.1

2

2.已知集合2={123,4},5={X|X-2X-4<0};则仙=()

A.{234}B.{USc.{GM}D0

3,已知向量"=(1/),6=(匹2),若。,(2°+与,则》=()

A.-6B.-4C.-1D.0

4.已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.

为了解各学段学生对航展的爱好程度,用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调

查,则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数(估计值)分别为(

图1图2

A.200,24B.200,28C.100,24D.100,28

5.若函数/(x)="Mx+2x的图象在点(1,2)处的切线不经过第二象限,且该切线与坐标

轴所围成的三角形的面积为7,则〃=()

_22

A.-1B.3c.3D.1

6.已知,〃},也}均为等差数列,且%=4=1,&=4,则数列{〃〃+“}的前9项和为

()

A.45B.50C.54D.60

7.已知尸是抛物线V=12x上的动点,”是抛物线的准线/上的动点,"(0,4),则

忸M+冲1的最小值是()

A.5B.4C.4及D.372

8.如图,正方体的棱长为%E,尸分别为棱8,G2的中点,则

三棱锥尸-/DE外接球的体积为()

C.327tD.36%

二、多选题(本大题共3小题)

9.已知函数"x)的定义域为R,且W(x)=^G),则/(x)的解析式可以为()

A.小)=0B./O'c."x)=2xD./(力工?

y^sin^

10.已知函数5-COS2X,则()

A./(X)为奇函数B./(X)的最大值为]

C./(X)的最小正周期为支D./(X)的图象关于直线x=兀对称

11.笛卡尔叶形线是一个代数曲线,首先由笛卡儿在1638年提出.如图,叶形线

Ud+j?经过点

点p(xo,y。)在c上,则下列结论正确的是()

A.直线V=-x与C有3个公共点B.若点尸在第二象限,则工。+为<°

Q%+%>一]D.%+为43

三、填空题(本大题共3小题)

p•一2;

12.在I》>的展开式中,犷6的系数为

13.已知八力,aM,"[。叫sin(a+°)=sin3+e)=歹,则c°s(a")=

14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>。时,/(x)=x-“.若VxeR,

f(x-a2)<f(x^则。的取值范围为.

四、解答题(本大题共5小题)

cosAsinB

15.记V48c的内角A,B,C的对边分别为。,b,c,已知sin/1+cosS.

(1)证明:V/2C是等腰三角形.

(2)若。=1,求6+sin”的最大值.

16.如图,在四棱锥P-NBCZ)中,底面为矩形,尸/,平面/BCD,

4

PA=AD=2AB,£为线段PC上一点,AELPD,且该四棱锥的体积为3.

P

(1)求AE的长度;

(2)求二面角尸-3E-/的正弦值.

17.某项编程技能比赛分为两轮:第一轮初赛,赛题由6道基础编程题和4道中级编

程题组成,基础编程题每题答对得5分,中级编程题每题答对得10分,初赛至少得

60分才能进入第二轮复赛,否则淘汰;第二轮复赛,赛题由2道中级编程题和2道

高级编程题组成,中级编程题每题答对得10分,高级编程题每题答对得20分.所有

的题答错都不扣分.已知甲同学能答对每道基础编程题,中级编程题每题答对的概率为

2]_

3,高级编程题每题答对的概率为3,且各题答对与否互不影响.

(1)求甲同学初赛被淘汰的概率;

(2)已知甲同学第一轮初赛得满分70分,求甲同学两轮比赛所得总分X的分布列及期

望.

22

18.已知片,片分别为椭圆+记一乂”…)的上、下焦点,'(°厂2百)是椭圆

C的一个顶点,尸是椭圆C上的动点,P,I片三点不共线,当△尸耳耳的面积最大

时,其为等边三角形.

(1)求椭圆0的标准方程;

(2)若M为4尸的中点,°为坐标原点,直线加交直线了=46于点。,过点。作

0E〃/P交直线了=于点£,证明:NOEF\=NODR.

19.己知函数/(X)的定义域为/,区间。G/,若则称/是

"X)在。上的不动点,集合"={%"向)=%,/€。}为/@)在。上的不动点集.

⑴求函数"x)-2x一——在(0,+s)上的不动点集;

兀71

⑵若函数gG)="一,缶2》在

212上有且只有一个不动点,求。的取值范围;

⑶若函数“卜)=/-(3疗-1b+1(加>°)在R上的不动点集为任应应},求

x;+考+考的取值范围.

答案

1.【正确答案】B

【详解】因为Z-id024=1,所以Z=T.

故选:B

2.【正确答案】B

[详解]由f_2x-4<0,l-6<x<l+石,所以*91一石<》<1+

所以/c3={l,2,3}.

故选:B

3.【正确答案】A

【详解】因为"=("),"=(x,2),所以2N+B=2(1,1)+(X,2)=(2+X,4)

aJ-(2a+61t।万,«万+6)=2+%+4=0久

又l4所以<J,解得x=-6.

故选:A

4.【正确答案】D

(4000+3500+2500)x1%=100

【详解】样本量为

抽取的初中生人数为4000x1%=40,

所以抽取的初中生里购买航展模型的人数约为40x70%=28.

故选:D

5.【正确答案】D

【详解】由/(x)=alnx+2x,得了O—,小”.,

则/(x)的图象在点(L2)处的切线方程为尸(。+2)…,

由题意可知。+2彳0,

a

将x=0代入切线方程,得y=-a,将>=°代入切线方程,得X一五i,

因为该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为6,

a

l|_al.=L_2

所以5a+2%,解得0=1或”-3,

当。=1时,切线经过第一、三、四象限,符合题意;

__2

当“一§时,切线经过第一、二、三象限,不符合题意

故。=1.

故选:D

6.【正确答案】C

【详解】因也}均为等差数列,且%=4,可得包}的公差为匚I

则an=1+("T)=",

而{%+0}的前9项和为为+出+…+旬+4+打+…+4

9(1+9)b,+bn0.,..

=—----+」——x9=45+a*9n=54

225

故选:C.

7.【正确答案】A

【详解】抛物线,=⑵的焦点为歹(3,0),准线/的方程为x=-3,

当尸时,1尸1图的值最小,此时,由抛物线的定义,可得\PM\=\PF\,

8.【正确答案】D

【详解】因为V/DE为直角三角形,其外接圆圆心为/E的中点,

设/£的中点为G,过G作平面/BCD的垂线与/月交于点。,

OA=-AF=-ylEF2+AE2=3

22

—x33=3671

三棱锥尸一/DE外接球的体积为3

故选:D

9.【正确答案】ABC

【详解】首先,各选项给出的函数定义域均为R.

对A:W(x)=yx0=0,^&)=xx0=0,所以W(x)=4'3)成立,故A符合题意;

对B:W(x)=A,犷>00=盯,所以W(x)=^。)成立,故B符合题意;

对C:yf(x)=yx2x=2xyxf(y)=xx2y=2xy所以W(x)=犷&)成立,故c符合题

忌;

对D:yf(x)=yxx2=x2yxf(y)=xxy2=xy2所以0。)=好'(V)不是恒成立,故口

不合题意.

故选:ABC

10.【正确答案】AB

sin(一x)sinx

2sinxsinx则…=-f(x)

/(x)=22

【详解】5-cos2%3-cos2x,3-cos(-x)3-cosx

所以/(x)为奇函数,A正确.

sin(x+7i)sinx

/(X+Tl)=-f(x)

3-COS2(x+7l)3-cos2X

,所

以7(x)的最小正周期不是兀,C不正确.

sin(2K-x)sinx

“2兀-x)==~f(x)

3-cos2(2兀-x)3-cos2x

所以/(X)的图象不关于直线X=7I对称,D不正确.

sinxsinx

f(x)=

3-cos2x2+sin2x,

显然/(X)=/(X+2TI),且/(0)=/(兀)=o.

小)=----

当xe(O,兀)时,SinX+sinT,

由0<sinx41,设f=sinx,/e(O,l],

2-+t>2.p--t=2y/2

根据基本不等式,t\t

2_t

当且仅当t~,即等号成立,显然不成立,

222^,

—foil—1~,23-------Fsinx23

则/在“,“单调递减,所以t,即sin%

"x)=21.6

------+sinx

所以sin%

]_

当xe(无,2%)时,/(x)<0,所以f(x)的最大值为B正确.

故选:AB

11.【正确答案】BCD

一小,』

【详解】因为叶形线C:x+>=叼经过点【22九所以〃=3.

卜3+/=3中,

联立1了=一招,解得x=V=°,所以直线〉=f与C只有1个公共点,A错误.

x3+y3-3xy-(x+y^(x2—xy+y2(x+y)[(x+j)~-3xyj

因为点尸在第二象限,所以%%<0,(%+%)--3工。外>0

3%为八

xQ+yQ=---------------------<0

所以(%+%)-3%%,B正确.

若点尸在第四象限,则%为<0,可推出%+%<0.

因为x3+y=3xy=(x+>>)(x2-xy+/)=(x+^)[(x+^)2-3xy]=(%+>>)3-3xy(x+^)

a/n_zV工0+/+]=(”+%)>0

所以3孙(x+〉+l)=(x+N).当点p在第二、四象限时,3%%

所以当点尸是原点或在第一象限时,易得%+%>T,

所以c正确.

33%>-.+人3卜+疔

由的(x+y+l)=(x+>可得-x+y+1I2人解得x+"3,所以x°+%<3,

D正确.

故选:BCD

12.【正确答案】T4

1-21&=C;[口(-2/=(-2/3

【详解】5展开式的通项I"

令一7=-6,可得,=1,则的系数为(-2)C”T4.

故T4

_3

13.【正确答案】5/-0.6

【详解】因为而*6,。©电兀),匹[°,兀),sm(a+9)=sm(/?+°)=与,

所以。+9+万+夕=兀+2而,keZ,即&_/?=兀_2(£+夕)+2析,keZ

3

故cos(a-p)=cos[兀一2(尸+0)]=-cos2(^+^?)=2sin2(4+夕)-1二--

.3

故答案为「5

14.【正确答案】(一°°河U[2,+8)

【详解】当。=。时,/(x-/)”(x)显然恒成立,

当。二°时,可以理解为将/(X)的图象向右平移/个单位长度后,

得到的,(“一/)的图象始终在/(“)的图象的下方(或重合).

当x>0时,/(x)=x-a,可知当x<0时,“x)=x+。,

平移之后,当x>/时,f(x-a2y=x-a-a^当x</时,f(x-a2^=x+a-a-

当。>0时,由图象,

可知,a2-a>a,解得心2;

当a<°时,/(X-/)的图象始终在/GO的图象的下方.

故°的取值范围为(-8,°132,+8),

故(-8,0]u[2,+8)

15.【正确答案】(1)证明见解析

⑵逐

cosA_sin5

【详解】(1)因为sin41+cosB,所以cosZ+cos/cos8=sin4sin8,

即cosA--cosAcos8+sin/sin8=-cos(A+B)=cosC

所以/=C,VZ8C是等腰三角形.

,71B

/I----------------

(2)由(1)知4=C,所以a=c=l,22

B

b2=a2+c2-laccosB=2-2cos5=4sin2—

2

0<—<—,sin—>0,Z>=2sin—

因为0<8<兀,所以2222.

./.「兀2B

smZ=sm=cos——

(22J2

b+sin/=2sin0+cos—=V5sin|—+(z)|<V5tan/n-1

22(2"J,其中tan"?,

—\-(P——F2ATI,kGZ

当且仅当22时,等号成立,

所以6+sin/的最大值为V5.

AE=-

16.【正确答案】(1)2

⑵际

1cC4

—•a'2Q•2Q——

【详解】(1)设43=。,则P/=4D=2a,该四棱锥的体积为33,

解得。=1,即AB=1,PA=AD=2.

以/为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则8(100),

C(1,2,0)P(0,0,2)

,,

Z>(0,2,0)在=(1,0,0)CP-(-1,-2,2)丽=(0,2,-2)

设方=2臣=(-4-2424)则E(l-42-2422)=(1-/1,2-22,2/1)

——.——-2=—

若4ELPD,则4E-PD=4-8/l=0,解得2,即£为尸C的中点.

设平面ABE的法向量为拓=屈为4),

(——,玉=°,

ABn=O,,]

则唧[2取乂=L得九=(0,1,-1).

设平面PBE的法向量为比=(与力/2),

BC-m=0,]2%=0,

则CP-m=0,即-2%+2z?=0,取z?=1得而=(2,0,1)

设二面角尸-5E-/的大小为0,

,3

|cos6»|=|cosn,«7|=叵a屈

msin”=-------

则旧祠I10,所以10,

3M

所以二面角尸-5E-4的正弦值为1T.

11

17.【正确答案】(1)万

E(X)=—

(2)分布列见解析,3

【详解】(1)若甲同学初赛不被淘汰,则他答对中级编程题的数量至少为

60-5x6.

-----------=3

10

则甲同学初赛不被淘汰的概率为

11611

1-----——

所以甲同学初赛被淘汰的概率为2727.

(2)由题意X可取70,80,90,100,110,120,130,

22

P(X=70)=124

x

则381

P(Jf=80)=fex|x|2(216

x

381

222

尸3=90)=仁21

x+心\2旦

3323381

1216

C'x-x-xx—x—=——

所以X的分布列为:

X708090100110120130

41620161744

P

81818181818181

4290

^m=70x—+80x—+90x—+100x—+110x—+120X—+130x—

故''81818181818181"T

18.【正确答案】(1)129

(2)证明见解析

【详解】(1)因为«0,-2⑸是椭圆

C的一个顶点,所以a=2班.

当点尸与C的左顶点或右顶点重合时,△尸耳区的面积最大,其为等边三角形,满足

b=®,又因为所以b=3,c=4i.

Hi

故椭圆C的标准方程为129.

(2)

-2后”0),P(xM)

方j

由>=区—23\得g左2+4)/—=0

_玉+0_66左-873

y()=kx0-2y=

所以/=丁=3/+43左2+4

J6显-8也、

M--——

|-tJH1+43尸+4,

即B点'3k

4

y------x

所以直线。河的方程为3k.

令严4反得。什限,4行).

又。E〃AP,所以直线0E的方程为N=..

d塔s'

令J=4J3,得I左J.

延长防交。D于N,延长S交OE于

丽.历=(-述,-361136左,46)=0

由Ik)K),得%,0D,则NF;ND=90。.

DFl-OE=(3y/3k,-3^)(—,4-5\=0

同理由'7<kJ,得°耳,0%则/耳近=90。

因为"EK=90°一NERH,AODFX=90°-NDF、N,显然NEF、H=4DRN,

所以/。£片=/°。片.

19.【正确答案】(1){”

(2)(-OO,1]U[3,+CO)

⑶G蚯,+8)

x2-3x-40

【详解】(1)由"x)=x,得一1一一,

解得尤=T或x=4,

故/(x)在(0,+8)上的不动点集为{4}.

(兀兀)

("I)尤-sin2x=0在「5以上有且只有一个实

(2)方法一:由题可知,关于x的方程

数根.

即方程("1卜=,访2》在1只有一解.

因为x=O是方程("l)x=sin2x的解,所以方程("l)x=sin2x在[pH]上无

解.

I2’2)的图象,如下图:

由夕=$也2工,,=2cos2x,所以J'(°)=2.

当a-122或a-lVO即或aWl时,=(0-1)xJ=sin2x

的图象只有

一个交点.

所以a的取值范围是.(-8,1]口[3,+8)

(a-l)x-sin2x=0在

方法二:由题可知,关于x的方程上有且只有一个实数根.

人夕(x)=(a-l)x-sin2x贝cp'(x)=a-1-2cos2x

71717171

若此3,则。")上°在

252上恒成立,租(久)在上单调递增.

依山>07171

因为2,所以9(久)在252上有且仅有一个零

点,即gG)在

上有且仅有一个不动点.

71717171

若。工一1,则夕'(x)W°在5

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