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文档简介
2024-2025学年贵州省遵义市高三上学期第四次月考(12月)
数学检测试题
一、单选题(本大题共8小题)
1.已知复数Z满足Z-i=i2°24,则2=()
A.-1B.-iC.iD.1
2
2.已知集合2={123,4},5={X|X-2X-4<0};则仙=()
A.{234}B.{USc.{GM}D0
3,已知向量"=(1/),6=(匹2),若。,(2°+与,则》=()
A.-6B.-4C.-1D.0
4.已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.
为了解各学段学生对航展的爱好程度,用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调
查,则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数(估计值)分别为(
图1图2
A.200,24B.200,28C.100,24D.100,28
5.若函数/(x)="Mx+2x的图象在点(1,2)处的切线不经过第二象限,且该切线与坐标
轴所围成的三角形的面积为7,则〃=()
_22
A.-1B.3c.3D.1
6.已知,〃},也}均为等差数列,且%=4=1,&=4,则数列{〃〃+“}的前9项和为
()
A.45B.50C.54D.60
7.已知尸是抛物线V=12x上的动点,”是抛物线的准线/上的动点,"(0,4),则
忸M+冲1的最小值是()
A.5B.4C.4及D.372
8.如图,正方体的棱长为%E,尸分别为棱8,G2的中点,则
三棱锥尸-/DE外接球的体积为()
C.327tD.36%
二、多选题(本大题共3小题)
9.已知函数"x)的定义域为R,且W(x)=^G),则/(x)的解析式可以为()
A.小)=0B./O'c."x)=2xD./(力工?
y^sin^
10.已知函数5-COS2X,则()
A./(X)为奇函数B./(X)的最大值为]
C./(X)的最小正周期为支D./(X)的图象关于直线x=兀对称
11.笛卡尔叶形线是一个代数曲线,首先由笛卡儿在1638年提出.如图,叶形线
Ud+j?经过点
点p(xo,y。)在c上,则下列结论正确的是()
A.直线V=-x与C有3个公共点B.若点尸在第二象限,则工。+为<°
Q%+%>一]D.%+为43
三、填空题(本大题共3小题)
p•一2;
12.在I》>的展开式中,犷6的系数为
13.已知八力,aM,"[。叫sin(a+°)=sin3+e)=歹,则c°s(a")=
14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>。时,/(x)=x-“.若VxeR,
f(x-a2)<f(x^则。的取值范围为.
四、解答题(本大题共5小题)
cosAsinB
15.记V48c的内角A,B,C的对边分别为。,b,c,已知sin/1+cosS.
(1)证明:V/2C是等腰三角形.
(2)若。=1,求6+sin”的最大值.
16.如图,在四棱锥P-NBCZ)中,底面为矩形,尸/,平面/BCD,
4
PA=AD=2AB,£为线段PC上一点,AELPD,且该四棱锥的体积为3.
P
(1)求AE的长度;
(2)求二面角尸-3E-/的正弦值.
17.某项编程技能比赛分为两轮:第一轮初赛,赛题由6道基础编程题和4道中级编
程题组成,基础编程题每题答对得5分,中级编程题每题答对得10分,初赛至少得
60分才能进入第二轮复赛,否则淘汰;第二轮复赛,赛题由2道中级编程题和2道
高级编程题组成,中级编程题每题答对得10分,高级编程题每题答对得20分.所有
的题答错都不扣分.已知甲同学能答对每道基础编程题,中级编程题每题答对的概率为
2]_
3,高级编程题每题答对的概率为3,且各题答对与否互不影响.
(1)求甲同学初赛被淘汰的概率;
(2)已知甲同学第一轮初赛得满分70分,求甲同学两轮比赛所得总分X的分布列及期
望.
22
18.已知片,片分别为椭圆+记一乂”…)的上、下焦点,'(°厂2百)是椭圆
C的一个顶点,尸是椭圆C上的动点,P,I片三点不共线,当△尸耳耳的面积最大
时,其为等边三角形.
(1)求椭圆0的标准方程;
(2)若M为4尸的中点,°为坐标原点,直线加交直线了=46于点。,过点。作
0E〃/P交直线了=于点£,证明:NOEF\=NODR.
19.己知函数/(X)的定义域为/,区间。G/,若则称/是
"X)在。上的不动点,集合"={%"向)=%,/€。}为/@)在。上的不动点集.
⑴求函数"x)-2x一——在(0,+s)上的不动点集;
兀71
⑵若函数gG)="一,缶2》在
212上有且只有一个不动点,求。的取值范围;
⑶若函数“卜)=/-(3疗-1b+1(加>°)在R上的不动点集为任应应},求
x;+考+考的取值范围.
答案
1.【正确答案】B
【详解】因为Z-id024=1,所以Z=T.
故选:B
2.【正确答案】B
[详解]由f_2x-4<0,l-6<x<l+石,所以*91一石<》<1+
所以/c3={l,2,3}.
故选:B
3.【正确答案】A
【详解】因为"=("),"=(x,2),所以2N+B=2(1,1)+(X,2)=(2+X,4)
aJ-(2a+61t।万,«万+6)=2+%+4=0久
又l4所以<J,解得x=-6.
故选:A
4.【正确答案】D
(4000+3500+2500)x1%=100
【详解】样本量为
抽取的初中生人数为4000x1%=40,
所以抽取的初中生里购买航展模型的人数约为40x70%=28.
故选:D
5.【正确答案】D
【详解】由/(x)=alnx+2x,得了O—,小”.,
则/(x)的图象在点(L2)处的切线方程为尸(。+2)…,
由题意可知。+2彳0,
a
将x=0代入切线方程,得y=-a,将>=°代入切线方程,得X一五i,
因为该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为6,
a
l|_al.=L_2
所以5a+2%,解得0=1或”-3,
当。=1时,切线经过第一、三、四象限,符合题意;
__2
当“一§时,切线经过第一、二、三象限,不符合题意
故。=1.
故选:D
6.【正确答案】C
【详解】因也}均为等差数列,且%=4,可得包}的公差为匚I
则an=1+("T)=",
而{%+0}的前9项和为为+出+…+旬+4+打+…+4
9(1+9)b,+bn0.,..
=—----+」——x9=45+a*9n=54
225
故选:C.
7.【正确答案】A
【详解】抛物线,=⑵的焦点为歹(3,0),准线/的方程为x=-3,
当尸时,1尸1图的值最小,此时,由抛物线的定义,可得\PM\=\PF\,
8.【正确答案】D
【详解】因为V/DE为直角三角形,其外接圆圆心为/E的中点,
设/£的中点为G,过G作平面/BCD的垂线与/月交于点。,
OA=-AF=-ylEF2+AE2=3
22
—x33=3671
三棱锥尸一/DE外接球的体积为3
故选:D
9.【正确答案】ABC
【详解】首先,各选项给出的函数定义域均为R.
对A:W(x)=yx0=0,^&)=xx0=0,所以W(x)=4'3)成立,故A符合题意;
对B:W(x)=A,犷>00=盯,所以W(x)=^。)成立,故B符合题意;
对C:yf(x)=yx2x=2xyxf(y)=xx2y=2xy所以W(x)=犷&)成立,故c符合题
忌;
对D:yf(x)=yxx2=x2yxf(y)=xxy2=xy2所以0。)=好'(V)不是恒成立,故口
不合题意.
故选:ABC
10.【正确答案】AB
sin(一x)sinx
2sinxsinx则…=-f(x)
/(x)=22
【详解】5-cos2%3-cos2x,3-cos(-x)3-cosx
所以/(x)为奇函数,A正确.
sin(x+7i)sinx
/(X+Tl)=-f(x)
3-COS2(x+7l)3-cos2X
,所
以7(x)的最小正周期不是兀,C不正确.
sin(2K-x)sinx
“2兀-x)==~f(x)
3-cos2(2兀-x)3-cos2x
所以/(X)的图象不关于直线X=7I对称,D不正确.
sinxsinx
f(x)=
3-cos2x2+sin2x,
显然/(X)=/(X+2TI),且/(0)=/(兀)=o.
小)=----
当xe(O,兀)时,SinX+sinT,
由0<sinx41,设f=sinx,/e(O,l],
2-+t>2.p--t=2y/2
根据基本不等式,t\t
2_t
当且仅当t~,即等号成立,显然不成立,
222^,
—foil—1~,23-------Fsinx23
则/在“,“单调递减,所以t,即sin%
"x)=21.6
------+sinx
所以sin%
]_
当xe(无,2%)时,/(x)<0,所以f(x)的最大值为B正确.
故选:AB
11.【正确答案】BCD
一小,』
【详解】因为叶形线C:x+>=叼经过点【22九所以〃=3.
卜3+/=3中,
联立1了=一招,解得x=V=°,所以直线〉=f与C只有1个公共点,A错误.
x3+y3-3xy-(x+y^(x2—xy+y2(x+y)[(x+j)~-3xyj
因为点尸在第二象限,所以%%<0,(%+%)--3工。外>0
3%为八
xQ+yQ=---------------------<0
所以(%+%)-3%%,B正确.
若点尸在第四象限,则%为<0,可推出%+%<0.
因为x3+y=3xy=(x+>>)(x2-xy+/)=(x+^)[(x+^)2-3xy]=(%+>>)3-3xy(x+^)
a/n_zV工0+/+]=(”+%)>0
所以3孙(x+〉+l)=(x+N).当点p在第二、四象限时,3%%
所以当点尸是原点或在第一象限时,易得%+%>T,
所以c正确.
33%>-.+人3卜+疔
由的(x+y+l)=(x+>可得-x+y+1I2人解得x+"3,所以x°+%<3,
D正确.
故选:BCD
12.【正确答案】T4
1-21&=C;[口(-2/=(-2/3
【详解】5展开式的通项I"
令一7=-6,可得,=1,则的系数为(-2)C”T4.
故T4
_3
13.【正确答案】5/-0.6
【详解】因为而*6,。©电兀),匹[°,兀),sm(a+9)=sm(/?+°)=与,
所以。+9+万+夕=兀+2而,keZ,即&_/?=兀_2(£+夕)+2析,keZ
3
故cos(a-p)=cos[兀一2(尸+0)]=-cos2(^+^?)=2sin2(4+夕)-1二--
.3
故答案为「5
14.【正确答案】(一°°河U[2,+8)
【详解】当。=。时,/(x-/)”(x)显然恒成立,
当。二°时,可以理解为将/(X)的图象向右平移/个单位长度后,
得到的,(“一/)的图象始终在/(“)的图象的下方(或重合).
当x>0时,/(x)=x-a,可知当x<0时,“x)=x+。,
平移之后,当x>/时,f(x-a2y=x-a-a^当x</时,f(x-a2^=x+a-a-
当。>0时,由图象,
可知,a2-a>a,解得心2;
当a<°时,/(X-/)的图象始终在/GO的图象的下方.
故°的取值范围为(-8,°132,+8),
故(-8,0]u[2,+8)
15.【正确答案】(1)证明见解析
⑵逐
cosA_sin5
【详解】(1)因为sin41+cosB,所以cosZ+cos/cos8=sin4sin8,
即cosA--cosAcos8+sin/sin8=-cos(A+B)=cosC
所以/=C,VZ8C是等腰三角形.
,71B
/I----------------
(2)由(1)知4=C,所以a=c=l,22
B
b2=a2+c2-laccosB=2-2cos5=4sin2—
2
0<—<—,sin—>0,Z>=2sin—
因为0<8<兀,所以2222.
./.「兀2B
smZ=sm=cos——
(22J2
b+sin/=2sin0+cos—=V5sin|—+(z)|<V5tan/n-1
22(2"J,其中tan"?,
—\-(P——F2ATI,kGZ
当且仅当22时,等号成立,
所以6+sin/的最大值为V5.
AE=-
16.【正确答案】(1)2
⑵际
1cC4
—•a'2Q•2Q——
【详解】(1)设43=。,则P/=4D=2a,该四棱锥的体积为33,
解得。=1,即AB=1,PA=AD=2.
以/为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则8(100),
C(1,2,0)P(0,0,2)
,,
Z>(0,2,0)在=(1,0,0)CP-(-1,-2,2)丽=(0,2,-2)
设方=2臣=(-4-2424)则E(l-42-2422)=(1-/1,2-22,2/1)
——.——-2=—
若4ELPD,则4E-PD=4-8/l=0,解得2,即£为尸C的中点.
设平面ABE的法向量为拓=屈为4),
(——,玉=°,
ABn=O,,]
则唧[2取乂=L得九=(0,1,-1).
设平面PBE的法向量为比=(与力/2),
BC-m=0,]2%=0,
则CP-m=0,即-2%+2z?=0,取z?=1得而=(2,0,1)
设二面角尸-5E-/的大小为0,
,3
|cos6»|=|cosn,«7|=叵a屈
msin”=-------
则旧祠I10,所以10,
3M
所以二面角尸-5E-4的正弦值为1T.
11
17.【正确答案】(1)万
E(X)=—
(2)分布列见解析,3
【详解】(1)若甲同学初赛不被淘汰,则他答对中级编程题的数量至少为
60-5x6.
-----------=3
10
则甲同学初赛不被淘汰的概率为
11611
1-----——
所以甲同学初赛被淘汰的概率为2727.
(2)由题意X可取70,80,90,100,110,120,130,
22
P(X=70)=124
x
则381
P(Jf=80)=fex|x|2(216
x
381
222
尸3=90)=仁21
x+心\2旦
3323381
1216
C'x-x-xx—x—=——
所以X的分布列为:
X708090100110120130
41620161744
P
81818181818181
4290
^m=70x—+80x—+90x—+100x—+110x—+120X—+130x—
故''81818181818181"T
18.【正确答案】(1)129
(2)证明见解析
【详解】(1)因为«0,-2⑸是椭圆
C的一个顶点,所以a=2班.
当点尸与C的左顶点或右顶点重合时,△尸耳区的面积最大,其为等边三角形,满足
b=®,又因为所以b=3,c=4i.
Hi
故椭圆C的标准方程为129.
(2)
-2后”0),P(xM)
方j
由>=区—23\得g左2+4)/—=0
_玉+0_66左-873
y()=kx0-2y=
所以/=丁=3/+43左2+4
J6显-8也、
M--——
|-tJH1+43尸+4,
即B点'3k
4
y------x
所以直线。河的方程为3k.
令严4反得。什限,4行).
又。E〃AP,所以直线0E的方程为N=..
d塔s'
令J=4J3,得I左J.
延长防交。D于N,延长S交OE于
丽.历=(-述,-361136左,46)=0
由Ik)K),得%,0D,则NF;ND=90。.
DFl-OE=(3y/3k,-3^)(—,4-5\=0
同理由'7<kJ,得°耳,0%则/耳近=90。
因为"EK=90°一NERH,AODFX=90°-NDF、N,显然NEF、H=4DRN,
所以/。£片=/°。片.
19.【正确答案】(1){”
(2)(-OO,1]U[3,+CO)
⑶G蚯,+8)
x2-3x-40
【详解】(1)由"x)=x,得一1一一,
解得尤=T或x=4,
故/(x)在(0,+8)上的不动点集为{4}.
(兀兀)
("I)尤-sin2x=0在「5以上有且只有一个实
(2)方法一:由题可知,关于x的方程
数根.
即方程("1卜=,访2》在1只有一解.
因为x=O是方程("l)x=sin2x的解,所以方程("l)x=sin2x在[pH]上无
解.
I2’2)的图象,如下图:
由夕=$也2工,,=2cos2x,所以J'(°)=2.
当a-122或a-lVO即或aWl时,=(0-1)xJ=sin2x
的图象只有
一个交点.
所以a的取值范围是.(-8,1]口[3,+8)
(a-l)x-sin2x=0在
方法二:由题可知,关于x的方程上有且只有一个实数根.
人夕(x)=(a-l)x-sin2x贝cp'(x)=a-1-2cos2x
71717171
若此3,则。")上°在
252上恒成立,租(久)在上单调递增.
依山>07171
因为2,所以9(久)在252上有且仅有一个零
点,即gG)在
上有且仅有一个不动点.
71717171
若。工一1,则夕'(x)W°在5
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