2024-2025学年贵州省遵义市高三年级上册第四次月考（12月）数学检测试题（含解析）

2024-2025学年贵州省遵义市高三上学期第四次月考（12月）

数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知复数Z满足Z-i=i2°24,则2=（）

A.-1B.-iC.iD.1

2

2.已知集合2={123,4},5={X|X-2X-4<0}；则仙=（）

A.{234}B.{USc.{GM}D0

3,已知向量"=（1/），6=（匹2）,若。，（2°+与，则》=（）

A.-6B.-4C.-1D.0

4.已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.

为了解各学段学生对航展的爱好程度，用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调

查，则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数（估计值）分别为（

图1图2

A.200,24B.200,28C.100,24D.100,28

5.若函数/（x）="Mx+2x的图象在点（1,2）处的切线不经过第二象限，且该切线与坐标

轴所围成的三角形的面积为7,则〃=（）

_22

A.-1B.3c.3D.1

6.已知,〃},也}均为等差数列，且％=4=1,&=4,则数列{〃〃+“}的前9项和为

（）

A.45B.50C.54D.60

7.已知尸是抛物线V=12x上的动点，”是抛物线的准线/上的动点，"（0,4）,则

忸M+冲1的最小值是（）

A.5B.4C.4及D.372

8.如图，正方体的棱长为%E,尸分别为棱8,G2的中点，则

三棱锥尸-/DE外接球的体积为（)

C.327tD.36%

二、多选题（本大题共3小题）

9.已知函数"x）的定义域为R,且W（x）=^G）,则/（x）的解析式可以为（）

A.小）=0B./O'c."x）=2xD./（力工？

y^sin^

10.已知函数5-COS2X,则（）

A./（X）为奇函数B./（X）的最大值为］

C./（X）的最小正周期为支D./（X）的图象关于直线x=兀对称

11.笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在1638年提出.如图，叶形线

Ud+j?经过点

点p（xo，y。）在c上，则下列结论正确的是（）

A.直线V=-x与C有3个公共点B.若点尸在第二象限，则工。+为＜°

Q%+%＞一］D.%+为43

三、填空题（本大题共3小题）

p•一2；

12.在I》＞的展开式中，犷6的系数为

13.已知八力,aM,"[。叫sin(a+°)=sin3+e)=歹,则c°s(a")=

14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>。时，/(x)=x-“.若VxeR,

f(x-a2)<f(x^则。的取值范围为.

四、解答题(本大题共5小题)

cosAsinB

15.记V48c的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知sin/1+cosS.

(1)证明：V/2C是等腰三角形.

(2)若。=1,求6+sin”的最大值.

16.如图，在四棱锥P-NBCZ)中，底面为矩形，尸/，平面/BCD,

4

PA=AD=2AB,£为线段PC上一点，AELPD,且该四棱锥的体积为3.

P

(1)求AE的长度；

(2)求二面角尸-3E-/的正弦值.

17.某项编程技能比赛分为两轮：第一轮初赛，赛题由6道基础编程题和4道中级编

程题组成，基础编程题每题答对得5分，中级编程题每题答对得10分，初赛至少得

60分才能进入第二轮复赛，否则淘汰；第二轮复赛，赛题由2道中级编程题和2道

高级编程题组成，中级编程题每题答对得10分，高级编程题每题答对得20分.所有

的题答错都不扣分.已知甲同学能答对每道基础编程题，中级编程题每题答对的概率为

2]_

3,高级编程题每题答对的概率为3,且各题答对与否互不影响.

(1)求甲同学初赛被淘汰的概率；

(2)已知甲同学第一轮初赛得满分70分，求甲同学两轮比赛所得总分X的分布列及期

望.

22

18.已知片，片分别为椭圆+记一乂”…）的上、下焦点，'（°厂2百）是椭圆

C的一个顶点，尸是椭圆C上的动点，P,I片三点不共线，当△尸耳耳的面积最大

时，其为等边三角形.

（1）求椭圆0的标准方程；

（2）若M为4尸的中点，°为坐标原点，直线加交直线了=46于点。，过点。作

0E〃/P交直线了=于点£,证明：NOEF\=NODR.

19.己知函数/（X）的定义域为/,区间。G/,若则称/是

"X）在。上的不动点，集合"=｛%"向）=%，/€。｝为/@）在。上的不动点集.

⑴求函数"x）-2x一——在（0,+s）上的不动点集;

兀71

⑵若函数gG）="一,缶2》在

212上有且只有一个不动点，求。的取值范围;

⑶若函数“卜）=/-（3疗-1b+1（加＞°）在R上的不动点集为任应应｝,求

x；+考+考的取值范围.

答案

1.【正确答案】B

【详解】因为Z-id024=1,所以Z=T.

故选：B

2.【正确答案】B

［详解］由f_2x-4<0,l-6<x<l+石，所以*91一石<》<1+

所以/c3={l,2,3}.

故选：B

3.【正确答案】A

【详解】因为"=（"）,"=（x，2）,所以2N+B=2（1,1）+（X,2）=（2+X,4）

aJ-(2a+61t।万,«万+6)=2+%+4=0久

又l4所以＜J,解得x=-6.

故选：A

4.【正确答案】D

(4000+3500+2500)x1%=100

【详解】样本量为

抽取的初中生人数为4000x1%=40,

所以抽取的初中生里购买航展模型的人数约为40x70%=28.

故选：D

5.【正确答案】D

【详解】由/（x）=alnx+2x,得了O—,小”.，

则/（x）的图象在点（L2）处的切线方程为尸（。+2）…,

由题意可知。+2彳0,

a

将x=0代入切线方程，得y=-a,将>=°代入切线方程，得X一五i,

因为该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为6,

a

l|_al.=L_2

所以5a+2%,解得0=1或”-3,

当。=1时，切线经过第一、三、四象限，符合题意；

__2

当“一§时，切线经过第一、二、三象限，不符合题意

故。=1.

故选：D

6.【正确答案】C

【详解】因也｝均为等差数列，且%=4,可得包｝的公差为匚I

则an=1+("T)=",

而｛%+0｝的前9项和为为+出+…+旬+4+打+…+4

9(1+9)b,+bn0.,..

=—----+」——x9=45+a*9n=54

225

故选：C.

7.【正确答案】A

【详解】抛物线,=⑵的焦点为歹(3,0),准线/的方程为x=-3,

当尸时，1尸1图的值最小，此时，由抛物线的定义，可得\PM\=\PF\,

8.【正确答案】D

【详解】因为V/DE为直角三角形，其外接圆圆心为/E的中点,

设/£的中点为G,过G作平面/BCD的垂线与/月交于点。,

OA=-AF=-ylEF2+AE2=3

22

—x33=3671

三棱锥尸一/DE外接球的体积为3

故选：D

9.【正确答案】ABC

【详解】首先，各选项给出的函数定义域均为R.

对A：W(x)=yx0=0,^&)=xx0=0,所以W(x)=4'3)成立，故A符合题意;

对B：W（x）=A,犷＞00=盯，所以W（x）=^。）成立，故B符合题意;

对C：yf(x)=yx2x=2xyxf（y）=xx2y=2xy所以W（x）=犷&）成立，故c符合题

忌；

对D：yf(x)=yxx2=x2yxf（y）=xxy2=xy2所以0。）=好'（V）不是恒成立，故口

不合题意.

故选：ABC

10.【正确答案】AB

sin(一x)sinx

2sinxsinx则…=-f(x)

/（x）=22

【详解】5-cos2%3-cos2x,3-cos(-x)3-cosx

所以/（x）为奇函数，A正确.

sin(x+7i)sinx

/(X+Tl)=-f(x)

3-COS2(x+7l)3-cos2X

,所

以7（x）的最小正周期不是兀，C不正确.

sin(2K-x)sinx

“2兀-x)==~f(x)

3-cos2(2兀-x)3-cos2x

所以/（X）的图象不关于直线X=7I对称，D不正确.

sinxsinx

f(x)=

3-cos2x2+sin2x,

显然/(X)=/(X+2TI),且/(0)=/(兀)=o.

小)=----

当xe(O,兀)时，SinX+sinT,

由0<sinx41,设f=sinx,/e(O,l],

2-+t>2.p--t=2y/2

根据基本不等式，t\t

2_t

当且仅当t~,即等号成立，显然不成立,

222^,

—foil—1~，23-------Fsinx23

则/在“，“单调递减，所以t,即sin%

"x)=21.6

------+sinx

所以sin%

]_

当xe（无,2%）时，/（x）<0,所以f（x）的最大值为B正确.

故选：AB

11.【正确答案】BCD

一小，』

【详解】因为叶形线C:x+>=叼经过点【22九所以〃=3.

卜3+/=3中，

联立1了=一招，解得x=V=°,所以直线〉=f与C只有1个公共点，A错误.

x3+y3-3xy-(x+y^(x2—xy+y2(x+y)[(x+j)~-3xyj

因为点尸在第二象限，所以％%<0,(%+%)--3工。外>0

3%为八

xQ+yQ=---------------------<0

所以(%+%)-3%%,B正确.

若点尸在第四象限，则%为<0,可推出%+%<0.

因为x3+y=3xy=(x+>>)(x2-xy+/)=(x+^)[(x+^)2-3xy]=(%+>>)3-3xy(x+^)

a/n_zV工0+/+]=（”+%）>0

所以3孙（x+〉+l）=（x+N）.当点p在第二、四象限时，3%%

所以当点尸是原点或在第一象限时，易得%+%>T,

所以c正确.

33%>-.+人3卜+疔

由的(x+y+l)=(x+>可得-x+y+1I2人解得x+"3,所以x°+%<3,

D正确.

故选：BCD

12.【正确答案】T4

1-21&=C；[口（-2/=（-2/3

【详解】5展开式的通项I"

令一7=-6,可得，=1,则的系数为（-2）C”T4.

故T4

_3

13.【正确答案】5/-0.6

【详解】因为而*6，。©电兀）,匹[°，兀），sm（a+9）=sm（/?+°）=与，

所以。+9+万+夕=兀+2而，keZ,即&_/?=兀_2（£+夕）+2析，keZ

3

故cos（a-p）=cos[兀一2（尸+0）]=-cos2（^+^?）=2sin2（4+夕）-1二--

.3

故答案为「5

14.【正确答案】（一°°河U[2,+8）

【详解】当。=。时，/（x-/）”（x）显然恒成立，

当。二°时，可以理解为将/（X）的图象向右平移/个单位长度后,

得到的,（“一/）的图象始终在/（“）的图象的下方（或重合）.

当x>0时，/（x）=x-a,可知当x<0时，“x）=x+。，

平移之后，当x>/时，f（x-a2y=x-a-a^当x</时，f（x-a2^=x+a-a-

当。>0时，由图象，

可知，a2-a>a,解得心2；

当a<°时，/（X-/）的图象始终在/GO的图象的下方.

故°的取值范围为（-8，°132,+8）,

故（-8,0]u[2,+8）

15.【正确答案】（1）证明见解析

⑵逐

cosA_sin5

【详解】（1）因为sin41+cosB,所以cosZ+cos/cos8=sin4sin8,

即cosA--cosAcos8+sin/sin8=-cos（A+B）=cosC

所以/=C,VZ8C是等腰三角形.

,71B

/I----------------

(2)由(1)知4=C,所以a=c=l,22

B

b2=a2+c2-laccosB=2-2cos5=4sin2—

2

0<—<—,sin—>0,Z>=2sin—

因为0<8<兀，所以2222.

./.「兀2B

smZ=sm=cos——

(22J2

b+sin/=2sin0+cos—=V5sin|—+(z)|<V5tan/n-1

22(2"J,其中tan"?,

—\-(P——F2ATI,kGZ

当且仅当22时，等号成立，

所以6+sin/的最大值为V5.

AE=-

16.【正确答案】(1)2

⑵际

1cC4

—•a'2Q•2Q——

【详解】(1)设43=。，则P/=4D=2a,该四棱锥的体积为33,

解得。=1,即AB=1,PA=AD=2.

以/为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则8(100),

C(1,2,0)P(0,0,2)

，，

Z>(0,2,0)在=(1,0,0)CP-(-1,-2,2)丽=(0,2,-2)

设方=2臣=(-4-2424)则E(l-42-2422)=(1-/1,2-22,2/1)

——.——-2=—

若4ELPD,则4E-PD=4-8/l=0,解得2,即£为尸C的中点.

设平面ABE的法向量为拓=屈为4）,

（——,玉=°,

ABn=O,，］

则唧［2取乂=L得九=（0,1，-1）.

设平面PBE的法向量为比=（与力/2）,

BC-m=0,］2%=0,

则CP-m=0,即-2%+2z?=0,取z?=1得而=（2,0,1）

设二面角尸-5E-/的大小为0,

,3

|cos6»|=|cosn,«7|=叵a屈

msin”=-------

则旧祠I10，所以10,

3M

所以二面角尸-5E-4的正弦值为1T.

11

17.【正确答案】（1）万

E（X）=—

（2）分布列见解析，3

【详解】（1）若甲同学初赛不被淘汰，则他答对中级编程题的数量至少为

60-5x6.

-----------=3

10

则甲同学初赛不被淘汰的概率为

11611

1-----——

所以甲同学初赛被淘汰的概率为2727.

（2）由题意X可取70,80,90,100,110,120,130,

22

P（X=70）=124

x

则381

P（Jf=80）=fex|x|2（216

x

381

222

尸3=90）=仁21

x+心\2旦

3323381

1216

C'x-x-xx—x—=——

所以X的分布列为:

X708090100110120130

41620161744

P

81818181818181

4290

^m=70x—+80x—+90x—+100x—+110x—+120X—+130x—

故''81818181818181"T

18.【正确答案】（1）129

（2）证明见解析

【详解】（1）因为«0,-2⑸是椭圆

C的一个顶点，所以a=2班.

当点尸与C的左顶点或右顶点重合时，△尸耳区的面积最大，其为等边三角形，满足

b=®,又因为所以b=3,c=4i.

Hi

故椭圆C的标准方程为129.

（2）

-2后”0),P(xM)

方j

由>=区—23\得g左2+4)/—=0

_玉+0_66左-873

y()=kx0-2y=

所以/=丁=3/+43左2+4

J6显-8也、

M--——

|-tJH1+43尸+4,

即B点'3k

4

y------x

所以直线。河的方程为3k.

令严4反得。什限，4行）.

又。E〃AP,所以直线0E的方程为N=..

d塔s'

令J=4J3,得I左J.

延长防交。D于N,延长S交OE于

丽.历=(-述,-361136左,46)=0

由Ik)K)，得%，0D,则NF；ND=90。.

DFl-OE=(3y/3k,-3^)(—,4-5\=0

同理由'7<kJ，得°耳,0%则/耳近=90。

因为"EK=90°一NERH,AODFX=90°-NDF、N,显然NEF、H=4DRN,

所以/。£片=/°。片.

19.【正确答案】(1){”

(2)(-OO,1]U[3,+CO)

⑶G蚯，+8)

x2-3x-40

【详解】(1)由"x)=x,得一1一一,

解得尤=T或x=4,

故/(x)在(0,+8)上的不动点集为{4}.

(兀兀)

("I)尤-sin2x=0在「5以上有且只有一个实

(2)方法一：由题可知，关于x的方程

数根.

即方程("1卜=,访2》在1只有一解.

因为x=O是方程("l)x=sin2x的解，所以方程("l)x=sin2x在［pH］上无

解.

I2’2)的图象，如下图:

由夕=$也2工，，=2cos2x,所以J'(°)=2.

当a-122或a-lVO即或aWl时，=(0-1)xJ=sin2x

的图象只有

一个交点.

所以a的取值范围是.（-8,1］口［3,+8）

(a-l)x-sin2x=0在

方法二：由题可知，关于x的方程上有且只有一个实数根.

人夕(x)=(a-l)x-sin2x贝cp'(x)=a-1-2cos2x

71717171

若此3,则。"）上°在

252上恒成立，租（久）在上单调递增.

依山＞07171

因为2,所以9（久）在252上有且仅有一个零

点，即gG）在

上有且仅有一个不动点.

71717171

若。工一1,则夕'（x）W°在5