2024-2025学年贵州省高二年级上册期中联考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年贵州省高二上学期期中联考数学检测试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.试卷分选择题和非选择题两部分，共19个小题，满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知直线1经过点尸(T°),0(—2,3),则直线1的斜率为()

。11

A.—3B.---C.3D.一

33

【正确答案】C

【分析】利用斜率坐标公式计算得解.

3-0

【详解】由直线1经过点？(—3,0),0(—2,3),得直线1的斜率左=,-=3.

-2一(-3)

故选：C

2.已知集合/={x|x=2k,keZ},B=|x|x=4k+2,keZ},贝“xe/"是"xeB”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分

也不必要条件

【正确答案】B

【分析】根据必要不充分条件的判定方法进行判断.

【详解】先看充分性：因为4eZ,但所以“xeZ”不是“xeB”的充分条件；

再看必要性：因为4左+2=2(2%+1),keZ,所以“xeB”是“xeZ”的充分条件，即

“xe/”是“xe3”的必要条件.

所以“xeZ”是“xe8”的必要不充分条件.

故选：B

已知数据为，与的极差为方差为则数据占

3.x2,04,2,3+5,3%+5,…，3x20+5

的极差和方差分别是（）

A.4,2B.4,18C.12,2D.12,18

【正确答案】D

【分析】根据极差和方差的性质运算可得.

【详解】新数据的极差是原数据极差的3倍，所以新数据的极差为：4x3=12；

新数据的方程是原数据方差的32倍，所以新数据的方差为.2x32=18

故选：D

4.在正方体48CD-4名G3中，直线8。与平面四所成角的正切值为（）

A.—B.—C.-D.V3

232,

【正确答案】B

[分析]连接4cl交BR于点o,连接08,易证4G1平面BDDB,可得ZQB0为直

线8G与平面803片所成角，设正方体/BCD-4鸟。13的棱长为。，进而结合勾股定理

及直角三角形中正切函数的定义即可计算求解.

【详解】如图，连接4G交及。于点。，连接

在正方体ABCD-中，4cl工BR,BBl±平面481G',

因为＜=平面4AG2，所以8与，4G，

又BB[cB[D]=B[,BB[,BRu平面BDDXBX,

所以4G，平面瓦仍同，

所以ZQBO为直线BQ与平面BDDXBX所成角，

设正方体ABCD-A[B]ClDi的棱长为a,

6________/7

则BBi=a,OBx=OCX=，则OB=《OBj+BB：=^-a，

4i

—a

tan/CM嗡

在Rt^OBG中,2

V63

—a

2

故选：B.

5.已知函数/(x)=e*+x,g(x)=lnx+x,〃(x)=•?+x的零点分别为。，b,c,则()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.

c<a<b

【正确答案】B

【分析】结合函数单调性，根据零点的定义列方程，确定各函数零点的正负情况，即可比较

a,b,c的大小.

【详解】显然：函数/a)=e"+x,g(x)=lnx+x,%(x)=/十1在定义域内都是增函数,

又f(a)=e"+a=0ne"=—Q>0na<。，

而g(6)=lnb+，=。中的6>。,

令h(c)=c3c=c(c2-^-1^=0=>c=0,

••・。，b,。的大小顺序为：a<c<b,

故选：B.

6.已知点/(1,0,1),5(3,1,2),C(2,0,3)，则衣在刀上的投影向量为()

224

A.B.D.

3?3?3

【正确答案】D

【分析】根据投影向量的求法求得正确答案.

【详解】^C=（1,O,2）,A8=（2,1,1）,

AC-ABAB4（2,1,1）

所以太在在上的投影向量为

y/~6y/6mi

故选：D

7.若直线加%+/少=1与圆/+/=i有交点，贝u（）

A.m2+n2..lB.nr+n2„1

C.m2+/>1D-ffl2+772<1

【正确答案】A

【分析】根据题意可知，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，进而可以列出不等式.

【详解】一+「=i的圆心为（o,。），半径7=1,

|-1|1

圆心（o,o）到直线mx+ny-i=Q的距离d=/,，-=,1，,,

\lm~+n2yjm2+n2

依题意，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，

1,

所以/,24I即病+/21.

7m+n

故选：A

8.已知实数%,歹满足/+/_41_2歹—4=0,则2x—>的最大值为（）

A.3+—B.3+75C.3+36D.12

5

【正确答案】C

【分析】令2x-y=左，利用判别式法即可.

［详解］令2x-y=左，则y=2x—后，

由X?+「一4x-2y-4=0,

得x2+（2x—左了一4x—2（2x—左）一4=0,

整理得，5x?—（4左+8）x+左2+2左一4=0,

因为存在实数x满足等式，

所以△=（4%+8）2—4、5义（左2+2%—4）20,

解得3—3若VkV3+36，

则2x-y的最大值为3+3指，此时x=2+述，y=\—9.

55

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9,下列命题中的真命题是（）

A.若直线a不在平面。内，则a〃a

B.若直线1上有无数个点不在平面a内，贝也〃a

C.若l〃a,则直线1与平面a内任何一条直线都没有公共点

D.平行于同一平面的两直线可以相交

【正确答案】CD

【分析】根据线面平行的性质可判断AB错误，C正确，在长方体中，存在4cl与相交，

且都与平面Z8CD平行，可得D正确.

【详解】对于A,直线a不在平面a内，直线a也可能与平a交，故A是假命题；

对于B,直线1与平a交时，1上也有无数个点不在平面。内，故B是假命题；

对于C,1〃a时，1与0没有公共点，所以1与a内任何一条直线都没有公共点，故C是真

命题；

对于D,在长方体ABCD-481GA中，4G与3。都与平面ABCD平行，且4G与相

交，故D是真命题.

故选：CD

23

10.甲、乙两人各投篮1次，己知甲命中的概率为一，乙命中的概率为一，且他们是否命中相

35

互独立，则（）

人A._,1__7

A.恰好有1人命中的概r率为一B.恰好有1人命中的概率为不

2

213

C.至多有1人命中的概率为一D.至少有1人命中的概率为—

515

【正确答案】BD

【分析】根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法计算公式求得正确答案.

22137

【详解】对于AB,由题意，恰好有1人命中的概率为一x—+—x—=—，故A错误，B正

353515

确；

对于C,至多有1人命中包含0人命中和恰好1人命中，

1273

因此至多有1人命中的概率为—x—+—=—,故C错误；

35155

对于D,至少有1人命中包含恰好1人命中和2人都命中，

72313

因此至少有1人命中的概率为一+—x—=—，故D正确.

153515

故选：BD.

11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼・闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任

意两点z（X],乂），5（X2,J2）的曼哈顿距离为.d（45）=年一%|+|乃一y2\在此定义下以下

结论正确的是（）

A.已知点片（-1,0）,A（l,0）,满足d（耳耳）=2

B.已知点0（0,0）,满足d（。,"）=1的点/轨迹围成的图形面积为2

C.已知点耳（—1,0）,7^（1,0）,不存在动点/满足方程：口（机片）—耳）卜1

D.已知点/在圆。：必+「=i上，点N在直线/：2x+.y—6=0上，则d（M、N）的最小

值为3—好

2

【正确答案】ABD

【分析】A选项：根据定义计算即可；

B选项：根据定义得到1（。,儿。=忖+卜卜1,分类讨论xj的正负得到轨迹图形，然后求面

积即可；

c选项:根据定义得到a（机片）-d（MB）|=|k+i|-卜-1||=1，然后利用特殊值的思路判

断即可；

D选项：根据几何的思路得到当ON垂直直线/,平行x轴时，|d（M,片）-最

小，然后求最小值即可.

【详解】A选项：由题意得4（片,乙）=/1—1|+|0—0|=2,故A正确；

B选项:设6?（0,M）=|0-X|+|0-J|=|X|+|V|=1,

当x20,yNO时，d（O,M）=x+y=1；

当x<0,y20时，d[O,M）=-x+y=\；

当x20,y<0时，d（O,M）=x-y=\；

当x<0,y<0时，d[O,M）=-x-y=1；

所以点/的轨迹围成的图形是以正为边长的正方形，所以面积为2,故B正确；

C选项：,片）—d）|=卜+1|+卜卜卜一1―1（=|卜+1卜卜一11|=1，当》;耳时，

所以存在M使卜（此耳）-"（可,6）|=1,故c错;

D选项；如图，

过点/作平行于X轴的直线交直线/于点8,过点N作于点Z,d（M,N）表

NA

示M4+N4的长度，因为直线/的方程为2x+y—6=0,所以tan/N&4=2,­=2,

即N4=248,d（M,N）=MA+2AB=MB+AB,

当固定点/时，为定值，此时45为零时，d（Af,N）最小，即W平行于久轴，所以当

得sinNTNM=工,所以

5

6小］

d（M,N）=MN=去=3-手，故D正确.

"I-

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知i是虚数单位，则复数z=（百+i）（C-5i）的虚部是

【正确答案】-4百

【分析】根据复数的运算法则化简z=8-4启，进而结合虚部的定义求解即可.

【详解】由z=(也+)(8—5i)=3—56+6—5i?=8—46,

则复数z的虚部是—4JL

故答案为4JJ

13.若向量a=/nx+〃y+左z,则称(加,，㈤为。在基底低少,乞｝下的坐标.已知向量方在

单位正交基底\a,b,c^下的坐标为(3』,3),则存在基底忖-B,3+B,耳下的坐标为

【正确答案】(1,2,3)

【分析】结合题意，根据空间向量的线性运算可得益=31+3+31=(万—3)+2,+$)+33,

进而求得坐标.

【详解】由题意，AB=3a+b+3c，

+b+3c=x^a-b^+y[a+b^+zc=(x+y^a+(y-x^)+zc,

x+j=3[x=\

则＜y-x=l,解得＜y=2,

z=3z=3

则45=32+B+3范=(万一3)+2,+5)+35,

所以存在基底忖-+B,寸下的坐标为(1,2,3).

故答案为.(1,2,3)

14.已知某三棱台的高为2囱，上、下底面分别为边长为4百和6祈的正三角形，若该三棱

台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为.

【正确答案】144兀

【分析】求出三棱台上下底面正三角形外接圆的半径，确定球心位置，结合球的截面圆性质求

出球半径，再由球的表面积公式可得结果.

【详解】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台48C-48]G，如图,

上底面正△&gG外接圆的半径是=gx?x4百=4，为正△481G外接圆圆心，

下底面正V4BC外接圆的半径是Q/=gx*X6百=6，。2为正V4BC外接圆圆心，

由正三棱台的性质知，其外接球的球心。在直线。1。2上，令该球半径为R，

于是，火/一4<+[R2-6。=2后，或正-4。7此-6。=2后，解得R?=36，

所以球。的表面积是5=4成2=4兀x36=144兀.

故144兀

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=loga(2+x),g(x)=logfl(2-x)(tz>0,<2*1),H(x)=/(x)-g(x).

(1)求函数H(x)的定义域A；

(2)实数加e/,且7/(加)=2,求7/(-加)的值.

【正确答案】⑴A=(-2,2)

(2)-2

【分析】(1)根据函数有意义求解定义域即可；

(2)结合(1)可知//(x)=log.(2+x)—loga(2—x),me(-2,2),一掰e(—2,2),进而

代值计算即可.

【小问1详解】

由题意,H(x)=/(x)-g(x)=loga(2+x)-logfl(2-x),

f2+x>0

由《△八，解得一2<x<2，

[2-x>0

则函数》(x)的定义域为/=(-2,2),

【小问2详解】

由⑴知，H(x)=logfl(2+x)-logfl(2-x),

又加e(—2,2),贝!]一掰e(-2,2),

贝ij/f（加）=log«（2+加）一log”（2—加）=2,

所以H{-m）=loga（2-w）-loga（2+m）=-2

16.记V45c的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量3=（sin/,1）,

B=（百,cosZ—2）,其中£j_g,a=2.

（1）求角A；

（2）若VZ8C是锐角三角形，求VN8C的周长的取值范围.

7T

【正确答案】（1）—

3

（2）（2+273,6]

【分析】（1）根据可得£4=0，结合A为三角形内角，可求角A.

（2）利用正弦定理表示出6+c,结合辅助角公式和角C的取值范围，可求6+c的取值范围,

进而求出三角形周长的取值范围.

【小问1详解】

因为4_1_3,所以Q・g=O,

所以百sin/+cosA-2=0n2sin[/+g]=2,

jrjrjr

又A为三角形内角，所以N+—=—nZ=—.

623

【小问2详解】

b_c_a_2_4G

由正弦定理：sin5sinCsinZ.兀3'

sm—

3

所以6=----sin/?,c=------sinC.

33

又V48C是锐角三角形，且/=]，所以3+C=g，且C©

所以

=4sin1C+胃.

因为所以C+所以sin(c+?]e[g,l,

162；6U3JI6jI2」

所以b+ce(2百,4],所以VABC的周长.a+b+ce(2+2百,6]

17.设圆C的半径为r,圆心C是直线y=2x—4与直线y=x-l的交点.

(1)若圆C过原点0,求圆C的方程；

(2)已知点幺(0,3),若圆C上存在点M,使|M4|=2|MO],求r的取值范围.

【正确答案】(1)(X-3)2+(J；-2)2=13

(2)[372-2,372+2]

【分析】(1)求出圆C的圆心和半径，即可求得答案；

(2)先求出点M的轨迹方程，判断该轨迹和圆C有交点，即可列出不等关系，求得答案.

【小问1详解】

y=2x-4[x=3

由已[得｛

y=x-l[y=2.

所以圆心。(3,2),

又：圆C过原点O,=

.••圆C的方程为(X—3)'+3--2)=13.

【小问2详解】

设M(xj),由|加川=2|MO|，得信+口―3)2=2折，

化简得/+(y+l『=4,

...点M在以。(0,-1)为圆心，半径为2的圆上.

又：点M在圆C:(x-3/+(y--2)2=/上,

故圆/+(y+i)2=4与C：(X—3)2+(J-2)2=r2有交点,

.\|r-2|<|CD|<r+2,即卜一2区3行Vr+2,

即re[3亚-2,3亚+2].

18.如图，在直三棱柱4BC—481G中，CA=CB=^AA1=1,BCLAC,P为上

的动点，Q为棱Ci。的中点.

（1）设平面48。口平面若P为NR的中点，求证：PQHI；

（2）设丽=4可，问线段48上是否存在点P,使得4P1平面NR。？若存在，求出实

数X的值；若不存在，请说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析；

（2）存在，2=—.

3

【分析】（1）设4B的中点为E,连接PE,PQ,CE,易证四边形0EC。为平行四边形，可

得PQ//EC,进而得到PQH平面ABC,再根据线面平行的性质求证即可；

（2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及4P工平面列出方程组求解即可.

【小问1详解】

证明：设Z8的中点为E,连接PE,PQ,CE,

因为P为NR的中点，Q为C。的中点，

所以PE//4/,PE=^AlA,gC=|ciC,

在直三棱柱4BC—481G中，4，〃。。，Z/=GC,

所以且，/=0C,

所以四边形PEC0为平行四边形，

则尸0〃EC,又尸。＜Z平面45C,ECu平面48C,

所以「。〃平面4BC,

又平面48。口平面48。=/，PQu平面48。，

所以尸。〃/.

【小问2详解】

在直三棱柱48C—481G中，CG，平面NBC,BCLAC,

故可以。为原点，以CB,CA,CCX所在直线分别为x,%z轴建立空间直角坐标系,

因为C4=CS=L/4=1,

2

所以8(1,0,0),。(0,0,1),4(0,1,2),/(0,1,0),

则可=(-1,1,2),而=(0,-1,-1),^5=(1,-1,0),

又丽=2凤(OKXVI),贝！|丽=(—2,2,22),

所以方=益+而=(1—42—1,22),

AP-BAX=0

若4Pl平面48。，贝卜

Jp-42=o

(1-2)+2-1+42=0

则《解得2=!，

(2-1)-22=03

所以线段4B上存在点p,使得4Pl平面此时2=；.

B+c5AB

19.材料：我们把经过两条直线4X+AN+G=O,/2：+i.y2=°（42*ix）

的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方

程也可表示为：Axx+Bxy+Ci+X（A2x+B2y+C2）=Q（其中XeR,且该方程不表示乙）.

问题：已知圆M：x2+j2-2x+4j-3=0.求:

（1）求共点直线系方程3x+y+3+2（2x-y+3）=0（2eR）的“共点”P的坐标;

（2）设点P为第（1）问中的“共点”，点N为圆M上一动点，求|PN|的取值范围;

（3）若有唯一组非零实数对（%人）满足关于实数机的方程:

13a+b+\2a-b+3\

=m.设过点Q（%-2）