2024-2025学年北师大版八年级数学上册第一次月考测试卷（含答案及解析）

第一次月考测试卷

（满分120分，时间90分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的）

1在DABC中，AB=6，AC=8，BC=10则该三角形为（)

A,锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形

2.下列各数-工，0,

71,中是无理数的有（）个.

2

A.1B.2C.3D,4

3.4的平方根是（）

A.2B.+2C.72D.±72

4.在下列四组数中，不是勾股数的是（）.

A.7,24,25B,3,5,7C.8,15,17D.9,40,41

5.下列计算正确的是（）

A.V2xV3=V6B.V2+V3=V5C.V15=375D.V5-V3=V2

6.如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋

转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（

C.V3D.1.4

7.如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要

求，又要节省材料，则在库存的Li=5.2m,L2=6.2m,L3=7.8m,L4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最

好选用（）

A.LiB.L2C.L3D.1^4

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8.在aABC中，AB=15,AC=13,BC上的高AD长为12,则aABC的面积为（）

A.84B.24C.24或84D.42或84

9.实数口力在数轴上的位置如图所示，则++a的化简结果为（）

b0a

A.2a+b

B.-b

C.b

D.2a-b

10.有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的x=64时，输出的y等于（）

A.2B.8C.372D.272

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.本题要求把正确结果填在规定的横线

上，不需要解答过程）

11.若-6是m的一个平方根，则m+13的平方根是.

12.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为.

13.已知：若7^=1.910,V365^6.042,则,365000=，士J0.000365n

14.已知a、6为两个连续的整数，且则a+〃=

15.如果一个三角形的三个内角之比是1：2：3,且最小边的长度是8,最长边的长度是.

16.如图，每个小正方形的边长为1,剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是

17.若5+J7的小数部分是a,5-、斤的小数部分是b,则ab+5b=.

18.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,

BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这

个风车的外围周长是.

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Q

-XA

图2

三、解答题（本大题共6小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（1）在边长为1的正方形网格中，以AB为边作一个正方形.

（1）>/54x；+疵

（2）^y/12—^y/3+lj^5/3—lj

21.先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如加土26的化简，我们只要找到两个数。，b,使

a+b=tn,ab-n,即（G?+（扬>=7〃，&=&,那么便有:

J〃?±2«=yl（y[a+y/b）2=y[a+y/b（a>620）.

例如化简：，7+4省.

解：首先把g+4百化为）7+2至，

这里〃/=7,〃=12,

由于4+3=7,4x3=12,

所以（CP+（GA=7,"X0=位,

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所以J7+4省=V7+2V12=+折2=2+5

根据上述方法化简：713-2742-

22.清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，对“三边长为3,4,5的整数倍的直

角三角形，已知面积求边长''这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得

数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”.用现代的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别

为3,4,5的整数倍，设其面积为S,则求其边长的方法为：第一步：?=7〃：第二步：砺=k：第三

步：分别用3,4,5乘以上，得三边长”.

（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法“求出这个直角三角形的三边长；

（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程.

23.阅读下面的解题过程：化简：

4厢_（8+4而+5）-13_（次+后-13_（次+6+而）（舟石-岳）

Vs+Vs+y/13y/s+Vs+>/L3+Vs+>/L3VS+Vs+>Ji3

=&+亚-岳•

请回答下列问题.

2遥

（1）按上述方法化简

V2+V3+V5

（2）请认真分析化简过程，然后找出规律，写成一般形式.

24.如图（1）,是两个全等的直角三角形（直角边分别为a,b,斜边为c）.

（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：/+左=,2：

（2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当。=2,44时，求这个

四边形的周长.

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第一次月考测试卷

（满分120分，时间90分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的）

1.在DABC中，AB=6,AC=8,BC=10,则该三角形为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查勾股定理逆定理的运用，根据勾股定理逆定理即可判断该三角形形状.

【详解】解：：A3=6,AC=8,BC=10,

.••"2=36，AC"=64，BC2=100.

有初+这=36+64=100=802,

•・.该三角形为直角三角形.

故选：B.

2.下列各数-g,0,无，、"，V5中是无理数的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可.

【详解】因为石是开方开不尽的根式，戈是无限不循环小数，

所以行和乃是无理数，共两个，

故选B.

【点睛】本题考查了对无理数的定义的应用，注意：无理数包括：①开方开不尽的根式，②含兀的，③无

理数是指无限不循环小数.熟练掌握无理数的定义是解题关键.

3.4的平方根是（）

A.2B.±2C.72D.±72

【答案】B

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【解析】

【分析】根据平方根的定义，即可求解.

【详解】解：±74=±2.

故选：B.

【点睛】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方公式的定义是解题的关键.

4.在下列四组数中，不是勾股数的是（）.

A.7,24,25B.3,5,7C.8,15,17D.9,40,41

【答案】B

【解析】

【分析】求是否为勾股数，这里给出三个数，利用勾股定理，只要验证两小数的平方和等于最大数的平方即

可.

【详解】解：A、72+242=252,是勾股数的一组；

B、¥+«尹工,不是勾股数的一组；

C、82+152=172,是勾股数的一组；

D、92+402=412,是勾股数的一组.

故选B

【点睛】考查了勾股数，理解勾股数的定义，并能够熟练运用.

5.下列计算正确的是（）

A.V2xV3=V6B.V2+V3=V5C.V15=375D.75-73=V2

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：本题主要考查的就是二次根式的计算.B和D中的两个二次根式不是同类二次根式，则

无法进行加减法计算；C选项中的二次根式为最简二次根式，无法进行化简.

6.如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋

转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（）

3r-

A.-B.y/2C.y/3D.1.4

【答案】B

【解析】

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【详解】根据勾股定理可得：正方形的对角线的长度为近，则点A所表示的数为/.故选B.

7.如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要

求，又要节省材料，则在库存的Li=5.2m,L2=6.2m,L3=7.8m,L4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最

好选用（）

【答案】B

【解析】

【详解】由题意可知，在RtZkADC中，ZADC=90°,CD=5米，ZCAD=60°,

ZACD=30°,

1

.\AD=-AC,

2

设AC=x,贝ijAD=gx,由勾股定理可得：x2=（1X）2+52,解得土耳3,

*.*x>0,

••.AC=X=W@75.77（米），

3

:考虑既要符合设计要求，又要节省材料，

...选L2,故选B.

8.在aABC中，AB=15,AC=13,BC上的高AD长为12,则AABC的面积为（）

A.84B.24C.24或84D.42或84

【答案】C

【解析】

【分析】由于高的位置不确定，所以应分情况讨论.

【详解】（1）AABC为锐角三角形，高AD在三角形ABC的内部，

•，•BD=7AB2-AD2=9<CD=JAC?-AD?=5,

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/.Z\ABC的面积为一x(9+5)x12=84,

2

(2)AABC为钝角三角形，高AD在三角形ABC的外部,

ABD=7AB2-AD2=9,CD=7AC2-AD2=5,

△ABC的面积为一x(9—5)x12=24,

2

故选C.

【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据三角形的形状进行分类讨论.

9.实数4力在数轴上的位置如图所示，则++°的化简结果为()

b0a

A.2a+b

B.—b

C.b

D.2a—b

【答案】B

【解析】

【分析】由数轴得出b<O<a,原式化简为|a+b|+a,去掉绝对值符号得出-a-b+a,合并同类项即可.

【详解】:•由数轴可知：b<O<a,

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+a=|a+b|+a=-a-b+a=-b.

故选B.

【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于结合数轴进行解答.

10.有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的x=64时，输出的y等于（）

输入X中廊术平方根|是无『数输出y

是有理数

A.2B.8C.372D.272

【答案】D

【解析】

【分析】根据图中的步骤，把64输入，可得其算术平方根为8,8再输入得其算术平方根是2血，是无理

数则输出.

【详解】由图表得，64的算术平方根是8,8的算术平方根是2后.

故选D.

【点睛】本题考查了算术平方根的定义，看懂图表的原理，正确利用平方根的定义是解决本题的关键.

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.本题要求把正确结果填在规定的横线

上，不需要解答过程）

11.若-6是m的一个平方根，则m+13的平方根是.

【答案】±4

【解析】

【分析】根据平方根的定义求解即可.

【详解】V-V3是m的一个平方根，

；.m=（-右）2=3,

m+13=16,

m+13的平方根是：±4，

故答案为±4

【点睛】本题考查平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而算术平方根只有一个.

熟练掌握平方根的定义是解题关键.

12.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为.

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【答案】6,8,10

【解析】

【分析】根据连续偶数相差是2,设中间的偶数是x,则另外两个是x-2,x+2根据勾股定理即可解

答.

【详解】解：设中间的偶数是x,则另外两个是x-2,x+2根据勾股定理，得

(x-2)2+x2=(x+2)2,

解得x=8或0(0不符合题意，应舍去)，

所以它的三边是6,8,10.

故答案为：6,8,10

【点睛】本题考查的是连续偶数的特征和勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键

13.已知：若910,V365^6.042,则,365000=，士JO.OO0365n.

【答案】①.604.2②.±0.0191

【解析】

【分析】根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案.

【详解】解：若后a=1.910,回？*6.042,

则V365000=604.2,±Jo.000365=±0.0191.

故答案为604.2,±0.0191.

【点睛】本题考查了算术平方根，利用被开方数与算术平方根的关系是解题关键.

14.已知6为两个连续的整数，且贝iJa+O=.

【答案】11

【解析】

【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数是解题的关键.

根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出6的值，即可得出答案.

【详解】解：:36>28>25

/-6>V28>5

,•%、b为两个连续的整数，且。〉底〉6，

a=6fb=5

〃+6=6+5=11.

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故答案为：11.

15.如果一个三角形的三个内角之比是1：2：3,且最小边的长度是8,最长边的长度是.

【答案】16

【解析】

【详解】设这个三角形三个内角的度数分别为：x、2x、3x,根据三角形内角和定理可得：x+2x+3x=180°，

解得x=30°，•,•这个三角形三个内角分别为：30。、60。、90°,

又•.•这个三角形的最短边是8,

.••根据在直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半可知：其最长边斜边长为：16.

16.如图，每个小正方形的边长为1,剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是.

【答案】^5

【解析】

【分析】本题考查了平方根的概念，图形的剪拼，剪拼图形是解题的关键.将图形剪拼成正方形，根据正方

形的面积求出其边长即可.

【详解】解：分割图形如下：

这个正方形的面积为5,

故这个正方形的边长是逃.

故答案为：y/5•

17.若5+J7的小数部分是a,5-、斤的小数部分是b,则ab+5b=.

【答案】2

【解析】

【分析】由2<J7<3可得7<5+J7<8，2<5—g<3，进行可得a,b的值，从而可得结论.

【详解】：2<行<3，

；・2+5<5+g<3+5，-2>-V7>-3)

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7<5+V7<8>5-2>5-V7>5-3.

，2<5-近<3，

a=V7—2>b=3-V?；

将。、6的值，代入可得oO+5Z?=2.

故答案为2.

18.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,

BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这

个风车的外围周长是.

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知NAC3为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又

由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长.

【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12,

,“数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：V122+52=13>

这个风车的外围周长是。3+6)x4=76,

故答案为：76.

三、解答题(本大题共6小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19.(1)在边长为1的正方形网格中，以AB为边作一个正方形.

(2)以点O为顶点作一个面积为10的正方形.

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【详解】试题分析：（1）直接利用网格结合勾股定理得出正方形边长进而得出答案;

（2）直接利用网格结合勾股定理得出正方形边长进而得出答案.

试题解析：（1）如图所示：

四边形ABCD即为所求；

（2汝口图所示：四边形EGCF即为所求.

20.化简：

(1)V54x^1+V12

(2)^A/72—V16jVs—^A/3+1j(Vs—ij

【答案】（1）5G

⑵1-V2

【解析】

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【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算规则是关键.

(1)先进行乘法计算去掉分母，再逐项计算即可；

(2)先分项相除和利用平方差公式进行化简，再逐项计算即可.

【小问1详解】

=河1+2石

=3百+2百

——5-^3:

【小问2详解】

(V72-^)4-V8-(V3+1)(73-1)

=j72+8-J16+8-(3-1)

=3-72-2

=-

21.先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如小〃±2G的化简，我们只要找到两个数。，b,使

a+b=tn,ab-n,Bp(>/a)2+(\fb)2—in>Ja-y[b=Vn»那么便有：

yltn+2y[ti=±/y=4a土〃(a〉》20).

例如化简：g+40.

解：首先把，7+4省化为g+2疝-

这里=7,〃=12,

由于4+3=7,4x3=12,

所以(4)2+(GA=7,"X百=疵，

所以，7+46=57+29=+拘2=2+5

根据上述方法化简：713-25/42-

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【答案】见解析

【解析】

【分析】应先找到哪两个数的和为13,积为42.再判断是选择加法，还是减法.

【详解】根据题意，可知〃?=13,"=42,

由于7+6=13,7x6=42,

所以(々)2+(逐)2=13,V7XV6=V42,

所以J13-2屈=>/(V7)2+(V6)2-2xV7xV6=J(V7-府=布—娓.

【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得加=13,〃=42.

22.清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，对“三边长为3,4,5的整数倍的直

角三角形，已知面积求边长''这一问题提出了解法：“若所设者为积数(面积)，以积率六除之，平方开之得

数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”.用现代的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别

s

为3,4,5的整数倍，设其面积为S,则求其边长的方法为：第一步：-=/«；第二步：诟=k；第三

6

步：分别用3,4,5乘以左，得三边长”.

⑴当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法“求出这个直角三角形的三边长；

(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程.

【答案】(1)15,20,25：(2)详见解析.

【解析】

【详解】试题分析：先由题中所给的条件找出字母所代表的关系，然后套用公式解题.

试题解析：

(1)当s=150时，m=—=25,k=J^=5.

6

A3X5=15,4X5=20,5X5=25,

・•・直角三角形的三边长分别为15,20,25.

(2)正确，设直角三角形的三边长分别为3k,4k,5k,

.\s=~X3kX4k=6k2,

2

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点睛：此题信息量较大，解答此类题目的关键是要找出所给条件，然后解答.

23.阅读下面的解题过程：化简：

4丽_(8+4而+5)-13_(胡+可——_岳)(&亚-岳)

V8+V5+V13-V8+V5+V13-V8+V5+V13-V8+V5+V13

=V8+V5-V13.

请回答下列问题.

/7

(1)按上述方法化简I*?「；