2023届高考数学一轮复习第六单元平面向量及其应用B卷（含解析）

2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷

第六单元平面向量及其应用

B卷培优提能过关卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（2021•全国高考真题）在一A3C中，已知6=120。，ac=M，AB=2,则BC=（）

A.1B.72C.75D.3

2.（2021•全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测

海岛的高.如图，点E,H,G在水平线AC上，OE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的

高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EW都称为“表目距”，GC与的差称为“表目距的差”则

海岛的高AB=（）

表高X表距口表高X表距

A■表目距的差+表问表目距的差一表问

表高义表距1表肝n表高X表距一

c.表目距的差+表距'表目距的差表巨

3.（2021•全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86

（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有4

B,C三点，且A,B,C在同一水平面上的投影4,3',。'满足N4C6'=45°,NA'5'C'=60°.由C点

测得B点的仰角为15。，88'与CC的差为100;由B点测得A点的仰角为45。，则A,C两点到水平面

A'8'C的高度差A4'—CC约为（石。1.732）（）

A.346B.373C.446D.473

4.（2021・四川德阳市.高三二模）图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的

直角三角形和一个小的正方形拼成个大的正方形，某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的

钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2,若AD=4,BD=2,那么=

B.-2D.-6

5.（2021.重庆一中高三模拟）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高

曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABC。

中，△ABC满足“勾3股4弦5"，且A8=3,E为上一点，BEL4c若氏143E+4AC，贝厂+〃的值

为（）

6.（2021・辽宁高三模拟）英国数学家约翰•康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引

以为傲的研究成果之一.定理的内容是：三角形A8C的三条边长分别为a,b,c,分别延长三边两端，使

其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点4，。2，四,4,。1，32仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆.现

有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）

A.9万

7.（2021•全国高三模拟）如图，在正方形ABCD中，边长为E是边上的一点，ZEAB=3Q°,

2

以A为圆心，AE为半径画弧交CD于点尸，P是弧E尸上（包括边界点）任一点，则AP3P的取值范

围是（)

11161_SV3

A.B.C.D.4

2T

8.（2021.黑龙江哈尔滨市•哈尔滨三中高三模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”

气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面的下方，。为与水平地面的交

点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A,3两地相距100米，NS4c=60。，其中A到C

的距离比3到C的距离远40米.A地测得该仪器在。处的俯角为NQ4C=30。，A地测得最高点H的

仰角为NQ4H=45°,则该仪器的垂直弹射高度8为（）

(米米

A.210米B.210g■米C.210+2106)D.420

二、选择题：本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（2021•吉林松原市.高三月考）在.ABC中，内角A,5c的对边分别为"c,下列说法中正确的是

()

A.若一ABC为锐角三角形且A>5,则sinA>cos5

B.若sin2A=sin25,贝LABC为等腰三角形

C.若A>5,贝IsinA>sin5

D.若a=8,c=10,8=60。，则符合条件的一A5c有两个

10.（2021.河北唐山市.唐山一中高三模拟）设0是已知的平面向量且a/。，向量匕，c和a在同一平面

内且两两不共线，关于向量a的分解，下列说法正确的是（）

A.给定向量〃，总存在向量c，使a=Z?+c；

B.给定向量/，和c，总存在实数九和〃，使a=X/?+〃c；

C.给定单位向量匕和正数〃，总存在单位向量°和实数％,使a=XZ7+〃c；

D.给定正数;I和〃，总存在单位向量办和单位向量C,使a=+

11.（2021.江苏南京市.高三一模）设（9（0,0）,A（l,0）,5（0,1）,点P是线段AB上的一个动点，茄=九期,

若OP-AB?PA-PB，则实数4的值可以为（）

111

A.1B.—C.—D.一

234

12.（2021•珠海市第二中学高三模拟）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八

卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在

卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边。，6,c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求

法是：“以小斜幕并大斜幕减中斜塞，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕减上，余四约之，为实，一

为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即s=J；［c2a2—（。2+；一”沟.现有.A5公满足

sinA:smB:smC=2:3：V7，且,A5C的面积4ABC，请运用上述公式判断下列命题正确的是

（）

A.「A5C周长为5+J7

B._A8C三个内角A,C,B满足关系A+5=2C

C.ABC外接圆半径为名包

3

D.A3c中线C。的长为亚

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2021•北京高一模拟）如图，正方形ABCD的边长为2,AC与BD交于点E,尸是的中点，Q

为AC上任意一点，则PQ-3O=

4

14.(2021•四川眉山市高三模拟)锐角三角形ABC中，sinZBAC=-,NBAC平分线交于点。,

“1=竽」蜴+-6,则忸中

15.(2021•宁夏银川市•高三模拟(理))己知A(l,1),3(0,1),C(l,0),M为线段上一点，

且CM=XCB，若则实数X的取值范围是.

16.(2021•山东泰安市•高三模拟)在一个三角形ABC中，到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形

的费马点，经证明它也满足NAP5=/BPC=NCPA=120，因此费马点也称为三角形的等角中心，如

图，在.A3C外作等边人48,再作的外接圆，则外接圆与线段瓦)的交点P即为费马点.若

AB=1,BC=2,ZCAB=90,则B4+PB+PC=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(2021•全国高考真题)在A3c中，角A、B、。所对的边长分别为。、〃、c,b=a+l,c=a+2..

(1)若2sinC=3sinA,求一ABC的面积；

(2)是否存在正整数。，使得，ABC为钝角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.

(2021•北乐局考真题)已知在，ABC中，c=2Z?cos_B,C=—

3

(1)求3的大小;

（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使，A6C存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度.

①c=■'/1b；②周长为4+2j^;③面积为S.sc=3f；

19.（2021•全国高考真题）记二A6c是内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知从=,点。在

边AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2OC,求cos/ABC.

20.（2021•福建三明市•高三模拟）在①。sin5+csinC=----bsinC+asinA；②

cos2C+sinBsinC=sin2B+cos2A；®2b=2«cosC+c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题

中并作答.

在AA3C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知AA3C外接圆的半径为2,且___________.

（1）求角A；

⑵若AC=6,是AABC的内角平分线，求的长度.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

21.（2021•山西太原市高三二模）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建

造一个观景台尸，已知射线A5,AC为两边夹角为120。的公路（长度均超过3千米），在两条公路A5,

AC上分别设立游客上下点M，N,从观景台尸到M,N建造两条观光线路PM，PN,测得AM=下）

千米，4"=百千米.

（1）求线段"N的长度；

（2）若ZMPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.

22.（2021・宝山区・上海交大附中高三模拟）第十届中国花博会于2021年5月21日在崇明举办，其标志

建筑—世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度280米，屋

面板只有250毫米，相当于一张2米长的桌子，其桌面板的厚度不到2毫米.

图1为馆建成后的世纪馆图：图2是建设中的世纪馆；图3是场馆的简化图.

（图I）（图2）

如（图3）是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，A47/尸P7/OO7/5?,其中A4'=280

米；圆心距。0'=160米：半径R=75米：椭圆中心P与圆心。的距离PO=40米，C、C为直线FP

与半圆的交点，ZCOB=60°.

（1）设1=计算sina的值；

（2）计算NCQP的大小（精确到1。）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（2021•全国高考真题）在，.A3C中，已知6=120。，AC=M，AB=2,则BC=（）

A.1B.V2C.V5D.3

【答案】D

【解析】设筋=（?,74。=6,5。=。，

结合余弦定理：〃="+/-2accos3可得：19=«2+4-2x«xcosl20»

即：a2+2a—15=0>解得：a=3（a=—5舍去）,

故6C=3.

故选：D.

2.（2021•全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测

海岛的高.如图，点E,H,G在水平线AC上，OE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的

高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则

海岛的高AB=（）

A表高x表距口表高x表距

,表目距的差一表图B.表目距的差一表图

表高义表距表高X表距一表距

,表目距的差表距D.

表目距的差

【答案】A

【解析】如图所示：

DEEHFG

由平面相似可知,——，而DE=FG,所以

ABAC

DEEHCGCG-EHCG-EH

而CH=CE-EH=CG—EH+EG,

~AB~~AH~~AC~AC-AH~~CH

CG-EHEGEGxDE_表高x表距

即=+XDE+DE+表高.

CG-EHCG-EH一表目距的差

故选：A.

3.（2021•全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86

（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有4

B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影4,3',。'满足/4。8=45°,NA'5'C'=60°.由C点

测得8点的仰角为15。，88'与CC的差为1。。；由8点测得A点的仰角为45。，则A,C两点到水平面

48'。'的高度差A4'—CC'约为（百。1.732）（）

A.346B.373C.446D.473

【答案】B

A

zn»\

【解析】

过。作CH,班'，过3作

故A4-CC'=A4」（班期）=A4'—班'+100=AD+100,

由题，易知出为等腰直角三角形，所以仞=〃.

所以A4'—CC'=+100=46'+100.

因为4CH=15°,所以

tanl5°

在右人'5'。中，由正弦定理得：

43'_CB，_100_100

sin45°sin75°tan15°cos15°sin150'

J6_J?

而sin150=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos450sin300=---------

由z100x4xJ^-i

所以2=100(^+1)^273

展-叵

所以裕'—。。=45'+100。373.

故选：B.

4.（2021・四川德阳市•高三二模）图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的

直角三角形和一个小的正方形拼成个大的正方形，某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的

钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2,若AD=4,BD=2,那么=

)

A.2B.-2

【答案】D

【解析】解：由题意可知，ZFDE=ZDEF=ZEFD=60°,

:.ZAEC=ZCFB=ZBDA=120°f

又・AD=4,BD=2,

,\BF=CE=AD=4fBD=DF=CF=EF=AE=DE=2,

BE•CD=(BD+DE),(CF+FD)

=BD•CF+BD,FD+DE•CF+DE♦FD

=|BZ)|-1CF|-cosl20°+|BD|-|Fr)|-cosl80o

+1DE|-|CF|-cos60°+|£>E|-|Fr)|-cosl20o

=2x2x(-1)+2x2x(-l)+2x2x1+2x2x(-1)=-2-4+2-2=-6.

5.（2021.重庆一中高三模拟）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高

曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABC。

中，AABC满足“勾3股4弦5"，且AB=3,E为AC上一点，8后，47.若54=43£+〃4。，贝£+〃的值

为（）

【答案】B

【解析】解：由题意建立如图所示直角坐标系

氏4=(0,3),AC=(4,-3),设3E=(a,3),

因为BELAC,

..9

所以AC-8E=4a—9=0，解得。=:.

4

9

由BA=BE+//AC,得(0,3)=A(—,3)+〃(4,—3),

北竺,

—X+4〃=0,

所以｛4尸解得＜25

9

3/1—3//=3,//=-—

7

所以X+〃=--,

25

故选：B.

6.（2021.辽宁高三模拟）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引

以为傲的研究成果之一.定理的内容是：三角形A3C的三条边长分别为。，b,c,分别延长三边两端，使

其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点A，c2,用，A，G，员仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆.现

有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）

14〃

A.9TIB.亍

【答案】C

【解析】康威圆的圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心,

故选:C.

7.（2021•全国高三模拟）如图，在正方形ABCD中，边长为也，E是边上的一点，ZEAB=30°,

2

以A为圆心，AE为半径画弧交CD于点尸，尸是弧E尸上（包括边界点）任一点，则APBP的取值范

围是（)

1拒1

1-5

A.T2B.c.，'彳D.T4

【答案】B

【解析】过P作PH，AB于点H,因为NEAB=30°,AB=—，所以AE=1，BE=DF=-

22

因为尸是弧政上（包括边界点）任一点，所以卜尸|=1,

ULIUL1UUUU

又因为3P=AP—AB，

所以AP•BP=AP•(AP—A3)=AP?—AP•A5=—AP•AB

=1-AP-AB=1-|AP||AB|COSZPAB=1-|AB|(|AP|COSZPA5)=1-|AB||AH|,

所以当点尸与点尸重合时，此时==L最小，且最小为=，所以APBP，

21111224

且最大为1-遮;

4

当点尸与点E重合时，此时点H与点3重合，|AB||A用最大，且最大为3=3，所以AP3户最

1111224

小为1—2=’,

44

所以AP-3P的取值范围是--~■

故选：B.

8.（2021•黑龙江哈尔滨市•哈尔滨三中高三模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”

气象观测仪器的垂直弹射高度：在。处（点C在水平地面ABO的下方，。为C"与水平地面ABO的交

点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A,3两地相距100米，ZBAC=&）°,其中A到C

的距离比3到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为NQ4C=30。，A地测得最高点〃的

仰角为NQ4H=45°,则该仪器的垂直弹射高度CH为()

A.210米B.2106米C.(210+2106)米D.420米

【答案】C

【解析】设5C=x,所以AC=x+40,在A3c中，44c=60。，AB=100,所以，

=1002+(X+40)2-2X100X(^+40)XCOS60,即x=380,AC=x+40=420.

在RAAOC中，NQ4c=30°,所以OC=210,。4=210石，又在HjAW中，NOAH=45。,

所以OH=OA=2106，因此CH=OC+OH=210+210G.

故答案为：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.(2021.吉林松原市•高三月考)在「.ABC中，内角A,5c的对边分别为a,4c,下列说法中正确的是

()

A.若ABC为锐角三角形且A>5,则sinA>cos5

B.若sin2A=sin26,贝「ABC为等腰三角形

C.若A>5,则sinA>sin5

D.若a=8,c=10,3=60。，则符合条件的一ABC有两个

【答案】AC

JT

【解析】对于A,因为若为锐角三角形且A>5,所以A+3〉,，

所以4〉会一3,所以51114〉5111砥-3)=35,故A正确；

对于B,若sin2A=sin25,则2A=25或2A=%-25.

若2A=25,则A3C为等腰三角形；

JT

若2A=»—25,则A+3=—,则&A8C为直角三角形，故B不正确；

2

ah

对于C,由可得。>人，所以一>—结合正弦定理可得sinA>sin5,故C正确；

2R2R

2,2_T2

对于D,。=8,c=10,B=60°,cosB=—------------，

lac

22_i_102_A2

即cos60°=——,解得b=2扃，只有一个解，故D不正确，

2x8x10

故选：AC.

10.(2021.河北唐山市•唐山一中高三模拟)设。是已知的平面向量且a7。，向量,c和a在同一平面

内且两两不共线，关于向量°的分解，下列说法正确的是()

A.给定向量沙，总存在向量c,使a=/?+c；

B.给定向量/，和°，总存在实数4和〃，使a=X〃+〃c；

C.给定单位向量匕和正数〃，总存在单位向量c和实数％，使。=力?+〃c；

D.给定正数/I和〃，总存在单位向量6和单位向量c，使a=48+〃c.

【答案】AB

【解析】对于A,给定向量匕，总存在向量c=a—b，使a=b+c，故A正确；

对于B,因为向量°,6，°在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：

总存在实数4和〃，使a=XZ?+〃c,故B正确；

对于C,设a=(O,4),给定匕=(1,0),〃=1，则不存在单位向量c和实数之，使a=/l〃+〃c，故C错误；

对于D,设。=(0,4),给定；=则不存在单位向量和单位向量之，使a=+故D错误.

故选：AB.

11.(2021.江苏南京市.高三一模)设0(0,0),A(l,0),8(0,1)，点尸是线段AB上的一个动点，筋=£5,

若OP-AB>PA-PB，则实数4的值可以为()

111

A.1B.—C.—D.一

234

【答案】ABC

【解析】设p(x,y),由A尸=%AB(O<4<1)得(％—Ly)=2(-=42),

%-1——A/、

所以《W"),

由OP-ABPAPJB得(1—X,X),(一1,1)2(彳,一—1/一X)，

几-1+几2几(几-1)-几(1-X),

22-1>222-22,222-42+1<0=>1--<2<1+—，

22

由于0W4W1,所以1—走WXW1.

2

1畀1-4，1],所以ABC正确，D错误.

2

故选:

12.(2021.珠海市第二中学高三模拟)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八

卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在

卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求

法是：“以小斜塞并大斜幕减中斜塞，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕减上，余四约之，为实，一

为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S=J；[c2a2—(>3卜现有一A3。满足

sinA:sin3:sinC=2:3:J7,且二A5C的面积S^ABC=孚，请运用上述公式判断下列命题正确的是

()

A.A3C周长为5+近

B.ABC三个内角A,C,2满足关系A+5=2C

C...。外接圆半径为坦

3

D.ABC中线CD的长为亚

2

【答案】ABD

【解析】现有△ABC满足sinA：sinB：sinc=2：3：近，

所以4：b：c=2：3：J7,

设〃=2/,b=3t,c-y/jt,/>0,

^2/2_24/+9产-7/_1

利用余弦定理cose-巴二^—-

2ab12?~2

由于（0,兀），

所以。=—•

3

2»

所以A+B=—,故A+B=2C,所以AABC三个内角A,C,3成等差数列，故2正确;

3

利用SAABC=36,

2

所以LabsinC=—,2t・3t・=-—―,解得t=1.

2222

所以：4=2,Z?=3,c=布,

所以△ABC的周长为5+J7,故A正确；

二五二巫=r-

利用正弦定理siriC~73~3―2凡△ABC外接圆半径R为'巴，故C错误;

—3

2

如图所示：

利用余弦定理：CD2=AC2+AD2-2AC-AD-COSA=9+--2x3x—x,

4274

解得8=叵，故。正确.

2

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2021•北京高一模拟）如图，正方形ABCD的边长为2,AC与BD交于前E,P是的中点，Q

为AC上任意一点，则PQIO=.

【答案】2

【解析】解：正方形ABCD的边长为2,AC与BD交于点E，得：AC±BD,

尸是仍的中点，。为AC上任意一点，,4=2后，

PQ.3D=|叫陷cosZQPD=|BD|-|PE|=242x=2.

故答案为：2.

4

14.（2021•四川眉山市高三模拟）锐角三角形ABC中，sinZBAC=-,N&4C平分线交于点。,

\AD\=^-,\AB\+\AC\^6,则忸C|=.

【答案】2旧

4

【解析】解：因为在锐角三角形ABC中，sinZBAC=-,

3

所以cos/BAC=《，

、7J1Ar,。2^-BAC.3,NBAC2y/5

所UG以Icos/BAC=2cos--------1=-,解&73得Bcos-------=二一,

2525

由于㈤C平分线交5c于点力,|AD|=竽，

乙乙乙乙乙

11人911人C1c,NBAC/BAC11八八|•/BAC/i.।।同「八

n即nScMBC=-|AB||AC|X2sin——cos——=-|AD|sin—(|AB|+|AC|)

乙乙乙乙乙

所以|川|仙1=5,

所以由余弦定理得：|3C「=\ABf+|AC|2-2\AB\\AC\cosZBAC

=(\AB\+\AC\f-2\AB\\AC\-2\AB\\AC\COSZBAC=36-10-6=20,

所以忸C|=2逐

故答案为：2非

15.(2021•宁夏银川市•高三模拟(理))已知A(l,1),3(0,1),C(l,0),M为线段上一点,

S.CM=ACB>若MABC>MBMC，则实数4的取值范围是.

「V21

【答案】1--,1

%=]一/t

【解析】解析：设点〃(羽y),由。w=4CB，得(x—l,y)=2(—1,1),所以1,

y=A

因为MA・3C>MB-MC»所以。一羽1一丁>(1,-1)之(一%,1-丁)(1一4,一y)，

即1—%—1+yN—X+%2—y+y2,化简得+y2_2y<Q

X—1—X,

将《。代入X2+y2—2y«0,得(1—X)2+x2—2%<0,即2^2—42+140,

-<2<1+—.

22

因为M为线段6C上一点，且CM=/ICB，所以0W2W1.综上，可知

2

故实数2的取值范围是1-军,1.

2

16.(2021•山东泰安市•高三模拟)在一个三角形ABC中，到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形

的费马点，经证明它也满足NAP5=NBPC=NCR4=120，因此费马点也称为三角形的等角中心，如

图，在..A5C外作等边八48,再作的外接圆，则外接圆与线段3。的交点P即为费马点.若

AB=1,BC=2,ZCAB=90,则B4+PB+PC=.

【答案】g

【解析】根据费马点的性质有，ZAPB=ZBPC=ZCPA=120

则NPAB+NP5A=60，又AB=LBC=2,NG4B=90,

故6C=2,ZABC=60，即NP3C+NPA4=60

所以/PAB=NPBC,从而有APAB-APBC

PAPBAB1

贝nl！I===—,

PBPCBC2

则PC=2P5=4K4,

在△E4B中，由余弦定理知，

PA2+PB2-12=2PAPBcosl20，

解得尸3=亚，PA=^-

77

则P。=生2,PA+PB+PC^^fl

7

故答案为：币

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(2021.全国高考真题)在A3c中，角A、B、。所对的边长分别为。、〃、c,b=a+l,c=a+2..

(1)若2sinC=3sinA,求_45c的面积；

(2)是否存在正整数4，使得，ABC为钝角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）竺也；（2）存在，且〃=2.

4

【解析】（1）因为2sinC=3sinA,贝ij2C=2（Q+2）=3Q,则〃=4,故Z?=5,c=6,

cosC，+”一厂:L所以，。为锐角，则sinC=Jl—cos2C=辿,

2ab88

国N°\AV3515手

内上匕，S=—absmC=—x4x5x--=----；

△AAARbre2284

（2）显然。>人>〃，若.为钝角三角形，则C为钝角，

222

%—六K田十曰「+b-C〃2+（〃+l）2_（〃+2）24Z-2（2-3

由余弦7E理可得COSC=----------=--------Y——\----=----1<0，

lab+

解得—则0v，v3,

由三角形三边关系可得Q+Q+1>Q+2,可得a>l,aeZ,故a=2.

27r

18.（2021•北京高考真题）已知在」A5C中，c=2〃cos5,C=——.

3

（1）求3的大小；

（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使.ABC存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度.

①c=6b；②周长为4+2也；③面积为入芋；

JT

【答案】（1）7=（2）答案不唯一，具体见解析.

O

【解析】（1）c=2bcosB,则由正弦定理可得sinC=2sin5cos5,

.•.sin23=sing=¥，-C，,8e

TTn

.•.2B=-,解得3=—；

36

73

（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得£=沟0=4-=百，

bsinB1

2

与。=夜。矛盾，故这样的；A5C不存在；

JT

若选择②：由（1）可得A=—,

6

设，A3C的外接圆半径为H，

7T

则由正弦定理可得〃=Z?=2Hsin—=H,

6

c=27?sin—=^7?,

3

则周长a+b+c=2R+辰=4+26,

解得R=2,则a=2,c=25/3，

由余弦定理可得5C边上的中线的长度为：

J(2⑹2+产―2x2Gxlxcos?="

7T

若选择③：由(1)可得A=—,即a=b,

6

则SABC='a6sinC=,解得a=退，

A"。2224

则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：

/+⑶12X”QXCOS2=心+国立=叵.

V\2)23V422

19.(2021•全国高考真题)记A5c是内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知，点。在

边AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AZ)=2。。，求cosZABC.

7

【答案】(1)证明见解析；(2)cosZABC=—.

12

【解析】

cbsinCc

(1)由题设，8。=上理一，由正弦定理知:,即二-------=一,

sinZABCsinCsinZABCsinZABCb

**•BD=――,又b?=ac，

b

：.BD=b,得证.

2bb

(2)由题意知：BD=b,AD=——，DC=—

33

,24〃213〃2,2〃210〃2

b+-----c------cb+---a------a

：.cosZADB=----J-=-2-^—,同理cosZCDB=------=—

”2b4b2b2b-

2b------2b•-...

3333

ZADB=7r-ZCDB,

13b222IO/72

-----ca------1

—=—，整理得2/+02=J_巴，又/=ac，

4b2b3

.•.2/+与=匚忙，整理得6/—11。2〃+3必=o,解得［=J_或*

a-3b"