2023-2024学年阳江市高二数学第一学期期末测试卷（附答案解析）

2023-2024学年阳江市高二数学第一学期期末测试卷

2024.1

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1设集合0={-2,-1,0,1,2},4={-1,2},3=则=()

A.{-2,-1,1,2}B.{-2-1,2}C.{-2,2}D.{2}

2.已知x,y>0,-x+-y=4xy,则3x+2y的最小值为（）

23

A.-1B.1C.0D1

3.已知募函数y=/（x）图象过点j等,;j,则/（3）的值为（）

D.1

A.9B.3C.73

3

4.若关于x一元二次方程/-2（xv+4=0有两个实根，且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数。

的取值范围是（）

A.（-oo,-2）B.（2,+s）C.■，+D.（-«2,-2)U(2,+8)

厂sin2x

5.已知©0$X+$111%=^"，则CCJY兀）=（）

3cos}I

A7R7V2„77

D.——

16663

6.已知向量M=（cos%sina）,b=（-sincif,coscr）,fh=^J3a+b，H=d+后,则沅与万的夹角为

（）

兀兀兀兀

A.—B.—C.—D.一

6432

7.某圆锥的母线长为4,轴截面是顶角为120。的等腰三角形,过该圆锥的两条母线作圆锥的截面，当截面

面积最大时，圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为（）

A.4B.2C.73D.V2

1

8.已知P,A3,C是表面积为16兀的球。表面上的四点，球心。为AABC的内心，且到平面

B45PBeB4c的距离之比为2:2:6，则四面体P—ABC的体积为()

A.3B.4C.5D.6

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在中，内角A3,C的对边分别为a,b,c,则下列说法中正确的有()

A.若。=6,A=巴，则AABC面积的最大值为2叵

32

B.若。=63+c=8,则AABC面积的最大值为

C.若角A的内角平分线交3c于点。，且器=；M=3,则AABC面积的最大值为3

Q

D.若=为3c的中点，且4以=2,则"RC面积的最大值为§

10.已知函数〃x)T<xr+l|一麻一l|(xeR),则()

A."%)是R上的奇函数

B.当a=l时，/(%)<1的解集为1一%!|

C.当时0时，/(%)在R上单调递减

D.当"0时，丁=/(力值域为[-2,2]

11.己知函数/(%)=匚^—1,则下列正确的有()

X+1

A.函数/(元)在(0,+8)上为增函数B.存在xeR,使得/(-X)=-/(X)

C.函数/a)的值域为(f,-2]U[—l,+8)D.方程/(x)—V=0只有一个实数根

12.正方体ABC。—A4GR棱长为4,动点P、Q分别满足可巨="2恁+〃题，其中〃eR

且〃w0,|居+画]=4；R在用G上，点T在平面内，则()

A.对于任意me(0,1),〃eR且〃w0,都有平面ACP,平面4月。

2

B.当m+〃=l时，三棱锥3-APD的体积不为定值

C.若直线HT到平面AC，的距离为2百，则直线。A与直线HT所成角正弦值最小为丑.

3

D.A3@5的取值范围为［-28,4］

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

..不、、3msin2a+2sin2a.底生

13.已知sm(一+。)=一，则--------------的值为_______.

451+tana

冗2_|_2%XCL

14.已知点(2,1)在函数〃x)="一的图像上，且〃尤)有最小值，则常数。的一个取值为

［2-3,x>a

15.三棱锥A-6CD的四个顶点都在表面积为20兀的球。上,点A在平面BCD的射影是线段3c的中点，

AB=BC=20则平面BCD被球。截得的截面面积为.

16.在四面体A3CD中，AB=V,BC=2,CD=6且CDLBC,异面直线A3,CD

JT

所成的角为一，则该四面体外接球的表面积为.

6

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在AABC中，角A氏C所对应的边分别为a,dc,且a+Z?=ll,c=7,cosA——.求：

7

(1)a的值；

(2)sinC和AABC的面积.

18.某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第

一组［45,55),第二组［55,65),第三组［65,75),第四组［75,85),第五组［85,95］,绘制成如图所

示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同.

3

(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数(精确到0.1)；

兀71

19.如图，在所有棱长都等于1三棱柱ABC—AbBiCi中，NABBi=-,/BiBC=—.

23

(1)证明：AiCiXBiC；

(2)求直线8c与平面ABBA所成角的大小.

20.已知直线4：2x+y—8=O,直线。：x—y+2=0,设直线乙与4的交点为A，点尸的坐标为(2,0).

(1)经过点P且与直线4垂直的直线方程；

(2)求以AP为直径的圆的方程.

21已知直线m:3%+4、+12=0和圆。：/+/+2%-4y-4=0.

(1)求与直线用垂直且经过圆心C的直线的方程；

(2)求与直线机平行且与圆C相切的直线的方程.

22.已知函数=eR)

(1)当。=1时，求/(%)的单调递增区间(只需判定单调区间，不需要证明)；

4

(2)设〃尤)在区间(0,2］上最大值为g⑷，求y=g(a)的解析式.

2023-2024学年阳江市高二数学第一学期期末测试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1,设集合。={-2，一1，°」，2},A={-L2},5={-1,0,1}；则应町%=()

A.{-2,-1,1,2}B.{-2-1,2}C.{-2,2}D.{2}

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的运算，即可得到结果.

【详解】令8={—2,2},(^B)oA={-2,-l,2}.

故选：B

2.已知x,y＞0,gx+；y=4孙，贝！J3x+2y的最小值为()

A.-1B.1C.0D.1

【答案】B

【解析】

11,

【分析】由题设丁+丁=4,且孙＞0,应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件.

3x2y

11,

【详解】由题设丁+丁=4,且孙＞0,

3x2y

5

所以3x+2y=！（3九+2丁）（工+工）=工（2+2y3%、、1_2y3%x..

—+—)>-(2+2—•—)=1,

43x2y43x2y4V3x2y

当且仅当2y£二3x斤即户式1北时1等号成立，

所以3x+2y的最小值为1.

故选：B

3.已知幕函数y=/（x）的图象过点，则〃3）的值为（）

1

A.9B.3C.6D.-

3

【答案】A

【解析】

【分析】设y=/（x）=x"，根据等［;求出1,即可求出函数解析式，再代入计算可得.

【详解】设y=/（x）=x°,则/二=乂一=—,所以a=2,

\7\7

贝1/（尤）=/,所以/（3）=32=9.

故选：A

4.若关于尤的一元二次方程f一2办+4=0有两个实根，且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数。

的取值范围是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次方程根的分布，结合已知作出对应二次函数图象，列出不等式，求解即可得出答案.

【详解】设/（x）=%2—2依+4,

根据已知结合二次函数性质，作图

6

A=(-2tz)2-16=4(tz2-4)>0

则有《/(l)=5-2tz<0

y(2)=8-4tz<0

解得a>—.

2

故选：C.

sin2x

则屋

5.已知cosx+sinx=，

3

77

A.——B.述cD.

16~6~-43

【答案】D

【解析】

【分析】由倍角公式和差角公式、平方关系求解即可.

(sinx+cosx)2-17

【详解】

克x也3-

故选：D

6.已知向量。=(cosa,sina),B=(-sinc,cosa),而=百万+B,为=万+6石，则沅与万的夹角为

)

兀兀71

D.

64J2

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算及数量积的运算性质、夹角公式求解.

7

【详解】...M=(cosa,sina),B=(—sina,cosa),

/.\a\=1，M=1.5=-sinacosi+cosisini=0,

...沆•为=(6讶+.)・(日+百6)=y/3a2+6方2+4@.6=26

.'.|m|=J^y/3a+b^=^/^=2,同="万+=2,

故选：A

7.某圆锥母线长为4,轴截面是顶角为120。的等腰三角形，过该圆锥的两条母线作圆锥的截面，当截面

面积最大时，圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为（）

A.4B.2C.6D.血

【答案】D

【解析】

【分析】设该圆锥的顶点为S,底面圆心为O,连接SO,得到SBC=gsc义S3义sinNCS3,得到SB,SC

的夹角为90。时，ASBC的面积最大，结合匕.BOC=%-SBC，列出方程，即可求解.

【详解】设该圆锥的顶点为S,底面圆心为。，AB为底面圆的直径，连接SO,由圆锥的母线长为4,轴

截面是顶角为120。的等腰三角形可知圆锥的高50=2,底面圆半径为2石，

设C为圆锥底面圆周上一点，连接8C,OC,则S^SBC=gsCxS3义sinNCS3,

所以当△S3。的面积最大时，即sin/CSB最大时，即SB,SC的夹角为90。时，

△S3C的面积最大，此时△S3C的面积为8,且3c=4&，

取3c中点。，连接OD,则OD±BC,

在直角△3QD中，可得OD=《OB?—BD?=2,

所以&BOC的面积为5B0C=-X4V2X2=4A/2,

2

设圆锥底面圆的圆心O到截面SBC的距离为h,

则由^S-BOC—^O-SBC可得§XSOxSABOC=—xhxSASBC，

8

即gx2x40=；x/zx8,解得/z=0,

所以圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为J5.

故选：D.

8.已知p,AB,C是表面积为16兀的球。表面上的四点，球心。为的内心，且到平面

4c的距离之比为2:2:J7,则四面体P—ABC的体积为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意分析可知AABC是边长为2G等边三角形，点P在底面ABC的投影在直线8。上，

建系，设P(2cos8,0,2sine),sin6>0,利用空间向量结合点到面的距离可得sin。=岑，进而可求

体积.

【详解】由题意可知：球心。既是AABC的内心，也是443C的外心，则“3。为等边三角形，

设球。的半径为R,贝14位2=16兀，解得R=2，

由正弦定理可得AB=2Rsin60°=26，即的边长为26，

分别取AC,A8的中点2E,连接3。，

因为。到平面尸A5PBe的距离相等，由对称可知：点P在底面A3C的投影在直线即上，

如图，以。为坐标原点，8。为x轴所在直线，0£为y轴所在直线，过。作底面A3C的垂线为z轴所

在直线，建立空间直角坐标系，

9

则3（2,0,0）,4-1,60），4-1,-"0）,

可得AB=（3,-AO）,CB=（3,y/3,0）,CA=（0,2后,0）,

不妨设平面PAB,PBC,PAC的法向量依次为«=（l,V3,«）,m=（l,-Ab）,p=（1,0,c）,

UUL/l\UUUULUU/L\

且。4=-1,6,0,O5=（2,0,0）,OC=-1,-后0,

221

则O到平面PAB,PBC,PAC的距离依次为"'a+/',1+02

21=2:2:77整理得了=廿

可得

14+/“+/"b1=3+7金

因为OP=2,设尸（2cos8,0,2sin。），sin8>0,

UUUUUL

则AP=（2cos0+1,0,2sin8）,BP=（2cos0-2,0,2sin8）,

ft-AP-2cos8+1+2〃sing=0

1-cos0

则《玩•AP=2cos8+l+2/?sine=0,解得〃=/7=--------------

_»sin。sin。

p-BP=2cos8-2+2。sin。=0

J2cos8+1丫__（1-cos^Y冷刀夕日a1

贝1TlI--------------=3+7-------------,解得cos6=不，

Isin。JIsin8J2

则sin0=Vl-cos2^=—，即点尸到底面ABC的距离为且,

22

所以四面体P—ABC的体积为工X』X3X2GX9=3.

322

故选：A.

【点睛】关键点睛：

1.分析可知疑。是边长为2的等边三角形，点尸在底面ABC的投影在直线5。上;

2.巧妙设点或向量，方便分析计算.

10

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在中，内角的对边分别为a,b,c,则下列说法中正确的有（）

A.若a=6,A=二，则”RC面积的最大值为上叵

32

B.若。=63+c=8,则面积的最大值为3s

C.若角A内角平分线交于点D,且殷=’,。=3,则面积的最大值为3

DC2

Q

D.若=为3c的中点，且AM=2,则AABC面积的最大值为§

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用余弦定理、基本不等式以及三角形的面积公式可判断AB；根据角平分线的性质及余弦定理,

结合二次函数求解最值判断C,根据余弦定理结合二次函数求解最值判断D.

jr

【详解】对于A,由余弦定理可得3c2=AB?+AC2—2A3.ACCOS—,

3

即AB-+AC2-AB-AC=36，

由基本不等式可得36=AB?+AC?一AB.AC22AB•AC—AB•AC=AB•AC，

即AB-ACW36,当且仅当A3=AC=6时，等号成立，

所以S=-AB-ACsin-=—AB-AC<9^3，所以A错误；

△AOBC234

对于B,由余弦定理可得cosA=—=0+=64-36-2儿=14_1；

2bc2bc2bcbe

所以54ABe=；besinA=；bcy/l-cos2A=g^（Z?c）2-（14-Z?c）2=Ebe-49,

因为8=b+c22j^,所以人cK16,当且仅当Z?=c=4时，等号成立，

所以工^=Ebe-49W3a，即△ABC面积的最大值为3J7,故B正确；

对于C,设NE4Q=。，/BDA=（3,则NC4D=。，NCZM=180。—尸，

11

4Hsin/?AC'sin（180。-£）

在和中，分别运用正弦定理，得——=—C和0=

BDsinaDCsina

AD74rABBD1…7-

因为sin（180。一分）=sin£,所以丝二不即an==—,所以b=2c,

v7BDDCACDC2

IA—p/曰./?2+C2—6225c2—9匚Ui、j

由余弦JE理可得cosA=----------=------，所以

2bc4c2

i--------------------I（s2-QY3/------------

5=-bcsmA=c2yjzl-cos2A=Jc4---r----=-^-c4+10c2-9，

aABC2'I4J4

=j^-（c2-5）2+16<jx4=3,当且仅当°=百时，等号成立，

所以AABC面积的最大值为3,所以C正确；

对于D,设9=%,则B4=BC=2x,在△B4"中，由余弦定理得4炉+尤2一4尤2以^8=4,解得

9220

X--------

49i+M

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：本题以三角形中的边角关系为背景设置了求三角形面积的最大值问题.求解时，先运

用余弦定理求得边角关系，再建立三角形的面积函数，进而借助基本不等式或二次函数的图象和性质，分

析探求出其最大值使得问题获解.

10.已知函数/(%)=而+1|-|改一l|(xwR),则()

A./(%)是R上的奇函数

B.当a=l时，〃X)<1的解集为

C.当a<0时，〃X)在R上单调递减

D.当"0时，y=/(x)值域为[-2,2]

【答案】ABD

12

【解析】

【分析】对于A,直接由奇函数的定义即可判断；对于B,直接分类讨论解绝对值不等式即可判断；对于

C,举出反例，推翻C选项；对于D,通过令f=axeR换元法，然后再分类讨论求出y=/(力的值域即

可判断.

【详解】对于A,首先/(X)的定义域是R关于原点对称，其次

f(一X)=|—CIX+1|一|一CIX一1|=|<2X一1|一|<2X+1|=-f(X)，

即7(x)是R上的奇函数，故A正确；

—2,x<—1

r2%<1

对于B,当a=l时，/(x)=|x+l|-|x-l|=<2x,-l<x<l,所以/(七)<101《一1或<]<

2,x>1

解得xW—l或—l<x<g,即当a=l时，/卜)<1的解集为]一叫!|,故B正确；

对于C,不妨取a=—l<0,此时/'(%)=忖一1|一次+1|,对为=2<々=3,有

/(X1)=1-3=-2=2-4=/(X2),故C错误；

对于D,当awO,xeR时，令f=此时〃无)=而+1|—尿一1|=卜+1]—=g«)/wR,

而g(7)=，+l卜|一1|=<2/,—1<Y1,当—1<*1时，-2<g(t)=2t<2,

2,t>l

从而当aw0时，y=g")即y=/(x)值域为[-2,2].

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：对于AC选项的判断比较常规，直接由定义即可判断，对于B,注意分类讨论解决

速度最快了，对于D,通过换元令r=axeR,这样就不要分a>0或进行讨论了.

11.已知函数/(%)=匚^-1,则下列正确的有()

X+1

A.函数/(x)在(0,+8)上为增函数B.存在xeR,使得/(T)=-/(X)

C.函数/*)的值域为(H。,—2]U[T,+8)D.方程/(x)——=0只有一个实数根

【答案】ABD

【分析】首先去绝对值，依次判断函数的单调性和值域，再求解了(-x)=-/(x)的方程，再利用数形结合

13

判断D.

【详解】A.当尤>0时，，（犬）=七—1=缶，函数在（0,+"）上为增函数，故A正确；

B.当x>0时，一％<0,f（-X）=-f（X）,则------1=----+1,

一龙+1x+1

即x2+x-l=0>其中A=5>0,所以方程存在实数根，故B正确；

C.当x»0时，/（'=七—1=三，函数在[0,+"）上为增函数，止匕时—l<y<0,

_y1

当x<0且xw—1时，/（%）=------1=-2+——，此时函数在（一8,-1）和（一1,0）单调递减，此时

y<—2或y>—l,所以函数的值域是（-*—2）U[—l,+8），故C错误；

D.由以上求值域的过程可知，x20和％<—1时，当一1〈尤<0时，二—1=Y,即

x+1

如图画出y=-2d—匚和丁=》2,当一1<%<。的图象,

x+1

两函数图象在区间（一1,0）只有1个交点，所以方程/（x）--=0只有一个实数根，故D正确.

故选：ABD

12.正方体48。—44。12棱长为4,动点「、。分别满足经="次+〃市彳，其中加€（0,1）,〃€1<

且7ZW0,向豆+。"|=4；R在4G上，点T在平面内，则（）

A.对于任意的me（0,1）,〃eR且〃w0,都有平面ACP,平面4耳。

B.当m+〃=1时，三棱锥3-APD的体积不为定值

14

C.若直线HT到平面AC，的距离为26,则直线与直线HT所成角正弦值最小为1.

3

D.•加的取值范围为[-28,4]

【答案】ACD

【分析】建空间直角坐标系，用向量知识求解四个选项.

对于A,以A为坐标原点，AB,AD,AA所在直线为x轴，＞轴，z轴建立空间直角坐标系,

则4（0,0,0）,0（0,4,0）,C（4,4,0）,R（0,4,4）,A（°，°，4），4（4,0,4）,B（4,0,0）

设平面片修。的法向量为机=（百,,

4^=（4,0,0）,丽=（O,4T）

m-AiBl=4%=0

则＜，令％=1，则%=0,4=1,

m-AXD-4y1—4z1二0

贝！J根二（0,1,1）,

AC=（4,4,0）,宿=（0,4,4）,

AP=mAC+nAD1=m（4,4,0）+n（0,4,4）=（4m,4m+4n,4n）,

设平面ACP的法向量为3=（九2，%，Z2），

n-AC=4X+4%=0

则L—.9，令％=1，则%=-1，Z2=1,

n-AP=4mx2+（4m+4n）y2+4nz2=0

则7=（1,-1,1）,

又加•〃=（-l）xl+lxl=0,

所以而_LA，所以对于任意的相£（。,1）,都有平面ACP_L平面4耳。，故A正确;

15

对于B,当加+n=1时，P（4m,4,4”）

设平面A3。的法向量为M=（七,y3,z3）

瓯=（T,0,4）,彷=（T,4,0）,

u-BA,=-4x,+4z,=0

则〈一,，令退=1，则%=1，Z3=1,

u.BD--4X3+4%=0

所以a=(l,l,l),

又BP=(T”,4,4”),

\BP-U\44J3

点P到平面A}BD的距离为d==忑=：

又！—&PD=匕3-&B。，

又因为AAB。的面积为定值，所以三棱锥3-的体积为定值，故B错误;

对于C,设火（4,女4）,T（a,0,c）MRT^（a-4,-b,c-4）

因为直线RT到平面ACD,的距离为2陋，所以RT〃平面ACD,,

AC=（4,4,0）,宿=（0,4,4）

设面ACQ为G=（%4，y4，Z4），则

k-AC=4X+4y4=0

<_______4，令”=T，则％=1,Z4=1,

k-AD】=4y4+4Z4=0

所以云=（1,-M）

所以RT,左=a—4+b+c—4=0，即a+b+c=8，

一|赤阂\S-b\「

又砺=（4,反4）,则^^=々4=203,解得人=2或6=14,

若b=2,所以a+c=6,R（4,2,4）,

又闻=（0,0,4）,

设直线DDy与直线RT所成角为历

16

2

RTDDl|4c-16|IC-8C+162c—4

氏72口4"4)2+4+(c—4)2V2C2-12C+242c2-12c+24

当cos0最大时，sin0最小，

人(、-2c—4，化)=_4c(")_

?g©-2c2T2c+24,Re?_12c+24)2，

g(c)在［0,4］单调递增，

所以g(c)max=g(4)=；，g(c*=g(°)=J，

cose最大值为J1+g=(,所以sine最小为g,所以直线。与直线HT所成角正弦值最小为

同

3

若。=14,所以a+c=-6,尺(4,14,4),根据对称性可得sin8最小为半，故C正确；

对于D,设。(x,y,z)因为1。3+匿"J=4,所以QB=(4-x,-y,-z),QC=(4-x,4-y,4-z),

QB+QQ=(8-2x,4-2y,4~2z),

所以|班+西|二J(8-2x『+(4-2y『+(4_2z,=4,

整理得V+V+z?—8x—4y-4z+20=0,

即(％_4)2+(,_2)2+(”2)2=4

所以点。的运动轨迹为一个以(4,2,2)为球心，半径为2的球面上一点，所以2WxW6,

42=(x,y,z-4),QD=(-x,4-y,-z)

222

所以AlQQD=—x-y-z+4y+4z=20-8x,

当x=6时，丽•的最小为-28,当尤=2时，丽最大为4

所以硕•前的取值范围为[-28,4],故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

17

cn号./兀、3misin2a+2sin2a

13.已知sm(一+。)=一，则-------------的值为

45l+tancr

7

【答案】——##-0.28

【分析】化简所求值的式子，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得.

sin2cif+2sin26Z2sinacosa+2sin2a2sinacosa(cosa+sinor).八

-------------；------------=----------------------------------=sm2。

【详解】依题意，l+tan6zI।sin—cosa+sina

cosa

7

故答案为：----

%+2xxci

14.已知点(2,l)在函数〃x)=,'—的图像上，且〃龙)有最小值，则常数。的一个取值为

2-3,%>a

【答案】I(不唯一)

【分析】分别画出函数y=f+2x和y=2‘-3的图像，再根据条件求解.

【详解】设g(x)=d+2x/(x)=2X—3,分别绘制g(x),/z(x)函数的大致图像如下图:

其中g(x)=Y+2x有最小值，g1nin(%)=g(T)=T，入(％)=2*-3没有最小值，产一3是它的渐近

线，

点(2,1)在人⑺上，a<2,h(l)=-L如上图，当a<l时,/")不存在最小值,

,\l<a<2；

故答案为：a=l(不唯一).

15.三棱锥A-5CO的四个顶点都在表面积为20兀的球。上，点A在平面3CD的射影是线段3。的中点,

18

AB=BC=2A/3，则平面BCD被球O截得的截面面积为.

【答案】4兀

【解析】

【分析】求出球的半径，由题目条件得到AABC为等边三角形，作出辅助线，找到球心的位置，并得到

DP=Jo。2_(jp2=2,求出截面面积，

【详解】设球。的半径为则4兀尺2=2。兀，解得R=石,

因为点A在平面BCD的射影是线段3C的中点M,即A"，平面BCD,

因为平面BCD,所以

由三线合一可知，AB^AC,

因为43=3。=26，所以&43C为等边三角形，

故BM=CM=6，AM=3,且球心。在平面ABC上的投影为"RC的中心N,

即®V=2,肱V=l,

过点。作OP，平面BCD于点P,连接。P,。。，故0D=E

则OP与AM平行，故OP=MN=T,

由勾股定理得DP=yJOD2-OP2=2，

平面BCD被球。截得的截面为圆，半径为2,

故面积为Jr??=4兀.

故答案为：4兀

16.在四面体A3CD中，AB=1，BC=2,CD=g，且CDLBC,异面直线A3,CD

TT

所成的角为二，则该四面体外接球的表面积为.

6

19

【答案】8兀或32兀

【解析】

【分析】将四面体A3CD放到长方体中，则。在长方体的后侧面所在的平面内，由异面直线A3,CD所

7T

成的角为一，即可大致确定。的位置，利用对称性以。点在Z轴正方向时为例找出外接球球心位置并利用

6

半径得出等量关系，求得半径大小后便可得出四面体外接球的表面积.

【详解】依题意，将四面体ABCD放到长方体中，则D在长方体的后侧面所在的平面内，

兀

因为异面直线A5,所成的角为一，CEHAB,

6

所以可得NECD=C或生，所以。应为图中2或如下图所示:

66

由对称性可知，当。点在Z轴负方向时，解法与2或。2位置相同;

可设AC的中点为四面体A3CD外接球的球心为。，球的半径为R,

由题意可知，球心。在过点/且垂直于平面ABC的垂线上，且满足R=OC=8,

建立如上图所示的空间直角坐标系，因为A3=l,BC=2,CD=6,

、

设又c(o,o,o),q|3,0,

222J

T7\

2

由心"2=W，所以RJ91+产=1+1+}

可,或R2=：+I+/=4+I+1

2

7

解得"空或"受

所以尺2=2或尺2=8,

即可知四面体ABCD外接球的表面积为4成2=8兀或32K.

故答案为：8兀或32兀

20

【点睛】方法点睛：在考查几何体外接球问题时，如果外接球球心的位置用几何法不太容易确定，可采取

分割补形法或坐标法来确定其位置，进而求得半径.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.