趣谈平面体系的几何组成分析

07、基本知识趣谈平面体系的几何组成分析材料力学第1页，共26页07、基本知识趣谈平面体系的几何组成分析同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。问题的提出在人们眼中，每个建筑物天天都一个样，即建筑物是1能够承受一切工作荷载的、2静止在地面上的、3似乎没有任何变形的4人造物。在土木工程中，建筑物的骨架称为“结构”，结构常常用所谓的“结构计算简图”来表述。因此，“结构计算简图”必须首先体现人们眼中建筑物的3个“特征”。如何在设计建筑结构计算简图时，不用计算分析，就能够判断出该图能否作为“结构的计算简图”呢？在没有判断前，这样的图只能够称之为“体系”，因为画出的体系可能不是结构的计算简图。显然，作为建筑物骨架的“结构计算简图”，首先应该是人们眼中的建筑物雏形，即“1能够承受一切工作荷载的、2静止在地面上的、3似乎没有任何变形的”“体系”。如果画出的体系不是这样的体系，就没有必要做进一步的设计分析计算等。所以，在计算分析之前，判断画出的体系图是否可以作为“结构的计算简图”，是一个必不可少的重要环节之一。这一工作，就是本章要专门研究的问题：如何判断一个画出的平面体系图，是否是人们眼中的建筑物骨架？这个工作可称为平面杆件体系的几何组成分析。几何不变体系和几何可变体系的定义1、体系物体的集合，称为体系。2、刚体与刚片在任意荷载作用下，不计各个组成的三维物体本身变形的体系，称为刚体。显然，该定义有2个要点：荷载任意和不计本身变形。在任意荷载作用下，不计各个组成的、位于同一个平面的平面物体本身变形的体系，称为刚片。显然，该定义有2个要点：荷载任意和不计本身变形。由于只研究平面杆件体系，故后面只用刚片一词。3、几何不变体系与几何可变体系在任意荷载作用下，不计各个组成的物体本身变形，而保持其几何形状大小和位置都不变的体系，称为“几何不变体系”。显然，该定义有3个要点：荷载任意、不计本身变形时的几何形状大小不变和空间位置不变。否则，只有几何形状大小和空间位置之一发生变化，就称为“几何可变体系”。简言之，空间位置不变的刚体称为称为“几何不变体系”；空间位置可变的刚体称为“几何可变体系”。4、结构与机构土木工程要求“结构”处于平衡状态（相对于地面静止或做匀速直线运动），事实上，作为建筑物骨架的结构，是处于静止状态的。因此，只有几何不变体系，才可能成为“结构”。机械工程要求“机械”能够运转（运动），因此，只有几何可变体系，才可能成为“机械”，或者说“机构（机械构造）”。 5、几何瞬变体系有这样一种情况：在任意荷载作用下，如果不考虑体系杆件本身的变形，体系在形状大小作微小改变之后，该体系就成为几何不变体系。为了把这种体系与几何可变体系加以区别，称该体系为几何瞬变体系。由于这种体系在产生“微小改变”时，会产生巨大的内力使得体系立即破坏，参见图2-1。故，几何瞬变体系是土木工程和机械工程都不能够使用的体系。αα图2-1三角架内力和瞬变体系αFABCCBA（b）瞬变体系（a）三角架在（b）中，AC和BC与铅垂线的夹角为90°。如果在铰C上作用一个微小的铅垂力，两杆将分别绕A、B转动，但此时内力将无穷大，即C处拉断。这种体系叫做“瞬变体系”，它既不能作为土木结构，也不能作为机械传动装置（机构），是土木、机械都“拒之门外”的体系。6、几何不变体系的两个类别几何不变体系又可分成两类：（1）在几何不变体系中，如果不存在维持该体系几何不变的多余杆件（多余约束）者，称为“无多余约束的几何不变体系”。在土木工程中，又称它为“静定结构”。（2）在几何不变体系中，如果存在着维持该体系几何不变的多余杆件（多余约束）者，则称为“有多余杆件（多余约束）的几何不变体系”。在土木工程中，又称它为“超静定结构”。有n个多余杆件（多余约束）的超静定结构，称为“n次超静定结构”。建筑物相对于地面是静止的，因此，建筑物骨架的结构计算简图，必须是几何不变体系。约束数与自由度在建立了几何不变体系、几何可变体系和几何瞬变体系的概念之后，具体分析体系的几何组成之前，还要交待几个相关的概念。由几何不变和几何可变，自然会想到这样一些相关的概念：静止和运动，约束和自由，束缚和解放，拘束和自在，专制和民主，抑制和随意，纪律和散漫，紧张和镇定等等，其中，与力学概念相关的是静止和运动，约束和自由。运动是理论力学关注的重点；约束是材料力学关注的重点。约束和自由是一对反义词。在理论力学，严格说是理论力学的静力学部分，对建筑物来说，关注的是静止。为了研究静止状态，得出静力平衡方程式，考察的重点确在运动。一旦物体运动的原因（条件）不成立，则物体就处于静止状态，从而得到我们需要的平衡方程。为了使建筑物的结构计算简图表达出相对于地面不动，就要考查“动、自由”，以便得出“不动、不自由”的条件：“约束”。1、自由度概念确定物体位置和方位所必须的独立坐标个数，称为自由度数。如图3-1所示。一个平面点需要2个独立坐标（x、y）来确定它的几何位置，故有2个自由度。一个平面物需要3个独立坐标（2个线坐标x、y和1个角坐标α）来确定它的几何位置，故有3个自由度。平面点有2个自由度（平面点有2个自由度（x,y）图3-1平面点和平面物的自由度数yxxyA(x,y)yxxyA(x,y)α平面物有3个自由度（x,y,α）显然，一个空间点需要3个独立坐标（x、y、z）来确定它的几何位置，故有3个自由度。一个空间物需要6个独立坐标（3个线坐标x、y、z和3个角坐标α、β、γ）来确定它的几何位置，但3个角座标应该满足，故空间物体只有5个独立坐标，自由度数为5。2、用链杆代替坐标，体现“约束”对抗“自由”坐标轴x和y是固定连接在地球上的，故图3-1可以用图3-2所示的链杆来代替坐标的作用。自由度数和链杆数（约束数）之间的匹配关系在图3-2中一目了然。平面点有2个自由度，用2链杆约束平面点有2个自由度，用2链杆约束图3-2固定平面点和平面物的链杆及其与坐标的对应关系yx链杆1yA(x,y)yxxyA(x,y)αx链杆1链杆2链杆2链杆3平面物有3个自由度，用3链杆约束既然自由度定义为确定物体位置的独立坐标个数，那么，也可以将约束数定义为确定物体位置的独立链杆个数。这样在物体“位置”概念下，把约束和自由两个反义概念统一起来，不仅加深对它们的理解，而且会使得体系的几何组成分析更加得心应手。3、支座、支座反力、约束数、链杆数与自由度数为进一步了解约束与自由的关系，现将在静力学研究支座和支座反力的一些结论，与约束数、相当链杆数和对应减少的自由度数汇总于图3-3。图图3-3约束、约束数和自由度数1约束数232减少自由度数1232相当链杆数1232约束反力FAyFAxMAFAxMAFAyFAyFAx约束类型组成刚片的三条规则平面体系几何组成分析常用的规则是二元体规则、二刚片规则和三刚片规则。如前所述，刚片并不完全等同于几何不变体系，故这三条规则宜称为一刚片规则、二刚片规则和三刚片规则为好。1、铰接三角形是最简单的可以视为刚片的基本体系几何学告诉我们，三角形是最简单的稳定图形。如图4-1所示，铰接三角形在任意荷载作用下，如果不考虑杆件本身的变形，它的形状大小保持不变，故它是最简单的刚片。如果把它的一条边与地面固结，它的位置也不会变，故，一边接地的铰接三角形是最最基本的几何不变体系。几何上要求三角形的任意两边之和大于第三边。在这里，铰接三角形的条件是，将几何上对三角形的要求，转换成“3个铰不共线”的陈述。AA图4-1接地不接地铰接三角形的几何性质BC铰接三角形形状大小不变AB一边接地铰接三角形位置也不变C铰接三角形组成规则：有一条边与地固结的铰接三角形是一个无多余约束的几何不变体系（静定结构）。在继后的论述中，我们会发现分析体系几何组成性质的三条规则，均基于铰接三角形组成规则。2、一刚片规则（二元体规则）在§3.3中，提到1根链杆相当于1个约束；1个固定铰支座或中间铰相当于2个约束；1个固定支座相当于3个约束。显然，链杆是约束的计量单位。常见的链杆是两端带铰的直杆，但它可以表达为图4-2的各种形式或类似的形式。图图4-2两刚片之间的链杆和等效链杆dabcefg二元体是由两根链杆组成的特殊体系。链杆可直、可弯、可拐折（图4-3）。显然，它实质上仍是形式各异的铰接三角形。二元体是具有一个公共铰，另一端的两个铰在同一块刚片上，且三个铰不共线的两根链杆组成的组合体系。铰接三角形的“3个铰不共线”的条件，现在二元体这里仍旧保留不变。不难看出，该定义有3个要点，缺一不可。一个二元体就是一块二元体刚片。如果刚片是接地刚片，那么该二元体是一个最最简单的几何不变体系。一刚片规则（二元体规则）：增加或减少一个二元体不会改变体系的几何组成性质。图4-3形式各异的二元体刚片acbef图4-3形式各异的二元体刚片acbefg图4-4形式各异的二元体几何不变体系acbefg二元体规则（一刚片规则）将应用于体系的几何组成分析中，见第5节的例子。3、二刚片规则（1）二刚片规则陈述1将铰接三角形的两个边等效地表示成刚片的图示（图4-5中的粗实线），就可以得到二刚片规则。显然，它实质上仍是铰接三角形ABC。AA图4-5二刚片规则1（一铰一链杆连接）BC（a）ABC（b）二刚片规则的陈述1：两块刚片用1个铰和1根链杆相连接，且铰和链杆不共线，则组成一个新的刚片。如果其中有一块刚片是接地的刚片，则组成无多余约束的几何不变体系。铰接三角形的“3个铰不共线”的条件，在二元体规则那里保留不变；现在二刚片规则陈述1这里，转换为二刚片的“1铰和1链杆不共线”的陈述。（2）二刚片规则陈述2如果刚片AC和刚片AB的公共铰A，用相交的2根链杆做等价代替（如图4-6中红色部分所示），则可得到二刚片规则的陈述2。代替后，虽然形式上由1铰1链杆的连接，变成3链杆的连接，但，它的实质上仍是铰接三角形ABC。AA图4-6二刚片规则2（三链杆连接）B（a）C（b）ABC二刚片规则的陈述2：两块刚片用3根链杆连接，且3根链杆不交于一点，则组成一个新的刚片。如果其中有一刚片是接地刚片，则组成无多余约束的几何不变体系。铰接三角形的“3个铰不共线”的条件，在二元体规则那里保留不变；在二刚片规则1那里，转换为二刚片的“1铰和1链杆不共线”的陈述；现在二刚片规则陈述2这里，转换为二刚片的“3根链杆不共线”的陈述。二刚片规则在体系的几何组成分析中的应用，见第5节的例子。4、实铰与虚铰在二刚片规则陈述2中，连接两个刚片的是有3根链杆，一般来说，它们两两相交会形成3个交点。如果把体系中真实表示出来的铰称为“实铰”，那么，可把两根链杆的交点称为“虚铰”。二刚片规则要求3根链杆形成的三个铰，无论虚实，都不能够交于一点和处于第一条直线上。交于一点时，体系是可变体系；三铰共线时，体系是瞬变体系，在建筑结构上都是不能使用的。参见图4-7.AA图4-7实铰与虚铰BCDEFG链杆ad和ce交点F为虚铰链杆cb和ce交点C为实铰链杆cb和ad交点G为虚铰三铰不共线，满足二刚片规则5、三刚片规则（1）三刚片规则陈述1将铰接三角形的三个边都等效地表示成刚片的图示（图4-8中的粗实线），就可以得到三刚片规则。显然，它实质仍是铰接三角形ABC。AA图4-8三刚片规则1（三铰连接）BC（a）ABC（b）三刚片规则的陈述1：三块刚片用3个铰两两相连接，且三个铰不共线，则组成一个新的刚片。如果其中有一块刚片是接地的刚片，则组成无多余约束的几何不变体系。铰接三角形的“3个铰不共线”的条件，在二元体规则那里保留不变；在二刚片规则1那里，转换为二刚片的“1铰和1链杆不共线”的陈述；在二刚片规则2那里，转换为二刚片的“3根链杆不共线”的陈述；现在三刚片规则陈述1这里，又回到“3个铰不共线”的陈述。（2）三刚片规则陈述2如果刚片AC和刚片AB的公共铰A，用相交的2根链杆做等价代替（如图4-9中红色部分所示），则可得到三刚片规则的陈述2。代替后，虽然形式上由3铰的连接，变成2铰2链杆的连接，但，它的实质上仍是铰接三角形ABC。AA图4-9三刚片规则2（2链杆2铰连接）B（a）C（b）ABC三刚片规则的陈述2：三块刚片分别用2根链杆和2个铰连接，且2根链杆的交点（实铰或虚铰）和两个铰不共线，则组成一个新的刚片。如果其中有一刚片是接地刚片，则组成无多余约束的几何不变体系。铰接三角形的“3个铰不共线”的条件，在二元体规则那里保留不变；在二刚片规则1那里，转换为二刚片的“1铰和1链杆不共线”的陈述；在二刚片规则2那里，转换为二刚片的“3根链杆不共线”的陈述；在三刚片规则陈述1那里，又回到“3个铰不共线”的陈述；现在的三刚片规则陈述2这里，转换为“两根链杆的交点与两个铰不共线”。（3）三刚片规则陈述3如果刚片AC和刚片AB的公共铰A，用相交的2根链杆做等价代替；刚片AB和刚片BC的公共铰B，也用相交的2根链杆做等价代替（如图4-10中红色部分所示），则可得到三刚片规则的陈述3。代替后，虽然形式上由3铰的连接，变成1铰4链杆的连接，但，它的实质上仍是铰接三角形ABC。AA图4-10三刚片规则2（4链杆1铰连接）B（a）C（b）AB三刚片规则的陈述2：三块刚片分别用4根链杆和1个铰连接，且4根链杆的两两交点，共计2个实铰或虚铰和原来那个铰不共线，则组成一个新的刚片。如果其中有一刚片是接地刚片，则组成无多余约束的几何不变体系。铰接三角形的“3个铰不共线”的条件，在二元体规则那里保留不变；在二刚片规则1那里，转换为二刚片的“1铰和1链杆不共线”的陈述；在二刚片规则2那里，转换为二刚片的“3根链杆不共线”的陈述；在三刚片规则陈述1那里，又回到“3个铰不共线”的陈述；在三刚片规则陈述2那里，转换为“两根链杆的交点，即1个实铰或者虚铰与原来那两个铰不共线”；现在的三刚片规则陈述3这里，转换为“4根链杆的两两交点，共计2个实铰或者虚铰与原来那个铰不共线”。（4）三刚片规则陈述4如果刚片AC和刚片AB的公共铰A，用相交的2根链杆做等价代替（如图4-11中红色部分所示），则可得到三刚片规则的陈述2。代替后，虽然形式上由3铰的连接，变成2铰2链杆的连接，但，它的实质上仍是铰接ABC。三角形AA图4-11三刚片规则4（6链杆连接）B（a）C（b）ABC三刚片规则的陈述4：三块刚片分别用6根链杆把刚片两两连接，且6根链杆的两两交点，共对应3个实铰或虚铰不共线，则组成一个新的刚片。如果其中有一刚片是接地刚片，则组成无多余约束的几何不变体系。铰接三角形的“3个铰不共线”的条件，在二元体规则那里保留不变；在二刚片规则1那里，转换为二刚片的“1铰和1链杆不共线”的陈述；在二刚片规则2那里，转换为二刚片的“3根链杆不共线”的陈述；在三刚片规则陈述1那里，又回到“3个铰不共线”的陈述；在三刚片规则陈述2那里，转换为“两根链杆的交点，即1个实铰或者虚铰与原来那两个铰不共线”；在三刚片规则陈述3那里，转换为“4根链杆的两两交点，共2个实铰或者虚铰与原来的那个铰不共线”；现在的三刚片规则陈述4这里，转换为“6根链杆的两两的交点，共3个实铰或者虚铰不共线”。三刚片规则在体系的几何组成分析中的应用，见第5节的例子。用三个组成规则分析体系的例子1、几种基本静定结构（无多余约束的几何不变体系） 图5-1示出几种常用的基本静定结构，它们可以作为平面体系几何组成分析的基础其它杆件可以几何组成规则搭建在它们上面。图图5-1无多余约束的几何不变体系（静定结构）悬臂梁简支梁单外伸梁双外伸梁简支刚架悬臂刚架1、18个例子（1（1）无多余约束的几何不变体系（2）无多余约束的几何不变体系图2-118个简单的平面几何体系（4）无多余约束的几何不变体系（5）无多余约束的几何不变体系（6）无多余约束的几何不变体系（3）有1个多余约束的几何不变体系（7）几何瞬变体系（8）无多余约束的几何不变体系（9）无多余约束的几何不变体系（13）几何瞬变体系（11）有1个多余约束的几何不变体系（12）有1个多余约束的几何不变体系（15）有3个多余约束的几何不变体系（14）有2个多余约束的几何不变体系（10）有2个多余约束的几何不变体系（16）无多余约束的几何不变体系（17）有2个多余约束的几何不变体系（18）无多余约束的几何不变体系实例实例5-1简支梁是无多余约束的几何不变体系（静定结构）（1）无多余约束的几何不变体系接地铰接三角形为CDAABCDEAE同属地面，可成为新的铰接三角形AEB的接地边AE。ABCDE结论：简支梁由两个接地铰接三角形组成，分析时恰好用完全部杆件。故，为无多余约束的几何不变体系（静定结构）。红色属基础刚片结论1：简支梁是基本静定结构。实例实例5-2外伸梁是无多余约束的几何不变体系（静定结构）接地铰接三角形为CDAABCDEAE同属地面，可成为新的铰接三角形AEF的接地边AE。B在AF杆上已经固定。ABCDE（2）无多余约束的几何不变体系F红色属基础刚片结论：简支梁由两个接地铰接三角形组成，分析时恰好用完全部杆件。故，为无多余约束的几何不变体系（静定结构）。结论2：单外伸梁和双外伸梁都是基本静定结构。实例实例5-3l两跨梁是有一个多余约束的几何不变体系（一次超静定结构AE同属地面，可成为新的铰接三角形AEB的接地边AE。F链杆是多余的。结论：两跨梁由两个接地铰接三角形组成，分析时剩下链杆支座F。故，体系是有1个多余约束的几何不变体系（1次超静定结构）。接地铰接三角形为CDAABCDE红色属基础刚片（3）有1个多余约束的几何不变体系ABCDEF定义：连接两根杆的铰称为单铰；否则，称为复铰。定义：铰连接的杆全部在杆的端部者称全铰；若有不在端部者称半铰，如F铰。实例实例5-4两跨梁是无多余约束的几何不变体系（静定结构）AE同属地面，可成为新的铰接三角形AEF的接地边AE。B在AF杆上。B链杆多余。ABCDE结论：外伸梁由两个接地铰接三角形组成，分析时用完全部杆件。故，为无多余约束的几何不变体系（静定结构）。F（4）无多余约束的几何不变体系红色属基础刚片接地铰接三角形为CDAABCDEF比较：上例F为半铰；本例F为全铰。实例实例5-5外伸梁是无多余约束的几何不变体系（静定结构）接地铰接三角形为CDAAE同属地面，可成为新的铰接三角形AEF的接地边AE。B在丁字杆AFB杆上。结论：悬臂梁固定支座由两个接地铰接三角形组成，分析时用完全部杆件。红色属基础刚片（5）无多余约束的几何不变体系ABCDEABCDF结论3：悬臂梁和悬臂刚架都是基本静定结构。注意：例5-1到5-5都用铰接三角形来分析，其实等于用二元体规则。实例实例5-6外伸梁是无多余约束的几何不变体系（静定结构）A静定结构BC（外伸梁）加地面铰AD构成新地面ABCD。左侧加三角形ABE，右侧加地表三角形CDF，完成分析，没有多余杆件，故为无多余约束的几何不变体系（静定梁）ABCDEF红色属基础刚片（6）无多余约束的几何不变体系注意：外伸梁也是基本静定结构。实例实例5-7体系为几何瞬变体系（土木、机械皆不能使用）注：不是所有表现为三铰共线的体系都是瞬变体系。当位于中间的那个铰是单铰（只与两根杆相连的铰）的三铰共线，才称为瞬变体系。（7）几何瞬变体系ABC三铰共线，为瞬变体系。ABC结论4：含有三铰共线，且中间一个为单铰（仅与两根杆相连）是瞬变体系。实例实例5-8体系是有1个多余约束的几何不变体系（1次超静定梁）悬臂梁已经是基本的无多余约束的几何不变体系。附加的链杆是多余的。（8）无多余约束的几何不变体系要点：悬臂梁是静定结构，不需要再加链杆来固定它的位置。故多余1链杆实例实例5-9体系是无多余约束的几何不变体系（静定梁）a二元体建造法：接地Δabe和Δcdf的基础上，顺序加上Δefg，Δegh，Δgfi，Δhij，Δhjk，Δjil，构成体系，并且用完全部杆件。故为无多余约束的几何不变体系。（9）无多余约束的几何不变体系bcdefghijkl二元体建造法：从地面开始用二元体建造体系的方法。实例实例5-10体系为有2个多余约束的几何不变体系（2次超静定结构）把体系的中间铰撤除，左右两边各为1个悬臂刚架。悬臂刚架是基本的静定结构，被除去的1个中间铰对应于两根链杆，即两个约束，故体系为有2个多余约束的几何不变体系。（10）有2个多余约束的几何不变体系要点：利用悬臂柱是基本静定结构。一铰刚架是2次超静定结构。实例实例5-11体系是有1个多余约束的几何不变体系（1次超静定梁）体系由两个固定铰支座连接1根曲杆组成。一个平面物体有3个自由度，需要3个约束就可以构成无多余约束的几何不变体系。而2个固定铰支座相对于4个约束，故多余1个约束。体系为有1个多余约束的几何不变体系。（11）有1个多余约束的几何不变体系结论5：三铰拱是基本是静定结构；两铰拱是1次超静定结构；一铰拱是2次超静定结构；无铰拱是3次超静定结构。实例实例5-12体系是有1个无多余约束的几何不变体系（1次超静定梁）（12）有1个多余约束的几何不变体系把体系的两个铰撤除，左右两边各为1个悬臂刚架。悬臂刚架是基本的静定结构，被出去的2个铰对应4根链杆，即4个约束。但是，水平杆自由了，要固定它需要3个约束，体系多余1个约束。故，体系为有1个多余约束的几何不变体系。要点：利用悬臂刚架是基本的静定结构。实例实例5-13体系为瞬变体系1、两个固定支座组成的接地刚片a、b铰上二元体固定c铰；2、左加二元体固定d铰；3、右加二元体固定f铰；4、中部加二元体固定g铰；5、左加二元体固定h铰；6、右加二元体固定i铰，此时原体系的外形已构造好，还多余de和ef两根链杆，是否就此可判断体系为“无多余约束的几何不变体系”呢？（13）几何瞬变体系abcedfg不是的。两根多余链杆的三个铰bhc共线，这违背组成规则，是瞬变的。故，整体而言应该算为“瞬变体系”才是。hi结论6：三铰共线是瞬变体系的必要条件，是否充分要看组成分析结果。实例实例5-14体系是有2个多余约束的几何不变体系（2次超静定梁）体系由两个相互支承的两铰刚架组成，一个两铰刚架多余1个约束，故，体系多余2个约束。体系为有2个多余约束的几何不变体系。（14）有2个多余约束的几何不变体系注：两铰拱和两铰刚架是1次超静定结构。实例实例5-15体系是有3个无多余约束的几何不变体系（3次超静定梁）体系把一根Π型刚架支承在两个固定支座上。一个平面物体需要3个约束来固定，现在有两个固定支座，共6个约束体系多余3个约束。故，体系为有3个多余约束的几何不变体系。（15）有3个多余约束的几何不变体系要点：无铰拱和无铰刚架是3超静定结构。实例实例5-16体系为无多余约束的几何不变体系体系为简支体系。对于简支体系的研究方法是仅仅研究支座以上部分的体系性质即可。本体系简支的是全部由铰接三角形组成的、没有多余杆件的子体系，它是一个没有多余约束的几何不变子体系。故，本体系为无多余约束的几何不变体系。（16）无多余约束的几何不变体系结论7：简支体系只需要分析除简支支座外的子体系。实例实例5-17体系是有2个多余约束的几何不变体系（2次超静定梁）（17）有2个多余约束的几何不变体系体系为简支体系。对于简支体系的研究方法是仅仅研究支座以上部分的体系性质即可。本体系简支的子体系，貌似全部由铰接三角形组成的、没有多余杆件的子体系。但是在子体系中左右两个大三角形中，各多余1根链杆（已经红色标注）。要点：简支体系只需要分析除简支支座外的子体系。实例实例5-18体系是无多余约束的几何不变体系（静定结构）（18）无多余约束的几何不变体系体系为简支体系。对于简支体系的研究方法是仅仅研究支座以上部分的体系性质即可。本体系简支的是全部由铰接三角形组成的、没有多余杆件的子体系，它是一个没有多余约束的几何不变子体系。故，本体系为无多余约束的几何不变体系。要点：简支体系只需要分析除简支支座外的子体系。基本方法和相关结论汇总：1.建造法：从地面开始，顺序搭建二元体，看完成体系的情况定几何组成性质；2.拆卸法；从体系顶部开始，顺序撤除二元体，看撤除体系的情况定几何注册性质；3.吊装法：对应含有简支支座的体系，研究简支支座上的子体系性质，即可确定体系的几何组成性质。结论1：简支梁是基本静定结构。结论2：单外伸梁和双外伸梁都是基本静定结构。结论3：悬臂梁和悬臂刚架都是基本静定结构。结论4：含有三铰共线，且中间一个为单铰（仅与两根杆相连）是瞬变体系。结论5：三铰拱是基本是静定结构；两铰拱是1次超静定结构；一铰拱是2次超静定结构；无铰拱是3次超静定结构。结论6：识别瞬变体系的方法是3铰共线，且中间铰是单铰者。结论7：简支体系只需要分析除简支支座外的子体系几何组成。定义：连接有非杆端的铰称为半铰。定义：连接的全是杆端的铰称为全铰。2、15个例子实例实例5-19体系是无多余约束的几何不变体系（静定结构）a撤除法：先撤除二元体f相关的两根链杆fc和fe，再顺序撤除二元体e、d和c后，最后撤除固定铰支座a和b，只剩地面，故，体系为无多余约束的几何不变体系（静定结构）。（19）无多…不变体系bcdef建造法：先建固定铰支座a和b，再顺序建造二元体c、d、e和f，到此已经完全恢复原体系，故，体系为无多余约束的几何不变体系（静定结构）。二元体规则：增加或减少二元体不改变体系的几何性质。撤除法：撤除法：先撤除二元体f相关的两根链杆fc和fe，再顺序撤除二元体e、d和c后，最后撤除固定铰支座a和b，多余杆件ab，故，体系为有1多余约束的几何不变体系（1次超静定结构）。bde建造法：先建固定铰支座a和b，再顺序建造二元体c、d、e和f，到此只有ab杆未用到就完全恢复原体系，故，体系为有1多余约束的几何不变体系（1次超静定结构）。（20）多1…不变体系acf实例5-20体系是有1多余约束的几何不变体系（1次超静定结构）二元体规则：增加或减少二元体不改变体系的几何性质。实例实例5-21体系是无多余约束的几何不变体系（静定结构）a对于简支体系，分析除简支支座外的子体系，就可以确定体系性质。子体系为铰接三角形组成，即在任意1个铰接三角形基础上顺序增加二元体而成一个刚片。故，体系为无多余约束的几何不变体系（静定结构）bcdef（21）无多…不变体系二元体规则：增加或减少二元体不改变体系的几何性质。请对比19、20、21三个体系的分析与结论。实例实例5-22体系是无多余约束的几何不变体系（静定结构）三刚片法则：以两个固定铰支座和地面为刚片Ⅰ，折杆acf为刚片Ⅱ，折杆bde为刚片Ⅲ。Ⅰ,Ⅱ由铰a连接，Ⅰ,Ⅲ由铰b连接，Ⅱ,Ⅲ由链杆cd和ef连接，它们形成的虚铰在g，a、b、g三铰不在一条直线上，故，体系为无多余约束的几何不变体系（静定结构）。abcdef（22）无多…不变体系ⅠⅡⅢ三刚片规则：三刚片两铰两链杆，且对应三铰（包含虚铰）不共线，则为无多…不变。三刚片规则三刚片规则：刚片Ⅰ和Ⅱ用铰a连接，刚片Ⅰ和Ⅲ用铰b连接，刚片Ⅱ和Ⅲ用铰c连接，abc三铰不共线，组成无多余约束的几何不变体系。三刚片规则：刚片Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ组合和Ⅳ用铰e连接，刚片Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ组合和Ⅴ用铰d连接，刚片Ⅳ和Ⅴ用铰f连接，def三铰不共线，组成无多余约束的几何不变体系。故，体系为无多余约束的几何不变体系（静定结构）实例5-23体系是无多余约束的几何不变体系（静定结构）bdeacⅠ（23）无多…不变ⅡⅢⅣⅤf要点：两次用三刚片的三铰规则。实例实例5-24体系是无多余约束的几何不变体系（静定结构）三刚片规则：刚片Ⅰ和Ⅱ用铰a连接，刚片Ⅰ和Ⅲ用铰b连接，刚片Ⅱ和Ⅲ用铰c连接，abc三铰不共线，组成无多余约束的几何不变体系。abcdef（24）无多…不变体系ghiⅠⅡⅢ二元体规则：在刚片Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ组合的基础上，顺序加上二元体(ef,fd)、(eg,gf)、(fh,hd)和(gi,ih)，组成无多余约束的几何不变体系。要点：先用三刚片三铰规则，再4次用二元体规则。实例实例5-25体系是无多余约束的几何不变体系（静定结构）二元体法则：以地面、固定铰支座f、二元体b(ab,bc)，d(ad,db)和e(be,ec)组成刚片Ⅰ。（25）无多…不变体系dabcefghijkⅠ二元体法则：再在刚片Ⅰ的基础上，搭建二元体g(fg,gd)，h(gh,hb),i(hi,ie)和j(ij,jk)后，恰好组成本体系。故，体系为无多余约束的几何不变体系（静定结构）。要点：一次用二元体规则建立一个基础刚片，再4次用二元体的体系。实例实例5-26体系是无多余约束的几何不变体系（静定结构）（26）无多…不变体系Ⅰabcdefghi3个固定铰支座加悬臂柱组成刚片Ⅰ：以地面、悬臂柱de、固定铰支座a，b和c组成刚片Ⅰ。二元体法则：再在刚片Ⅰ的基础上，搭建二元体f(ef,fc)，h(gh,hb)和i(hi,ib)后，恰好组成本体系。故，体系为无多余约束的几何不变体系（静定结构）。要点：在3个固定铰支座加1个悬臂柱组成刚片的基础上，4次用二元体规则。实例实例5-27体系是无多余约束的几何不变体系（静定结构）体系由独立3链杆简支支座支撑，先研究子体系。两刚片规则：刚片Ⅰ(abc)和Ⅱ(def)由3链杆cd、ae和bf连接，且3链杆不交于一点，故构成刚片Ⅲ。（27）无多…不变体系ⅠⅡⅢⅣabcdefghi再用两刚片规则：刚片Ⅲ和地面刚片Ⅳ由3链杆ga、he和if连接，且3链杆不交于一点，故构成无多余约束的几何不变体系（静定结构）。Ⅳ要点：简支支座体系。用两刚片规则先研究子体系；再用两刚片规则与地连接。实例实例5-28体系是几何可变体系（机构）三刚片法则：以与地面相连的3个固定铰支座abc为刚片Ⅰ，链杆de为刚片Ⅱ，链杆ef为刚片Ⅲ组成体系主体部分。连接这3个刚片的是1个铰e和3根链杆ad、be和cf。要满足仅有1个中间铰的三刚片法则，其必要条件是要有4根链杆，现在缺少1根链杆。故，本体系是可变体系（机构）。（28）可变体系abcⅠdefⅡⅢ要点：不满足三刚片1铰4链杆的规则。实例实例5-29体系是有1个多余约束的几何不变体系（1次超静定结构）法1：利