中职高考数学一轮复习讲练测9.3 空间中的垂直关系（讲）（解析版）

9.3空间中的垂直关系【考点梳理】1．线线垂直如果两条直线所成的角是直角(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是[0°，90°]．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是[0°，180°]．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．考点一线线垂直、线面垂直、点到面的距离【例题】（1）以下哪个条件能判断直线l与平面垂直（

）A．直线l与平面内无数条直线垂直B．直线l与平面内两条平行直线垂直C．直线l与平面内两条直线垂直D．直线1与平面内两条相交直线垂直【答案】D【解析】对于A、B、C，直线l与平面内无数条直线垂直、l与平面内两条平行直线垂直、直线l与平面内两条直线垂直，都不符合条件，如下图平面，且，，不垂直平面，如果直线l与平面内的两条相交直线都垂直，那么平面，故D正确.，故选：D.（2）若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（

）A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面【答案】C【解析】由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线平面，直线平面时，直线与直线平行，故选：C.（3）在正方体的六个面中，与垂直的平面有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】在正方体中，侧棱都和底面垂直，故在正方体的六个面中，与垂直的平面有平面和平面，共两个，故选：B.（4）已知正方体棱长为，则点到平面的距离为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】连接AC交BD于点E，则因为四边形ABCD为正方体，所以AC⊥BD，且E为AC中点，因为⊥底面ABCD，平面ABCD，所以⊥，因为，所以AC⊥平面，所以CE的长即为点到平面的距离，因为正方体棱长为2，所以由勾股定理可得：，显然，，故选：B.（5）已知m，n为两条不同的直线，为平面，有下列命题：①，；②，；③，，其中正确的命题是．（填序号）【答案】②【解析】①，，则或或相交.判断错误；②，.判断正确；③，，则或.判断错误，故答案为：②.【变式】（1）若一条直线与平面垂直，下列平面中的两条直线与垂直，可以保证直线与平面垂直的是（

）①四边形的两边

②正六边形的两边

③圆的两条直径

④三角形的两边A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】D【解析】对于①，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；对于②，若直线垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于③，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于④，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直，所以可以保证直线与平面垂直的是③④，故选：D.（2）设表示两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”成立的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，所以由“”可得“”，充分性成立；反之亦成立.所以“”是“”成立的充要条件，故选：A.（3）如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（）A．与垂直 B．与垂直C．与异面 D．与异面【答案】D【解析】如图所示，连结，由几何关系可得点为的中点，且，由三角形中位线的性质可得：，即与不是异面直线，很明显，与异面，由几何关系可得：，则，综上可得，选项D中的结论不成立，本题选择D选项.（4）如图所示，在三棱锥中，平面，，的延长线交于点，则图中与垂直的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【解析】平面，，又，且，平面，∴直线与垂直.，共4条，故选D.（5）平行四边形的对角线交点为O，点P在平行四边形所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是．【答案】垂直【解析】如图:因为四边形为平行四边形,所以点为和的中点，因为,所以，因为,所以，因为平面,平面,且，所以平面，故答案为：垂直.考点二面面垂直、线面角、二面角【例题】（1）已知空间中两平面，直线，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】且，知：；而且，则与平面的关系可能有、、，∴“”是“”的充分不必要条件，故选：A.（2）如图所示，在正方体中，直线与平面所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为在正方体中，平面，所以为与平面所成的角，因为为等腰直角三角形，所以，所以直线与平面所成的角为，故选：A.（3）长方体中，，，则二面角为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由图可知，，所以是二面角的平面角，，所以，故选：D.（4）在长方体的侧面中，与平面ABCD垂直的平面有（

）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】如图在长方体中，侧棱与底面都是垂直的，所以侧面与底面ABCD垂直，平面、平面、平面、平面均与平面ABCD垂直，故选：D.（5）如图所示，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的是_______(填序号)．①平面平面；②平面平面；③平面平面，且平面平面；④平面平面，且平面平面.【答案】③【解析】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE，因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，故答案为：③．【变式】（1）下列命题错误的是（

）A．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行C．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行D．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角【答案】B【解析】A，一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线，故A正确；B，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线与这个平面平行或在这个平面内，故B错误；C，如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行，故C正确；D，一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线都垂直，故它们形成的角就是二面角的一个平面角，故D正确，故选：B.（2）以下说法正确的是（

）A．空间异面直线的夹角取值范围是B．直线与平面的夹角的取值范围是C．二面角的取值范围是D．向量与向量夹角的取值范围是【答案】C【解析】选项：空间异面直线的夹角取值范围是，所以选项错误；选项：直线与平面的夹角的取值范围是，所以选项错误；选项：二面角的取值范围是，所以选项正确；选项：向量与向量夹角的取值范围是，所以选项错误，故选：C.（3）如图，在棱长为2的正方体中，､分别为棱､的中点，则与平面所成角的正切值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接，∵面，∴就是与平面所成的角，，故选：D.（4）如图，三棱台的下底面是正三角形，，则二面角的大小是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】三棱台中，，且，则，又，且,所以平面，所以为的二面角，因为为等边三角形，所以，故选：C.（5）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，取的中点，连接，三棱柱为直三棱柱，则平面，又平面，所以，又由题意可知为等腰直角三角形，且为斜边的中点，从而，而平面，平面，且，所以平面，则为与平面所成的角.在直角中，，故选：C.（6）如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的有．(写出全部正确命题的序号).①平面平面；②平面平面；③平面平面，且平面平面；④平面平面，且平面平面.【答案】③【解析】因为，且是的中点，所以，同理有，因为，平面，所以平面，因为在平面内，所以平面平面，又由于平面，所以平面平面，故答案为：③.【方法总结】1．判断(证明)线线垂直的方法(1)根据定义；(2)如果直线a∥b，a⊥c，则b⊥c；(3)如果直线a⊥面α，c⊂α，则a⊥c；(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零．2．证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：两相交直线a，b⊂α，a⊥c，b⊥c⇒c⊥α；(2)a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(3)利用面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；(4)利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝m，a⊂α，a⊥m⇒a⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m⇒m⊥γ.3．证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β；(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角；(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面