阿基米德三角形专项训练（学生版）

阿基米德三角形专项训练一、单选题1．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②PF丄AB.若经过抛物线y2=4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为()C．x+2y-1=0D．2x-y-2=02．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于△PAB面积的).若抛物线方程为y2=2px(p>0)，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则p=()3．阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，△PAB为阿基米德三角形.抛物线x2=2py(p>0)上有两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA,PB相交于P.给出如下结论，其中正确的为()（1）若弦AB过焦点，则△ABP为直角三角形且上APB=90。；（2）点P的坐标是（3）△PAB的边AB所在的直线方程为(x1+x2)x-2py-x1x2=0；（4）△PAB的边AB上的中线与y轴平行（或重合）.A234）B12）C123）D134）4．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A、B两点，M为AB的中点，分别过A、B两点作抛物线的切线l1、l2相交于点P.△PAB又常被称作阿基米德三角形.下面关于△PAB的描述：①P点必在抛物线的准线上；③设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则△PAB的面积S的最小值为⑤PM平行于x轴.其中正确的个数是()5．我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形△PAB（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；已知直线l:y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于A，B点，若AB=8，则抛物线的“阿基米德三角形”△PAB的面积为()6．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB又常被称作阿基米德三角形.△PAB的面积S的最小值为()A．B．C．p2D．p27．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线y2=2px(p>0)，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ为.A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随Q位置变化前三种情况都有可能关系8．我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形△PAB（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”，抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②PA丄PB；③PF丄AB.已知直线l：y=k(x-1)与抛物线C：y2=4x交于A，B点，若AB=8，记此时抛物线C的“阿基米德三角形”为△PAB，则P点为()C．(-1,-2)9．阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿 基米德三角形”.已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为3x-3y+6=0，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是()C．PF丄AB10．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线l1，l2相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且上APB为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线x2=4y的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为()二、多选题11．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，M为AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB又常被称作阿基米德三角形．下面关于△PAB的描述其中正确的是()A．P点必在抛物线的准线上；B．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则△PAB的面积S的最小值为；D．PM平行于x轴.12．阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，过A、B两点的直线的方程为x-3y+6=0，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论正确的是()13．阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线x2=8y的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为x-y+2=0，弦AB的中点为C，则关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论正确的是()14．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C：y=x2上两个不同点A,B横坐标分别为x1，x2，以A,B为切点的切线交于P点.则关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有()A．若AB过抛物线的焦点，则P点一定在抛物线的准线上B．若阿基米德三角形PAB为正三角形，则其面积为 4C．若阿基米德三角形PAB为直角三角形，则其面积有最小值D．一般情况下，阿基米德三角形PAB的面积15．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=2px(p>0)，弦AB过焦点F，△ABQ为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是()A．存在点Q，使得QA.QBD.△ABQ面积的最小值为p216．阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦AB所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形ABC的顶点C在抛物线上，且在过弦AB的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线y=-x+p与抛物线E:y2=2px(p>0)交于A，B两点，且A为第一象限的点，E在A处的切线为l，线段AB的中点为D，直线DC//x轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是()A．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6三、填空题17．古希腊著名数学家阿基米德是这样求抛物弓形面积的：以抛物弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点作弓形的内接三角形；在以该内接三角形两腰为弦的两个抛物线弓形内用同样的方法作出内接三角形，等等．从第二次开始，每次作出的内接三角形面积之和是前一次所作出的内接三角形面积和的．若第一次所作的内接三角形面积为1，则第三次所作的内接三角形面积和为.18．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l：y＝4与抛物线C：y=x2交于A，B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为.19．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的．已知A(2,1),B(2,1)为抛物线C:x2=4y上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为；弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为.四、解答题20．已知椭圆且经过中的三点，抛物线:y2=2px(p>0)，椭圆C1的右焦点是抛物线C2的焦点.(1)求曲线C1，C2的方程；(2)点P是椭圆C1的点，且过点P可以作抛物线C2的两条切线，切点为A，B，求三角形PAB面积的最大值.21．已知线段AB是抛物线y2=4x的弦，且过抛物线焦点F.(1)过点B作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点E，求证：A、O、E三点共线(O为坐标原点)；(2)设M是抛物线准线上一点，过M作抛物线的切线，切点为A1、B1.求证i）两切线互相垂直；（ii）直线A1B1过定点，请求出该定点坐标.22．如图，过点P(m,n)作抛物线C:x2=2py(p>0)的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，动点Q为抛物线C上在A，B之间部分上的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB于点M，N.(1)若AP丄PB，证明：直线AB经过点；(2)若分别记△PMN，△ABQ的面积为S1，S2，求的值.23．过抛物线的一条弦的中点作平行于抛物线对称轴的平行线（或与对称轴重合交抛物线于一点，称以该点及弦的端点为顶点的三角形为这条弦的阿基米德三角形（简称阿氏三角形）