动态函数试题及答案

动态函数试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题3分，共30分）

1.下列函数中，是奇函数的是（）

A.y=x^2

B.y=x^3

C.y=|x|

D.y=1/x

2.函数y=2^x的图象（）

A.通过点（0，1）

B.通过点（1，2）

C.通过点（2，4）

D.通过点（3，8）

3.函数y=log2x的图象（）

A.通过点（1，0）

B.通过点（2，1）

C.通过点（4，2）

D.通过点（8，3）

4.函数y=sinx的周期是（）

A.π

B.2π

C.3π

D.4π

5.函数y=e^x的图象（）

A.通过点（0，1）

B.通过点（1，e）

C.通过点（e，1）

D.通过点（e^2，e）

6.函数y=x^2-4x+4的图象（）

A.是一个开口向上的抛物线

B.是一个开口向下的抛物线

C.是一个直线

D.是一个双曲线

7.函数y=|x-2|的图象（）

A.是一个开口向上的抛物线

B.是一个开口向下的抛物线

C.是一个直线

D.是一个双曲线

8.函数y=2x+3的图象（）

A.是一个开口向上的抛物线

B.是一个开口向下的抛物线

C.是一个直线

D.是一个双曲线

9.函数y=3^x的图象（）

A.通过点（0，1）

B.通过点（1，3）

C.通过点（2，9）

D.通过点（3，27）

10.函数y=x^2+2x+1的图象（）

A.是一个开口向上的抛物线

B.是一个开口向下的抛物线

C.是一个直线

D.是一个双曲线

二、填空题（每题3分，共30分）

1.函数y=2^x的图象在（）轴上有一个渐近线。

2.函数y=log2x的图象在（）轴上有一个渐近线。

3.函数y=sinx的周期是（）。

4.函数y=e^x的图象在（）轴上有一个渐近线。

5.函数y=|x-2|的图象在（）处有一个拐点。

6.函数y=2x+3的图象在（）处有一个拐点。

7.函数y=3^x的图象在（）处有一个拐点。

8.函数y=x^2+2x+1的图象在（）处有一个拐点。

9.函数y=2^x-3的图象在（）处有一个极值点。

10.函数y=x^2-4x+4的图象在（）处有一个极值点。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)的极值。

2.已知函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的拐点。

3.已知函数f(x)=2^x-3，求f(x)的渐近线。

四、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：对于任意实数x，有sin^2x+cos^2x=1。

2.证明：对于任意实数x，有e^x>x。

五、计算题（每题10分，共20分）

1.计算定积分∫(0到π)sinxdx。

2.计算不定积分∫(2x^3+3x^2-2x+1)dx。

六、应用题（每题10分，共20分）

1.一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶了3小时后，速度突然降为40km/h，再行驶了2小时后，速度再次降为20km/h，问汽车总共行驶了多少公里？

2.一公司计划在一年内完成一个项目，前三个月完成了总工作量的1/4，接下来的四个月完成了总工作量的1/3，最后三个月完成了剩余的工作量。求每个月平均完成的工作量占总工作量的比例。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.B

解析：奇函数满足f(-x)=-f(x)，只有选项B满足这个条件。

2.B

解析：函数y=2^x是一个指数函数，其图象通过点（1，2）。

3.B

解析：函数y=log2x是对数函数，其图象通过点（2，1）。

4.B

解析：函数y=sinx是正弦函数，其周期是2π。

5.A

解析：函数y=e^x是指数函数，其图象通过点（0，1）。

6.A

解析：函数y=x^2-4x+4可以化简为(y-1)^2=(x-2)^2，是一个开口向上的抛物线。

7.B

解析：函数y=|x-2|在x=2处有一个拐点，因为在这个点上，函数的斜率从正变负。

8.C

解析：函数y=2x+3是一次函数，其图象是一条直线。

9.B

解析：函数y=3^x是一个指数函数，其图象通过点（1，3）。

10.A

解析：函数y=x^2+2x+1可以化简为(y+1)^2=(x+1)^2，是一个开口向上的抛物线。

二、填空题答案及解析：

1.y

解析：函数y=2^x的图象在y轴上有一个渐近线。

2.x

解析：函数y=log2x的图象在x轴上有一个渐近线。

3.2π

解析：函数y=sinx的周期是2π。

4.y

解析：函数y=e^x的图象在y轴上有一个渐近线。

5.2

解析：函数y=|x-2|在x=2处有一个拐点。

6.-1

解析：函数y=2x+3在x=-1处有一个拐点。

7.0

解析：函数y=3^x在x=0处有一个拐点。

8.-1

解析：函数y=x^2+2x+1在x=-1处有一个拐点。

9.x=1

解析：函数y=2^x-3的图象在x=1处有一个极值点。

10.x=2

解析：函数y=x^2-4x+4的图象在x=2处有一个极值点。

三、解答题答案及解析：

1.极大值：0，极小值：-2

解析：求导得到f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得到x=1或x=-1。计算二阶导数f''(x)=6x，代入x=1和x=-1，得到f''(1)=6>0，f''(-1)=-6<0，所以x=1是极大值点，x=-1是极小值点。

2.拐点：(1,0)，(-2,0)

解析：求导得到f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得到x=2或x=-2。计算二阶导数f''(x)=2，代入x=2和x=-2，得到f''(2)=2，f''(-2)=2，所以x=2和x=-2都是拐点。

3.y=-3

解析：求导得到f'(x)=2^xln(2)-3，令f'(x)=0得到x=log2(3/ln(2))。计算二阶导数f''(x)=2^xln^2(2)，代入x=log2(3/ln(2))，得到f''(log2(3/ln(2)))=2^(log2(3/ln(2)))ln^2(2)=3/ln(2)ln^2(2)>0，所以x=log2(3/ln(2))是极值点，计算f(x)得到y=-3。

四、证明题答案及解析：

1.证明：

左边=sin^2x+cos^2x

=(sinx)^2+(cosx)^2（由三角恒等式sin^2x+cos^2x=1）

右边=1

左边=右边

因此，sin^2x+cos^2x=1。

2.证明：

令g(x)=e^x-x，求导得到g'(x)=e^x-1。令g'(x)=0得到x=0，计算二阶导数g''(x)=e^x>0，所以x=0是极小值点。因为e^x>0，所以g(x)>g(0)=e^0-0=1>0，所以e^x>x。

五、计算题答案及解析：

1.∫(0到π)sinxdx=[-cosx]从0到π=-cosπ+cos0=-(-1)+1=2。

2.∫(2x^3+3x^2-2x+1)dx=(2/4)x^4+(3/3)x^3-(2/2)x^2+x+C=(1/2)x^4+x^3-x^2+x+C。

六、应用题答案及解析：

1.总行驶距离=(60km/h*3h)+(40km/h*2h)+(20km/h*2h)=180km+80km