山西省平遥县高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程（3）教学实录 新人教A版必修1

山西省平遥县高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程（3）教学实录新人教A版必修1科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）山西省平遥县高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程（3）教学实录新人教A版必修1教学内容山西省平遥县高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程（3）教学实录新人教A版必修1

本节课主要围绕函数与方程的关系展开，包括函数零点的概念、求函数零点的方法、零点存在性定理等内容。通过实例分析和练习，使学生深入理解函数与方程的关系，掌握求解函数零点的方法，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过分析函数与方程的关系，学生能够提高抽象思维能力，学会运用逻辑推理解决问题；通过构建函数模型，学生能够提升数学建模能力；通过求解方程，学生能够增强数学运算的准确性和效率。同时，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高数学素养。学习者分析1.学生已经掌握的相关知识：

学生在进入本节课之前，已经掌握了函数的基本概念、图像、性质以及一元二次方程的解法。这些知识是学习函数与方程关系的基础，学生能够识别和绘制基本的函数图像，理解函数的单调性、奇偶性等性质，并能够解简单的一元二次方程。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

学生对数学的兴趣因人而异，但普遍对函数图像和方程求解有一定的兴趣，因为它们与实际生活联系紧密。学生的学习能力方面，部分学生可能具有较强的逻辑思维和抽象思维能力，能够快速理解和应用新知识；而部分学生可能在抽象概念的理解上存在困难。学习风格上，学生既有偏好独立学习的，也有喜欢合作学习的，因此教学中需要兼顾不同风格的学生。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习函数与方程关系时，可能遇到的困难包括：

-理解函数零点的概念和意义；

-掌握不同类型函数零点的求解方法；

-将实际问题转化为函数模型，并运用数学知识解决问题；

-在处理复杂方程时，可能会出现计算错误或难以找到合适的解法。教师需要通过适当的教学策略和辅导，帮助学生克服这些困难。教学资源1.软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、电脑）、电子白板、计算器、黑板。

2.课程平台：学校教学平台、在线教学资源库。

3.信息化资源：函数图像软件（如Desmos、GeoGebra）、数学教学视频、在线互动练习系统。

4.教学手段：实物教具（如函数图像卡）、案例教材、小组合作学习材料。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示生活中常见的函数现象，如温度变化、距离时间关系等，引导学生思考函数在生活中的应用。

2.提出问题：引导学生回顾已学知识，提出与函数相关的问题，如“如何表示两个变量之间的关系？”“如何找到函数的零点？”

3.学生回答：邀请学生回答问题，教师总结并引出本节课的主题——函数与方程。

二、讲授新课（20分钟）

1.函数零点的概念：讲解函数零点的定义，强调零点是指函数图像与x轴交点的横坐标。

2.求函数零点的方法：介绍两种求函数零点的方法，一是代入法，二是图像法。

3.零点存在性定理：讲解零点存在性定理，强调在满足一定条件下，函数在某个区间内至少存在一个零点。

4.实例分析：通过实例分析，让学生理解函数零点的求解过程，并掌握求函数零点的方法。

5.学生互动：邀请学生参与实例分析，引导学生思考并解决问题。

三、巩固练习（10分钟）

1.练习题：布置与函数零点相关的练习题，让学生独立完成。

2.学生展示：邀请学生展示解题过程，教师点评并总结。

3.小组讨论：将学生分成小组，讨论练习题中的难点，互相解答疑问。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问环节：教师针对本节课的重点内容进行提问，检查学生对知识的掌握情况。

2.学生回答：邀请学生回答问题，教师总结并点评。

五、师生互动环节（10分钟）

1.教师提问：教师提出与函数零点相关的问题，引导学生思考并回答。

2.学生提问：学生提出自己在学习过程中遇到的问题，教师解答并引导。

3.小组合作：教师将学生分成小组，要求小组合作完成一个与函数零点相关的实际问题。

六、核心素养拓展（5分钟）

1.问题引导：教师提出一个与函数零点相关的实际问题，引导学生运用所学知识解决。

2.学生展示：邀请学生展示解题过程，教师点评并总结。

七、总结与作业布置（5分钟）

1.总结：教师对本节课的重点内容进行总结，强调函数与方程的关系。

2.作业布置：布置与函数零点相关的作业，要求学生在课后完成。

教学过程设计总用时：45分钟。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握：

-学生能够准确理解函数零点的概念，知道函数零点是函数图像与x轴交点的横坐标。

-学生掌握了两种求函数零点的方法：代入法和图像法，能够根据不同类型的函数选择合适的方法进行求解。

-学生理解并能够运用零点存在性定理，知道在一定条件下，函数在某个区间内至少存在一个零点。

2.能力提升：

-学生通过实例分析和练习，提高了分析问题和解决问题的能力，能够将实际问题转化为数学模型。

-学生在求解方程的过程中，提升了数学运算的准确性和效率，增强了逻辑推理能力。

-学生通过小组合作学习，提高了团队合作和沟通能力，学会了如何与他人共同探讨问题。

3.思维发展：

-学生在理解函数与方程关系的过程中，发展了抽象思维能力，能够从具体实例中概括出一般规律。

-学生通过分析函数图像和方程，培养了空间想象能力，能够从二维图像中理解三维空间的关系。

-学生在运用数学知识解决实际问题的过程中，提高了创新思维和批判性思维能力。

4.应用能力：

-学生能够将所学的函数与方程知识应用于日常生活和实际问题中，如计算商品打折后的价格、分析市场趋势等。

-学生通过实例分析，了解了函数在物理学、经济学、生物学等领域的应用，拓宽了知识视野。

-学生在解决实际问题的过程中，学会了如何选择合适的数学工具和方法，提高了应用数学知识解决实际问题的能力。

5.学习态度：

-学生通过本节课的学习，增强了学习数学的兴趣，认识到数学在各个领域的广泛应用。

-学生在遇到困难时，能够积极寻求帮助，培养了良好的学习态度和自主学习能力。

-学生通过小组合作学习，学会了尊重他人，理解团队合作的重要性，提高了人际交往能力。教学反思这节课已经结束了，我觉得有必要对这节课的教学进行一下反思，看看哪些地方做得好，哪些地方还有待改进。

首先，我觉得课堂气氛营造得还可以。通过创设情境，我尽量让学生能够感受到函数与方程在生活中的应用，这样能激发他们的学习兴趣。比如，我用温度变化来引入函数零点的概念，学生们的兴趣立刻就被调动起来了。

但是，我也发现了一些问题。在讲解函数零点的概念时，我发现部分学生对“零点”这个词的理解还是不够清晰。我在课堂上解释了好几次，但还是有一些学生不太理解。这可能是因为他们对数学语言的理解还不够成熟，需要我在以后的教学中更加注重数学语言的讲解和解释。

接着，我在讲授新课的时候，尽量做到生动有趣，但是可能有些地方讲解得太快了。我发现有些学生跟得上节奏，但也有一些学生显得有些吃力。这说明我在今后的教学中，需要对不同的学生进行分层教学，根据他们的学习情况来调整教学节奏。

在巩固练习环节，我设计了多种类型的题目，包括基础题和应用题，但似乎还是有些题目对学生来说难度过大。有的学生表示，虽然题目看起来很有趣，但是不知道如何下手。这让我意识到，我在设计练习题的时候，需要更加注意题目的梯度，确保每个层次的学生都有所收获。

在课堂提问环节，我尝试让学生参与到课堂讨论中来，但是发现有些学生还是不太敢于表达自己的观点。这可能是因为他们对自己的数学能力不够自信，或者是担心回答错误。所以，在接下来的教学中，我会更加鼓励学生表达自己的看法，创造一个更加宽松、包容的课堂氛围。

此外，我还注意到，在小组讨论环节，部分小组的合作并不理想。有的学生比较被动，不主动参与讨论；有的学生则过于积极，抢占了发言机会。为了改善这种情况，我计划在接下来的教学中，加强对小组合作的学习策略指导，比如如何分工合作、如何倾听他人意见等。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生在课堂上的参与度较高，对于函数零点的概念和求解方法表现出浓厚的兴趣。

-大部分学生能够积极回答问题，对于新知识的理解较为迅速，课堂互动良好。

-部分学生在理解函数零点的概念时存在困难，需要进一步讲解和练习。

2.小组讨论成果展示：

-小组讨论环节中，学生们能够积极参与，提出自己的观点和见解。

-各小组在讨论过程中，能够有效分工合作，共同解决问题。

-学生们通过讨论，对函数零点的求解方法有了更深入的理解。

3.随堂测试：

-随堂测试涵盖了本节课的主要知识点，包括函数零点的概念、求解方法和应用。

-学生们的测试成绩整体较好，能够正确回答大部分问题。

-部分学生在解决实际问题时，仍需加强练习和理解。

4.学生自评与互评：

-学生在课后对自己的学习情况进行自评，能够认识到自己的不足之处。

-学生之间进行互评，能够发现同伴的优点和不足，互相学习、共同进步。

5.教师评价与反馈：

-针对学生对函数零点概念的理解，教师将进行个别辅导，确保每个学生都能掌握。

-对于学生在小组讨论中的表现，教师将给予肯定和鼓励，同时指出需要改进的地方。

-针对随堂测试中出现的问题，教师将组织学生进行针对性的练习，加强巩固。

-教师将对学生的学习态度和课堂纪律进行评价，鼓励学生积极参与课堂活动，提高学习效果。典型例题讲解例题1：求解函数f(x)=x^2-4x+3的零点。

解答：要求解函数的零点，我们需要找到使得f(x)=0的x值。这里我们可以通过因式分解来解这个一元二次方程。

f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0

根据零因子定理，如果两个数的乘积为零，则至少有一个数为零。因此，我们得到两个解：

x-1=0或x-3=0

解得：x=1或x=3

所以，函数f(x)=x^2-4x+3的零点是x=1和x=3。

例题2：求解方程2x^2-6x+2=0的零点。

解答：这是一个标准的一元二次方程，我们可以使用求根公式来解它。

a=2,b=-6,c=2

根据求根公式：

x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)

x=(6±√(36-16))/4

x=(6±√20)/4

x=(6±2√5)/4

x=3/2±√5/2

所以，方程2x^2-6x+2=0的零点是x=3/2+√5/2和x=3/2-√5/2。

例题3：求解函数g(x)=x^3-3x^2+4x-12的零点。

解答：这个函数是一个三次方程，我们可以尝试因式分解来解它。

g(x)=x^3-3x^2+4x-12=(x-2)(x^2-x+6)

对于二次方程x^2-x+6=0，我们可以使用求根公式，但是这个方程的判别式Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4*1*6=1-24=-23，小于零，说明它没有实数解。

因此，g(x)=x^3-3x^2+4x-12的零点是x=2。

例题4：求解方程h(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+8=0的零点。

解答：这是一个四次方程，我们可以尝试寻找可能的整数解。

(x^4-8x^3+22x^2-24x+8)/(x-1)=x^3-7x^2+15x-8

现在我们只需要解三次方程x^3-7x^2+15x-8=0。这个方程没有显而易见的整数解，我们可以使用数值方法或者继续因式分解。

例题5：求解函数k(x)=x^5-5x^4+5x^3-x^2+5x-1的零点。

解答：这是一个五次方程，通常没有简单的因式分解方法。我们可以使用数值方法来找到实数解。

这些例题展示了不同类型的一元二次方程和三次方程的求解方法，包括因式分解、求根公式和数值方法。通过这些例题，学生可以更好地理解函数与方程的关系，并掌握求解零点的基本技巧。内容逻辑关系①函数与方程的关系

-函数图像与方程的关系：函数图像与x轴的交点对应方程的解。

-方程与函数的关系：方程的解对应函数的零点。

②函数零点的概念

-零点的定义：函数图像与x轴交点的横坐标。

-零点的性质：零点是使得函数值