2024年上海崇明区中考二模数学试题及答案详解

崇明区中考数学二模试卷一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在下列二次根式中，最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．下列运算中，计算结果正确的是（）A． B．C． D．3．下列函数中，如果的值随的值增大而减小，那么这个函数是（）A． B． C． D．4．某校准备组织八年级500名学生进行研学旅行活动，小慧同学随机抽取了部分同学进行研学目的地意向调查，调查结果发现选择航海博物馆的占，辰山植物园的占，世博文化园的占，其他目的地的占，要反映上述信息，宜采用的统计图是（）A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．频数分布直方图5．探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．①～③是其作图过程：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③联结，则四边形即为所求作的图形．在小明的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（）① ② ③A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等6．已知在中，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（）A．或 B．C． D．二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。7．的相反数是______．8．分解因式：______．9．已知，那么______．10．方程的根是______．11．已知关于的方程没有实数根，则实数的取值范围为______．12．一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的七个球，它们除了数字不同外其余都相同，从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字为偶数的概率为______．13．已知正六边形的半径为，那么这个正六边形的边心距为______．14．为了解某区初中学生每月参加社团活动时间的情况，随机抽查了100名学生的社团活动时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知该区初中生共有8000名，依此估计，该区每月参加社团活动的时间不少于8小时的学生数大约是______名．15．如图，在梯形中，，，若，，用表示______．16．如图，点是的重心，的延长线交于点，过点作，交于点，则______．17．已知在矩形中，，将矩形绕点旋转，的对应边与边相交于点，联结，当点是中点时，______．18．新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“关联抛物线”例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为，且抛物与轴相交于、两点，点关于轴的对称点为，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为______．三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19．（本小题10分）计算：20．（本小题10分）解方程组：21．（本小题10分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点为直线上位于点右侧的一点，且，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）试判断的形状22．（本小题10分）某工程队购进几台新型挖掘机（如图1），该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图：是基座（基座高度忽略不计），是主臂，是伸展臂，若主臂长为4.8米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：，当主臂伸展角最小，伸展臂伸展角最大时，伸展臂恰好能接触水平地面（点、、、在一直线上）．（参考数据：） 图1 图2（1）当挖掘机在处时，能否挖到距水平正前方6米远的土石？（请通过计算说明）（2）该工程队承担了新农村景观河的建设任务，计划用该型号的挖掘机进行施工．已知景观河全长1200米，实际开工后每天比原计划多挖20米，因此提前3天完成任务，求工程队原计划每天挖多少米？23．（本小题12分）如图，已知在四边形中，，对角线平分，点是上一点，以为半径的过、两点．（1）求证：四边形是菱形；（2）设与交于点，联结并延长，交的延长线于点，若，求证：24．（本小题12分）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点和点，顶点为．（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；（2）设抛物线与轴的另一个交点为，若点在轴上，当时，求点的坐标；（3）将抛物线平移，得到抛物线．平移后抛物线的顶点落在轴上的点处，将沿直线翻折，得到，如果点恰好落在抛物线的图象上，求平移后的抛物线的表达式．25．（本小题14分）如图，已知中，，点是射线上一动点（不与、重合），过点作，交射线于点，点为中点，联结并延长，交射线于点．（1）如图1，当点在线段上时，①若，求的长；②当与相似时，求的长．（2）当是以为腰的等腰三角形时，试判断以点为圆心、为半径的与以为圆心、为半径的的位置关系，并说明理由． 备用图1 备用图2答案和解析1．【答案】A【解析】解：A是最简二次根式，符合题意；B．，不是最简二次根式，不符合题意：C．，不是最简二次根式，不符合题意；D．，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；开方中不含得尽的因或因式．据此进行解题即可．本题考查最简二次根式，熟练最简二次根式的概念是解题的关键．2．【答案】B【解析】解：A．，故A不符合题意；B．故B符合题意：C．，故C不符合题意；D．，故D不符合题意；故选：B．根据完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，去括号与填括号，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答．本题考查了完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，去括号与填括号，同底数幂的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．3．【答案】C【解析】解：A．，当时，随值的增大而增大，故A选项不符合题意：B．，因为，所以时，的值随的值增大而增大，故B选项不符合题意；C．，因为随值的增大而减小，此C选项符合题意；D．，因为图象开口向上，对称轴为轴，所以时，的值随的值增大而增大，故D选项不符合题意．故选：C．分别根据正比例函数，反比例函数和二次函数的图象和性质判断即可．此题主要考查了二次函数、一次函数、正比例函数的性质等知识，熟练应用函数的性质是解题关键．4．【答案】C【解析】解：某校准备组织八年级500名学生进行研学旅行活动，小慧同学随机抽取了部分同学进行研学目的地意向调查，调查结果发现选择航海博物馆的占，辰山植物园的占，世博文化园的占，其他目的地的占，要反映上述信息，宜采用的统计图是扇形统计图，故选：C．条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．本题考查统计图的选择，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．【答案】B【解析】解：由作图过程可知，，根据平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知四边形为平行四边形故选：B．由作图过程可知，，根据平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得答案．本题考查作图复杂作图、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解答本题的关键．6．【答案】D【解析】解：作于，如图，以为圆心、为半径作的圆与斜边有公共点时，的取值范围为．故选：D．作于，根据勾股定理计算出，再利用面积法计算出，然后根据直线与圆的位置关系得到当时，以为圆心、为半径作的圆与斜边有公共点．本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为；直线和相交；直线和相切；直线和相离．7．【答案】【解析】解：的相反数为．故答案为：．只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数．本题主要考查的是相反数的定义，属于基础题型．解决这个问题只要明确相反数的定义即可．8．【答案】【解析】解：．故答案为：．直接提取公因式，进而分解因式即可、此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．【答案】【解析】解：，故答案为：．把代入函数解析式计算即可．本题考查了求函数值，属于基础题．10．【答案】【解析】解：对于方程，移项得：，方程两边同时平方，得：，解得：，经检验得：是方程的根．方程的根是．故答案为：．将方程，移项得，再将方程两边同时平方转化为整式方程，解这个整式方程，然后再检验即可得出答案．此题主要考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的一般方法是解决问题的关键．11．【答案】【解析】解：根据题意得，解得，即的取值范围为．故答案为：．利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可，本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．12．【答案】【解析】解：一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的七个球，从这个箱子里随机摸出一个球，一共有7种可能性，其中出的球上所标数字为偶数的有3种可能性，出的球上所标数字为偶数的概率是，故答案为：．用偶数的个数除以数据的总个数即可求得答案．本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．13．【答案】【解析】解：如图，连接、；过点作于点．在中，故答案为：．根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决，本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．14．【答案】2800【解析】解：样本中该区每月参加社团活动的时间不少于8小时的学生占比为：，估计，该区每月参加社团活动的时间不少于8小时的学生数大约是：（名），故答案为：2800．将该区每月参加社团活动的时间不少于8小时的学生比例乘以该区初中生总人数即可作出估计．本题考查频数分布直方图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．15．【答案】【解析】解：，故答案为：．根据等量代换得出，得出，再根据平面向量三角形减法法则求解即可．本题考查了平面向量，平行线的性质，熟记平面向量三角形运算法则是解题的关键．16．【答案】【解析】解：由，得，由点是的重心，得是中点，，得的面积：的面积，故的面积：的面积的面积：的面积．故答案为：．由，得，由点是的重心，得是中点，，得的面积：的面积，故的面积：的面积的面积：的面积．本题主要考查了三角形的重心，解题关键是找准面积的比例关系，17．【答案】【解析】解：作，由矩形，将矩形绕点旋转，点是中点，易得，，得，，由，得，得，得，得，得．故答案为：．作，易得，得，，由得，得，，得，得．本题主要考查了矩形的旋转问题，解题关键是相似三角形的正确应用．18．【答案】【解析】解：抛物线的“关联抛物线”为，的解析式为：．对称轴为：．顶点坐标为．点关于轴的对称点为，点坐标为：．四边形是正方形，抛物与轴相交于、两点，，与互相平分，的中点坐标为．设点在点的右边．点的横坐标为：．点的坐标为．解得：．抛物线的表达式为：．易得的解析式，可判断出的顶点坐标，进而可得点的坐标．根据四边形是正方形，可得对角线互相平分且相等，那么可得点的坐标，代入的解析式可得的值，代入即可得到所求的函数解析式．本题考查二次函数中的新定义问题．理解新定义的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：若二次函数中只有一个未知系数，一般会判断出二次函数的对称轴；正方形的对角线互相垂直平分且相等．19．【答案】解：．【解析】先化为最简二次根式，算负整数指数幂，分母有理化，去绝对值，再算加减．本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．20．【答案】解：由②得：，或，原方程组可转化为：（1）或（2）解方程组（1）得：解方程组（2）得：方程组的解为【解析】先由②得，则或，此时可将原方程组转化为（1）或（2）两个二元一次方程组，然后再解这两个二元一次方程组即可得出原方程组的解．此题主要考查了解二元二次方程组，熟练掌握因式分解法解二元二次方程组是解决问题的关键．21．【答案】解：（1）点在正比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，反比例函数的解析式为：；（2）如图，作轴，垂足为，将代入正比例函数得：，将代入反比例函数得，是等腰三角形【解析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可：（2）证明得到点、坐标，根据两点间距离公式计算出三边长即可判断三角形形状，本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两点间距离公式是解答本题的关键．22．【答案】解：（1）当挖掘机在处时，能挖到距水平正前方6米远的土石，理由：过点作，垂足为，在中，米，（米），（米），在中，（米），（米），米米，当挖掘机在处时，能挖到距水平正前方6米远的土石：（2）设工程队原计划每天挖米，则实际开工后每天挖米，由题意得：，解得：或，经检验：或是原方程的根，工程队原计划每天挖80米，【解析】（1）过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答；（2）设工程队原计划每天挖米，则实际开工后每天挖米，根据题意可得：，然后进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．23．【答案】证明：（1），平分，是圆直径，四边形是平行四边形，四边形是菱形．（2）连接，四边形是菱形，【解析】（1）由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，由圆周角定理推出，得到，推出，得到，因此，判定四边形是菱形．（2）连接，由菱形的性质推出，得到，判定，推出，由推出，得到，由平行线的性质推出，得到，即可证明．本题考查菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，角平分线定义，关键是由角平分线定义，平行线的性质推出，由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系推出；由，推出，由推出．24．【答案】解：（1）直线与轴相交于点，与轴相交于点，则点、的坐标分别为：，将点、的坐标代入抛物线表达式得：解得：则抛物线的表达式为：，由抛物线的表达式知，点（2）由抛物线的表达式知，点过点作轴的平行线交故点和轴的平行线于点，交过点和轴的抛物线于点， 图1 图2则，，即，解得：，即点（3）由直线的表达式知，，当将沿直线翻折，得到时，为等边三角形，设点，则，点新抛物线的表达式为：，将点的坐标代入抛物线表