第8章　第6讲　第2课时

第八章平面解析几何第六讲双曲线第二课时名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究提能训练练案[55]考点突破·互动探究直线与双曲线的位置关系——自主练透C优解：由图形可知，过点A(0,1)作与双曲线渐近线平行的直线有2条，作与双曲线相切的直线也有两条，则与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条，选项C正确．[引申1]本例中，若过点A的直线与双曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为__________________________________.[引申2]本例中，若将“A(0,1)”改为“A(1,0)”，则符合条件的直线有______条．[引申3]本例中，若将“A(0,1)”改为“A(2,0)”，则符合条件的直线有______条．32[引申4]本例中，过点A与双曲线的左支有两个交点的直线斜率的取值范围为______________.[引申5]本例中，过双曲线左焦点且与左支有两个不同交点的直线斜率的取值范围为________________________________.(－∞，－3)∪(3，＋∞)名师点拨：直线与双曲线位置关系的判断方法1．将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0为例：(1)若a≠0且Δ>0，直线与双曲线相交，有两个公共点；(2)若a≠0且Δ＝0，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；(3)若a≠0且Δ<0，直线与双曲线相离，没有公共点；(4)若a＝0，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点；(5)若a＝0且b＝0，直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公共点．2．有时利用数形结合思想，根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．【变式训练】如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公共点，则k的取值范围是________.双曲线的弦——多维探究角度1弦长问题B名师点拨：双曲线弦长的求法：联立直线与双曲线方程，求得交点坐标，或写出根与系数的关系，利用弦长公式求解．注意“焦点弦”的弦长与通径(过焦点且垂直实轴的弦)、实轴长间关系(焦点弦长的最小值是通径与实轴长二者的最小值)的应用．如本例中双曲线实轴长为2，通径长为6，则满足|AB|＝m的直线①当2<m<6时有2条；②当m>6时有4条；③当m＝2时有1条；④当0<m<2时有0条．【变式训练】C角度2中点弦问题1.(2010·新课标)已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(

)BA．(1,1) B．(－1,2)C．(1,3) D．(－1，－4)D名师点拨：“中点弦”问题常用“点差法”求解，但求弦所在直线方程后应代回检验．【变式训练】6x－y－11＝0直线与双曲线的综合问题——师生共研(1)求双曲线C的方程；(2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P、Q.设P、Q中点为M，求三角形BOM面积的取值范围．名师点拨：解决直线与圆锥曲线相交问题的策略解答直线与圆锥曲线相交的题目时，常联立直线和圆锥曲线的方程，消去y(或x)得一元二次方程，结合题设条件，利用根与系数的关系建立有关参变量的等量关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．设直线方程时一定要关注直线的斜率是否存在，若不能确定，应分类求解，当过点P(a，b)的直线不与x轴垂直时，可设其方程为y＝k(x－a)＋b；当过点P(a，b)的直线不与y轴垂直时，可设其方程为x＝m(y－b)＋a.【变式训练】名师讲坛·素养提升高考中的离心率问题A2AACC名师