高中物理《高中全程学习方略》2025版必修第二册导学案专题进阶课一　曲线运动的典型问题含答案

高中物理《高中全程学习方略》2025版必修第二册导学案专题进阶课一曲线运动的典型问题含答案专题进阶课一曲线运动的典型问题学习任务一小船渡河问题【核心归纳】1.小船渡河情景如图所示,一条宽为d的大河,小船从码头A出发,到对岸的码头B。已知河水流速为v水,小船在静水中的航速为v船。2.处理方法(1)小船渡河时实际上参与了两个方向的分运动,即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(船在静水中的运动,运动方向为船头朝向的方向),船的实际运动是合运动。(2)由于河的宽度是确定的,所以首先应确定渡河的速度,然后计算渡河的时间,再根据等时性分别研究两个分运动或合运动。3.小船渡河问题的三种常见情况情况图示说明渡河时间最短若要使小船渡河时间最短,只要使小船在垂直于河岸方向上的分速度最大,即船头垂直于河岸,最短时间为tmin=dv船,此时渡河位移x渡河位移最短当v水<v船时,如果满足v水-v船cosθ=0,合速度垂直于河岸,小船渡河位移最短,xmin=d,此时渡河时间t=d当v水>v船时,如果船头方向(v船方向)与合速度方向垂直,小船渡河位移最短。由图知sinθ=v船v水,最短渡河位移为xmin=【典题例析】【典例1】(2024·中卫高一检测)小船要横渡一条200m宽的河,水流速度为3m/s,船在静水中的航速是5m/s,求:(sin53°=0.8,cos53°=0.6)(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时,它将在何时、何处到达对岸?答案:(1)40s正对岸下游120m处【解析】(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时,小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度,且在这一方向上,小船做匀速运动,故渡河时间t=dv船=40s,小船沿河流方向的位移x=v水t=3×40m=120m,即小船经过40s,在正对岸下游120m处靠岸。(2)要使小船到达河的正对岸,应如何行驶?多长时间能到达对岸?答案:(2)船头指向与河岸的上游成53°角50s【解析】(2)要使小船到达河的正对岸,则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸,如图甲所示,则v合=v船经历时间t'=dv合=又因为cosθ=v水v船=3(3)如果水流速度变为10m/s,要使小船航程最短,应如何航行?答案:(3)船头指向与河岸的上游成60°角【解析】(3)如果水流速度变为10m/s,如图乙所示,要使小船航程最短,应使v合'的方向垂直于v船,故船头应偏向上游,与河岸成θ'角,有cosθ'=v船v水'=[思维升华]小船渡河问题的分析思路【对点训练】某地进行抗洪抢险演练时,把一布娃娃放在一木盆(视为质点)中随河水流动,抢险战士发现这一情况时,抢险船(视为质点)和木盆的连线与河岸垂直,木盆到两岸的距离相等,两河岸平行,如图所示。抢险船在静水中的速度为5m/s,河宽为300m,河水流速为3m/s,不计战士的反应时间和船的发动时间,则最短的救援时间(船到达木盆的时间)为()A.30s B.60s C.75s D.100s【解析】选A。船与木盆在水中都随水流一起向下游运动,向下游运动的速度相等,所以若要救援的时间最短,则船头的方向始终指向木盆。所以最短的时间为tmin=d2v船【补偿训练】如图所示,一船夫摇船往返于河的两岸。若该船夫摇船从河岸A点以v1的速度用最短的时间到对岸B点。第二次该船以v2的速度从同一地点以最短的路程过河到对岸B点,第二次船的轨迹恰好与第一次船的轨迹重合。假设河水速度保持不变,则该船两次过河所用时间之比是()A.v1∶v2 B.v2∶v1C.v12∶v22 【解析】选D。由题意可知,船夫两次驾船的轨迹重合,知合速度方向相同,第一次船的静水速度垂直于河岸,第二次船的静水速度与合速度垂直,如图所示。船两次过河的合位移相等,则渡河时间之比等于船两次过河的合速度之反比。则t1t2=v2合v1合=v2tanθv1学习任务二两类关联速度【核心归纳】1.“关联”模型关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物的情况。高中阶段研究的绳都是不可伸长的,杆都是不可伸长且不可压缩的,即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中,其速度通常是不一样的,但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等,我们称之为关联速度。2.分析关联问题的思路(1)先确定合运动,即物体的实际运动。(2)确定合运动的两个实际作用效果,一是沿绳(或杆)方向的平动效果;二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果。即将实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量。(3)按平行四边形定则进行分解,作出运动矢量图。(4)根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。3.常见模型【典题例析】角度1绳关联模型【典例2】如图所示,汽车用跨过光滑定滑轮的轻绳提起一质量为m的物块,汽车以速度v0水平向右匀速运动,重力加速度为g,在物块到达滑轮之前,下列说法正确的是()A.物块向上做匀速运动B.当轻绳与水平方向的夹角为θ时,物块上升的速度为vC.轻绳对物块的拉力总是大于mgD.轻绳的拉力保持不变【解析】选C。对汽车的速度v0沿轻绳的方向和垂直于轻绳的方向进行正交分解,如图所示,可得v垂=v0sinθ,v绳=v0cosθ,物块上升的速度大小等于v绳,由v绳=v0cosθ可知,当轻绳与水平方向的夹角为θ时,物块上升的速度为v0cosθ,故B错误;汽车匀速向右运动时,θ角变小,由v绳=v0cosθ可知,v绳增大,但不是均匀变化的,故物块向上做变加速运动,加速度向上,即拉力总是大于mg,但拉力并非恒力,故A、D错误,C正确。【解题探究】(1)汽车实际的运动是什么运动?它与绳子右端点的速度有什么关系?提示:汽车实际的运动是水平方向的直线运动,绳子右端点就在汽车上,所以绳子右端点的速度和汽车速度相同。(2)汽车的分速度是什么速度?提示:汽车的分速度包含拉动速度(沿着绳)和摆动速度(垂直绳)。角度2杆关联模型【典例3】(多选)(2024·遂宁高一检测)如图所示,一个长直轻杆两端分别固定有小球A和B,竖直放置,两球质量均为m,两球半径忽略不计,杆的长度为L。由于微小扰动,A球沿竖直光滑槽向下运动,B球沿水平光滑槽向右运动,当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出),关于两球速度vA与vB的关系,下列说法正确的是()A.当θ=45°时,A、B两球速度大小相等B.当θ=60°时,A球速度的大小小于B球速度C.vA=vBtanθD.vA=vBsinθ【解析】选A、C。当杆与竖直方向的夹角为θ时,根据运动的分解,如图所示沿杆方向两分速度大小相等,则vAcosθ=vBsinθ即vA=vBtanθ,当θ=45°时,可得vA=vB,故选A、C。【对点训练】1.(2024·广州高一检测)寒假期间,小明同学为锻炼身体设计了如图所示的装置,在水平地面上竖直固定直杆A和B。将重物套在杆A上,在杆B的顶端固定一轻滑轮,绳子的一端连接重物,跨过定滑轮后另一端系在身上。开始时,重物在水平地面上,人以恒定的速度v0向左运动,当绳子与杆A的夹角θ=60°时重物的速度为v,加速度为a,规定向上为重物速度、加速度的正方向。下列说法正确的是()A.v=12v0 B.v=32C.a>0 D.a<0【解析】选C。重物沿杆A向上运动,沿绳子方向的分速度等于v0,即vcosθ=v0,所以v=v0cosθ,当θ=60°时,v=2v0,故A、B错误;重物沿杆A向上运动,绳子与杆A的夹角θ增大,由v=v2.图甲为发动机活塞连杆组,图乙为连杆组的结构简图,连杆组在竖直平面内,且OA正好在竖直方向上,连杆一端连接A处活塞,另一端与曲柄上B点相连,活塞沿OA直线往复运动并带动连杆使B点绕圆心O顺时针方向做圆周运动,某时刻OB刚好水平,∠OAB=θ,活塞的速率为vA,曲柄上B点的速率为vB,则此时()A.vA·cosθ=vB B.vB·cosθ=vAC.vA=vB D.vA·sinθ=vB【解析】选C。活塞的实际运动沿竖直方向,曲柄上B点的实际运动沿虚线圆的切线方向,当OB刚好水平时,曲柄上B点的速率为vB且方向刚好竖直时,将vA、vB沿连杆方向和垂直于连杆方向分解如图,则有v1=vAcosθ=vBcosθ,可得vA=vB,故A、B、D错误,C正确。【补偿训练】1.如图所示,悬线一端固定在天花板上的O点,另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球,橡胶球静止时,竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿。现将CD光盘按在桌面上,并沿桌面边缘以速度v匀速移动,移动过程中,CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线,当悬线与竖直方向的夹角为θ时,小球上升的速度大小为()A.vsinθ B.vcosθC.vtanθ D.v【解析】选A。由题意可知,悬线与光盘交点参与两个运动,一是沿着悬线方向的运动,二是垂直悬线方向的运动,则合运动的速度大小为v,由数学三角函数关系,则有v线=vsinθ;而沿着悬线方向的速度大小,即为小球上升的速度大小,故A正确。2.某救援队利用如图装置转运救灾物资,物资穿在竖直固定光滑杆上,若汽车速度为v1,物资运动速度为v2,定滑轮左右两侧轻绳与竖直方向夹角分别为α、β。不计滑轮质量以及绳与滑轮间的摩擦,下列关系正确的是()A.v1=v2 B.v1=vC.v1=2v2sinαcosβ D.v1=v【解析】选D。如图:汽车的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度,根据平行四边形定则,有v1sinα=v绳,物资的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度。则有v2cosβ=v绳,解得v1=v2专题进阶课五变力做功和机车启动问题学习任务一变力做功的计算【核心归纳】方法以例说法微元法质量为m的木块在水平面内做圆周运动,运动一周克服摩擦力做功Wf=f·Δx1+f·Δx2+f·Δx3+…=f(Δx1+Δx2+Δx3+…)=f·2πR平均力法弹簧由伸长x1被继续拉伸至伸长x2的过程中,克服弹力做功W=kx1+kx22·(图像法水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0,图线与横轴所围“面积”表示拉力所做的功,即W=12F0x转化法通过转换研究对象把变力转化为恒力做功,Δl=l1-l2=h(1sinα-1sinβ),WT=WF=FΔl=Fh(【典题例析】角度1微元法求变力做功【典例1】水平桌面上,长6m的轻绳一端固定于O点,如图所示(俯视图),另一端系一质量m=2.0kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10N,F拉着物体从M点运动到N点,F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,不计空气阻力,取g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,则下列说法正确的是()A.拉力F对小球做的功为16π(J)B.拉力F对小球做的功为8π(J)C.小球克服摩擦力做的功为16π(J)D.小球克服摩擦力做的功为4π(J)【解析】选A。将圆弧分成很多小段l1,l2,…,ln,拉力F在每小段上做的功为W1,W2,…,Wn,因拉力F大小不变,方向始终与小球的运动方向成37°角,所以W1=Fl1cos37°,W2=Fl2cos37°…,Wn=Flncos37°,故:WF=W1+W2+…+Wn=Fcos37°(l1+l2+…+ln)=Fcos37°·πR3=10×0.8×π3×6(J)=16π(J),故A正确,B错误;同理可得小球克服摩擦力做的功Wf=μmg【对点训练】在水平面上有一弯曲的槽道AB,由半径分别为R2和R的两个半圆构成。如图所示,现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点,若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同,则此过程中拉力所做的功为(A.0B.FRC.32πFRD.2π【解析】选C。小球受到的拉力F在整个过程中大小不变,方向时刻变化,是变力。但是,如果把圆周分成无数微小的弧段,每一小段可近似看成直线,拉力F在每一小段上方向不变,每一小段上可用恒力做功的公式计算,然后将各段做功累加起来。设每一小段的长度分别为l1、l2、…、ln,拉力在每一段上做的功W1=Fl1、W2=Fl2、…、Wn=Fln,拉力在整个过程中所做的功W=W1+W2+…+Wn=F(l1+l2+…+ln)=F(π·R2+πR)=32π角度2平均作用力求变力做的功【典例2】(2024·合肥高一检测)用铁锤把小铁钉钉入木板,设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进深度d,如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同,那么,第二次钉子进入木板的深度为()A.(3-1)d B.(2-1)d C.(5-1)d2【解析】选B。铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功,由于阻力与深度成正比,可用阻力的平均值求功,根据题意可得W=F1d=kd2d,W=F2d'=kd+k(d+【对点训练】静置于水平地面上质量为1kg的物体,在水平拉力F=4+2x(式中F为力的大小、x为位移的大小,力F、位移x的单位分别是N、m)作用下,沿水平方向移动了5m。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2,取重力加速度g=10m/s2,则在物体移动5m的过程中拉力所做的功为()A.35J B.45J C.55J D.65J【解析】选B。水平拉力F=4+2x,则当物体移动5m时拉力的平均值为F=4+4+2×52N=9N,则拉力所做的功W=Fx角度3利用F-x图像求变力做的功【典例3】(2024·长沙高一检测)木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁,每次砸击对铁钉做功相同。已知钉子所受阻力与其进入木梁中的深度成正比,木匠砸击4次,就把一枚长为L的钉子全部砸进木梁,那么他第1锤将铁钉砸进木梁的深度是()A.L4 B.L2 C.3L【解析】选B。作出钉子所受阻力与进入深度的关系图可知在钉子被砸进木梁的前一半深度与后一半深度过程中,阻力做功之比为1∶3,由题意可知,每次砸锤,锤对钉做功相同,将钉全部砸进木梁需要砸4次,则第1锤将铁钉砸进木梁的深度是L2【对点训练】(2024·驻马店高一检测)如图1所示,静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F作用下,沿x轴方向运动,拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化关系如图2所示,图像为半圆。则小物块运动到x0处时F所做的总功为()A.0 B.π2Fmx0 C.π4Fmx0 【解析】选C。在F-x图像中,图像与x轴所围面积的代数和就表示力F在这段位移内所做的功,面积S=πR22=πFm22=π2Fm·x02=学习任务二机车启动问题分析【核心归纳】1.模型一以恒定功率启动(1)动态过程(2)这一过程的P-t图像和v-t图像如图所示:2.模型二以恒定加速度启动(1)动态过程(2)这一过程的P-t图像和v-t图像如图所示:3.三个重要关系式(1)无论哪种启动过程,机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度,即vm=PF(2)机车以恒定加速度启动时,匀加速过程结束时功率最大,速度不是最大,即v=PF<vm=P(3)机车以恒定功率运行时,牵引力做的功W=Pt,由动能定理得Pt-F阻x=ΔEk,此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度。4.四个常用规律(1)P=fvm(2)F-f=ma。(3)v=at(a恒定)(4)Pt-fx=ΔEk(P恒定)。【典题例析】角度1恒定加速度启动【典例4】(2024·绵阳高一检测)一质量为m=0.5kg的电动玩具车,从倾角为θ=30°的长直轨道底端,由静止开始沿轨道向上运动,4s末功率达到最大值,之后保持该功率不变继续运动,运动的v-t图像如图所示,其中AB段为曲线,其他部分为直线。已知玩具车运动过程中所受摩擦阻力恒为自身重力的0.3倍,空气阻力不计,取重力加速度g=10m/s2。(1)求玩具车运动过程中的最大功率P;答案:(1)40W【解析】(1)由题意得,当玩具车达到最大速度v=10m/s匀速运动时,受力平衡,可得牵引力大小为F=mgsin30°+0.3mg,由P=Fv,代入数据解得P=40W;(2)求玩具车在4s末时(图中A点)的速度大小v1。答案:(2)8m/s【解析】(2)玩具车在0~4s内做匀加速直线运动,设加速度为a,牵引力为F1,由牛顿第二定律可得F1-(mgsin30°+0.3mg)=ma,t1=4s时玩具车功率达到最大,则P=F1v1,由运动学公式可得v1=at1,联立解得v1=8m/s。【对点训练】(多选)(2024·重庆高一检测)如图所示为汽车的加速度a和车速的倒数1v的关系图像。若汽车质量为2×103kg,它由静止开始沿平直公路行驶,且行驶中阻力恒定,最大车速为30m/s,则(A.汽车所受阻力为6×103NB.汽车的牵引力最大值为6×104NC.汽车的额定功率为6×104WD.汽车匀加速所需时间为5s【解析】选C、D。设汽车的额定功率为P,由图知,汽车的最大速度为30m/s,此时汽车做匀速直线运动,有F=f,则有P=f×30m/s,又因为1v=110m-1·s时,加速度a=2m/s2,根据牛顿第二定律得:Pv-f=ma,代入得P10m/s-f