江西省吉安市2024-2025学年高二上学期期末考试 数学 含解析

吉安市高二上学期期末教学质量检测2025.1数学试题（测试时间：120分钟卷面总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据直线的方程可得出其倾斜角.【详解】因为为常数，故直线的倾斜角为.故选：A.2.椭圆的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆方程确定焦点位置，进而写出其坐标.【详解】由题设，故椭圆的焦点在轴上，且，所以焦点坐标为.故选：B3.直线与之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两平行直线的距离公式计算即可求解.【详解】因为直线和平行，由两条平行直线间的距离公式可得．故选：D．4.已知双曲线与双曲线的离心率相同，则（）A. B.2 C. D.8【答案】A【解析】【分析】先分别求得双曲线和双曲线的离心率，再根据其离心率相同求解.【详解】解：因为双曲线，所以，则，，又双曲线，所以，则，因为双曲线与双曲线的离心率相同，所以，解得，则，故选：A5.圆与圆的公切线条数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据两圆的位置关系可判断两圆公切线的条数.【详解】圆，则圆心，半径，圆，则圆心，半径，则，由于，即，故圆与圆相交，其公切线条数为．故选：C．6.如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设，则（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，再利用向量的加法法则与减法法则即可求得结果.详解】设,则故,故选：B7.春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（）A.72 B.96 C.180 D.288【答案】C【解析】【分析】先将五人进行分组，再根据题意进行影片选择，由分步乘法计数原理可得结果.【详解】根据题意先将五人分成四组，共有种，再将四组人员分别分配去观看四部电影，且有小明的一组人员没有选影片，共有种，因此所有不同的选法种数为种.故选：C8.如图，四边形，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中点为，连接，易知是的平面角，根据已知构建合适的空间直角坐标系，再应用向量法求得直线和所成角的余弦值关于的表达式，即可求最大值.【详解】取的中点为，连接，又，所以，且，是的平面角，由都在面内，故面，面内过作，可构建如下图示的空间直角坐标系，则，由，则，且，所以，则，当时，最大.故选：D.【点睛】关键点点睛：构建合适空间直角坐标系，并确定含参的点坐标为关键.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知点在抛物线上，且，其中为抛物线的焦点，则（）A.抛物线的准线为 B.点的坐标为C. D.过点作轴于点，则的面积为【答案】AD【解析】【分析】根据抛物线的定义得，进而得到准线、焦点判断A、B；将代入抛物线判断C；求出三角形面积判断D.【详解】根据抛物线的定义知，，则，所以抛物线的准线为，焦点，A对，B错；将代入抛物线，得，C错；由轴于点，则，故，所以的面积为，D对.故选：AD10.已知展开式中二项式系数之和为64，则（）A. B.展开式的各项系数之和是1C.展开式中第4项的二项式系数最大 D.展开式中常数项为240【答案】BCD【解析】【分析】根据二项式系数之和得到，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法判断各项的正误.【详解】A，由题设，二项式系数之和，A错；B，所以时各项系数之和为，B对；C，由组合数的性质知，，即时二项式系数最大，C对；D，对于，则，，令，则常数项为，D对.故选：BCD11.已知点，且点在直线上，下列说法正确的是（）A.的最大值为3B.若线段与直线有交点，则C.当时，存在点，使得D.当时，周长的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】易知的最大值为的长度，可得A正确，求得两直线交点坐标得出不等式可得B正确，求出以为直径的圆方程可得C错误，利用点关于直线对称即可求得D正确.【详解】对于A，由点可知两点的纵坐标相同，即平行于轴，且的长度为3，因此的最大值为的长度3，即A正确；对于B，易知的方程为,可知直线与的交点坐标为−3,2；若线段与直线有交点，可得，解得，即B正确；对于C，当时可得，以为直径的圆方程为，显然圆心到直线的距离为，即直线与圆相离，没有交点，所以不存在点，使得，即C错误；对于D，当时，设关于直线的对称点坐标为，可得，解得，即，如下图所示：显然的周长为，即D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：求解周长最值以及线段长度最值问题时，经常求出对称点坐标结合三角形性质可得结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间向量满足，则______．【答案】4【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解.【详解】因为，故，解得．故答案为：413.已知圆过三点，则圆的面积为______．【答案】【解析】【分析】设圆的一般方程，将三点的坐标代入方程，利用待定系数法求解圆的方程，结合圆的面积公式计算即可求解.【详解】设圆的方程为，代入三点坐标可得，解得，所以圆的方程为，其标准方程为，半径，故其面积．故答案为：14.已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限交于点为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为_________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，确定直角三角形的直角顶点位置，建立方程并结合双曲线定义求出，再借助相似三角形性质列式求解作答.【详解】根据题意轴，所以为直角三角形，由有，设，把代入有，所以，即，由有，由，即.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.现有0，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题．（1）用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？（2）用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？【答案】（1）96；（2）60.【解析】【分析】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解；（2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位；【小问1详解】先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法，再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得，所以能组成96个无重复数字的五位数；小问2详解】当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，所以用这5个数字能够组成组成个无重复数字的五位偶数；16.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，求直线的斜率．【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）由点在椭圆上及、椭圆的参数关系求椭圆方程；（2）由题意，设，联立椭圆及韦达定理和中点坐标求参数k，即可得直线方程.【小问1详解】由题设，可得，则椭圆；【小问2详解】由题设，令，联立椭圆，所以，整理得，则，整理易得，所以，可得，直线的斜率为1.17.已知的圆心在轴上，且经过点和．（1）求的标准方程；（2）过点的直线与交于两点．①若，求直线的方程；②求弦最短时直线的方程．【答案】（1）（2）①或；②；【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆上点的坐标解方程即可；（2）①根据弦长求得圆心到直线的距离，分别讨论直线的斜率是否存在解方程可得结果；②易知当时，弦最短，由直线的点斜式方程计算可得结果.【小问1详解】设圆心坐标为，依题意可得：，解得；则该圆的圆心为，半径为；故的标准方程为：；【小问2详解】①由过点的直线与交于两点，设圆心到直线的距离为,由，可得，；当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，解得，故直线的方程为，即.综上可知，直线的方程为或；②依题意可知点在圆内，如下图所示：设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，显然当取得最大值时，即时，此时，即当时，弦最短，易知，因此直线的斜率为，可得直线的方程为，即.18.在长方体中，侧面为正方形，，为线段（不包含端点）上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题．（1）若，求的长度；（2）求点到平面距离的取值范围．【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，设且，应用向量垂直的坐标表示列方程求参数m，即可得长度；（2）求出面的一个法向量，应用点面距离的向量求法求范围.【小问1详解】构建如下图示的空间直角坐标系，则，设且，则，，又，则，可得，所以的长度为1.【小问2详解】若是面的一个法向量，则，令，则，而，故，所以点到平面距离，，所以，且，故.19.已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点.（1）若的斜率存在，求出斜率的取值范围；（2）探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）；（3）若直线，交于点，且，求的取值范围.【答案】（1）（2）是，（3）【解析】【分析】（1）设，，直线的方程为，与双曲线方程联立利用韦达定理可得答案；（2）由韦达定理代入可得答案；（3）设直线与直线的方程分别为，，联立两直线方程可得交点的横坐标为1，可得，再利用的单调性可得答案.【小问1详解】由的渐近线方程为可得，易知直线的斜率不为0，设，，直线的方程为，联立双曲线与直线得，，则解得，再由斜率存在以及可得，的取值范围为；【小问2详解】依题意，，，由韦达定理可知，，，于是，因此；小问3详解】